数学选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用精练

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第六章6.1.3　基本初等函数的导数　6.1.4　求导法则及其应用A级 必备知识基础练1.[探究点一]若f(x)=cos x,则f'()=(　　)A.-1 B.1 C.0 D.2.[探究点二·2023新疆高三月考]函数y=x2sin x的导数为(　　)A.y'=x2sin x+2xcos xB.y'=2xsin x-x2cos xC.y'=2xsin x+x2cos xD.y'=x2sin x-2xcos x3.[探究点四]某质点的运动方程为s(t)=(s的单位:米,t的单位:秒),则质点在t=3秒时的速度为(　　)A.-4×3-4米/秒 B.-3×3-4米/秒C.-5×3-5米/秒 D.-4×3-5米/秒4.[探究点一](多选题)[2023湖南郴州期末]下列选项正确的是(　　)A.y=ln 2,则y'=0B.f(x)=,则f'(3)=-C.y=2x,则y'=2xD.y=log2x,则y'=5.[探究点三·2023江苏高二校联考阶段练习]已知函数f(x)=cos 2x,则f'=　　　　　. 6.[探究点四]曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为　　　　　. 7.[探究点二·2023重庆九龙坡校级期末]已知函数f(x)=xln x+3x2-1,则f'(1)=　　　　　. 8.[探究点二、三]求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=ex(1+cos x)-2x;(3)y=log3(5x-1).      9.[探究点四]设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.          B级 关键能力提升练10.[2023天津河东校级期末]下列求导运算正确的个数是(　　)①若f(x)=x2e2x-1,则f'(x)=2xe2x-1(x+1);②若f(x)=,则f'(x)=;③若f(x)=(2x-3)sin(2x+5),则f'(x)=2sin(2x+5)+(2x-3)cos(2x+5);④若f(x)=log2(3x-2),则f'(x)=.A.1 B.2 C.3 D.411.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　)A. B. C. D.112.曲线y=+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为(　　)A.y=x-1 B.y=xC.y=x+1 D.y=x+213.已知函数f(x)=ln(2x-1),曲线y=f(x)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　)A. B.2 C.3 D.014.(多选题)[2023天津高二课时练习]已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,下列选项中有“巧值点”的函数是(　　)A.f(x)=x B.f(x)=exC.f(x)=tan x D.f(x)=15.已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,则l在y轴上的截距为　　　　　. 16.[2023山西模拟]已知函数f(x)=f'(1)ex-x,则f(0)=　　　　　. 17.[2023广东清远阳山南阳中学月考]设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,则a=　　　　　,b=　　　　　. 18.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=ex(2x+1)+f(x),f(0)=-2,则不等式f(x)<4ex的解集为　　　　. 19.[2023江苏高二月考]已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l与圆C:x2+y2=相切,求a的值.            C级 学科素养创新练20.(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f'(x)及f'.(2)设函数f(x)=,在曲线y=f(x)上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程. 
