专题34 三角函数-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC=12AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是 ．
【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB+∠EAD＝90°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴△ABC∽△DAB，
∴ABDA=BCAB，
∵BC=12AD，
∴AD＝2BC，
∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，
∴AB=2BC，
在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB=22；
故答案为：22．
【巩固】如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，求tan∠CAD的值．
【解答】解：如图，作CE⊥AD，
∴∠CED＝90°
又∵∠BAD＝90°，∠ADB＝∠CDE
∴△CDE∽△BDA，
∵DC=12BD
∴CEAB=DEAD=CDBD=12，
∵tan B=53，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∴CE=32x，DE=52x，
∴tan∠CAD=ECAE=15．
二、三角函数在四边形中的应用
【典例】如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cs∠AEF的值是（ ）
A．12B．1C．22D．32
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，
∵FC＝2BF，
∴BF＝1，FC＝2，
∴AB＝FC，
∵E是CD的中点，
∴CE=12CD＝1，
∴BF＝CE，
在△ABF和△FCE中，
AB=FC∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，
∵∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CFE+∠AFB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣90°＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
∴cs∠AEF=22；
故选：C．
【巩固】如图，正方形ABCD的边长为32，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝ ．
【解答】解：延长CA使AF＝AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠BAF＝135°，
∵AE⊥AC，
∴∠BAE＝135°，
∴∠BAF＝∠BAE，
∵在△BAF和△BAE中，
BA=BA∠BAF=∠BAEAE=AF，
∴△BAF≌△BAE（SAS），
∴∠E＝∠F，
∵正方形ABCD的边长为32，
∴AC=2AB＝6，
∵四边形ABCD是正方形，BG⊥AC，
∴G是AC的中点，
∴BG＝AG＝3，
∴FG＝AG+AF＝3+1＝4
在Rt△BGF中，
tanF=BGFG=34，
即tanE=34．
故答案为34．
三、圆中的三角形相似
【典例】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC＝6，sin∠BAC=35，求AC和CD的长．
【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴A、O在线段BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴AO平分∠BAC；
（2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示：
则CE是⊙O的直径，
∴∠EBC＝90°，BC⊥BE，
∵∠E＝∠BAC，
∴sinE＝sin∠BAC，
∴BCCE=35，
∴CE=53BC＝10，
∴BE=CE2-BC2=8，OA＝OE=12CE＝5，
∵AH⊥BC，
∴BE∥OA，
∴OABE=ODDE，即58=OD5-OD，
解得：OD=2513，
∴CD＝5+2513=9013，
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，
∴OH是△CEB的中位线，
∴OH=12BE＝4，CH=12BC＝3，
∴AH＝5+4＝9，
在Rt△ACH中，AC=AH2+CH2=92+32=310．
【巩固】
如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝10，AC＝8，求tan∠DCE的值．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°．
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠OCE＝90°．
∴OC∥AE．
∴∠OCA＝∠CAD．
∴∠CAD＝∠BAC．
∴DC=BC．
∴DC＝BC．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴BC=AB2-AC2=6．
∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC．
∴ECBC=ACAB．
∴EC6=810，
∴EC=245，
∵DC＝BC＝6，
∴ED=DC2-CE2=62-(245)2=185，
∴tan∠DCE=EDEC=185245=34．
巩固练习
1．如图，在网格中．小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）
A．31010B．22C．55D．1010
【解答】解：过A作BO的垂线，交OB的延长线于点C，由网格中的等腰直角三角形可知∠ACO＝90°．
则AC=12+12=2，
AO=22+42=25，
∴在Rt△AOC中，sin∠AOB=ACAO=225=1010．
故选：D．
2．下列计算错误的个数是（ ）
①sin60°﹣sin30°＝sin30°；
②sin245°+cs245°＝1；
③(tan60°)2=13；
