2024春八年级数学下册第18章勾股定理综合素质评价试卷附解析（安徽专版沪科版）

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第18章综合素质评价一、选择题 (本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．【2023·合肥新站区期中】下列各组数中，是勾股数的是(　　)A．0.3，0.4，0.5 B．eq \f(3,5)，eq \f(4,5)，1 C．4，5，6 D．9，12，152．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则AB的长为(　　)A．5 B．2 eq \r(7) C．10 D．283．已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是(　　)A．∠A－∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．(b＋c)(b－c)＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝254.甲、乙两艘客轮同时离开港口O，航行的速度都是40 km/h.甲客轮用1.5 h到达点A，乙客轮用2 h到达点B．若A，B两点的直线距离为100 km.若甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(　　)A． 南偏西30° B． 北偏西30° C． 南偏东60° D． 南偏西60°5．如图，数轴上的点A表示的数是－2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为(　　) A．eq \r(13) B．eq \r(13)＋2 C． 2 D．eq \r(13)－2 6．【2023·深圳】如图①，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2个单位/s，其中BP长与运动时间t(单位：s)的关系如图②，则AC的长为(　　)A．eq \f(15 \r(5),2) B．eq \r(427) C．17 D．5 eq \r(3)7．【母题：教材P56数学园地】图①是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽，主体图案由图②的一连串直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，若OA3·OAn的值是整数，1≤n≤70(n≠3)，则符合条件的n有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是(　　)A．eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＝eq \f(1,h2) B．eq \f(1,a)＋eq \f(1,h)＝eq \f(1,b) C．eq \f(1,h2)＋eq \f(1,b2)＝eq \f(1,a2) D．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,h)9．【2023·宿州桥区阶段性练习】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖)高6 cm，底面周长为16 cm，在杯口内壁离杯口1.5 cm的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 cm，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是(　　) A．eq \r(73) cm B．10 cm C．8 eq \r(2) cm D．8 cm10．【数学文化】我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图①)中的两个正方形和八个直角三角形按图②方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2(S1＞S2)，则下列四个判断：①S1＋S2＝eq \f(1,4)S四边形MNPQ；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，则S1＝3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1＝4S2，其中正确的序号是(　　)A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．在平面直角坐标系中，若点A，B的坐标分别为(0，0)和(3，4)，则线段AB长为________．12．【2023·营口】如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于eq \f(1,2)CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E.若AC＝5，CD＝6，则AE＝____________．13．【2023·合肥高新区期中】如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝________°(点A，B，P是网格线交点)．14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．在△ABC内作正方形A1B1C1D1，使点A1，B1分别在两直角边AB，AC上，点C1，D1在斜边BC上，用同样的方法，在△C1B1C内作正方形A2B2C2D2；在△CB2C2内作正方形A3B3C3D3……若AB＝1，则(1)正方形A4B4C4D4的边长为________；(2)正方形A2 024B2 024C2 024D2 024的面积为________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝4，求AC与AB的长．16．如图，四边形ABCD，已知AD＝4 cm，CD＝3 cm，AB＝13 cm，BC＝12 cm，且CD⊥AD，求这个四边形的面积．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，以格点为顶点分别按下列要求画图(每个小格的顶点叫做格点)．(1)在图①中，画一个正方形，使它的面积为10；(2)在图②中，画一个△ABC，使它的三边长分别为AB＝eq \r(5)，BC＝2eq \r(5)，AC＝5；(3)图②中所画△ABC的面积为________．18．【2023·广西】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°.(1)在斜边AC上求作线段AO，使AO＝BC，连接OB；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)若OB＝2，求AB的长．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19. 【2023·六安叶集区期中】改编如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D(点A，D，B在同一条直线上)，并新修一条路CD，测得CA＝6.5 km，CD＝6 km，AD＝2.5 km.(1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；(2)求原来的路BC的长．20．