重难点27 圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

这是一份重难点27 圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用），文件包含重难点27圆锥曲线中的弦长问题与长度和差商积问题举一反三新高考专用教师版2025年高考数学一轮复习专练新高考专用docx、重难点27圆锥曲线中的弦长问题与长度和差商积问题举一反三新高考专用学生版2025年高考数学一轮复习专练新高考专用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21927" 【题型1 椭圆的弦长问题】 PAGEREF _Tc21927 \h 2
\l "_Tc7502" 【题型2 双曲线的弦长问题】 PAGEREF _Tc7502 \h 3
\l "_Tc9650" 【题型3 抛物线的弦长问题】 PAGEREF _Tc9650 \h 4
\l "_Tc29483" 【题型4 长度及其最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc29483 \h 5
\l "_Tc2244" 【题型5 长度之和问题】 PAGEREF _Tc2244 \h 6
\l "_Tc30747" 【题型6 长度之差问题】 PAGEREF _Tc30747 \h 7
\l "_Tc23330" 【题型7 长度之商问题】 PAGEREF _Tc23330 \h 8
\l "_Tc6810" 【题型8 长度之积问题】 PAGEREF _Tc6810 \h 9
1、圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题
圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，弦长问题与长度和、差、商、积问题是考查的重要方向，以选择题或填空题的形式考查时，难度不大；以解答题的形式考查时，有时会与向量、数列等知识结合考查，难度较大；联立直线与圆锥曲线方程并灵活运用弦长公式是解决此类问题的关键，复习时要加强此类问题的训练.
【知识点1 圆锥曲线中的弦长问题】
1．椭圆的弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，
则或.
2．双曲线的弦长问题
(1)弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.
(2)解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
(4)双曲线的通径：
过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还
是在y轴上，双曲线的通径总等于.
3．抛物线的弦长问题
设直线与抛物线交于A,B两点，则
|AB|==或
|AB|== (k为直线的斜率，k≠0).
4．弦长公式的两种形式
(1)若A,B是直线y=kx+m与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去y，得到一元二次方程
，则.
(2)若A,B是直线x=my+n与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去x，得到一元二次方程
，则.
【题型1 椭圆的弦长问题】
【例1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知直线l是圆C：x2+y2=1的切线，且l与椭圆E：x23+y2=1交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B．3C．2D．1
【变式1-1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆C:x24+y2=1，过原点O且倾斜角为π4的直线交椭圆于A,B两点，则AB=（ ）
A．105B．2105C．3105D．4105
【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P3,3为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为26．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若倾斜角为π4的直线l与C相交于两个不同的点A,B，求AB的最大值．
【变式1-3】（2024·河北衡水·一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过1,32和2,62两点.F1,F2分别为椭圆的左､右焦点，P为椭圆上的点（P不在x轴上），过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆交于A､B两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求AB的范围.
【题型2 双曲线的弦长问题】
【例2】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线C:y2−x23=1的两个焦点分别为F1,F2，过F1的直线与双曲线C的同一支交于A，B两点，且BF1=2AF1，则线段AB的长度为（ ）
A．94B．9C．274D．6
【变式2-1】（2024·山东·模拟预测）过双曲线x2−y2=2的左焦点作直线l，与双曲线交于A,B两点，若AB=4，则这样的直线l有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【变式2-2】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的实轴长为22，点P(2,6)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点P且斜率为26的直线与双曲线C的另一个交点为Q，求PQ.
【变式2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(b>a>1)的左、右焦点分别为F1、F2，两条渐近线的夹角为60∘，M5,y0是双曲线上一点，且△MF1F2的面积为43.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线l与双曲线C交于P、Q两点，且坐标原点O在以PQ为直径的圆上，求PQ的最小值.
【题型3 抛物线的弦长问题】
【例3】（2024·河南开封·一模）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=8x焦点F的直线与C交于A，B两点，若|AF|=|AO|，则|AB|=（ ）
A．5B．9C．10D．18
【变式3-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线与x轴交于点M，直线l过其焦点F且与C交于A ， B两点，若直线AM的斜率为255，则|AB|=（ ）
A．455B．855C．4D．5
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知点Pa,ba>0,b>0在抛物线C:y2=2pxp>0上，记O为坐标原点，OP=32，以P为圆心，OP为半径的圆与抛物线C的准线相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)记抛物线C的焦点为F，过点F作直线l与直线PF垂直，交抛物线C于A，B两点，求弦AB的长．
【变式3-3】（2024·广西·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)若P为直线l:x=−2上的一动点，过P作抛物线C的切线PA,PB,A,B为切点，直线AB与l交于点M，过F作AB的垂线交l于点N，当MN最小时.求AB.
