2020-2021学年5.2.1 等差数列学案设计

5.2　等 差 数 列

5.2.1　等 差 数 列

5.2.1　等 差 数 列

第1课时　等差数列的定义

必备知识·素养奠基

1.等差数列的定义

(1)条件:①数列{an}从第2项起.

②每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d.即an+1-an=d恒成立.

(2)结论:数列{an}是等差数列.

(3)相关概念:d称为等差数列的公差.

(1)为什么强调“从第2项起”?

提示:①第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;

②定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.

(2)如何理解“每一项与前一项的差”?

提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.

2.等差数列的通项公式

3.等差数列的通项公式与一次函数

由an=a1+(n-1)d=nd+a1-d,记f(x)=dx+a1-d,可看成an=f(n),而且

(1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公差为0的等差数列为常数列);

(2)当公差d≠0时,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列.

4.公差d的几何意义

因为d=,n,m∈N+,n≠m,故d可以看作过(n,an),(m,am)两点的直线的斜率.

5.重要结论

数列{an}是等差数列的充要条件是am=kn+b,其中k,b是常数.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列. (　　)

(2)常数列也是等差数列. (　　)

(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项. (　　)

(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列. (　　)

提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.

(2)√.因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.

(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.

(4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.

2.下列数列是等差数列的是 (　　)

A.,,,        B.1,,,

C.1,-1,1,-1        D.0,0,0,0

【解析】选D.因为-≠-,故排除A;因为-1≠-,故排除B;因为-1-1≠1-(-1),故排除C.

3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为 (　　)

A.an=3n-1       B.an=2n+1

C.an=2n+3       D.an=3n+2

【解析】选A.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.

4.等差数列{an}中,若a4=13,a6=25,则公差d等于 (　　)

A.5    B.6    C.7     D.8

【解析】选B.因为{an}为等差数列,所以a6=a4+2d,即25=13+2d,解得d=6.

关键能力·素养形成

类型一　等差数列的定义及应用

【典例】1.已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N+,且a3=3,则a1=________. 

2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N+),bn=(n∈N+).

求证数列{bn}是等差数列,并求出首项和公差.

【思维·引】1.由an和an+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项求第一项;

2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为-=某常数的形式,方二:bn+1-bn

是常数.

【解析】1.因为an+1-an=2,n∈N+,

所以数列{an}是等差数列,其公差为2,

因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.

答案:-1

2.方法一:因为=,

所以=+3,所以-=3,

又因为bn=(n∈N+),

所以bn+1-bn=3(n∈N+),且b1==.

所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.

方法二:因为bn=,且an+1=,

所以bn+1===+3=bn+3,

所以bn+1-bn=3(n∈N+),b1==.

所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.

【素养·探】

在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻两项an+1与an(n∈N+)的关系,判定该数列是否为等差数列,培养学生推理、论证的能力.

将本例2的条件“a1=2,an+1=”改为“a1=,anan-1=an-1-an(n≥2)”,其他条件不变,如何解答?

【解析】因为anan-1=an-1-an(n≥2),

所以-=1(n≥2).又因为bn=,

所以bn-bn-1=1(n≥2)且b1==2.

所以数列{bn}是等差数列,其首项为2,公差为1.

【类题·通】

定义法判定数列{an}是等差数列的步骤

(1)作差an+1-an;

(2)对差式进行变形;

(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.

【习练·破】

若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(n∈N+),求证:数列{an}为等差数列.

【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,

所以an+1=10+(n+1)lg2.

所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)

=lg2(n∈N+).所以数列{an}为等差数列.

【加练·固】

1.以下选项中构不成等差数列的是 (　　)

A.2,2,2,2

B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3a

C.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3

D.a-1,a+1,a+3

【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.

2.判断下列数列是否为等差数列.

(1)an=3n+2.(2)an=n2+n.

【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等差数列.

(2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2 (不是常数),所以此数列不是等差数列.

类型二　等差数列的通项公式及应用

【典例】1.有穷等差数列5,8,11,…,3n+11(n∈N+)的项数是 (　　)

A.n       B.3n+11

C.n+4       D.n+3

2.已知数列{an}中,a1=2,a2=1,又数列为等差数列,则an=________. 

3.等差数列{an}中,已知a3=10,a12=31.

(1)求a1,d及通项公式an;

(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?

【思维·引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通项公式推出x与n的关系.

方法二:由3×1+11=14,3×2+11=17,…,3n+11判断该等差数列有多少项.

2.先求,再求an.

3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则通项公式可求;

(2)分别把45和85代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18项,85不是数列中的项.

【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(x-1)×3,所以x = n+3.

方法二:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数为n+3.

2.因为数列{an}中,a1=2,a2=1,所以=,=,又数列为等差数列,所以其公差d=-=,所以=+(n-1)d

=+(n-1)=,所以an=.

答案:

3.(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,

得解得

所以an=+(n-1)=n+3.

(2)由an=n+3=45,解得n=18,故45是第18项;

由an= n+3=85,得n=∉N+,

故85不是数列中的项.

【内化·悟】

构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?

提示:基本量是a1和d,根据已知条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.

【类题·通】

等差数列通项公式的四个主要应用

(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.

(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.

(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.

(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.

【习练·破】

1.(2020·连云港高二检测)若等差数列{an}的前三项依次为x,1-x,3x,则a2 022的值为 (　　)

A.672     B.673    C.674    D.675

【解析】选C.依题意,x,1-x,3x成等差数列,

所以2(1-x)=x+3x,解得x=,

所以数列{an}的公差d=(1-x)-x=,

所以a2 022=a1+(2 022-1)×d==674.

2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是________. 

【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)·(-2),

所以n=46.

答案:46

【加练·固】

1.2 000是等差数列4,6,8,…的 (　　)

A.第998项　　　　    B.第999项

C.第1 001项      D.第1 000项

2.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=________,公差d=________. 

3.已知等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式及第20项.

【解析】1.选B. 因为此等差数列的公差d=2,

所以an=4+(n-1)×2,即2 000=2n+2,所以n=999.

2.设首项为a1,公差为d,则有

即解得a1= -2,d=3.

答案:-2　3

3.由题意可知a1=1,a2=-3,

所以公差d=a2-a1=-4.

所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.

所以a20=5-4×20=-75.

即该数列的通项公式为an=5-4n,第20项为-75.

课堂检测·素养达标

1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列 (　　)

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列

D.是公差为n的等差数列

【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n≥2),

所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n≥2),

所以数列{an}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.

2.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于 (　　)

A.3    B.-6    C.4    D.-3

【解析】选B.由题意,解得d=-6.

3.已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个数列的 (　　)

A.第5项     B.第6项

C.第7项     D.第8项

【解析】选D.等差数列2,5,8,11,…的首项为2,公差为3,所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=23,所以n=8.

4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N+),则此数列的通项an=________. 

【解析】因为an+1-an+1=0(n∈N+),即an+1-an=-1,

所以数列{an}是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,

所以an=2-(n-1)=3-n.

答案:3-n

【新情境·新思维】

等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=[an],求b1+b2+…+b10,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.

【解析】(1)设数列{an}的公差为d,

由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.

解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=.

(2)由(1)知,bn=.

当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;

当n=4,5时,2≤<3,bn=2;

当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;

当n=9,10时,4≤<5,bn=4.

所以b1+b2+…+b10=1×3+2×2+3×3+4×2=24.