人教A版 (2019)8.3 简单几何体的表面积与体积教学设计

这是一份人教A版 (2019)8.3 简单几何体的表面积与体积教学设计，共12页。


教学基本信息
课题
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名： 普通高中教科书数学A版必修第二册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年8月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
1. 通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积与体积的公式及求法；
2.掌握与多面体相关的简单几何体的表面积与体积的求法，并能解决一些有关的实际问题；
3.通过学习逐步培养学生的转化、类比、一般化与特殊化等思想方法；提高逻辑推理、直观想象等素养和空间想象等能力.
教学重点: 棱柱、棱锥和棱台的表面积与体积公式及求法；
教学难点: 实际问题中与多面体相关的简单组合体的表面积与体积的求法.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习引入
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，先复习下空间几何体的分类：
前面我们学习了棱柱、棱锥、棱台的概念，大家还记得它们的结构特征吗？
1.棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面．两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点
2.棱锥的定义：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面，棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
3.棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.
本节进一步认识简单几何体的表面积和体积..今天我们首先学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积.
温故知新，通过对前面所学知识的梳理，明确研究对象：棱柱、棱锥、棱台的结构特征，为学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积做好知识准备.

棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.表面积的定义：表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小.
思考：在初中，我们已经学习了长方体的表面积，以及它的展开图，你知道长方体的展开图与其表面积的关系吗？
长方体是由多个平面图形围成的多面体，它的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.
通过长方体的研究我们可知：要研究空间几何体的表面积，我们可以把几何体的表面展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求空间几何体的表面积．这样就可以将空间问题转化为我们熟悉的平面问题.
探究： 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成多面体，它们的侧面展开图是什么？如何计算他们的表面积.
（1）棱柱的侧面展开图
棱柱的侧面展开图是由若干个平行四边形组成的平面图形.棱柱的表面积等于上、下底面和侧面积的和.
（2）棱锥的侧面展开图

