重难点突破05 求曲线的轨迹方程（十大题型）-2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破05 求曲线的轨迹方程
目录
一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
题型一：直接法
例1．（2023·甘肃平凉·高三统考期中）动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 .
例2．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为 .
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线和，有一动圆与及都相交，并且、被截在圆内的两条弦长分别是26和24，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．则曲线的轨迹方程为 .
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上的动点到点和的距离之比为，则点的轨迹方程为 .
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上一定点和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．则动点P的轨迹方程为 ；
题型二：定义法
例4．（2023·全国·高三专题练习）若，，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是
例5．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知圆与圆内切，且圆与直线相切，则圆的圆心的轨迹方程为 ．
例6．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为
变式4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足.则动点的轨迹方程为 ；
变式5．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为 .
变式6．（2023·全国·高三专题练习）中，A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为 ．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
变式8．（2023·全国·高三对口高考）已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知定点，圆，过R点的直线交圆于M，N两点过R点作直线交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为 .
变式11．（2023·吉林白山·高三抚松县第一中学校考阶段练习）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ．
变式12．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，线段的中点为D，过的中点E且平行于的直线交于点P．
(1)求动点P的轨迹方程；
题型三：相关点法
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ．
例8．（2023·福建泉州·高三校考开学考试）是圆上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是 .
例9．（2023·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为 ．
变式13．（2023·全国·高考真题）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为 ．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若，且，则点P的轨迹方程是 ．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为 ．
题型四：交轨法
例10．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）已知直线，，当任意的实数m变化时，直线与的交点的轨迹方程是 ．
例11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为 .
例12．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知A，B分别为椭圆的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）直线在轴上的截距为且交抛物线于、两点，点为抛物线的顶点，过点、分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于、两点．分别过点、作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，分别作抛物线C在A，B处的切线，且两切线交于点P，则点P的轨迹方程为： ．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
变式21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是 .

变式22．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过三点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，求直线与直线的交点的轨迹方程.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
变式24．（2023·山西阳泉·高三统考期末）已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．
变式25．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）直线l在x轴上的截距为且交抛物线于A，B两点，点O为抛物线的顶点，过点A，B分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于C，D两点．
(1)当时，求的大小；
(2)试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由；
(3)分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线过点，直线与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求直线l的方程；
(2)过点作直线和，其中交C于M，N两点，交C于P，Q两点，M，P位于x轴的同侧，Q，N位于x轴的同侧，求直线MP与直线QN交点的轨迹方程.
变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．
（1）试求抛物线的方程；
（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线恒过定点；
②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
题型五：参数法
例13．（2023·全国·高三专题练习）方程(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程)
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ．
例15．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知O为坐标原点，，A是上的动点，连接OA，线段OA交于点B，过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为 ．
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知在中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，若，则点P的轨迹方程为 ．
题型六：点差法
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知：椭圆，求：
（1）以为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
变式29．（2023·全国·高三专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ．
变式31．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
变式32．（2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为 ．
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
例19．（2023·北京·高三强基计划）在正方体中，动点M在底面内运动且满足，则动点M在底面内的轨迹为（ ）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线一支的一部分D．前三个答案都不对
例20．（2023·全国·高三对口高考）如图，定点A和B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且．那么，动点C在平面内的轨迹是（ ）

A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点
例21．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆
变式33．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（ ）
A．B．C．D．
变式34．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线、异面且垂直，平面且，若点到、距离相等，则点在平面内的轨迹为（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
变式35．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体中，点满足，，分别为棱，的中点，点在正方体的表面上运动，满足面，则点的轨迹所构成的周长为（ ）
A．B．C．D．
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
例22．（2023·辽宁朝阳·统考二模）已知，则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为 ．
例23．（2023·全国·高三专题练习）设复数满足，在复平面内对应的点为，则在复平面内的轨迹方程为 ．
例24．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知复数为虚数单位为纯虚数，则在复平面内，对应的点的轨迹为（ ）
A．圆B．一条线段C．两条直线D．不含端点的4条射线
变式36．（2023·全国·高三专题练习）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（ ）
A．直线B．线段C．两条射线D．圆
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的轨迹为（ ）
A．线段B．直线
C．椭圆D．椭圆的一部分
变式38．（2023·全国·高三专题练习）若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
变式39．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
变式40．（2023·辽宁抚顺·高三校联考期末）若复数满足.则复数在复平面内的点的轨迹为（ ）
A．直线B．椭圆C．圆D．抛物线
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
例26．（2023·全国·高三对口高考）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．垂心C．内心D．重心
例27．（2023·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
变式41．（2023·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
变式42．（2023·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
变式43．（2023·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）在中，，，，角A是锐角，O为的外心．若，其中，则点P的轨迹所对应图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
变式44．（2023·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．射线D．圆
变式45．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，点在C上．过C的右焦点F的直线交C于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点P满足，求动点P的轨迹方程．
例29．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点的直线交双曲线于两点，曲线的左右顶点分别为，虚轴长与实轴长的比值为．

(1)求曲线的方程；
(2)如图，点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的轨迹方程．
例30．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程；
变式46．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：过点，且椭圆上任意一点到右焦点的距离的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交不同于点A的P、Q两点，以线段PQ为直径的圆经过A，过点A作线段PQ的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程.
变式47．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线与直线．
(1)若直线与双曲线C相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线的方程；
(2)若直线l与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
变式48．（2023·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.
变式49．（2023·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
变式50．（2023·广东·高三阶段练习）已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别是、，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点、是椭圆上异于、的不同两点，设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程．
变式51．（2023·全国·高三专题练习）已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.