第18章 勾股定理章末复习 沪科版数学八年级下册教案

章末复习

【知识与技能】

进一步理解勾股定理及其逆定理，弄清两定理之间的关系.

【过程与方法】

复习直角三角形的有关知识，形成知识体系.

【情感态度】

运用勾股定理及其逆定理解决问题.

【教学重点】

复习直角三角形的有关知识，形成知识体系.

【教学难点】

运用勾股定理及其逆定理解决问题.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】

教师引导学生回顾本章知识点，边回顾边画出本章知识框图，使学生对本章知识有一个总体把握，了解各知识点之间的联系，加深对知识点的理解，为后面的运用奠定基础.

二、释疑解惑，加深理解

1.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系.求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2.如何判定一个三角形是直角三角形

（1）先确定最大边（如c）

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系

（3）若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形.

3.勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数

如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；

（4）8，15，17;（5）7，24，25;（6）9,40,41

【教学说明】

教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾，使学生对本章知识进行进一步的理解，形成知识网络.

三、典例精析，复习新知

例1 在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=___

解：依据这个图形的基本结构，可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d，则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2

S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4

例2 如图△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长.

【分析】此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来

解:作DE⊥AB于E，

∵∠1=∠2,∠C=90°

∴DE=CD=1.5

在△BDE中，∵∠BED=90°,BE=BD2-DE2=2

∵Rt△ACD≌Rt△AED

∴AC=AE在Rt△ABC中，∠C=90°

∴AB2=AC2+BC2,(AE+EB)2=AC2+42∴AC=3

例3 如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断△ABC的形状.

【分析】要判断△ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题.

解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.

∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0.  ∴a=3，b=4，c=5.

∵32+42=52, ∴a2+b2=c2.

由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形.

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常需要用到.

例4 如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB=14AB那么△DEF是直角三角形吗？为什么？

【分析】这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑.仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB=AB可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形.

解: 设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a

在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2

同理EF2=5a2,DF2=25a2

在△DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2

∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.

例5 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

【分析】（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度.

（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程.因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校.

解:作AB⊥MN，垂足为B.

在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，

∴AB＝ AP＝80.（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）

∵点A到直线MN的距离小于100m,

∴这所中学会受到噪声的影响.

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，

由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60.

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),

∴CD＝120(m).拖拉机行驶的速度为:18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s.

答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.

【总结升华】

勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构建直角三角形以便利用勾股定理.

【教学说明】

教师出示典型例题，让学生先尝试解答，教师予以讲解，在讲解的过程中，应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.

四、复习训练，巩固提高

1.如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为_______.（2）斜边x=_______.

2.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=4,分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1,S2，则S1+S2的值等于_______.

3.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有_______个直角三角形.

4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为_______.

5.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）

6.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？

答案1.（1）36  （2）13   2. 2π   3.1    4.3

5.约22米.根据半圆柱的展开图可计算得：AE= ≈22米.

6.如图12，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知，

BC= =3000（米）.

3000÷20=150米/秒=540千米/小时.

所以飞机每小时飞行540千米.

【教学说明】

学生独立完成练习，进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.

五、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？

【教学说明】

教师引导学生对本章所学知识进行回顾与反思，对学生提出的疑问进行解答，帮助学生熟练掌握本章所学知识.

完成同步练习册中本课时的练习.

勾股定理是比较重要的知识点，它完美刻画了直角三角形中三边的关系，也是数形结合的一种重要体现，虽然它的知识点很少，但在实际应用中很广泛.

在复习时给于学生不同题目的类型，使他们能够充分了解勾股定理的重要性.通过复习，让学生对本单元所学知识系统化，加强前后各部分知识之间的联系，综合运用所学知识分析解决问题，通过对这些问题的分析解答，达到梳理本章内容，建立一定知识体系的目的.关注学生运用例子说明自己对有关知识的理解，而不是简单复述教科书上的结论.

要让学生自己绘制知识网络图，进一步体会本章所学知识之间的前后联系，并培养了学生这方面的能力.

设计的问题尽量与实际问题有联系，体现数学来于实际，又应用于生活实际.