【题型4 长度及其最值（范围）问题】
【例4】（23-24高三上·湖北武汉·开学考试）设双曲线E1x2−y23=1的左右焦点为F1，F2，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限中内的一点，直线MF1交双曲线E的左支于点N，若NA//MF2，则MF2=（ ）
A．74B．52C．83D．114
【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若△AOF的面积为2+1，则|AF|=（ ）
A．22+2B．22+4
C．42+2D．32+2
【变式4-2】（23-24高三下·河南周口·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，一动圆过点F1,0且与直线x=−1相切，设该动圆的圆心C的轨迹为曲线Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)设P为Γ在第一象限内的一个动点，过P作曲线Γ的切线l1，直线l2过点P且与l1垂直，l2与Γ的另外一个交点为Q，求PQ的最小值．
【变式4-3】（2024·河北张家口·三模）已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1(−c,0)的直线l（斜率不为0）交椭圆C于P，Q两点，当直线l的斜率不存在时，|PQ|=3c．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，且△PAB面积的最大值为23，直线PA与直线QB相交于点M，求|OM|的取值范围．
【题型5 长度之和问题】
【例5】（2024·河北承德·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离是3，且C的离心率是12，过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点，过左焦点且与直线l垂直的直线l′与椭圆交于M,N两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求AB+MN的取值范围.
【变式5-1】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知点F为抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，点P1,2，Q0,1，且PF=QF.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若正方形ABCD的顶点A、B在直线l:x−y+2=0上，顶点C、D在抛物线C上，求FC+FD.
【变式5-2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线P:y2=2px0(1)求抛物线P的方程．
(2)求AB+CD的最小值．
【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，上､下顶点分别为A1,A2，四边形A1F1A2F2的面积为23且有一个内角为π3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若以线段F1F2为直径的圆与椭圆C无公共点，过点A1,3的直线与椭圆C交于P,Q两点（点P在点Q的上方），线段PQ上存在点M，使得APAQ=MPMQ，求MF1+MF2的最小值.
【题型6 长度之差问题】
【例6】（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线4x−5y−12=0上的动点，则PA−PF的最小值为（ ）
A．−164141B．164141C．164141−4D．4−164141
【变式6-1】（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线E:x2m−y23=1m>0的离心率为2，右焦点为F，动点P在双曲线右支上，点A0,2，则PF−PA最大值为（ ）
A．5B．5−2
C．22D．22−2
【变式6-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知点P是双曲线x29−y216=1右支上的一点，点M、N分别是圆x+52+y2=4和x−52+y2=1上的点，求PM−PN的最大值．
【变式6-3】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(−2,3)，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，作线段AB的垂直平分线l交x轴于点P，证明:|FP|−|FP|cs2α为定值，并求此定值.
【题型7 长度之商问题】
【例7】（2024·四川绵阳·三模）过点A2,0的直线l与拋物线C:y2=2pxp>0交于点M，N（M在第一象限），且当直线l的倾斜角为π4时，MN=32.
(1)求抛物线的方程；
(2)若B3,0，延长MB交抛物线C于点P，延长PN交x轴于点Q，求QNQP的值.
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=kx+mm2=k2+1,k≠0和椭圆T:x23+y2=1．
(1)证明：l与T恒有两个交点；
(2)若A,B为l与T的两个交点，过原点且垂直于l的直线交T于C,D两点，求CDAB的最小值．
【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线M:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A(−2,3)在双曲线M上，且AF1+AF2=8．
(1)求双曲线M的方程；
(2)记∠F1AF2的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点B,C关于直线l对称，并求出|AE||BC|（E为BC的中点）的值．
【变式7-3】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点(0,2)的直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在B点处的切线为l2，直线l1与直线l2交于点M，当直线l的倾斜角为450时，|AB|=46．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设线段AB的中点为N，求|AB||MN|的取值范围．
【题型8 长度之积问题】
【例8】（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为4，C上一点P满足cs∠F1F2P=−33，且△PF1F2的面积为22．
(1)求C的方程；
(2)过C的渐近线上一点T作直线l与C相交于点M，N，求|TM|⋅|TN|的最小值．
【变式8-1】（2024·陕西安康·三模）已知 M1,2为抛物线C:y2=2px上一点．
(1)求抛物线C的准线方程；
(2)过点T0,1的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，求TA⋅TB的值．
【变式8-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直线l与椭圆C:x24+y2=1交于Px1,y1,Qx2,y2两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=1，其中O为坐标原点.
(1)证明：x12+x22和y12+y22均为定值；
(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值.
