沪教版 (五四制)八年级上册17．4 一元二次方程的应用优秀第1课时练习题

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1.知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的根之间的联系；会通过求一元二次方程的根在实数范围内将二次三项式分解因式;
2.会分析实际问题中的数量关系和列一元二次方程解简单的应用题.
知识点一 二次三项式的因式分解
二次三项式的因式分解
如果一元二次方程（a≠0）实数根是, 那么二次三项式的分解式为
利用公式法将二次三项式分解因式的步骤
求二次三项式所对应的一元二次方程 （a≠0）的两个根;
将求得的的值代入中.
注意：
有些二次三项式可用十字相乘法进行因式分解；
2.当时，分解式中的因不要漏写.当时，,此时称 为完全平方式.
3.把二次三项式（a≠0）分解因式时，
(1)如果,那么先求出方程的两个实数根，再写出分解式.
(2)如果,那么方程没有实数根，在实数范围内不能因式分解
即学即练1 在实数范围内分解因式：
(1)2x2+3x−1；
(2)4x2+2x−3；
(3)3x2−6x+1；
(4)6x2+3x−3．
【答案】(1)2x+3+174x+3−174
(2)4x+1+134x+1−134
(3)3x−3+63x−3−63
(4)6x+32x−33
【分析】（1）求出方程2x2+3x−1=0的解，即可分解因式；
（2）求出方程4x2+2x−3=0的解，即可分解因式；
（3）求出方程3x2−6x+1=0的解，即可分解因式；
（4）求出方程6x2+3x−3=0的解，即可分解因式．
【详解】（1）解：方程2x2+3x−1=0的两个解为x1=−3+174，x2=−3−174，
∴在实数范围内分解因式2x2+3x−1=2x−−3+174x−−3−174=2x+3+174x+3−174；
（2）解：方程4x2+2x−3=0的两个解为：x1=−1+134，x2=−1−134，
∴在实数范围内分解因式4x2+2x−3=4x−−1+134x−−1−134=4x+1+134x+1−134；
（3）解：方程3x2−6x+1=0的两个解为：x1=3+63，x2=3−63，
∴在实数范围内分解因式3x2−6x+1=3x−3+63x−3−63；
（4）解：方程6x2+3x−3=0的两个解为：x1=−32，x2=33，
∴在实数范围内分解因式6x2+3x−3=6x+32x−33．
【点睛】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根是x1和x2，那么二次三项式
ax2+bx+c可分解为：ax2+bx+c =ax−x1x−x2．
即学即练2 （2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在实数范围内分解因式2x2+3x−1= ．
【答案】2x−−3+174x−−3−174
【分析】先求出方程的两个根，再因式分解．
【详解】∵2x2+3x−1=0的根为x1=−3+174,x2=−3−174，
∴2x2+3x−1= 2x−−3+174x−−3−174．
故答案为：2x−−3+174x−−3−174．
【点睛】本题考查了因式分解，正确计算方程的两个根是解题的关键．

知识点二 一元二次方程根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，.
注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
2.方程（a≠0）的根与系数的关系的推导
若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为，
由求根公式得（），
令，.
由此可得+=+=，
=·=.
所以，.
这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）.
3.以x1，x2为实数根的一元二次方程（二次项系数为1）
4.与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形
前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0.



