北师大版（2024）七年级下册1 两条直线的位置关系课后测评

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2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；
3．掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题．
4．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；
5．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
6．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．
知识点01 相交线
1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O
2.对顶角的概念及性质
对顶角的概念概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.性质：对顶角相等.
3.互补与互余
互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.
性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.
知识点02 垂线
1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）
2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段.
题型01 对顶角的定义
【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在下图中，，为对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．
【详解】解：根据对顶角的定义，只有B选项正确，
故选：B．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
【详解】解：A、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意；
B、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意；
C、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意；
D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意．
故选：C．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【详解】解：根据对顶角的定义：
A．和的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；
B．和的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；
C．和的两边互为反向延长线，是对顶角；
D．和的顶点不同，不是对顶角；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
题型02 利用对顶角相等求角度
【例题】（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到，然后根据平角的概念求解即可．
【详解】∵
∴
∵平分，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了对顶角相等，角平分线的概念，平角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式训练】
1．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，直线相交于点O，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据结合平角的概念得到，然后利用对顶角相等得到．
【详解】∵，
∴
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了平角的概念，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图，两直线相交于一点，若，则∠3的度数为 .
【答案】/40度
【分析】本题考查了对顶角的知识，根据，互为对顶角，且，可求得，的度数．
【详解】解：，互为对顶角，，
．
故答案为：．
题型03 求一个角的余角、补角
【例题】（2023上·四川内江·七年级统考期末）如果，那么的余角等于 ；的补角为 ．
【答案】 /65度 /155度
【分析】利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解．
【详解】解：，
的余角为：，的补角为：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了两角互余及互补的定义，牢固掌握两角互余及互补的定义，发现隐含条件：两角之和是或，并能熟练运用．
【变式训练】
1．（2023上·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）若，则的余角等于 ，的补角等于 ．
【答案】
【分析】两个角的和为，则这两个角互余，两个角的和为 则这两个角互为补角，根据互余与互补的定义求解即可.
【详解】解： ，
∠α的余角=
∠α的补角=
故答案为：，.
【点睛】本题考查的是互余与互补的含义，角的四则运算中的减法运算，掌握“互余与互补的含义”是解本题的关键.
2．（2023·全国·七年级专题练习）的余角等于 ，的补角等于 ．
【答案】
【分析】根据余角的定义和补角的定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴的余角等于；
∵，
∴的补角等于．
故答案为：；．
【点睛】本题考查余角和补角，解题的关键是明确余角和补角的定义．
题型04 垂线的定义的理解与应用
【例题】（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论中正确的是（ ）
①线段的长度是点P到直线l的距离；②线段是A点到直线的距离；③在三条线段中，最短；④线段的长度是点P到直线l的距离
A．①②③B．③④C．①③D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离及垂线段最短等知识点．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：∵于点B，
∴线段的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；
∵，
∴线段的长度是A点到直线的距离，故②错误；
根据垂线段最短，在三条线段中，最短，故③正确；
故选：C．
【变式训练】
1．（2023下·河南濮阳·七年级统考期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，则需要测量的线段是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用垂线段最短求解．
【详解】解：根据垂线段最短可得，需要测量的线段是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键．
2．（2023下·山东临沂·七年级校考阶段练习）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点到的垂线段是线段B．点到的垂线段是线段
C．线段是点D到的垂线段D．线段是点到的垂线段
【答案】C
【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、点到的垂线段是线段，正确，故此选项不符合题意；
B、点到的垂线段是线段，正确，故此选项不符合题意；
C、线段是点到的垂线段，原说法错误，故此选项符合题意；
D、线段是点到的垂线段，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫垂线段是解此题的关键．
题型05 利用垂线的定义求角的度数
【例题】（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，直线相交于点O，，且平分，若．

(1)求的度数；
(2)写出的度数是________°．
【答案】(1)
(2)27
【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义；
（1）先由垂直求出，再由平角求出，最后根据角平分线求出；
（2）由平角求出即可．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵OC平分，
∴；
（2）,
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023上·北京石景山·七年级统考期末）已知：，射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分．
(1)如图，若，求．
(2)若，直接写出的度数．（用含的式子表示）
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了角的计算，角平分线，垂直的意义．
（1）根据垂直的定义和角平分线的定义以及角的和差即可得到结论；
（2）根据垂直的定义和角平分线的定义以及角的和差即可得到结论．
【详解】（1）解：（1），
（垂直定义）．
平分，
（角平分线定义）．
，
．
，
．
（2）解：当在的内部时，
，
，
平分，
，
，
，
，
当在的外部时，
同理得，
综上所述，的度数为或．
2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，直线与相交于点F，于点F．

