重难点突破09 一类与斜率和、差、商、积问题的探究（四大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

这是一份重难点突破09 一类与斜率和、差、商、积问题的探究（四大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含重难点突破09一类与斜率和差商积问题的探究四大题型原卷版docx、重难点突破09一类与斜率和差商积问题的探究四大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc176599536" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176599536 \h 3
\l "_Tc176599537" 题型一：斜率和问题 PAGEREF _Tc176599537 \h 3
\l "_Tc176599538" 题型二：斜率差问题 PAGEREF _Tc176599538 \h 6
\l "_Tc176599539" 题型三：斜率积问题 PAGEREF _Tc176599539 \h 8
\l "_Tc176599540" 题型四：斜率商问题 PAGEREF _Tc176599540 \h 11
\l "_Tc176599541" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176599541 \h 13
1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．
2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．
3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．
4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．
题型一：斜率和问题
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
【典例1-2】如图，已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与轴交于点，过点的直线与交于两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记的斜率分别为，求证：．
【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与的交点为.
(1)若，求抛物线的方程及焦点的坐标；
(2)若点为轴正半轴上的任意一点，过点作直线交抛物线于两点，点关于原点的对称点，连接交抛物线于点，求证：.
【变式1-2】如图所示，已知分别过椭圆的左、右焦点的动直线，相交于点P，且，与椭圆E分别交于点A，B和点C，D，直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为，，，，满足，请问是否存在定点M，N，使得为定值？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-3】（2024·江西鹰潭·二模）设椭圆E：经过点，且离心率，直线垂直x轴交x轴于T，过T的直线l1交椭圆E于Ax1,y1，Bx2,y2两点，连接，，．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为，．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值．
【变式1-4】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为.证明：
（i）为定值；
（ii）直线过线段的中点.
【变式1-5】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，求的值；
(3)设，求的值.
题型二：斜率差问题
【典例2-1】已知椭圆的离心率为，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，为左焦点，且的面积为．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN和直线QC的斜率）．
【典例2-2】椭圆C：的离心率，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．
【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.
【变式2-2】设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，线段的中点为，若，求的值.
【变式2-3】如图,已知点是抛物线：的焦点,点在抛物线上,且.
（1）若直线与抛物线交于两点,求的值;
（2）若点在抛物线上,且抛物线在点处的切线交于点,记直线的斜率分别为,且满足,求证：的面积为定值.
【变式2-4】如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记，的面积分别为，，若，求的值；
(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．
题型三：斜率积问题
【典例3-1】（2024·河北保定·三模）设椭圆C：的左、右顶点和椭圆的左、右焦点均为E，F.P是C上的一个动点（异于E，F），已知直线EP交直线于点A，直线FP交直线于点B.直线AB与椭圆交于点M，N，O为坐标原点.
(1)若b为定值，证明：为定值；
(2)若直线OM，ON的斜率之积恒为，求b.
【典例3-2】已知椭圆左右焦点分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点，交椭圆于点，且与的周长之差为.
(1)求椭圆与椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
【变式3-1】（2024·高三·浙江·开学考试）如图，已知抛物线的焦点为，过点作一条不经过的直线，若直线与抛物线交于异于原点的两 点，点在轴下方，且在线段上．
(1)试判断：直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
(2)过点作的垂线交直线于点，若的面积为4，求点的坐标，
【变式3-2】（2024·广东·一模）设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为.
(1)求;
(2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.
【变式3-3】（2024·广西柳州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，的面积为，点为椭圆的下顶点，.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)椭圆上有两点，（异于椭圆顶点且与轴不垂直），当的面积最大时，证明：直线与的斜率之积为定值.
，即，
，，
，


，当且仅当即时等号成立，
，
【变式3-4】（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
题型四：斜率商问题
【典例4-1】（2024·湖北荆州·三模）已知，圆心是原点，点，以线段为直径的圆内切于，动点的轨迹记为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线，点，直线过点与曲线交于两点，与直线交于点.
①若，求直线的斜率；
②若记直线的斜率分别为问是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由.
【典例4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点.
(1)求曲线的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)已知点，设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出值，若不存在，请说明理由.
【变式4-1】在平面直角坐标系中，抛物线：．，为上两点，且，分别在第一、四象限．

(1)直线与正半轴交于，与负半轴交于，若，求横坐标的取值范围；
(2)直线与正半轴交于，与负半轴交于，记的重心为，直线，的斜率分别为，，且．
若，证明：为定值．
(3)若过，作抛物线的切线，，交点在直线上，求面积的最小值.
【变式4-2】如图，已知椭圆C：与顶点，经过点且斜率存在的直线l交椭圆于Q，N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，连接AB，AN．求证：存在实数λ，使得恒成立．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点是椭圆的右焦点，抛物线与椭圆在第一象限的公共点的横坐标为．
(1)求抛物线与椭圆的标准方程；
(2)若分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的两点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
【变式4-4】（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：的焦距为，离心率，过点作两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于M，N两点，A，B，M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)记直线AM与BN的斜率分别为，且，判断是否存在非零常数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知点，点在以为直径的圆上运动，轴，垂足为，点满足，点的轨迹为.
(1)求的方程：
(2)过点的直线交于点，设直线的斜率分别为､，证明为定值，并求出该定值.
2．已知椭圆的长轴长与短轴长的差为2，且离心率为为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为.
①证明：直线与的斜率之积为定值；
②当的面积最大时，求直线的方程.
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点．
(1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值；
(2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．
4．已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
5．如图所示，设点，点M，N是椭圆上的两个不同的点，且直线AM与直线AN的斜率之积为．证明：直线MN过定点．
6．（2024·河北保定·三模）设椭圆的左､右顶点分别为，离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆上异于的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.直线与轴相交于点，求的面积的最大值.
7．（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为.

(1)直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值；
(2)求证：直线过定点.
8．求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
9．（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
10．已知椭圆：的离心率为， 点，在椭圆上运动. 当直线过椭圆右焦点并垂直于轴时，的面积为（为坐标原点）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)延长到， 使得，且与椭圆交于点， 若直线，的斜率之积为， 求的值.
11．设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明：
（ⅰ）为定值；
（ⅱ）直线恒过定点.
12．如图所示，已知点，F是椭圆的左焦点，过F的直线与椭圆交于两点，直线分别与椭圆交于两点．

(1)证明：直线过定点．
(2)证明：直线和直线的斜率之比为定值．
13．（2024·广西·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为和，的周长为6，记顶点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，．
（ⅰ）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，；
（ⅱ）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积．
14．（2024·福建福州·模拟预测）已知双曲线的上、下顶点分别为．
(1)若直线与交于两点，记直线与的斜率分别为，求的值；
(2)过上一点作抛物线的切线和，切点分别为，证明：直线与圆相切．
15．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
16．（2024·全国·模拟预测）已知点，直线与抛物线交于B，C两点（均不同于点A）．设直线AB，AC的斜率分别为，有．
(1)证明：直线经过定点．
(2)若B，C两点在轴的异侧，则存在几条直线，使的面积为4？
17．（2024·高三·贵州·开学考试）已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．