即学即练1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案；
（2）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案；
（3）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，，，
∴，；
（2）∵，
∴，，，
∴，；
（3）∵，即
∴，，，
∴，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．
即学即练2 一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．
题型一 换元法因式分解
例1 在实数范围内分解因式：
(1)x2y2+4xy+1；
(2)−12x2y2−3xy+4．
【答案】(1)(xy+2+3)(xy+2−3)
(2)−12(xy+3−17)(xy+3+17)
【分析】（1）令a=xy，得a2+4a+1=0，解出a1，a2，即可分解因式；
（2）令a=xy，得−12a2−3a+4=0，解出a1，a2，即可分解因式．
【详解】（1）令a=xy，则有方程为a2+4a+1=0，
解得：a1=−2+3，a2=−2−3，
∴a2+4a+1=(a+2−3)(a+2+3)
∴x2y2+4xy+1 =(xy+2+3)(xy+2−3)；
（2）令a=xy，则有方程为−12a2−3a+4=0，
解得：a1=−3+17，a2=−3−17，
∴−12a2−3a+4=−12(a+3−17)(a+3+17)
∴−12x2y2−3xy+4=−12(xy+3−17)(xy+3+17)．
【点睛】本题考查了因式分解，运用分解因式中整体思想，换元灵活变化应用是解题的关键．
举一反三1 在实数范围内分解因式：6x2y2+2xy−1．
【答案】6xy+1−76xy+1+76
【分析】令a=xy，该方程即为6a2+2a−1=0，求出a的值，然后分解因式即可．
【详解】令a=xy，该方程即为6a2+2a−1=0，解得：a1=−1+76，a2=−1−76，
则原式可分解为6a−−1+76a−−1−76=6xy+1−76xy+1+76．
【点睛】此题考查了换元法的思想一元二次方程的应用，在实数范围内分解因式，解题的关键是把一个字母当做未知数，另一个当做常数列方程求解．
举一反三2 在实数范围内分解因式：3x2y2−4xy−2；
【答案】3xy−2+103xy−2−103
【分析】首先解关于xy的方程，然后利用公式法进行因式分解；
【详解】解：关于xy的方程3x2y2−4xy−2=0的解是：xy=2±103，
∴3x2y2−4xy−2=3(xy−2+103)(xy−2−103)；
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止，求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根．
题型二 主元素法分解因式
主元素法：
当二次三项式式中有两种字母时,可选一个字母为主元素,另一字母为常数.
例如分解因式
以为主元素:.
所以
以为主元素:
所以
例2 （2021秋·上海奉贤·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2x2-3xy-4y2．
【答案】2(x−3+414y)(x−3−414y)
【分析】令2x2−3xy−4y2=0,把y看作是常数，再利用公式法解一元二次方程，再利用方程的两根得到因式分解的结果.
【详解】解：令2x2−3xy−4y2=0,
∴a=2,b=−3y,c=−4y2,
∴△=b2−4ac=(−3y)2−4×2×(−4y2)=41y2≥0,
∴x1=3y+41y4=3+414y,x2=3−414y,
∴ 2x2−3xy−4y2=2(x−3+414y)(x−3−414y)
【点睛】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，掌握“把某个未知数看作是常数，利用公式法解一元二次方程”是解本题的关键.
举一反三1 在实数范围内分解因式：2x2−4xy−5y2
【答案】(2x−2y+7y)(2x−2y−7y)
【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．
【详解】解：原式=2x2−4xy+2y2−2y2−5y2
=2(x2−2xy+y2)−7y2
=2(x−y)2−7y2
=(2x−2y)2−(7y)2
=(2x−2y+7y)(2x−2y−7y)．
【点睛】本题考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．
举一反三2 在实数范围内把多项式x2y−2xy−y分解因式所得的结果是 ．
【答案】yx−1+2x−1−2.
【分析】把y看作已知数，求出x2y−2xy−y=0的根，然后根据一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则a(x-x1)(x-x2)=0，进而分解因式即可．
【详解】对于x2y−2xy−y=0，
∴x=2y±2y22y=1±2，
∴x1=1+2，x2=1−2，
∴x2y−2xy−y=yx−1+2x−1−2，
故答案为：yx−1+2x−1−2．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0．
题型三 实数范围内分解因式求参数取值范围
例3 二次三项式3x2−4x+2k，当k取何值时，
(1)在实数范围内能分解；
(2)不能分解；
(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？
【答案】(1)k≤23
(2)k>23
(3)k=23，完全平方式为3x−232
【分析】（1）二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内能分解，则二次三项式对应的方程3x2−4x+2k=0有实数根，利用一元二次方程有实数根的条件列不等式求解即可得到答案；
（2）由（1）知，二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内不能分解，则二次三项式对应的方程3x2−4x+2k=0无实数根，利用一元二次方程有实数根的条件列不等式求解即可得到答案；
（3）由（1）（2）可知，当二次三项式3x2−4x+2k能分解成一个完全平方式，则二次三项式对应的方程3x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，即Δ=0，从而求出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，当二次三项式对应的方程3x2−4x+2k=0有实数根时，二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内能分解，
∴当3x2−4x+2k=0时，Δ=−42−4×3×2k =16−24k≥0，解得k≤23，
∴当k≤23时，二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内能分解；
（2）解：由（1）知，当k≤23时，二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内能分解，
∴当k>23时，二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内不能分解；
（3）解：由（1）（2）可知，当二次三项式3x2−4x+2k能分解成一个完全平方式，则二次三项式对应的方程3x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，即Δ=0，解得k=23，
此时，二次三项式为3x2−4x+43= 3x−232．
【点睛】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．
举一反三1 若多项式6x2−8x+2k−1在实数范围内不能分解因式，则k能取的最小整数值是多少？
【答案】2
【分析】由题意可知，多项式在实数范围内不能分解因式，所以方程6x2−8x+2k−1=0无解，即Δ