④tan30°=cs30°sin30°．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：sin60°﹣sin30°=32-12=3-12，而sin30°=12，因此①是错误的；
sin245°+cs245°＝（22）2+（22）2＝1，因此②是正确的；
（tan60°）2＝（3）2＝3，因此③是错误的；
tan30°=33，cs30°sin30°=3212=3，因此④是错误的；
综上所述，错误的有①③④，共3个，
故选：C．
3．在△ABC中，sinA＝cs（90°﹣C）=22，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
【解答】解：∵sinA＝cs（90°﹣C）=22，
∴∠A＝45°，90°﹣∠C＝45°，
即∠A＝45°，∠C＝45°，
∴∠B＝90°，
即△ABC为直角三角形，
故选：B．
4．如图，半径为1的⊙O中，BC，AC为弦，D，N为BC三等分点，M为AD的中点，则sin∠ACB的值可表示为（ ）
A．DNB．DMC．BDD．MN
【解答】解：连接AB，连接AO并延长交⊙O于E点，连接BE，
∴AE为直径，∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB．
∴sin∠ACB＝sin∠AEB=ABAE=2MN2=MN．
故选：D．
5．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，连接AB，BC，CD，AE，线段AE的延长线交BC于点F，则tan∠AFB的值（ ）
A．12B．33C．49D．14
【解答】解：如图，取格点M，N，连接MC和BM，
∵AM∥EC，AM＝EC＝1，
∴四边形AMCE为平行四边形，
∴AF∥MC，
∴∠AFB＝∠MCB，
∵tan∠ABM=AMAB=14，tan∠CMN=CNMN=28=14，
∴∠ABM＝∠CMN，
∵∠ABM+∠AMB＝90°，
∴∠CMN+∠AMB＝90°，
∴∠BMC＝90°，
∴tan∠AFB＝tan∠BCM=BMCM=42+1282+22=12．
故选：A．
6．已知sinα+csα=75，0°＜α＜45°，则tanα＝（ ）
A．34B．43C．34或43D．35
【解答】解：设直角三角形中，锐角α所对的边为a，邻边为b，斜边为c，
则sinα=ac，csα=bc，tanα=ab，
因为sinα+csα=75，即ac+bc=75，
所以a+bc=75，
设c＝5k，则a+b＝7k，由勾股定理可得，a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k，
因为0°＜α＜45°，
所以tanα=ab=34，
故选：A．
7．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2B．5C．3D．6
【解答】解：如图：连接BE，
，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF=12CD，BF=12BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF=12CF=12BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF=BFPF=2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故选：A．
8．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cs（﹣x）＝csx，sin（x+y）＝sinx•csy+csx•siny．据此判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cs（﹣60°）＝﹣cs60°=-12
②sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cs45°+cs30°•sin45°=6+24
③sin2x＝sin（x+x）＝sinx•csx+csx•sinx＝2sinx•csx；
④sin（x﹣y）＝sinx•csy﹣csx•siny．
【解答】解：∵cs（﹣x）＝csx，∴cs（﹣60°）＝cs60°=12，故①错误，
∵sin（x+y）＝sinx•csy+csx•siny，∴sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cs45°+cs30°•sin45°=6+24，故②正确，
∵sin（x+y）＝sinx•csy+csx•siny，∴sin2x＝sin（x+x）＝sinx•csx+csx•sinx＝2sinx•csx，故③正确，
∵sin（﹣x）＝﹣sinx，cs（﹣x）＝csx，sin（x+y）＝sinx•csy+csx•siny，
∴sin（x﹣y）＝sin[x+（﹣y）]＝sinxcs（﹣y）+csxsin（﹣y）＝sinxcsy﹣csxsiny，故④正确，
故答案为：②③④．
9．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcsθ﹣c＝0；②acsθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： ．
【解答】解：由①得 asinθ+bcsθ＝c，
两边平方，a2sin2θ+b2cs2θ+2absinθcsθ＝c2③
由②得 acsθ﹣bsinθ＝﹣d，
两边平方，a2cs2θ+b2sin2θ﹣2absinθcsθ＝d2④
③+④得
a2（sin2θ+cs2θ）+b2（sin2θ+cs2θ）＝c2+d2
∴a2+b2＝c2+d2．
故答案为：a2+b2＝c2+d2．
10．如图，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．
（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．
（2）若cs∠C=45，DF＝3，求⊙O的半径．
（3）在（1）的条件下，猜测线段AE、BE、CN、CB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想．
【解答】（1）证明：∵弦CD⊥AB，M是AD的中点，
∴MA＝ME，
∴∠A＝∠AEM，
而∠AEM＝∠BEN，∠ADE＝∠EBN，
∴∠BEN+∠EBN＝∠A+∠ADE＝90°，
∴∠ENB＝90°，
∴MN⊥BC；
