人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用第一课时同步测试题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用第一课时同步测试题，共6页。试卷主要包含了函数y＝eq \f的导数y′＝，求下列函数的导数，答案等内容，欢迎下载使用。
A．eq \f(－sinx＋xsinx,（1－x）2)
B．eq \f(xsinx－sinx－csx,（1－x）2)
C．eq \f(csx－sinx＋xsinx,（1－x）2)
D．eq \f(csx－sinx＋xsinx,1－x)
2．已知函数f(x)＝xex＋ax，若f′(0)＝2，则实数a＝( )
A．－1B．0
C．1D．2
3．曲线f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(3π,4)
C．eq \f(π,4)D．eq \f(π,3)
4．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sinx
(2)y＝lnx＋eq \f(1,x)
(3)y＝eq \f(csx,ex)
(4)y＝x－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)
5．已知f(x)＝x(x＋lnx)，则f(x)在x＝1处的切线方程是________．
6．求过点M(1，1)且与曲线f(x)＝x3＋1相切的直线方程．
7.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ex，则f′(2)＝( )
A．－2B．eq \f(e2,2)－2
C．－eq \f(e2,2)D．－eq \f(e2,2)－2
8.已知曲线y＝f(x)在点x＝0处的切线方程为y＝3x＋1，则曲线y＝eq \f(f（x）,ex)在点x＝0处的切线方程为________．
9．写出a的一个值，使得直线x＋ay－a＝0是曲线y＝eq \f(sinx,x)的切线，则a＝________．
10．过点A(1，1)且与曲线y＝－eq \f(1,4)x4－eq \f(1,2)x3＋eq \f(3,2)x＋eq \f(1,4)相切的直线共有________条．
11．已知二次函数f(x)＝ax2＋ax－2b，其图象过点(2，－4)，且f′(1)＝－3.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝xlnx，求曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程．
12．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝tanx.
(1)求曲线y＝g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))))处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程．
13.已知函数f(x)＝eq \f(1,4)x2＋csx，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是( )
14.曲线y＝lnx＋x上的点到直线y＝2x＋4的最短距离是________．
15．已知函数f(x)＝ax3－x2－x＋b(a，b∈R，a≠0)，g(x)＝eq \f(3\r(e),4)ex，f(x)的图象在x＝－eq \f(1,2)处的切线方程为y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(9,8).
(1)求a，b的值；
(2)直线y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(9,8)是否与函数g(x)的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由．
第1课时 函数的求导法则
必备知识基础练
1．答案：C
解析：y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(csx,1－x)))′＝eq \f(（－sinx）（1－x）－csx·（－1）,（1－x）2)＝eq \f(csx－sinx＋xsinx,（1－x）2).故选C.
2．答案：C
解析：f′(x)＝ex(x＋1)＋a，故f′(0)＝1＋a＝2，所以a＝1.故选C.
3．答案：B
解析：因为f′(x)＝x2－2x，所以k＝f′(1)＝－1，所以曲线在x＝1处的切线的倾斜角为eq \f(3π,4).故选B.
4．解析：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2csx；
(2)y′＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2)；
(3)y′＝eq \f(（csx）′·ex－csx·（ex）′,（ex）2)
＝eq \f(－sinx·ex－csx·ex,（ex）2)＝－eq \f(sinx＋csx,ex)；
(4)y＝x－eq \f(1,2)sinx，y′＝1－eq \f(1,2)csx．
5．答案：y＝3x－2
解析：已知当x＝1时f(1)＝1，
由f′(x)＝(x＋lnx)＋x(1＋eq \f(1,x))，得f′(1)＝3，
根据点斜式可得：y－1＝3(x－1)⇒y＝3x－2.
6．解析：由题意，设切点坐标为P(x0，y0)，(x0≠1)，
则y0＝x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) ＋1，
又由函数f(x)＝x3＋1，可得f′(x)＝3x2，
所以f′(x0)＝3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ，
根据斜率公式和导数的几何意义，
可得eq \f(y0－1,x0－1)＝eq \f(x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) ＋1－1,x0－1)＝3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ，即3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝eq \f(x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) ,x0－1)，
解得x0＝0或x0＝eq \f(3,2)，
所以切线的斜率为k＝f′(0)＝0或k＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \f(27,4)，
所以切线方程为y－1＝0或y－1＝eq \f(27,4)(x－1)，
即y－1＝0或27x－4y－23＝0.