(1)图中与相等的角是 ，与互余的角是 ；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了垂线，余角和补角，对顶角，
（1）根据对顶角相等得出，根据余角的性质得出与互余的角是；
（2）根据邻补角的性质求出的度数，再根据垂线的定义求出的度数，即可求出的度数；
熟练掌握这些知识点是解此题的关键．
【详解】（1）∵和的对顶角，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
即与互余的角是，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型06 作垂线与求点到直线的距离
【例题】（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)画线段，画直线．
(2)过点画直线的垂线，垂足为．
(3)点到直线的距离为线段 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
（1）根据线段、直线的定义画图即可．
（2）结合网格，过点作垂直直线即可．
（3）由点到直线的距离可知，点到直线的距离为线段的长度．
【详解】（1）解：如图，线段、直线即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）点到直线的距离为线段的长度．
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，、、都在格点上．

(1)过点作直线的垂线，垂足为；
(2)过点作直线，垂足为，直线交于点；
(3)点到直线的距离等于__________个单位长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据垂线的定义作出图形即可；
（2）根据垂线的定义作出图形即可；
（3）线段的长即为点A到直线的距离．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求．

（2）解：如图，直线即为所求．

（3）解：由（1）中图可得：点A到直线的距离等于2个单位长度．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于中考常考题型．
2．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．

(1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F；
(2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
【答案】(1)图见解析
(2)，，，垂线段最短
【分析】（1）如图，找点，连接，与交点即为，过点作竖直的线，与交点即为；
（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：由题意作图如下，是的垂线，是的垂线．

（2）解：线段的长度是点P到的距离，线段的长度是点E到直线OB的距离，
由垂线段最短可知，，
故答案为：，，，垂线段最短．
【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
题型07 与对顶角、余角、补角、直角有关的综合计算问题
【例题】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，，射线将分成两个角，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，则是的平分线吗？判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)OB是的平分线，理由见解析
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义：
（1）由对顶角相等可得，再根据即可求解；
（2）由邻补角的性质求得，再由角平分线的性质求得，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
，，
；
（2）解：是．理由如下：
，
，
平分，，
，
，，
，
是的平分线．
【变式训练】
1．（2023下·陕西西安·七年级校联考阶段练习）如图，直线相交于点O，，垂足为O，

(1)求的度数．
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由垂直的定义和对顶角相等，求解即可；
（2）由角平分线的定义，邻补角的性质，即可求解．
【详解】（1）解：因为，
所以
因为，
所以．
（2）因为平分，
所以．
因为，
所以．
【点睛】本题考查了垂线，对顶角相等，邻补角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
2．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线．

(1)写出的两个补角；
(2)若，求和的度数；
(3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？
【答案】(1)
(2)
(3)垂直，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义结合邻补角的性质即可解答；
（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质解答即可；
（3）根据角平分线的定义和邻补角的性质可得，即可得出结论．
【详解】（1）∵是的平分线，
∴，
∵，
∴的两个补角为：；
（2）∵是的平分线， ，
∴，，
∴；
∵是的平分线．
∴，
即；

（3）射线与互相垂直．理由如下：
∵，分别是，的平分线，
∴，
∴；
即射线与互相垂直．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和垂直的定义，属于基础题型，熟练掌握角平分线的定义等基本知识是关键．
一、单选题
1．（2023下·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）下列图中，与是对顶角的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义判断即可．
【详解】解：A、与不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、与不是对顶角，故此选项不符合题意；
C、与不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、与是对顶角，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是关键．
2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）如图，直线相交于点，平分，若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得到，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出，根据对顶角相等求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：设，
，
，
平分，
，
，
解得，，即，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，掌握对顶角相等、邻补角之和为是解题的关键．
3．（2023下·七年级单元测试）如图，直角三角形中，，，垂足为点D，则下列说法正确的是（ ）

A．线段的长表示点C到的距离B．线段的长表示点A到的距离
C．线段的长表示点B到的距离D．线段的长表示点C到的距离
【答案】C
【分析】根据点到直线距离的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、线段的长表示点A到的距离，故A不正确，不符合题意；
B、线段的长表示点C到的距离，故B不正确，不符合题意；
C、线段的长表示点B到的距离，故C正确，符合题意；
D、线段的长表示点B到的距离，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离．
4．（2023上·贵州遵义·七年级校联考期末）如图，已知直线和相交于点O，是直角，平分，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查角平分线定义，角度的计算，余角定义，邻补角定义．根据题意先计算出，再利用角平分线性质得到，即可计算出本题答案．
【详解】解：∵是直角，，直线和相交于点O，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．（2023下·天津·七年级校考期末）已知，直线经过点O且度，则等于（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】根据垂线的定义结合题意，分在的内部时，在的外部时，求解即可．
【详解】解：当在的内部时，
∵，，
∴，
∴．
当在的外部时，
．
故选C．

