初中数学第二章 相交线与平行线1 两条直线的位置关系授课课件ppt

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相交线与平行线对顶角余角和补角余角、补角的性质垂直的定义及垂线的画法垂线的性质
1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.2. 相交线若两条直线只有一个公共点, 我们称这两条直线为相交线. 如图2-1-1, 直线AB 与CD 相交于点O.
判断两直线相交的依据.
3. 平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如图2-1-2, 直线AB 与直线CD 平行.注意：平行线是指“两条直线”, 而不是两条线段或射线. 线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
特别解读1. 平行线必须满足三个条件：(1) 在同一平面内；(2) 不相交；(3) 两条直线. 要特别注意“在同一平面内”这一前提.2. 判断两条线段、射线之间的位置关系就是判断它们所在直线的位置关系.
下列说法中正确的是( )A. 不相交的两条直线是平行线B. 在同一平面内, 不相交的两条射线叫做平行线C. 在同一平面内, 两条直线不相交就重合D. 在同一平面内, 没有公共点的两条直线是平行线
解题秘方：紧扣相交线与平行线的定义进行识别.
解：不在同一平面内的两条不相交的直线不一定是平行线,故A 不正确；平行线是直线, 故B 不正确；在同一平面内, 两条直线的位置关系只有相交和平行两种, 故C 不正确. 故选D.
1-1. 下列说法正确的是( )A. 两条直线不相交则平行B. 两条射线不平行则相交C. 若两条线段平行，则它们不相交D. 若两条线段不相交，则它们平行
1. 定义 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，我们把这样的两个角叫做对顶角.特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个.
2. 性质 对顶角相等.特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等；(2)相等的两个角不一定是对顶角.
特别解读对顶角的位置关系和数量关系：♦位置关系：有公共顶点，两边互为反向延长线.♦数量关系：对顶角相等.
如图2-1-3，直线AE 与CD 相交于点O，OC 平分∠ AOB.
(1)请找出图中∠ 3 的对顶角；
解题秘方：根据对顶角的位置特征找对顶角；
解：∠ 3 的对顶角是∠ 2.
(2)若∠ 3=25°，求∠ 1 的度数.
解题秘方：根据对顶角的数量关系求未知角的度数.
解：由对顶角相等，得∠ 2= ∠ 3=25°.因为OC 平分∠ AOB，所以∠ 1= ∠ 2=25°.
2-1. [中考·苏州] 如图， 直线AB 与CD 相交于点O， ∠ AOC ＝75°，∠ 1 ＝ 25°，则∠ 2 的度数是( )25° 30°40° 50°
1. 补角 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.数学语言：若∠ 1+ ∠ 2=180°，就说∠ 1 是∠ 2 的补角或∠ 1 与∠ 2 互为补角，如图2-1-4.
2. 余角 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角 .数学语言：若∠ 3+ ∠ 4=90°，就说∠ 3 是∠ 4 的余角或∠ 3 与∠ 4 互为余角，如图2-1-5.
特别解读1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2. 互余、互补只与数量有关，而与位置无关，但若将直角分成两个角，则这两个角互余；若将平角分成两个角，则这两个角互补.
3. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角，一个角或三个及三个以上的角之间不存在互余或互补的关系，如∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=90°，但不能说这三个角互余.
已知一个角的补角比这个角的余角的3 倍大10°，求这个角的度数.
解题秘方：紧扣余角和补角的定义结合数量关系列方程解答.
解：设这个角为x，则这个角的补角为(180°－x)，余角为(90°－x).由题意得(180°－x)－3(90°－x)=10°，解得x=50°.所以这个角的度数为50°.
3-1. [中考· 武威] 若∠ A ＝ 40°，则∠ A 的余角的大小是(　　)A. 50° B. 60°C. 140° D. 160°
3-2. 已知∠α 与∠β互为补角， 且∠β 比∠α 的一半大15°，求∠β 的余角.
1. 性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.2. 示例：(1)如果∠ 1+ ∠ 2=180°，∠ 1+ ∠ 3=180°，那么∠ 2=∠ 3；(2)如果∠ 1+ ∠ 2=90°，∠ 3+ ∠ 4=90°，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4.
特别提醒1. “同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.2. 余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
如图2-1-6，直线AB 与∠ COD 的两边OC，OD 分别相交于点E，F，且∠ 1+ ∠ 2=180° . 请找出图中与∠ 2 相等的角，并说明理由.
解题秘方：先找出与∠ 1 和∠ 2 互补的角，然后利用互补的关系找出与∠ 2 相等的角.