关键能力综合练
7．答案：D
解析：依题意f′(x)＝2x＋3f′(2)＋ex，令x＝2得f′(2)＝4＋3f′(2)＋e2，f′(2)＝－eq \f(e2,2)－2.故选D.
8．答案：y＝2x＋1
解析：将x＝0代入y＝3x＋1，则y＝3×0＋1＝1，即f(0)＝1，
由y＝f(x)，则y′＝f′(x)，由题意，f′(0)＝3，
将x＝0代入y＝eq \f(f（x）,ex)，则y＝eq \f(f（0）,e0)＝1，由y＝eq \f(f（x）,ex)，则y′＝eq \f(f′（x）－f（x）,ex)，
将x＝0代入y′＝eq \f(f′（x）－f（x）,ex)，则y′＝eq \f(f′（0）－f（0）,e0)＝eq \f(3－1,1)＝2，
则切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.
9．答案：π(答案不唯一)
解析：设切点为P(x0，y0)，直线x＋ay－a＝0恒过定点(0，1)，
y′＝eq \f(x·csx－sinx,x2)，则eq \f(\f(sinx0,x0)－1,x0)＝eq \f(x0csx0－sinx0,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )，
则sinx0－x0＝x0csx0－sinx0，可得其中一个根x0＝π，
y′eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝π))＝－eq \f(1,π)，此时－eq \f(1,a)＝－eq \f(1,π)，得a＝π.
10．答案：2
解析：设切点的坐标为(x0，－eq \f(1,4)x eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(0)) －eq \f(1,2)x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) ＋eq \f(3,2)x0＋eq \f(1,4))，因为y′＝－x3－eq \f(3,2)x2＋eq \f(3,2)，
所以切线的方程为y－(－eq \f(1,4)x eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(0)) －eq \f(1,2)x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) ＋eq \f(3,2)x0＋eq \f(1,4))＝(－x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)) －eq \f(3,2)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋eq \f(3,2))(x－x0)，
将A(1，1)代入方程整理得eq \f(3,4)(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －1)2＝0，解得x0＝1或x0＝－1.
故切线方程为y＝x或y＝－x＋2，
即过点A(1，1)且与曲线y＝－eq \f(1,4)x4－eq \f(1,2)x3＋eq \f(3,2)x＋eq \f(1,4)相切的直线共有2条．
11．解析：(1)因为f(x)＝ax2＋ax－2b，则f′(x)＝2ax＋a，
所以，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（2）＝6a－2b＝－4,f′（1）＝3a＝－3))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1,b＝－1)).
(2)因为g(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，
且g′(x)＝lnx＋1，
所以g′(1)＝1，g(1)＝0，故切点坐标为(1，0)，
所以函数g(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1.
12．解析：(1)g(x)＝tanx＝eq \f(sinx,csx)，所以g′(x)＝eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)＝eq \f(1,cs2x)，所以g′(eq \f(π,4))＝2，g(eq \f(π,4))＝1，所以切线方程为：y－1＝2(x－eq \f(π,4))，整理得2x－y＋1－eq \f(π,2)＝0.
(2)f(x)＝lnx，所以f′(x)＝eq \f(1,x)，设切点坐标为(x0，lnx0)，所以切线斜率为k＝eq \f(1,x0)，
则切线方程为：y－lnx0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，又因为切线过原点，所以将(0，0)代入切线方程得－lnx0＝eq \f(1,x0)·(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为：y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，整理得x－ey＝0.
核心素养升级练
13．答案：A
解析：因为f(x)＝eq \f(1,4)x2＋csx，
所以f′(x)＝eq \f(1,2)x－sinx，
所以f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；
又当x＝eq \f(π,2)时，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \f(π,4)－sineq \f(π,2)＝eq \f(π,4)－1