如图，在△ABC中，D为BC边上的中点，以D为顶点作∠EDF＝90°，DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且BE2＋FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°.六、(本题满分12分)21．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6 m，将秋千AD往前推送3 m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6 m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．(1)根据题意，BF＝________m，BC＝________m，CD＝________m；(2)根据(1)中求得的数据，求秋千的长度；(3)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6 m，需要将秋千AD往前推送多少米？七、(本题满分12分)22．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．(1)已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．(2)已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．八、(本题满分14分)23．如图是盼盼家新装修的房子，其中有三个房间甲、乙、丙，他将一个长度可以伸缩变化的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，梯子顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙脚B处，若MA＝1.6 m，AP＝1.2 m，则甲房间的宽度AB＝________ m；(2)当他在乙房间时，测得MA＝2.4 m，MP＝2.5 m，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽度AB；(3)当他在丙房间时，测得MA＝2.8 m，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°.①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽度AB．答案一、1．D　【点拨】A.不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数；B.不是勾股数，因为eq \f(3,5)，eq \f(4,5)，1不是正整数；C.不是勾股数，因为42＋52≠62；D.是勾股数，因为92＋122＝152，且9，12，15是正整数．2．C　【点拨】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2，则AB的长为10.3．B　【点拨】A.∵∠A－∠B＝∠C，且∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；B.∵∠A ∶∠B ∶∠C＝3 ∶4 ∶5，∴∠C＝eq \f(5,3＋4＋5)×180°＝75°，故不能判断△ABC是直角三角形；C.∵(b＋c)(b－c)＝a2，∴b2－c2＝a2，故△ABC为直角三角形；D.∵72＋242＝252，∴△ABC为直角三角形．4．C　【点拨】由题意得，OA＝40×1.5＝60 (km)，OB＝40×2＝ 80 (km)，AB＝100 km.∵OA2＋OB2＝AB2，∴根据勾股定理的逆定理可知，∠AOB＝90°.∵甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°.5．D　【点拨】在Rt△ABC中，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(13)＝AD，∴AD=AC=eq \r(13)，∴点D表示的数为eq \r(13)－2.6． C　【点拨】当t=0时，点P与点A重合，∴AB=15，∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2=7.5(s)，∴点P从点B运动到点C所需的时间为11.5－7.5=4(s)，∴BC=2×4=8，在Rt△ABC中，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(17).故选C.7．C　【点拨】由勾股定理得，OA2＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(12＋(\r(2))2)＝eq \r(3)，OA4＝eq \r(12＋(\r(3))2)＝eq \r(4)，OA5＝eq \r(5)，…，OAn＝eq \r(n)．∴OA3·OAn＝eq \r(3)·eq \r(n).∵eq \r(3n)是整数，1≤n≤70(n≠3)且n为整数，∴n＝12或27或48.∴符合条件的n有3个．8．A　【点拨】设斜边长为C，根据勾股定理，得c＝eq \r(a2＋b2).∵eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)ch，∴ab＝eq \r(a2＋b2)h.∴a2b2＝a2h2＋b2h2，两边同时除以a2b2h2，得eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＝eq \f(1,h2).9．B　【点拨】把圆柱侧面沿着点A所在高线展开，如图所示，作点A关于直线DM的对称点B，连接PB，则PB的长为小虫爬到蜜糖A处的最短距离，过点P作PC⊥MF于点C，根据题意，易得PC＝8 cm，BC＝6 cm，根据勾股定理得PB＝10cm.10．D　【点拨】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边长是c，则小正方形的边长是b－a，∴S1＝b2， S2＝a2.∴S1＋S2＝a2＋b2＝c2.∵正方形MNPQ的边长是2c，∴正方形MNPQ的面积＝(2c)2＝4c2.∴S1＋S2＝eq \f(1,4)S四边形MNPQ，故①正确；∵FG＝a，AF＝b－a，∴AG＝FG－AF＝a－(b－a)＝2a－b.又∵AD＝b，∴DG＝AD－AG＝b－(2a－b)＝2(b－a)．∴DG＝2AF，故②正确；∵∠EMH＝30°，∠MHE＝90°，∴易得MH＝eq \r(3)HE，即b＝eq \r(3)a.∴b2＝3a2.∴S1＝3S2，故③正确；∵A是FG的中点，∴AG＝FA.∴2a－b＝b－a.∴2b＝3a.∴4b2＝9a2.∴4S1＝9S2，故④不正确．∴正确的是①②③.二、11．5　【点拨】∵点A，B的坐标分别为(0，0)和(3，4)，∴AB＝eq \r((3－0)2＋(4－0)2)＝5.12．4　【点拨】根据题意可知，AD＝AC＝5，AP垂直平分CD，即∠AED＝90°，DE＝eq \f(1,2)CD＝3.在Rt△ABC中， AE＝eq \r(AD2－DE2)＝4．13．45　【点拨】如图，延长AP交格点于点D，连接BD，设每个小正方形的边长为1，则PD2＝12＋22＝5，BD2＝12＋22＝5，PB2＝12＋32＝10，∴PD＝BD，PD2＋DB2＝PB2.∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB＋∠PBA＝45°.14．