（2）解：连BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵FB为⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∴Rt△FBD∽Rt△FAB，
∴FB：AF＝DF：BF，即FB2＝FD•FA，
∵∠A＝∠C，cs∠C=45，
∴cs∠A=45，
在Rt△ABF中，cs∠A=ABAF=45，不妨设AB＝4x，则AF＝5x，
∴BF=(5x)2-(4x)2=3x，
∴（3x）2＝3•5x，解得x1=53，x2＝0
∴x=53，
∴AB＝4x=203，
∴⊙O的半径为103；
（3）解：线段AE、BE、CN、CB之间的数量关系为AE•BE＝CN•CB．理由如下：
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，∠AED＝90°，
而∠ADB＝90°，
∴∠A＝∠EDB，
∴Rt△AED∽Rt△DEB，
∴AE：DE＝DE：BE，即DE2＝AE•BE①，
又∵∠CEB＝∠CNE＝90°，
∴Rt△CEB∽Rt△CNE，
∴CE：CN＝CB：CE，即CE2＝CN•CB②，
由①②得AE•BE＝CN•CB．
11．如图，已知在△ABC中，D是AB中点，DC⊥AC，cs∠DCB=45，求sinA．
【解答】解：如图过点D作DE∥AC交BC于E，
由cs∠DCB=CDCE=45，
设CD＝4x，则CE＝5x，DE＝3x，
∵点D是AB中点，DE∥AC，
∴AC＝2DE＝6x，
在RT△ACD中，AD=AC2+CD2=213x，
故可得sinA=CDAD=21313．
12．已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E．
（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长；
（2）若BD＝AB，且tan∠HDB=34，求DE的长．
【解答】解：（1）∵△ABD是等边三角形，AB＝10，
∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10，
∵DH⊥AB，
∴AH=12AB＝5，
∴DH=AD2-AH2=102-52=53，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，即∠AEH＝45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴EH＝AH＝5，
∴DE＝DH﹣EH=53-5；
（2）∵DH⊥AB，且tan∠HDB=34，
∴可设BH＝3k，则DH＝4k，
∴根据勾股定理得：DB＝5k，
∵BD＝AB＝10，
∴5k＝10解得：k＝2，
∴DH＝8，BH＝6，AH＝4，
又∵EH＝AH＝4，
∴DE＝DH﹣EH＝4．
13．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan∠ADC＝2．
（1）求证：DC＝BC；
（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当BE：CE＝1：2，∠BEC＝135°时，求sin∠BFE的值．
【解答】（1）证明：过A作DC的垂线AM交DC于M，则AM＝BC＝2．
又tan∠ADC＝2，
∴DM=22=1，
即DC＝BC；
（2）解：等腰直角三角形．
证明：因为DE＝BF，∠EDC＝∠FBC，DC＝BC，
∴△DEC≌△BFC，
∴CE＝CF，∠ECD＝∠FCB，
∴∠ECF＝∠FCB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE＝∠BCD＝90°，
即△ECF是等腰直角三角形；
（3）解：设BE＝k，则CE＝CF＝2k，
∴EF＝22k，
∵∠BEC＝135°，又∠CEF＝45°，
∴∠BEF＝90°，
所以BF=k2+(22k)2=3k，
所以sin∠BFE=k3k=13．
14．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM＝DC＝12．
∵QB＝16﹣t，
∴S=12×12×（16﹣t）＝96﹣6t（0≤t＜16）；
（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t．
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ＝BQ．
在Rt△PMQ中，PQ2＝t2+122，
由PQ2＝BQ2得t2+122＝（16﹣t）2，
解得t=72；
②若BP＝BQ．
在Rt△PMB中，BP2＝（16﹣2t）2+122．
由BP2＝BQ2得：（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2
即3t2﹣32t+144＝0．
由于△＝﹣704＜0，
∴3t2﹣32t+144＝0无解，
∴PB≠BQ．
③若PB＝PQ．
由PB2＝PQ2，得t2+122＝（16﹣2t）2+122
整理，得3t2﹣64t+256＝0．
解得t1=163，t2＝16（舍去）
综合上面的讨论可知：当t=72秒或t=163秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
（3）如图，由△OAP∽△OBQ，得APBQ=AOOB=12．
∵AP＝2t﹣21，BQ＝16﹣t，
∴2（2t﹣21）＝16﹣t．
∴t=585．
过点Q作QE⊥AD，垂足为E．
∵PD＝2t，ED＝QC＝t，
∴PE＝t．
在Rt△PEQ中，tan∠QPE=QEPE=12t=3029．
又∵AD∥BC，
∴∠BQP＝∠QPE，
∴tan∠BQP=3029；
（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD．
如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．
∵AD∥BC
∴∠BQF＝∠EPQ，
又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ＝∠C＝90°，
∴∠BQF＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠EPQ，
又∵∠C＝∠PEQ＝90°，
∴Rt△BDC∽Rt△QPE，
∴DCBC=PEEQ，即1216=t12．
解得t＝9．
所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD．