高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列授课课件ppt

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5.2　等差数列5.2.1　等差数列第1课时　等差数列的定义学 习 任 务核 心 素 养1．理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)1．借助等差数列概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过等差数列通项公式的求解与运用，提高数学运算的素养．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏署相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧．“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．己知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则晷长为七尺五寸时，你知道对应的节气是什么吗？[提示]　春分、秋分．知识点1　等差数列的概念一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．拓展：等差数列定义的理解(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．1．下列数列中不是等差数列的为(　　)A．6，6，6，6，6　　　 B．－2，－1，0，1，2C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10D　[A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；B中给出的数列是等差数列，公差为1；C中给出的数列是等差数列，公差为3；D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．]知识点2　等差数列的通项公式及其推广若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．该式可推广为an＝am＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？[提示]　d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数．拓展：等差数列与一次函数的异同点 等差数列一次函数不同点解析式an＝a1＋(n－1)d，n∈N＋f(x)＝kx＋b(k≠0)，x∈R公差、斜率公差d＝，n≠m斜率k＝，x1≠x2定义域N＋R图像位于同一直线上的一系列孤立的点一条直线相同点等差数列的通项公式(d≠0)与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________．6－2n　[∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n．]知识点3　等差数列的单调性等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列；若公差d＝0，则数列{an}为常数列，不增也不减．3．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图像上的两点，则数列{an}为(　　)A．递增数列　　　　 B．递减数列C．常数列 D．无法确定B　[等差数列{an}的图像所在直线的斜率k＝＝－2<0，故数列{an}是递减数列．] 类型1　等差数列的判定【例1】　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，在数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是不是等差数列．[思路点拨]　可以利用a1和d写出bn的通项公式．[解]　由题意可知an＝a1＋(n－1)d(a1，d为常数)，则bn＝3an＋4＝3[a1＋(n－1)d]＋4＝3a1＋3(n－1)d＋4＝3dn＋3a1－3d＋4．由于bn是关于n的一次函数(或常数函数，当d＝0时)，故{bn}是等差数列．判断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证an＋1－an＝dn∈N＋是否成立.具体步骤为：1作an＋1－an，并对上式进行变形；2若an＋1－an是常数，则数列{an}是等差数列，否则数列{an}不是等差数列.[跟进训练]1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列(　　)A．是公差为4的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为－3的等差数列D．是首项为4的等差数列C　[∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3．∴{an}是公差为－3的等差数列．]2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，试证明数列是等差数列．[证明]　∵an＋1＝，∴＝＝＋，即－＝2，∴是首项为，公差d＝2的等差数列． 类型2　等差数列的通项公式1．若{an}是等差数列，试用am，an表示公差d，其中n≠m．[提示]　d＝．2．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则该数列是等差数列吗？[提示]　是．因为an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k，故{an}是等差数列．【例2】　(对接教材P19例5)(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．[思路点拨]　设出基本量a1，d．利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．[解]　(1)法一：∵a4＝7，a10＝25，则得∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．法二：∵a4＝7，a10＝25，∴a10－a4＝6d＝18，∴d＝3，∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．(2)法一：由得解得a1＝，d＝－．∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－．法二：由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－．∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－．1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用an＝am＋(n－m)d较为简捷．[跟进训练]3．若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于________．　[∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，∴∴＝1，即＝，故＝．]4．在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝__________．6n－14　[法一：设公差为d，则解得所以an＝a1＋(n－1)d＝6n－14．法二：设公差为d，则d＝＝＝6，an＝a4＋(n－4)·d＝10＋6(n－4)＝6n－14．]1．已知等差数列{an}中，an－an－1＝2(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的通项公式为(　　)A．an＝2n－1　　 B．an＝2n＋1 C．an＝n－1 D．an＝n＋1A　[an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1．]2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为(　　)A．2　　　　B．3　　　　C．－2　　　　D．－3C　[d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2，故选C．]3．若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则当am＝－2 021时，m的值是    (　　)A．679  B．680  C．681  D．690C　[∵a1＝19，an＋1－an＝－3(n∈N*)，∴{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n．∴当am＝－2 021时，m＝681．]4．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝________．18　[公差d＝＝＝2，∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18．]5．{an}是首项a1＝2，公差d＝3的等差数列，若an＝2 021，则n＝________．674　[∵a1＝2，d＝3，∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1．由3n－1＝2 021得n＝674．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有哪些？[提示]　判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；(2)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．求等差数列通项公式的一般思路是什么？[提示]　方程思想：设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式．事实上，已知等差数列中的两项时，可利用an＝am＋(n－m)d求出公差d，这样就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式．注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．