(1)eq \f(4,81)　(2)( eq \f(\r(2),3)) eq \s\up12(4048)【点拨】(1)由题意知正方形A1B1C1D1的边长为eq \f(\r(2),3)，正方形A2B2C2D2的边长为eq \f(\r(2),3)×eq \f(\r(2),3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(2)；正方形A3B3C3D3的边长为eq \f(\r(2),3)×eq \f(\r(2),3)× eq \f(\r(2),3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(3)……∴正方形AnBnCnDn的边长为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(n)，∴正方形A4B4C4D4的边长为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(4)＝eq \f(4,81). (2)由(1)易得正方形A2024B2024C2024D2024的边长为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(2024)，∴正方形A2024B2024C2024D2024的面积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(2024)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(2024)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(4048).三、15．【解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D.∴∠BDC＝∠ADC＝90°.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°.∴CD＝BD.在Rt△BDC中，BC2＝CD2＋BD2，∴CD＝BD＝2 eq \r(2).∵∠A＝30°，∴AC＝2CD＝4eq \r(2)．∴AD＝eq \r(AC2－CD2)＝2 eq \r(6).∴AB＝BD＋AD＝2 eq \r(2)＋2 eq \r(6).16．【解】连接AC.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∵AD＝4 cm，CD＝3 cm，∴AC2＝eq \r(42＋32)＝5(cm).又∵BC＝12 cm，AB＝13 cm，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC－S△ADC＝eq \f(1,2)×5×12－eq \f(1,2)×3×4＝30－6＝24 (cm)2.四、17．【解】(1)如图①，正方形ABCD即为所求．(2)如图②，△ABC即为所求．(3)518．【解】(1)如图所示.(2)∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，AC＝2BC.∵AO＝BC，∴ AC＝2AO，∴OC＝AO＝CB，∴△BCO是等边三角形，∴OB＝OC.∵OB＝2，∴OA＝BC＝2，∴AC＝2OA＝4，∴AB＝eq \r(AC2－CB2)＝2 eq \r(3).五、19．【解】(1)CD是从村庄C到河边最近的路．在△ACD中，CA＝6.5 km，CD＝6 km，AD＝2.5 km，∵2.52＋62＝6.52，∴AD2＋CD2＝CA2.∴△ACD是直角三角形．且∠ADC＝90°.∴CD⊥AB.∴CD是从村庄C到河边最近的路．(2)设BC＝x km，则AB＝x km，∴BD＝(x－2.5)km.∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∴x2－(x－2.5)2＝62，解得x＝8.45.答：原来的路BC的长为8.45 km.20．【证明】延长ED到点G，使DG＝DE，连接FG，CG.∵D为BC的中点，∴BD＝CD.在△BDE和△CDG中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ED＝GD，,∠BDE＝∠CDG,BD＝CD，))，∴△BDE≌△CDG(SAS)．∴CG＝BE.∵∠EDF＝90°，∴FD⊥EG.∵ED＝GD，∴FG＝EF.∵BE2＋FC2＝EF2，∴CG2＋FC2＝FG2.∴△FCG是直角三角形．∴∠FCG＝90°∵△BDE≌△CDG，∴∠GCD＝∠EBD.∴AB∥CG.∴∠BAC＝90°.六、21．【解】(1)1.6；3；1【点拨】由题意得：BF＝1.6 m，BC＝3 m，DE＝0.6 m.易得CE＝BF＝1.6 m.∴CD＝CE－DE＝1.6－0.6＝1(m)．(2)∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°.设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝x m，AC＝AD－CD＝(x－1)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，即(x－1)2＋32＝x2，解得x＝5，即秋千的长度是5 m.(3)当BF＝2.6 m时，CE＝2.6 m．∵DE＝0.6 m，∴CD＝CE－DE＝2.6－0.6＝2(m)．由(2)可知，AD＝AB＝5 m，∴AC＝AD－CD＝5－2＝3(m)．在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(52－32)＝4(m)，即需要将秋千AD往前推送4 m.七、22．【解】(1)是.理由：∵AM2+BN2=1.52+22=6.25，MN2=2.52=6.25，∴AM2+NB2= MN2，∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M，N是线段AB的勾股分割点.(2)设BN=x，则MN=24－AM－BN=18－x，①当MN为最长线段时，依题意得MN2=AM2+NB2，即(18－x)= x 2+36，解得x=8.②当BN为最长线段时，依题意得BN2=AM2+MN2，即x2= 36+ (18－x)2，解得x=10，综上所述，BN=8或10.八、23．【解】(1)3.2 【点拨】∵∠A＝90°，MA＝1.6 m，AP＝1.2 m，∴PM＝eq \r(AM2＋AP2)＝eq \r(1.62＋1.22)＝2 (m)．∵PB＝PM＝2 m，∴甲房间的宽度AB＝AP＋PB＝3.2 m.(2)由题意得∠MAP＝∠PBN＝90°，∵∠MPN＝90°，∴∠APM＋∠BPN＝90°.∵∠APM＋∠AMP＝90°，∴∠AMP＝∠BPN.在△AMP与△BPN中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AMP＝∠BPN，,∠MAP＝∠PBN＝90°,MP＝PN，))，∴△AMP≌△BPN.∴PB＝MA＝2.4 m.∵PA＝eq \r(PM2－AM2)＝0.7 m，∴AB＝PA＋PB＝0.7＋2.4＝3.1 (m)．(3)①∠MPN＝180°－∠APM－∠BPN＝60°.②过N点作MA的垂线，垂足为D，连接NM.则∠MND ＝∠PAM＝90°，由①知∠MPN＝60°，∵PM＝PN，∴△MPN为等边三角形，∴MP＝MN，∠MNP＝60°，.易知DN=AB，DN// AB，∴∠DNP =∠NPB =45，∴∠MND=∠MNP－∠DNP=15°.∵∠APM = 75°，∠ PAM = 90°，∴∠AMP = 15°.∴∠MND = ∠AMP.∴△AMP≌△DNM(AAS)．∴AM＝DN.∴AB＝AM＝2.8 m，即丙房间的宽度AB是2.8 m.