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沪教版 (五四制)八年级上册17．3 一元二次方程根的判别式优秀同步测试题
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这是一份沪教版 (五四制)八年级上册17．3 一元二次方程根的判别式优秀同步测试题，文件包含173一元二次方程根的判别式原卷版docx、173一元二次方程根的判别式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
学习目标：1.根据根的判别式不解方程判断一元二次方程根的情况；
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
3.能应用判别式解决实际问题.
重点：能通过一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况.
难点：确定含字母系数的方程的根的情况.
知识点一 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
将ax²+bx+c=0(a≠0)配方成(x+)2=后，可以看出，只有当b²-4ac≥0时，方程才有实数根，这样b²-4ac的值就决定着一元二次方程根的情况.
一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b²-4ac.
判别式△与一元二次方程根的情况
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，
即Δ= b2－4ac.
学生：请问一元二次方程根的判别式的主要应用有哪些？
老师：①不解方程，判断根的情况；
②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围
(1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a,b,c的值；(2)此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；(3)当 b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根。
即学即练 不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)方程有两不等实根
(2)方程无实数根
(3)方程有两相等实根
(4)方程有两不等实根
【分析】先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况．
【详解】（1）解：，，，
，
方程有两不等实根；
（2）解：，，，
，
方程无实数根；
（3）解：，，，
，
方程有两相等实根；
（4）解：，，，
，
方程有两不等实根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，，方程有两不相等的实数根，方程有两相等的实数根，，方程无实数根．
知识点二 探索一元二次方程的根与系数的关系
方程的根与系数的关系
设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，.
注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
方程（a≠0）的根与系数的关系的推导
若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为，
由求根公式得（），
令，.
由此可得+=+=，
=·=.
所以，.
这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）.
知识点三 以x1，x2为实数根的一元二次方程（二次项系数为1）
知识点四 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形
前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0.
即学即练1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案；
（2）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案；
（3）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，，，
∴，；
（2）∵，
∴，，，
∴，；
（3）∵，即
∴，，，
∴，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．
即学即练2 （2023·山东·统考中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．
题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
例1（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）若方程x2−2x−m+1=0没有实数根，试判断方程x2−m+2x+2m+1=0根的情况并说明理由．
【答案】方程x2−m+2x+2m+1=0有两个不相等的实数根，理由见解析
【分析】由方程x2−m+2x+2m+1=0没有实数根，可求出m<0，进而可得出方程x2−m+2x+2m+1=0的根的判别式Δ>0，然后根据判别式的意义得出结论．
【详解】解：方程x2−m+2x+2m+1=0有两个不相等的实数根，
理由：∵方程x2−2x−m+1=0没有实数根，
∴Δ=−22−4×1×−m+1<0，
解得：m<0，
∴方程x2−m+2x+2m+1=0的根的判别式Δ=−m+22−4×1×2m+1=m2−4m>0，
∴方程x2−m+2x+2m+1=0有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键．
举一反三1（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）已知关于x的方程2+kx2+6kx+4k+1=0有两个相等的实数根，求k的值和此时方程的根．
【答案】k=2或k=−15，方程的根为：x=−32或x=13
【分析】根据题意得：2+k≠0且b2−4ac=0解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得．
【详解】解：根据题意，得：2+k≠0，即k≠−2，
b2−4ac=6k2−4×2+k4k+1=0，
解得：k=2或k=−15，
当k=2时，方程为4x2+12x+9=0，
解得：x=−32，
当k=−15时，方程为95x2−65x+15=0，
解得：x=13，
∴k=2或k=−15，x=−32或x=13．
【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义，解题的关键是掌ax2+bx+c=0a≠0的根与b2−4ac有如下关系：当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2−4ac<0时，方程无实数根．
举一反三2（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2x=1（m为实数）．
(1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
(2)如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．
(3)如果该方程没有实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)m>−2且m≠−1
(2)m=−2
(3)m<−2
【分析】（1）先根据一元二次方程的定义可得m≠−1，再根据一元二次方程的根的判别式Δ>0即可得；
（2）先根据一元二次方程的定义可得m≠−1，再根据一元二次方程的根的判别式Δ=0即可得；
（3）先根据一元二次方程的定义可得m≠−1，再根据一元二次方程的根的判别式Δ<0即可得．
【详解】（1）∵方程(m+1)x2+2x=1是关于x的一元二次方程，
∴m+1≠0，
解得m≠−1，
如果该方程有两个不相等的实数根，
则其根的判别式Δ=22−4×m+1×−1>0，
解得m>−2，
故此时m的取值范围为m>−2且m≠−1；
（2）如果该方程有两个相等的实数根，
则其根的判别式Δ=22−4×m+1×−1=0，
解得m=−2；
（3）如果该方程没有实数根，
则其根的判别式Δ=22−4×m+1×−1<0，
解得m<−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键．
题型二 根据一元二次方程根的情况求参数
例2（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程m4x2−mx=x−m．
(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
(3)有实根，求m的最小整数值．
【答案】(1)m>−12且m≠0
(2)m=−12，x1=x2=−2
(3)0
【分析】（1）分两种情况讨论：当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0；当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，根据方程根的情况可得Δ=b2−4ac>0，求解即可；
