专题33 三角形的四心-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

这是一份专题33 三角形的四心-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用），文件包含专题33三角形的四心-初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练原卷版docx、专题33三角形的四心-初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
【学霸笔记】
1.三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心。
如图，设O是ABC的外心，则：
（1）OA=OB=OC.
（2）∠BOC=2∠BAC；∠AOC=2∠ABC；∠AOB=2∠ACB.
【典例】如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE．
求证：
（1）AB＝AF；
（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
【解答】证明：（1）∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC
＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE，
而∠F＝60°﹣∠ACF，
因为∠ACF＝∠ADE，
所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF．
（2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD，
又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
所以∠ABD＝∠AEB，
所以AB＝AE．
∵AB＝AF，
∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
【巩固】已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，弦CE⊥AB于点F，C是AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q，求证：点P是△ACQ的外心．
二、三角形的内心
【学霸笔记】
三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心，
如图，设I是ABC的内心，则：
（1）I到三角形各边距离相等；
（2）
【典例】已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）．
求证：F为△CDE的内心．
【解答】证明：如图，连DF，则由已知，
∵∠CDF＝∠CAB＝45°=12∠CDE，
∴DF为∠CDE的平分线，
连BD、CF，由CD＝CB，知∠FBD＝∠CBD﹣45°＝∠CDB﹣45°＝∠FDB，
得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，
从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．
∵F是△CDE上两条角平分线的交点，
∴就是△CDE的内心．
【巩固】已知M是△ABC内一点，且∠BMC＝90°+12∠BAC，又直线经过△BMC的外接圆的圆心O，试证明：点M是△ABC内切圆的圆心．
三、三角形的垂心
【学霸笔记】
三角形三边高所在直线的交点叫三角形的垂心，
如图，设H是△ABC的垂心，则：
（）AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB.
（2）A,F,H,E；B,D,H,F；C,E,H,D；B，C,E,F；C,A,F,D；A,B,D,E共六组四点共圆。
【典例】如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点．
【解答】证明：如图，延长AP交⊙O2于点Q，
连接AH，BD，QB，QC，QH．
因为AB为⊙O1的直径，
所以∠ADB＝∠BDQ＝90°．（5分）
故BQ为⊙O2的直径．
于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10分）
又因为点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．
所以AH∥CQ，AC∥HQ，
四边形ACQH为平行四边形．（15分）
所以点P为CH的中点．（20分）
【巩固】
如图，已知AB为⊙O的弦，点M为AB的中点，P为⊙O上任意一点，以点P为圆心、2MO为半径作圆交⊙O于C，D两点，AC，BD交于点Q．
（1）求证：点Q是△PAB的垂心；
（2）判断点Q是否在⊙P上，并证明你的结论．
四、三角形的重心
【学霸笔记】
三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。
如图，设G是ABC的重心，则：
（1）；
（2）.
【典例】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm、BC＝8cm，点I为△ABC的重心，HI⊥BC于点H，求HI的长．
【解答】解：∵点I为△ABC的重心，
∴BI=23BD，CD=12AC＝3cm．
∵∠ACB＝90°，HI⊥BC，
∴AC⊥BC，
∴HI∥AC，
∴△BIH∽△BDC，
∴HICD=BIBD，
HI3=23，
∴HI＝2cm．
【巩固】
证明：三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的2倍．
把条件改写一下：已知AD、BE为△ABC的两高线，其交点为H，OM、ON分别为BC、CA的中垂线且交于O．须证：AH＝2OM，BH＝2ON．
巩固练习
1．如图，是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心？（ ）
A．△ABDB．△BCDC．△ACDD．△ADE
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，内切圆⊙I切AC、BC于E、F，射线BI、AI交直线EF于点M、N，设S△AIB＝S1，S△MIN＝S2，则S1S2的值为（ ）
A．32B．2C．52D．3
3．如图，O是△ABC的外接圆的圆心，∠ABC＝60°，BF，CE分别是AC，AB边上的高且交于点H，CE交⊙O于M，D，G分别在边BC，AB上，且BD＝BH，BG＝BO，下列结论：①∠ABO＝∠HBC；②AB•BC＝2BF•BH；③BM＝BD；④△GBD为等边三角形，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④
4．三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心．三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点．三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系．当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一，称作正三角形的中心．如图，H是△ABC的垂心，AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于D、E、F，则H是△DEF的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
5．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于 ．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC＝2，AC＝3，则AE•EB＝ ．
7．如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC，△ACD、△BCD的角平分线的交点，
求证：（1）O1O⊥CO2；（2）OC＝O1O2．
8．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：1AD+1BE+1CF=2R．
9．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比，面积比就有一些“漂亮”的结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图①），连结AO并延长交BC于点D，求证：AOAD=23；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图②），O是AD上一点，且满足AOAD=23，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，I是内心，BI的延长线交AC于点D，过A、B、D三点作⊙O交BC于E点．
求证：BC＝BD+AD．