专题35 全国初中数学竞赛分类汇编卷（七）三角形（简单）-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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A．50°B．55°C．70°D．80°
【解答】解：连接BC．
∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD=12∠ABD+12∠ACD＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°．
故选：D．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AD为△ABC的中线，点F在边AC上（不与端点重合），BF与AD交于点E，若AF＝EF，则AE的长为（ ）
A．145B．3C．165D．4
【解答】解：过点D作DG∥AC，交BF于点G，则∠EGD＝∠EFA，
∵AD是△ABC的中线，
∴DG是△BFC的中位线，
设AF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝x，
∴DG=12（6﹣x），
∵∠EGD＝∠EFA，∠GED＝∠FEA，
∴△EDG∽△EAF，
∴EGEF=DGAF，
∵AF＝EF，
∴EG＝DG=12（6﹣x），
∴FG＝EG+EF=12（6﹣x）+x=12（6+x），
∴BF＝6+x，
∵AB＝8，AF＝x，∠BAF＝90°，
∴BF=AB2+AF2=82+x2=64+x2，
∴64+x2=6+x，
解得：x=73，
∴EG=116，EF=73，
∵AB＝8，AC＝6，∠BAC＝90°，
∴BC＝10，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD＝5，
∵△EDG∽△EAF，
∴AEED=EFEG，即AE5-AE=73116，
解得：AE=145．
故选：A．
3．在⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条直径，点E在BC上，CF⊥AE于点F．若点F三等分弦AE，⊙O的直径为12，则CF的长是（ ）
A．255B．2105C．655D．6105
【解答】解：如图，连接AC，EC．设AE交OC于点K，设EF＝a．
∵AF＝2EF，EF＝a，
∴AF＝2a，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∴∠CEA=12∠AOC＝45°，
∵CF⊥EF，
∴∠CFE＝90°，
∴∠FCE＝∠FEC＝45°，
∴CF＝EF＝a，
∴AC=a2+(2a)2=5a，
∵OA＝OC＝6，
∴AC＝62，
∴5a＝62，
∴a=6105
∴CF=6105
故选：D．
4．平面上任意一点到边长为23的等边三角形三顶点距离之和不可能的是（ ）
A．33B．6C．43D．8
【解答】解：如图，当点P为等边△ABC的中心时，PA+PB+PC＝6最小，
将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PD，
∵AP＝AD，∠PAD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴∠APD＝∠ADP＝60°，PD＝AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝23，
∵点P为等边△ABC的中心，
∴PA＝PB＝PC，
∴△PAB≌△PBC≌△PCA（SSS），
∴∠APB＝∠APC＝120°，
由旋转得：∠ADE＝∠APC＝120°，
∴∠APD+∠APB＝180°，∠ADP+∠ADP＝180°，
∴PA+PB+PC＝BP+PD+DE＝BE，即此时PA+PB+PC最小，
∵∠ABP＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AHB＝90°，
∴AH=12AC=3，
∴BH＝AH•tan∠BAC=3•tan60°＝3，
∵AE＝AC＝AB＝23，AH⊥BE，
∴BE＝2BH＝6，
在平面内任取一点P′，连接P′A，P′B，P′C，将△P′AC绕点A逆时针旋转60°得到△AD′E，
连接P′D′，
∵BP′，P′D′，D′E不在同一条直线上，
∴BP′+P′D′+D′E＞PA+PB+PC＝6，
∵（33）2＝27，62＝36，27＜36，
∴33＜6，
故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝35°，BC＝AI+AC，则∠BAC的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【解答】解：方法一：如图1，在BC上取CD＝AC，连接BI、DI，
∵CI平分∠ACB，
∴∠ACI＝∠BCI，
在△ACI与△DCI中，AC=CD∠ACI=∠BCICI=CI，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴AI＝DI，∠CAI＝∠CDI，
∵BC＝AI+AC，
∴BD＝AI，
∴BD＝DI，
∴∠IBD＝∠BID，
∴∠CDI＝∠IBD+∠BID＝2∠IBD，
又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠IBD，∠BAC＝2∠CAI，
∴∠CDI＝∠ABC，
∴∠BAC＝2∠CAI＝2∠CDI＝2∠ABC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝35°×2＝70°；
方法二：如图2，延长CA到D，使AD＝AI，
∴∠D＝∠AID，
∵BC＝AI+AC，
∴BC＝CD，
在△BCI与△DCI中，BC=CD∠BCI=∠DCICI=CI，
∴△BCI≌△DCI（SAS），
∴∠D＝∠CBI，
∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBI，
又∵∠CAI＝∠D+∠AID＝2∠D，
∠BAC＝2∠CAI＝2∠ABC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝2×35°＝70°．
故选：B．
6．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 26 m的路程．
【解答】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24m，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24m，宽AD＝10m，
∴AC=AB2+BC2=242+102=676=26m，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．
故答案为：26m．
7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．AB ＝ BC（填＝、＞或＜号），当BE⊥AD于E时，BE、AE、CD数量之间等量关系是 BE＝AE+CD ．
【解答】解：连接AC．
∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2．
∵AD2+CD2＝2AB2，
∴AB2+BC2＝2AB2，
∴BC2＝AB2，
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB＝BC；
过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD＝EF．
∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴∠AEB=∠BFC∠BAE=∠CBFAB=BC，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE＝BF．
∴BE＝BF+EF＝AE+CD，
故答案为：＝，BE＝AE+CD．
