|学案下载
终身会员
搜索
    上传资料 赚现金
    新人教B版 选择性必修3 新教材高中数学第五章数列5.2.1.1等差数列的定义学案(含解析)
    立即下载
    加入资料篮
    新人教B版 选择性必修3 新教材高中数学第五章数列5.2.1.1等差数列的定义学案(含解析)01
    新人教B版 选择性必修3 新教材高中数学第五章数列5.2.1.1等差数列的定义学案(含解析)02
    新人教B版 选择性必修3 新教材高中数学第五章数列5.2.1.1等差数列的定义学案(含解析)03
    还剩6页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2020-2021学年5.2.1 等差数列学案设计

    展开
    这是一份2020-2021学年5.2.1 等差数列学案设计,共9页。学案主要包含了思维·引,素养·探,类题·通,习练·破,加练·固,内化·悟,新情境·新思维等内容,欢迎下载使用。

    5.2 等 差 数 列

    5.2.1 等 差 数 列

    新版课程标准

    学业水平要求

    1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义

    2.体会等差数列与一次函数的关系

    3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题

    1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念.(数学抽象)

    2.借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系.(数学抽象)

    3.会求等差数列的通项公式,并能利用等差数列的通项公式、等差数列的性质解决相关的问题.(数学运算)

    4.能利用等差数列的通项公式、等差数列的性质解决相关的实际问题.(数学运算、数学建模)

    5.2.1 等 差 数 列

    1课时 等差数列的定义

    必备知识·素养奠基

    1.等差数列的定义

    (1)条件:①数列{an}从第2项起.

    每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d.an+1-an=d恒成立.

    (2)结论:数列{an}是等差数列.

    (3)相关概念:d称为等差数列的公差.

    (1)为什么强调从第2项起?

    提示:第1项前面没有项,无法与后续条件中与前一项的差相吻合;

    定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.

    (2)如何理解每一项与前一项的差?

    提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.

    2.等差数列的通项公式

    递推公式

    通项公式

    an+1-an=d(nN+)

    an=a1+(n-1)d(nN+)

    3.等差数列的通项公式与一次函数

    an=a1+(n-1)d=nd+a1-d,f(x)=dx+a1-d,可看成an=f(n),而且

    (1)当公差d=0,f(x)是常数函数,此时数列{an}常数列(因此,公差为0的等差数列为常数列);

    (2)当公差d0,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此d>0,{an}递增数列;d<0,{an}递减数列.

    4.公差d的几何意义

    因为d=,n,mN+,nm,d可以看作过(n,an),(m,am)两点的直线的斜率.

    5.重要结论

    数列{an}是等差数列的充要条件是am=kn+b,其中k,b是常数.

    1.思维辨析(对的打“√”,错的打×)

    (1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列. (  )

    (2)常数列也是等差数列. (  )

    (3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项. (  )

    (4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,a,b,c一定是等差数列. (  )

    提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.

    (2).因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.

    (3).只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.

    (4).若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.

    2.下列数列是等差数列的是 (  )

    A.,,,        B.1,,,

    C.1,-1,1,-1        D.0,0,0,0

    【解析】选D.因为--,故排除A;因为-1-,故排除B;因为-1-11-(-1),故排除C.

    3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为 (  )

    A.an=3n-1       B.an=2n+1

    C.an=2n+3       D.an=3n+2

    【解析】A.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.

    4.等差数列{an},a4=13,a6=25,则公差d等于 (  )

    A.5    B.6    C.7     D.8

    【解析】选B.因为{an}为等差数列,所以a6=a4+2d,即25=13+2d,解得d=6.

    关键能力·素养形成

    类型一 等差数列的定义及应用

    【典例】1.已知数列{an}满足an+1-an=2,nN+,a3=3,a1=________. 

    2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(nN+),bn=(nN+).

    求证数列{bn}是等差数列,并求出首项和公差.

    【思维·引】1.anan+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项求第一项;

    2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为-=某常数的形式,方二:bn+1-bn

    是常数.

    【解析】1.因为an+1-an=2,nN+,

    所以数列{an}是等差数列,其公差为2,

    因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.

    答案:-1

    2.方法一:因为=,

    所以=+3,所以-=3,

    又因为bn=(nN+),

    所以bn+1-bn=3(nN+),且b1==.

    所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.

    方法二:因为bn=,且an+1=,

    所以bn+1===+3=bn+3,

    所以bn+1-bn=3(nN+),b1==.

    所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.

    【素养·探】

    在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻两项an+1an(nN+)的关系,判定该数列是否为等差数列,培养学生推理、论证的能力.

    将本例2的条件a1=2,an+1=改为a1=,anan-1=an-1-an(n2),其他条件不变,如何解答?

    【解析】因为anan-1=an-1-an(n2),

    所以-=1(n2).又因为bn=,

    所以bn-bn-1=1(n2)且b1==2.

    所以数列{bn}是等差数列,其首项为2,公差为1.

    【类题·通】

    定义法判定数列{an}是等差数列的步骤

    (1)作差an+1-an;

    (2)对差式进行变形;

    (3)an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.

    【习练·破】

    若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(nN+),求证:数列{an}为等差数列.

    【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,

    所以an+1=10+(n+1)lg2.

    所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)

    =lg2(nN+).所以数列{an}为等差数列.

    加练·固】

    1.以下选项中构不成等差数列的是 (  )

    A.2,2,2,2

    B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3a

    C.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3

    D.a-1,a+1,a+3

    【解析】C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.

