高中数学5.2.1 等差数列第一课时当堂达标检测题

这是一份高中数学5.2.1 等差数列第一课时当堂达标检测题，共5页。试卷主要包含了下列说法正确的是，故选B，故选D等内容，欢迎下载使用。

A．数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列
B．数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列
C．数列{an}是以－3为首项，3为公差的等差数列
D．数列{an}是以－3为首项，－3为公差的等差数列
2．在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－3＝an，若an＝2020，则n＝( )
A．671B．672C．673D．674
4．(多选题)下列说法错误的是( )
A．若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列
B．若an－an－1＝n(n∈N＋，且n>1)，则{an}是等差数列
C．等差数列是相邻两项中的后项与前项之差等于非零常数的数列
D．等差数列的公差是该数列中任意两项的差
5．已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则a＝________，b＝________，c＝________.
6．在数列{an}中，a1＝3，eq \r(an＋1)＝eq \r(an)＋eq \r(3)，则数列{an}的通项公式为________．
7.(多选题)下列说法正确的是( )
A．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列
B．等差数列{an}的单调性与公差d有关
C．若三个数a，b，c成等差数列，则a－1，b－1，c－1一定是等差数列
D．{an}是等差数列，则{2020an}也是等差数列
8．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b2023＝( )
A．4044B．4046
C．4048D．4050
9.首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是________.
10．已知数列{an}满足：a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) ＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
11．已知数列{an}是等差数列，且a1＝11，a2＝8.
(1)求a13的值；
(2)判断－101是不是数列中的项；
(3)从第几项开始出现负数？
(4)在区间(－31，0)上有几项？
12．已知在递增的等差数列{an}中，a3a7＝55，a4＋a6＝16.
(1)求a3和a7；
(2)求{an}的通项公式．
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n
(1)求{an}的通项公式；
(2)求证数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是等差数列．
14．记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列{eq \r(Sn)}是等差数列，证明：{an}是等差数列．
15．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列{eq \f(1,an＋1)}是等差数列，则a4＝________，an＝________．
第1课时 等差数列的概念与通项公式
必备知识基础练
1．答案：B
解析：因为数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N*)，即an＋1－an＝－3(n∈N*)，
所以数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列．故选B.
2．答案：B
解析：设公差为d，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1＋4d＝10，,a1＋3d＝7，))
解得d＝2.故选B.
3．答案：D
解析：∵a1＝1，an＋1－3＝an，
∴an＋1－an＝3
∴数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝2020，解得n＝674.故选D.
4．答案：BCD
解析：对于A，由a－b＝b－c，可得b－a＝c－b，因此a，b，c成等差数列，所以A正确；对于B，n不是固定常数，该数列不是等差数列，所以B错误；对于C，公差d可以等于0，所以C错误；对于D，应为相邻两项，所以D错误．故选BCD.
5．答案：5 －1 －4
解析：依据等差数列的定义，且8，a，2是等差数列，
得2－a＝a－8，①
由a，2，b是等差数列，
得2－a＝b－2，②
同理，由2，b，c是等差数列，得b－2＝c－b.③
①②③联立，解得a＝5，b＝－1，c＝－4.
6．答案：an＝3n2
解析：由题设可得eq \r(an＋1)－eq \r(an)＝eq \r(3)，故{eq \r(an)}为等差数列，
故eq \r(an)＝eq \r(a1)＋(n－1)×eq \r(3)＝eq \r(3)＋(n－1)×eq \r(3)＝eq \r(3)n，
故an＝3n2.
关键能力综合练
7．答案：BCD
解析：A错误，若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列；
B正确，当d>0时为递增数列，d＝0时为常数列，d<0时为递减数列；
C正确，若a，b，c成等差数列，即b－a＝c－b，所以b－1－(a－1)＝b－a，c－1－(b－1)＝c－b，故a－1，b－1，c－1一定是等差数列；
D正确，因为{an}是等差数列，设an－an－1＝d(n≥2)，所以2020an－2020an－1＝2020d(n≥2)，所以{2020an}也是等差数列．故选BCD.