【点睛】本题考查垂线的定义，邻补角互补以及角的和差关系，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
二、填空题
6．（2023上·江苏泰州·七年级期末）一个角的补角是其余角的4倍，则这个角为 °．
【答案】60
【分析】本题考查补角的概念、余角的概念和一元一次方程，设这个角为，根据补角的定义和余角的定义，列式求解即可．
【详解】解：设这个角为，
由题意得：，解得，
故答案为：60．
7．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是 米．
【答案】
【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题关键．直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是的长米．
故答案为：．
8．（2023下·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，直线与直线相交，交点为，，平分，若则的度数为 ．

【答案】
【分析】利用对顶角相等可得的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查几何图形求角度，熟练掌握对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义是解题的关键．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）同一平面内两条直线相交于点，，，垂足为，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了垂线的定义、几何图中角度的计算，分两种情况，分别计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
，
，
；
如图，
，
，
，
；
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
10．（2023下·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，直线，相交于点，，垂足为点，．

（1）的度数为 ；
（2）若平分，则的度数为 ，的度数为 ．
【答案】 /度 /度 /度
【分析】（1）根据垂直的定义得出，再由对顶角相等得出，结合图形，即可求解．
（2）由（1）及角平分线得，结合图形利用邻补角求解即可．
【详解】解：，
，
，
；
故答案为：．
（2）平分，
，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】题目主要考查角平分线及角度的计算，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键．
三、解答题
11．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O为直线上一点，，平分．
(1)求的度数；
(2)作射线，若与互余，求的度数．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查角的和差关系，余角、补角和角平分线的定义：
（1）根据补角、角平分线的定义及角的和差关系求解；
（2）根据与互余求出，分射线在内部与外部两种情况，分别计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
平分，
；
（2）解：与互余，，
，
当射线在内部时，如图：
；
当射线在外部时，如图：
，
，
综上可知，的度数为或．
12．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）如图，于点，过点作直线．

(1)已知，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据平角的定义和角的和差关系进行计算即可；
（2）根据，以及互为补角的定义可求出，再根据对顶角相等以及角的和差关系得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角、角的和差关系等知识，理解对顶角、邻补角的定义是解答此题的关键．
13．（2023下·北京怀柔·七年级统考期末）如图，在射线上有一点，请选择适当的工具作图，完成以下问题：

(1)过点作射线的垂线，垂足为点；
(2)在线段上任取一点（不与，重合），连接；
(3)在线段，，中，线段______最短，依据是__________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)，垂线段最短
【分析】（1）根据垂线的作法作图即可；
（2）根据平行线的作法作出平行线即可；
（3）根据直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；

（2）解：如图所示，线段即为所求；

（3）解：∵⟂
∴，，
理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短．
故答案为，垂线段最短．
【点睛】题目主要考查垂线、平行线的基本作法及垂线段最短的性质，理解垂线及平行线的作法是解题关键．
14．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于点O，是的平分线，且．
(1)若，则______，_______；（用含x的式子表示）
(2)求的度数；
(3)若试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)垂直，见解析
【分析】（1）根据求解即可；
（2）根据以及与互补可求出度数，最后根据对顶角的性质求解即可；
（2）根据角平分线的定义求出的度数，结合求出的度数，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴．
又∵﹐
∴．
（3）解：．
理由如下：由（2）可知，．
∵是的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．（2023上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于点O，，，
(1)图中的余角是 （把符合条件的角都填出来）
(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ；② ；③ ．
(3)①如果．那么根据可得 度．
②如果，求的度数．
【答案】(1)、、
(2)，，（答案不唯一）
(3)①；②
【分析】本题考查余角和补角的知识，有一定难度，关键是仔细地观察图形，注意不要遗漏满足条件的角．
（1）根据图形及余角的定义可得出答案；
（2）根据图形可找出三对相等角；
（3）①观察图形可知和是对顶角，由此可得出答案；②设，则，由角之间的关系可得，求解即可．
【详解】（1）根据图形可得：、、都是的余角；
（2）∵，，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵
∴，
故答案为：，，；
（3）①对顶角相等，．
②设，则，
由，，
∴，又，
所以，
解得，
即．