棱锥的侧面展开图是由若干个三角形组成的平面图形.棱锥的表面积等于底面和侧面积的和.
（3）棱台的侧面展开图
棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的平面图形. 棱台的表面积等于上、下底面和侧面积的和.
注意：对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
例题 如图，四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积.
分析：因为四面体P-ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.
解：因为△PBC是正三角形，其边长为a，所以.因此，四面体P-ABC的表面积 .
例题 正四棱台的上、下底面边长分别是4cm和8cm，侧棱长是8cm，求它的表面积.
分析：正四棱台的上下底面均为正方形，侧面是由四个等腰梯形组成的图形.
解：因为上底面A1B1C1D1和下底面ABCD为正方形，所以
S上底=4×4=16(cm2)，S下底=8×8=64(cm2)
因为正四棱台四个侧面是全等的等腰梯形,
在等腰梯形A1B1BA中，过A1作A1 E⊥AB交AB于点E .
二. 棱柱、棱锥和棱台的体积
1.体积的定义：体积是几何体所占空间的大小.
思考：同一摞书，当改变摆放书的形式时，这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？
我们发现：虽然几何形状发生了变化，但高度没变，每页纸的面积没变，体积没变.
我国古代对几何体的体积研究，取得了光辉的成就，并建立了完整的理论体系.这个理论的基础是：
祖暅原理：幂势既同，则积不容异.
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等.
1.棱柱的体积：
我们注意到棱柱被平行与底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面积一定等于底面面积，从而由祖暅原理可知，
底面面积相等，高相等的两个棱柱，体积相等.
我们在小学和初中已经学过特殊的棱柱——长方体的体积公式,它的体积公式等于底面面积乘以高：
，S，h分别是长方体的底面积和高.
那么由长方体体积的算法，可以推出求其它棱柱体积的算法.
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积公式为：
.
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
2.棱锥的体积
由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱锥，体积相等.那么如果棱锥的底面积是S，高为h，则棱锥的体积公式为？
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系：
将这个三棱柱分割成3个三棱锥.其中三棱锥1，2的底面积相等，高也相等，三棱锥2，3的底面积相等，高也相等.因此这3个三棱锥体积相等，每个三棱锥的体积都是.
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积：
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
3.棱台的体积
因为棱台可看成棱锥截去一个小锥体得到，所以棱台的体积可以通过计算棱锥的体积之差来得到：
如果棱台的上、下底面面积分别为 S′， S，高为h，
将四棱台看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥P-A ′ B ′ C ′ D ′ 所得到的，设两个棱锥的高分别为PO与PO ′ ．
从而可知棱台的体积为
结论：一般地，如果棱台的上、下底面面积分别为S’， S高为h，则棱台的体积计算公式
其中，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.
棱台的高是指指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
思考：观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式：
（ S为底面面积，h为高）
（S为底面面积，h为高）
（S’，S分别为上、下底面面积，h为高）
它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
我们发现：当棱台的上底面扩大到和下底面相等时就变成了棱柱；当棱台的上底面缩小到一个点时，就变成了棱锥.
例题 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3）?
分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.
解：由题意知，
所以这个漏斗的容积
例题 已知直三棱柱ABC-A ′B ′C ′，底面ABC的一边长BC为2cm，另两边长为3cm，侧棱长为4cm，求它的侧面积和体积.
分析：由直三棱柱的结构特征可知：三个侧面都是矩形；侧棱长等于高.
例题 如图，将一个长方体ABCD-A ′ B ′ C ′ D ′沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥B-A ′ B ′ C ′，求棱锥B-A ′ B ′ C ′的体积与剩下的几何体体积的比.
分析：需要分别求出长方体ABCD-A ′B ′C ′ D ′ 和棱锥B-A ′ B ′ C ′的体积.
例题 正四棱锥底面边长为4cm，高与斜高的夹角是30，求正四棱锥的表面积和体积.
分析：首先需要计算正四棱锥的高与斜高的值，然后利用公式计算底面面积和侧面面积以及体积.
解：根据正四棱锥的定义可知：取正方形ABCD的中心O，则PO为正四棱锥的高.取BC的中点E，则PE为正四棱锥的斜高.
因为正四棱锥的底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形.所以S底面 = 4×4=16(cm2)，
从学生熟悉的长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系。
目的有两个：一是复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；二是介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.
通过对棱柱、棱锥、棱台的展开图的研究，使学生理解
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
通过两道例题的分析，使学生了解
要计算棱柱、棱锥、棱台的表面积，首先是要弄清楚几何体的结构特征，它的每个面是哪个平面图形.求棱柱、棱锥、棱台的表面积转化为求平面三角形、四边形、多边形的面积.
在教学中渗透转化的思想.
从学生熟悉的情景出发，引出学生对几何体体积问题的思考.
通过对祖暅原理的学习，使学生了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，激发学生热爱科学，提高学习数学的兴趣.
利用祖暅原理对棱柱、棱锥和棱台体积公式的推导，培养学生的逻辑推理素养和论证能力.
用分割法对棱锥体积公式的推导，培养学生的逻辑推理素养和论证能力.
在推导过程中渗透等体积法的思想方法.
棱台的体积公式的推导过程要注意
对学生的逻辑推理素养和论证能力的培养.
在给出棱柱、棱锥、棱台的体积公式后，让学生思考它们之间的关系，培养学生思考、归纳、总结等数学学习习惯和能力.
引导学生用运动变化的观点研究棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系.
通过例3的分析使学生知道求组合体的体积时，要注意组合体的结构特征，先分解成我们熟悉的简单几何体（如棱柱、棱锥、棱台等），再根据每个简单几何体的体积公式来计算.
使学生感受简单几何体和它们的组合体的表面积和体积的求法，以及应用公式解决简单实际问题的一般过程和方法
巩固掌握多面体的表面积和体积的求法.提醒同学注意分析直三棱柱的结构特征来求. 表面积和体积.可直接利用公式法计算.
本题是几何体的分割问题，解答时可先求出整个长方体的体积，再求出截下的三棱锥的体积，从而求出剩余部分的体积.在求几何体的体积时，必须先确定底面积和高，然后运用体积公式，应注意到平面图形的应用；而对于组合体，可采用“割补法”转化为简单几何体求解往往会取到更佳的效果.
要计算正四棱锥的表面积和体积关键是要弄清楚：底面面积是正方形，侧面是四个全等的等腰三角形，利用平面直角三角形求出正四棱锥的高和斜高，然后再利用表面积和体积计算公式求出表面积和体积.
总结
本节课所学内容：
一是会求棱柱、棱锥、棱台的表面积;我们知道计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
二是会求棱柱、棱锥、棱台以及组合体的体积
（ S为底面面积，h为高）
（S为底面面积，h为高）
（S’，S分别为上、下底面面积，h为高）
求它们的体积关键是找到相应的底面面积与高.
三是总结求空间几何体体积常用的几种方法：
公式法：直接根据相关的体积公式计算.
等积法：根据体积计算公式，通过转化空间几何体的底面和高，使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等.
割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.
通过教师提出问题，教师和学生共同梳理本节所学的主要知识，以及涉及的数学思想方法.
培养学生思考、归纳、总结等数学学习习惯和能力.
作业
1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？
2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.那么当底面ABC水平放置时，水面高为多少？
巩固、复习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的求法.