6.1.3　基本初等函数的导数6.1.4　求导法则及其应用1.A　f(x)=cosx,f'(x)=-sinx,∴f'=-1.故选A.2.C　y'=(x2)'·sinx+x2·(sinx)'=2xsinx+x2cosx,故选C.3.D　由s(t)=得s'(t)='=(t-4)'=-4t-5,得s'(3)=-4×3-5,故选D.4.ABD　对于选项A,若y=ln2,则y'=0,A正确;对于选项B,若f(x)=,则f'(x)=-,故f'(3)=-,B正确;对于选项C,若y=2x,则y'=2xln2,C错误;对于选项D,若y=log2x,则y'=,D正确.故选ABD.5.-1　f'(x)=-2sin2x,则f'=-2sin=-1.6.y=2x　设切点坐标为(x0,y0).对y=lnx+x+1求导可得y'=+1.由题意得,+1=2,解得x0=1,故y0=ln1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.7.7　因为f(x)=xlnx+3x2-1,所以f'(x)=lnx+x·+6x=lnx+6x+1,所以f'(1)=ln1+6+1=7.8.解(1)因为y=(x≠0),所以y'=.(2)因为y=ex(1+cosx)-2x,所以y'=ex(1+cosx-sinx)-2xln2.(3)因为y=log3(5x-1)x>,所以y'=×5=.9.解因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f'(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f'(1)=3+2a+b,又f'(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3.令x=2,得f'(2)=12+4a+b,又f'(2)=-b,所以12+4a+b=-b,解得a=-.则f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.又f'(1)=2×=-3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.10.C　①若f(x)=x2e2x-1,则f'(x)=2xe2x-1+2x2e2x-1=2xe2x-1(x+1),故①正确;②若f(x)=,则f'(x)=,故②正确;③若f(x)=(2x-3)sin(2x+5),则f'(x)=2sin(2x+5)+2(2x-3)cos(2x+5),故③错误;④若f(x)=log2(3x-2),则f'(x)=,故④正确.∴正确的个数是3.故选C.11.A　依题意,得f'(x)=e-2x·(-2)=-2e-2x,f'(0)=-2e-2×0=-2.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×.12.C　由题得y'=,设切点为(x0,y0)(x0≥0),则当x=x0时,y'=1,则=cosx0-sinx0,令f(x)=ex-cosx+sinx,则f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+sinx+,当0<x<1时,f'(x)>0,而当x≥1时,ex≥e,sinx+cosx≥-,f'(x)>0,∀x>0,f'(x)>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(x)≥f(0)=0,所以方程=cosx0-sinx0只有一个实根x0=0,代入原函数得y0=+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1.故选C.13.A　由题意,曲线y=f(x)上与直线2x-y+3=0平行的切线的切点到直线2x-y+3=0的距离最短.设切点坐标为(x0,y0).∵f'(x)=,∴f'(x0)==2,解得x0=1,∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.14.AB　对于A,f(x)=x,则f'(x)=1,令f(x)=f'(x),则x=1,故f(x)有“巧值点”;对于B,f(x)=ex,则f'(x)=ex,因为f(x)=f'(x)恒成立,故任意的x∈R,都是f(x)的“巧值点”;对于C,f(x)=tanx,则f'(x)=,令tanx=,整理得sin2x=2,方程无根,故f(x)=tanx没有“巧值点”;对于D,f(x)=的定义域为{x|x>0},则f'(x)=-<0,而f(x)>0,显然方程f(x)=f'(x)无实根,故f(x)=没有“巧值点”.故选AB.15.1　由f(x)=ax-lnx,可得f'(x)=a-,则切线的斜率为k=f'(1)=a-1,切点坐标为(1,a),切线方程l为y-a=(a-1)(x-1),所以l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=1.16.　f(x)=f'(1)ex-x,则f'(x)=f'(1)ex-1,令x=1,则f'(1)=ef'(1)-1,解得f'(1)=,故f(x)=ex-x,所以f(0)=.17.1　2　函数f(x)=aexlnx+,求导得f'(x)=aex+lnx+bex-1,因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,因此f'(1)=ae=e,a=1,f(1)=b=2,所以a=1,b=2.18.(-3,2)　由题意,得=2x+1,∴'=2x+1,令=x2+x+c,其中c为常数,则f(x)=ex·(x2+x+c),∵f(0)=-2,∴c=-2,∴f(x)=ex·(x2+x-2),∴不等式f(x)<4ex的解集等价于x2+x-2<4,解得-3<x<2.19.解∵f'(x)=2ax-,∴f'(1)=2a-2.又f(1)=a+2ln1=a,切线l的方程为y-a=2(a-1)(x-1),即2x-y-a+2=0.∵直线l与圆C:x2+y2=相切,∴圆心(0,0)到直线l的距离为,∴,解得a=.20.解(1)∵f(x)=eπxsinπx,∴f'(x)=πeπxsinπx+πeπxcosπx=πeπx(sinπx+cosπx).∴f'=π=π.(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知f'(x0)=0.又f'(x)=,∴f'(x0)==0.解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.