第18章 勾股定理小结与复习 沪科版数学八年级下册课件

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小结与复习第18章 勾股定理要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 八年级数学下（HK） 教学课件要点梳理1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用2.勾股定理的应用条件一、勾股定理 3.勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， 二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.2.勾股数3.原命题与逆命题如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15.（1）求AB的长；（2）求BD的长．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，（2）方法一：∵S△ABC= AC•BC= AB•CD，∴20×15=25CD，∴CD=12．∴在Rt△BCD中，考点讲练方法二：设BD=x,则AD=25-x.解得x=9.∴BD=9.对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.1.Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为 （　　）A.8 B.4 C.6 D.无法计算 A3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为___________.2.如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长为______．13或5 13 4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm， c=10cm，求△ABC的面积.解：∵a+b=14，∴(a+b)2=196.又∵a2+b2=c2=100，∴2ab=196-(a2+b2)=96，∴ ab=24．例2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解：如图，设水池的水深AC为x尺， 则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得BC2+AC2=AB2,即 52+ x2= (x+1)225+ x2= x2+2x+1，2x=24，∴ x=12， x+1=13.答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.DBCA例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解析：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：①沿ABB1A1和A1 B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：解：在Rt△ABC1中，在Rt△ACC1中，在Rt△AB1C1中，∴沿路径走路径最短，最短路径长为5.化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到达建筑物的高度是______米．4在Rt△ABO中，OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，∴AB2＝22－1.42＝2.04.∵4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，答：卡车可以通过，但要小心．解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点.6.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？7.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.（1）此时快艇航行了多少米(即AB 的长)？AB60°45°C解：根据题意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.∴AC=500米，BC=OC. 在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.（2）距离哨所多少米（即OB的长） ？AB60°45°C解：在Rt△BOC中，由勾股定理得例4 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， ，2c-b=12，求△ABC的面积．解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k，∵2c-b=12，∴10k-4k=12，∴k=2，∴a=6，b=8，c=10，∵62+82=102，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的面积为 ×6×8=24．例5 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）,乙船航行的距离为BP= 30（n mile）．∵162+302=1156，342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90° ,∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．8.下列各组数中，是勾股数的为（　　）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，99.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________． (2)(4) C10.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．解：猜想∠A+∠C=180°．连接AC.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= =25cm，∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．例6 如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积.解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴ED=BE.设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9-x)2，解得x=4.∴△ABE的面积为3×4× =6(cm2). 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．11.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为 ． 1.75cm考点四 本章解题思想方法方程思想 例7 如图，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.试求△ABC的面积．解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，设DC=x，则BD=9+x，故172-(9+x)2=102-x2，解得x=6.∴AD2= AC2−CD2 = 64，∴AD=8.∴S△ABC= ×9×8=36．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.例8 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．分类讨论思想 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得 BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.例9 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π取3).解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP.则PM=8-3-2=3(cm)，QM=A1B1= ×2×π×2=6(cm)，在Rt△QMP中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路径长是 cm．转化思想 课堂小结见章末练习课后作业