8．答案：B
解析：设数列{bn}的公差为d1，
由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，
b5－b1＝a2－a1＝8＝4d1，
故d1＝2，故bn＝2n，
则b2023＝2023×2＝4046.故选B.
9．答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，3))
解析：设an＝－24＋(n－1)d，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a9＝－24＋8d≤0，,a10＝－24＋9d>0，))
解得eq \f(8,3)10．答案：eq \r(4n－3)(n∈N＋)
解析：根据已知条件a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) ＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＋4，即a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝4.
所以数列{a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) }是公差为4的等差数列，
a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋(n－1)·4＝4n－3(n∈N＋).
因为an>0，所以an＝eq \r(4n－3)(n∈N＋).
11．解析：(1)由题意知a1＝11，a2＝8，d＝a2－a1＝8－11＝－3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.
所以a13＝－3×13＋14＝－25.
(2)设－101＝an，则－101＝－3n＋14，
所以3n＝115，n＝eq \f(115,3)＝38eq \f(1,3)∉N＋.
所以－101不是数列{an}中的项．
(3)设从第n项开始出现负数，即an<0，
所以－3n＋14<0，所以n>eq \f(14,3)＝4eq \f(2,3).
因为n∈N＋，所以n≥5，即从第5项开始出现负数．
(4)设an∈(－31，0)，即－31所以－31<－3n＋14<0，
所以4eq \f(2,3)所以n＝5，6，7，…，14，共10项．
12．解析：因为a4＋a6＝a3＋a7＝16，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3a7＝55,a3＋a7＝16))，
解得a3＝5，a7＝11或a3＝11，a7＝5,
又因为数列{an}为递增数列，所以a3＝5，a7＝11.
(2)设数列{an}的公差为d(d>0)，
由a3＝5，a7＝11，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝5,a1＋6d＝11))，解得a1＝2，d＝eq \f(3,2)，
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝eq \f(3,2)n＋eq \f(1,2).
核心素养升级练
13．解析：(1)由题知Sn＝n2＋2n，
∴S1＝a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)
＝2n＋1，
将n＝1代入上式可得a1＝3，
故n＝1时满足上式，
∴an＝2n＋1.
(2)证明：由题知Sn＝n2＋2n，
∴eq \f(Sn,n)＝n＋2，
∴eq \f(Sn,n)－eq \f(Sn－1,n－1)＝n＋2－(n－1)－2＝1，
且eq \f(S1,1)＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是以3为首项，1为公差的等差数列．
14．证明：因为数列{eq \r(Sn)}是等差数列，设公差为d，则d＝eq \r(S2)－eq \r(S1)＝eq \r(a2＋a1)－eq \r(a1)＝eq \r( ,a1)，
所以eq \r( ,Sn)＝eq \r( ,a1)＋(n－1)eq \r( ,a1)＝neq \r( ,a1)(n∈N＋)，
所以Sn＝a1n2(n∈N＋).
所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝a1n2－a1(n－1)2＝2a1n－a1.
当n＝1时，2a1×1－a1＝a1，满足an＝2a1n－a1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2a1n－a1(n∈N＋)，
所以an－an－1＝(2a1n－a1)－[2a1(n－1)－a1]＝2a1，
所以数列{an}是等差数列．
15．答案：eq \f(1,2) eq \f(6－n,n)
解析：由题意可知eq \f(2,a4＋1)＝eq \f(1,a2＋1)＋eq \f(1,a6＋1)，
解得a4＝eq \f(1,2).
又eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,a2＋1)＋(n－2)(eq \f(1,a4＋1)－eq \f(1,a2＋1))×eq \f(1,2)＝eq \f(n,6)，
∴an＝eq \f(6,n)－1＝eq \f(6－n,n).必备知识基础练
关键能力综合练
核心素养升级练