    2.判断下列数列是否为等差数列.

    (1)an=3n+2.(2)an=n2+n.

    【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等差数列.

    (2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2 (不是常数),所以此数列不是等差数列.

    类型二 等差数列的通项公式及应用

    【典例】1.有穷等差数列5,8,11,,3n+11(nN+)的项数是 (  )

    A.n       B.3n+11

    C.n+4       D.n+3

    2.已知数列{an},a1=2,a2=1,又数列为等差数列,an=________. 

    3.等差数列{an},已知a3=10,a12=31.

    (1)a1,d及通项公式an;

    (2)4585是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?

    【思维·引】1.方法一:设此等差数列有x,利用等差数列的通项公式推出xn的关系.

    方法二:3×1+11=14,3×2+11=17,,3n+11判断该等差数列有多少项.

    2.先求,再求an.

    3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则通项公式可求;

    (2)分别把4585代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18,85不是数列中的项.

    【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(x-1)×3,所以x = n+3.

    方法二:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数为n+3.

    2.因为数列{an}中,a1=2,a2=1,所以=,=,又数列为等差数列,所以其公差d=-=,所以=+(n-1)d

    =+(n-1)=,所以an=.

    答案:

    3.(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,

    解得

    所以an=+(n-1)=n+3.

    (2)由an=n+3=45,解得n=18,故45是第18项;

    由an= n+3=85,得n=N+,

    故85不是数列中的项.

    【内化·悟】

    构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?

    提示:基本量是a1d,根据已知条件列出关于a1d的方程组,求出a1d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.

    【类题·通】

    等差数列通项公式的四个主要应用

    (1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.

    (2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.

    (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于基本量a1d的方程组,求出a1d,从而确定通项公式,求得所需求的项.

    (4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.

    【习练·破】

    1.(2020·连云港高二检测)若等差数列{an}的前三项依次为x,1-x,3x,a2 022的值为 (  )

    A.672     B.673    C.674    D.675

    【解析】选C.依题意,x,1-x,3x成等差数列,

    所以2(1-x)=x+3x,解得x=,

    所以数列{an}的公差d=(1-x)-x=,

    所以a2 022=a1+(2 022-1)×d==674.

    2.等差数列1,-1,-3,,-89的项数是________. 

    【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)·(-2),

    所以n=46.

    答案:46

    加练·固】

    1.2 000是等差数列4,6,8, (  )

    A.998        B.999

    C.1 001      D.1 000

    2.在等差数列{an},已知a5=10,a12=31,则首项a1=________,公差d=________. 

    3.已知等差数列1,-3,-7,-11,,求它的通项公式及第20.

    【解析】1.选B. 因为此等差数列的公差d=2,

    所以an=4+(n-1)×2,2 000=2n+2,所以n=999.

    2.设首项为a1,公差为d,则有

    解得a1= -2,d=3.

    答案:-2 3

    3.由题意可知a1=1,a2=-3,

    所以公差d=a2-a1=-4.

    所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.

    所以a20=5-4×20=-75.

    即该数列的通项公式为an=5-4n,第20项为-75.

    课堂检测·素养达标

    1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列 (  )

    A.是公差为2的等差数列

    B.是公差为5的等差数列

    C.是首项为5的等差数列

    D.是公差为n的等差数列

    【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n2),

    所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n2),

    所以数列{an}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.

    2.在等差数列{an},已知a3=10,a8=-20,则公差d等于 (  )

    A.3    B.-6    C.4    D.-3

    【解析】B.由题意,解得d=-6.

    3.已知等差数列2,5,8,11,,23是这个数列的 (  )

    A.5     B.6

    C.7     D.8

    【解析】D.等差数列2,5,8,11,的首项为2,公差为3,所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.3n-1=23,所以n=8.

    4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(nN+),则此数列的通项an=________. 

    【解析】因为an+1-an+1=0(nN+),即an+1-an=-1,

    所以数列{an}是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,

    所以an=2-(n-1)=3-n.

    答案:3-n

    【新情境·新思维】

    等差数列{an},a3+a4=4,a5+a7=6.

    (1){an}的通项公式;

    (2)bn=[an],b1+b2++b10,其中[x]表示不超过x的最大整数,[0.9]=0,[2.6]=2.

    【解析】(1)设数列{an}的公差为d,

    由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.

    解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=.

    (2)由(1)知,bn=.

    当n=1,2,3时,1<2,bn=1;

    当n=4,5时,2<3,bn=2;

    当n=6,7,8时,3<4,bn=3;

    当n=9,10时,4<5,bn=4.

    所以b1+b2++b10=1×3+2×2+3×3+4×2=24.

    相关学案

    数学选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列第1课时导学案: 这是一份数学选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列第1课时导学案,共6页。

    数学人教B版 (2019)第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列学案: 这是一份数学人教B版 (2019)第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列学案,共11页。学案主要包含了思维·引,素养·探,类题·通,习练·破,加练·固,内化·悟,新情境·新思维等内容,欢迎下载使用。

    数学选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和学案及答案: 这是一份数学选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和学案及答案,共14页。学案主要包含了思维·引,内化·悟,类题·通,习练·破,加练·固,新情境·新思维等内容,欢迎下载使用。

    • 精品推荐
    • 所属专辑
    • 课件
    • 教案
    • 试卷
    • 学案
    • 其他

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        新人教B版 选择性必修3 新教材高中数学第五章数列5.2.1.1等差数列的定义学案(含解析)
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map