解：图中与∠ 2 相等的角有∠ 3，∠ 4，∠ 6. 理由如下：因为∠ 1+ ∠ 3=180°，∠ 1+ ∠ 2=180°，所以∠ 3= ∠ 2.因为∠ 1+ ∠ 4=180°，∠ 1+ ∠ 2=180°，所以∠ 4= ∠ 2.因为∠ 2+ ∠ 5=180°，∠ 6+ ∠ 5=180°，所以∠ 2= ∠ 6.所以图中与∠ 2 相等的角有∠ 3，∠ 4，∠ 6.
4-1. 如图，点O 为直线AB 上一点，∠AOC=∠ DOE=90° .
(1)图中互余的角有几对？各是哪些？
解：因为点O 为直线AB 上一点，所以∠AOB ＝180°(平角的定义). 又因为∠AOC＝ ∠DOE ＝90°，所以∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3 ＝90°，∠3＋∠4＝∠AOB－∠AOC ＝ 90°，∠1＋∠4 ＝∠AOB － ∠DOE ＝90°. 所以图中互余的角有4 对，分别是∠1 和∠2，∠2和∠3，∠3 和∠4，∠1 和∠4.
(2)图中互补的角有几对？各是哪些？
解：因为∠AOB＝ 180°，所以∠1＋∠BOD ＝180°，∠4＋∠AOE ＝180°.由(1)可知，∠1＝∠3，∠2＝∠4，所以∠3＋∠BOD＝180°，∠2＋∠AOE ＝180°.又因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＋∠DOE ＝180°，∠DOE＋∠BOC＝180°，所以图中互补的角有7对，分别是∠1 和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC和∠BOC， ∠AOC和∠ DOE，∠DOE和∠BOC.
如图2-1-7，已知O 是直线AB 上的一点，OC 是一条射线，OD 平分∠ AOC，∠ DOE=90°，OE 平分∠ BOC 吗？为什么？
解题秘方：紧扣角平分线的定义和余角的性质说明两个角相等.
解：OE 平分∠ BOC. 理由如下：因为∠ DOE=90°，所以∠ DOC+ ∠ COE=90° .又因为∠ AOB=180°，所以∠ AOD+ ∠ BOE=90° .因为OD 平分∠ AOC，所以∠ AOD= ∠ DOC.所以∠ COE= ∠ BOE.所以OE 平分∠ BOC.
5-1. 如图，A,O,B 三点在同一条直线上，∠ DOE=90° .
(1)图中∠ AOD 的补角是_________, ∠ DOC 的余角是_______；
(2)如果OE 平分∠ BOC, ∠ DOC=36°，求∠ AOE 的度数.
解：因为∠DOC＝90°，∠DOC ＝36°，所以∠COE ＝∠DOE － ∠DOC＝54°.因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝∠COE＝54°.因为A，O，B三点在同一条直线上，所以∠AOE＝180°－∠BOE＝180°－54°＝126°.
垂直的定义及垂线的画法
1. 定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.特别解读：垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角.
特别提醒垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线.
2. 表示符号 直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”.3. 垂线的画法经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的步骤.
特别提醒：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上.
如图2-1-8，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE=40°，求∠BOD的度数.
解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质将要求的角用已知角来表示.
解：因为OE⊥AB，所以∠AOE=90°.又因为∠AOE=∠AOC+∠COE，∠COE=40°，所以∠AOC=90°－40°=50°.又因为∠AOC=∠BOD，所以∠BOD=∠AOC=50°.
6-1. [中考·孝感]如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O，若∠BOE=40°，则∠AOC的度数为( )40° 50°60° 140°
在图2-1-9中，分别过点P作AB的垂线.
解题秘方：利用三角尺和直尺根据画垂线的步骤进行操作.
解：如图2-1-10.
7-1. 如图，分别过点P作线段MN的垂线.
1. 垂线的性质(1)性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
2. 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一条线段，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度.
特别提醒1. 性质1中隐含两个关键条件：一是“同一平面内”，二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外.2. 垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段，长度可度量.
(1)如图2-1-11， 在三角形ABC 中， ∠ ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. 若AC=4 cm，BC=3 cm，AB=5 cm，则点A 到直线BC 的距离为______cm，点B 到直线AC 的距离为______ cm，点C 到直线AB 的距离为______ cm.
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上三点，PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距离( )A. 等于4 cm B. 等于2 cmC. 小于2 cm D. 不大于2 cm
解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应该不大于2 cm.
8-1. 如图, 点A 是直线l外一点, 过点A 作AB ⊥ l于点B, 在直线l 上取一点C, 连接AC, 使AC=2AB,点P 在线段BC 上, 连接AP. 若AB=3, 则线段AP的长不可能是( )A. 3.5 B. 4C. 5.5 D. 6.5