【变式8-3】（2024·江西·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线的倾斜角为π3，C的右焦点F到该渐近线的距离为23.
(1)求C的方程；
(2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆O:x2+y2=a2交于与A，B不重合的M，N两点.
（ⅰ）求直线AB斜率的取值范围；
（ⅱ）求AB⋅MN的取值范围.
一、单选题
1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知A，B为椭圆C：x29+y25=1上两个不同的点（直线AB与y轴不平行），F为C的右焦点，且AF+BF=4，若线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则FP=（ ）
A．43B．53C．54D．32
2．（2024·新疆·三模）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则1PQ+1MN=（ ）
A．22B．1C．2D．2
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，圆O:x2+y2=a2.若过F1的直线分别交C的左、右两支于A，B两点，且圆O与F1B相切，C的离心率为3,F1到C的渐近线的距离为22，则|AB|=（ ）
A．327B．307C．207D．167
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是C的左、右焦点，且△F1AB的面积为2−32，点P为C上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（ ）
A．[1,2]B．[2,3]C．[2,4]D．[1,4]
5．（2024·全国·模拟预测）如图，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点，且F2P的延长线交y轴于点A，且F1P⋅F2P=0，△APF1的内切圆半径为4，△PF1F2的面积为9，则AF2PF2=（ ）

A．18B．32C．50D．14
6．（23-24高二上·河南商丘·阶段练习）设双曲线x2a2−y2=1的左、右焦点为F1、F2，渐近线方程为y=±12x，过F1直线l交双曲线左支于A、B两点，则AF2+BF2的最小值为（ ）
A．9B．10C．14D．152
7．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，O为坐标原点，倾斜角为θ的直线l过点F且与C交于M，N两点，若△OMN的面积为33，则（ ）
A．sinθ=12
B．MN=24
C．以MF为直径的圆与y轴仅有1个交点
D．MFNF=33或MFNF=3
8．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆E:x29+y25=1的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l垂直于x轴，则AB=154
B．AB∈103,6
C．若AB=5，则直线l的斜率为33
D．若AF=2BF，则AB=103
二、多选题
9．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线y=−x+1经过椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点Q，且与E在第四象限交于点P,E的左、右焦点分别为F1,F2，则（ ）
A．E离心率为12B．△PQF1的周长为42
C．以PF1为直径的圆过点QD．|PQ|=22
10．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x23−y2=1的右焦点为F，动点M,N在直线l:x=32上，且FM⊥FN，线段FM交C于点P，过P作l的垂线，垂足为R，则（ ）
A．△FMN的面积S≥12B．PRPF=32
C．MR⋅HN=FH⋅PRD．MP⋅NFMN⋅PF为定值
11．（2024·福建龙岩·三模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=20交于A，B两点，且|AB|=8.过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则（ ）
A．若MF=3FN，则直线l的斜率为±33B．|MF|+4|NF|的最小值为18
C．∠MON为钝角D．点P与点F的横坐标相同时，|PF||PQ|最小
三、填空题
12．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知P为双曲线C:x24−y2=1的右支上一点，点A,B分别在C的两条渐近线上，O为坐标原点，若四边形OAPB为平行四边形，且PA=1，则PB= ，
13．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点F是圆x−22+y2=1的圆心，过点F的直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D，则AB+CD的取值范围为 ．
14．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点F为C的一个焦点，点A,B为C的两个顶点，若FA=3，FB=2，则AB的可能值中的最大值为 ．
四、解答题
15．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2.且经过点2,3.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0（点O为坐标原点），求AB的取值范围.
16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右顶点分别为A1,A2，左､右焦点分别为F1,F2,M是椭圆C上一点，MF2⊥F1F2,MA1=352，直线MA2的斜率为−32.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过右焦点F2的直线与椭圆C交于点P,Q，直线A1P,A2Q交于点N，求当A1PPN=12时，PF2的值.
17．（2024·海南海口·二模）已知抛物线C：y2=2pxp>0的准线与x轴的交点为E−1,0，C的焦点为F.经过点E的直线l与C分别交于A，B两点.
(1)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2=0；
(2)记△ABF与△BEF的面积分别为S1，S2，若S1=3S2，求AF+BF.
18．（2024·新疆·一模）已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为 F1,F2，离心率为 2，M 是C上一点，且MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为 12.
(1)求C的方程;
(2)过F2的直线l与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 1OP2−2AB为定值.
19．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且F1F2=2，过点F2作两条直线l1,l2，直线l1与C交于A,B两点，△F1AB的周长为42．
(1)求C的方程；
(2)若△F1AB的面积为43，求l1的方程；
(3)若l2与C交于M,N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求MN−AB的最大值．