8．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，则∠DFE＝ 39° ．
【解答】解：连接BD、AE，
∵DA⊥AB，FC⊥AB，
∴∠DAB＝∠BCF＝90°，
在△DAB和△BCF中，
DA=BC∠DAB=∠BCFAB=FC，
∴△DAB≌△BCF（SAS），
∴BD＝BF，∠ADB＝∠ABF，
∴∠BDF＝∠BFD，
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADB+∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝∠ABD+∠ABF＝90°，
∴∠BFD＝∠BDF＝45°，
同理∠AFE＝45°，
∴∠DFE＝45°+45°﹣51°＝39°，
故答案为：39°．
9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）．
（1）求AB的长，过点P作PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用t表示）；
（2）求△OPQ面积S（cm2）与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）若点P运动速度不变，改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值．
【解答】解：（1）∵OA＝3cm，OB＝4cm，
∴AB=OA2+OB2=32+42=5cm．
∵PM⊥OA于M，∠AOB＝90°，
∴PM∥OB，
∵△APM∽△ABO，
∴MPAP=OBAB=AMAO，
∴MP=45t，AM=3t5，
∴P（45t，3-35t）．
（2）如图：
过点P作PN⊥OQ于点N，则PN＝3-3t5，
S=12OQ•PN
=12t（3-3t5）=-310t2+32t，
∵a=-310＜0，
∴当t=-b2a=52时，S有最大值，且S最大值=158．
（3）△OPQ能成为直角三角形．
∵∠POQ＜90°，OQ＝t＞ON，∠OQP＜90°，
∴只有∠OPQ可能是90°，
当∠OPQ＝90°时，
△OPN∽△PQN，
∴PNON=NQPN，
∴PN2＝ON•NQ
即：(3-3t5)2=45t×t5，
解得：t1＝3，t2＝15，
∵OB＝4＜15，
∴t＝3．
（4）要使△OPQ为正三角形，
则OQ＝2ON=85t，
∴Q点的速度为85cm/s，
此时3-35t=85t•32，
解得t=203-1513．
故Q点运动的速度为85cm/s时，t的值为203-1513．
10．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝x°，∠BAD＝y°．
（1）当D为边BC上一点，并且CD＝AB，x＝40，y＝30时，求证：AB＝AC．
（2）若CD＝CA＝AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围．（不写解答过程，直接写出结果）
【解答】（1）证明：如图，在BC上取点E，使BE＝CD＝AB，连接AE，
则∠AEB＝∠EAB=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AEB＝∠ADE＝70°，
∴AD＝AE，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣70°＝110°，
∵BD＝BE﹣DE，CE＝CD﹣DE，
∴BD＝EC，
在△ADB和△AEC中，AD=AE∠ADB=∠AECBD=CE
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AB＝AC．
（2）解：①当点D在边BC上时，
∵∠ABC＝x°，CA＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝x°，
∵CD＝CA，
∴∠ADC＝∠CAD=180°-∠C2=90°-12x°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴90-12x＝x+y，
即：y=-32x+90（0＜x≤60）（取等号时B、D重合）
②当点D在BC的延长线上时，
如图1，∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝x°，
∵AC＝CD，
∴∠ACB＝2∠D，
∴∠D=12∠ACB=12x°，
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠D＝180°，
∴x+y+12x＝180，
即：y=-32x+180，（0＜x＜90）
③当点D在CB延长线上时，如图2，
∵∠BAD＝y°，∠ABC＝x°，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝x°﹣y°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝x°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D＝x°﹣y°，
在△ACD中，∠D+∠C+∠CAD＝180°，
∴x﹣y+x+x﹣y＝180，
∴3x﹣2y＝180，
∴y=32x﹣90（60＜x＜90）（取等号时B、D重合）．
11．如图，在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，M是CD的中点，BM＝EM，求证：∠BAC＝∠EAD．
【解答】解：分别取AC、AD的中点F、G，再连接BF、MF、MG、EG，
∵F是AC中点，∠ABC＝90°，
∴BF=12AC，
又∵MG是△ACD的中位线，
∴MG=12AC，
∴BF＝MG，
同理GE＝MF，
又∵BM＝EM，
∴△BFM≌△MGE，
∴∠BFM＝∠MGE，
∵∠CFM＝∠CAD＝∠DGM，
∴∠BFC＝∠EGD，
∴∠BAF+∠ABF＝∠GAE+∠AEG，
∵AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
同理∠GAE＝∠AEG，
∴2∠BAF＝2∠EAG，
即∠BAC＝∠EAD．
12．（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
【解答】解：（1）如图①，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∠ADB=∠CFA∠ABD=∠CAFAB=AC，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∠ABE=∠CAFAB=AC∠BAE=∠ACF，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积是：13×15＝5，
由（2）中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5．
13．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
14．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD．AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何．
【解答】（1）证明：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC＝∠BFC＝∠BEC＝∠BEA＝90°
∴∠BAC+∠ACF＝90°，∠BAC+∠ABE＝90°，∠G+∠GAF＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF．
在△ABD和△GCA中，
BD=AC∠ABE=∠ACFAB=CG，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD＝GA，
（2）结论：AG⊥AD．
理由：∵△ABD≌△GCA（SAS），
∴∠BAD＝∠G，
∴∠BAD+∠GAF＝90°，
∴AG⊥AD．