（2）当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0；当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，根据方程根的情况可得Δ=b2−4ac=0，求解即可；
（3）当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0；当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，根据方程根的情况可得Δ=b2−4ac≥0，求解即可．
【详解】（1）解：m4x2−mx=x−m，
移项合并同类项得：m4x2−(m+1)x+m=0，
当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，
由题意得：Δ=b2−4ac=−m+12−4×m4×m>0，
解得：m>−12；
当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0，只有一个实数根，不符合题意；
∴m的取值范围是m>−12且m≠0；
（2）解：当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0，只有一个实数根，不符合题意；
当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，
由题意得：Δ=b2−4ac=−m+12−4×m4×m=0，
解得：m=−12，
把m=−12代入m4x2−mx=x−m得：−18x2−12x−12=0，
整理得：x2+4x+4=0，
解得：x1=x2=−2；
（3）解：当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0，有一个实数根，符合题意，
当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，
由题意得：Δ=b2−4ac=−m+12−4×m4×m≥0，
解得：m≥−12，
∴m的最小整数值是0；
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ=b2−4ac与一元二次方程根的情况是解题的关键．
举一反三1（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知关于x的方程k+1x2+k+1x+12=0，当k是什么实数时，有两个相等的实数根，并且求出这两个根．
【答案】k=1；x1=x2=−12
【分析】若方程有两个相等的实数根，则方程的Δ=0，可据此求出k的值，进而可确定原一元二次方程，从而求出方程的根．
【详解】解：∵关于x的方程(k+1)x2+(k+1)x+12=0有两个相等的实数根，
∴k+1≠0，且Δ=b2−4ac=(k+1)2−4(k+1)×12=0，
解得k=1；
故原方程为：2x2+2x+12=0，
解得x1=x2=−12．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
举一反三2（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于x的方程k+1x2−2k−1x+k−1=0
(1)当k取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】(1)k=−1
(2)k<1且k≠−1
【分析】（1）先根据方程只有一个根可知此方程是一元一次方程，故可得出k的值；
（2）根据方程有两个相等的实数根可知k+1≠0−2k−12−4k+1k−1>0，由此即可得出k的取值范围．
【详解】（1）解：当k+1=0时，得：k=−1，
此时−2k−1=−2×−1−1=4≠0，
则方程4x−2=0为一元一次方程，它的根是x=12，此时方程只有一个根，
∴当k=−1时，方程只有一个根；
（2）∵关于x的方程k+1x2−2k−1x+k−1=0有两个不相等的实数根，
∴k+1≠0−2k−12−4k+1k−1>0，
解得：k<1且k≠−1，
∴k的取值范围是k<1且k≠−1．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程的定义及根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的情况与判别式Δ=b2−4ac的关系：Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ<0⇔方程没有实数根．掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
题型三 已知方程的一个根，求另一个根或字母系数的值
例3 （2023秋·广西防城港·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）把代入方程，可求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，即，
解得：，
又∵，
∴m的取值范围是且．
（2）解：把代入方程得：，
解得：．
∴原方程为，
设方程的另一个根为a，
∵方程有一个根是，
∴，
解得：，
即方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
举一反三1 （2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求m的值及另一个根；
(2)若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)，另一个根为
(2)且
【分析】（1）将代入原方程可求出的值，将的值代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根；
（2）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：将代入原方程得，
解得：．
当时，原方程为，即，
，，
方程的另一个根为．
（2）解：方程有两个不同的实数根，
，
解得：且，
当且时，方程有两个不同的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根的判别式，解题的关键是：（1）代入求出值；（2）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组．
举一反三2 已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此方程有一个根是0，求出m的值和另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)m=2，方程的另一个根是2．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值正负即可得证；
（2）把x=0代入方程求出m的值，即可确定出另一根．
【详解】（1）证明：Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不等实数根；
（2）解：∵方程有一个根是0，
∴m-2=0，
解得：m=2，
∴x2-2x=0，即x（x-2）=0，
解得：x1=0，x2=2，
∴此方程的另一个根是2．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义以及因式分解法解一元二次方程．
题型四 求由方程两根构成的代数式的值
例4 已知一元二次方程的两个根分别是、，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】结合题意利用一元二次方程根与系数的关系求得，，代入即可求解．
【详解】解：一元二次方程的两个根分别是、，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值；熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
举一反三1 （2023春·江苏南京·九年级统考期中）设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将所求式子变形为，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握方程的两根之和与两根之积与方程各系数之间的关系是解题的关键．
举一反三2 （2023·江西宜春·统考二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【答案】0
【分析】由题意知，，则．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
题型五 求方程中字母系数的值
例5 （2023·四川成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，若，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
∵
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键．
举一反三1 （2023秋·湖北黄石·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为，，且，则的值是 ．
【答案】3
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1·x2的值，把化简后代入，即可求出k的值.
【详解】由题意得
x1+x2=-2k-1，x1·x2=.
∵，
∴1+ x1+x2+x1·x2=3，
∴1-2k-1+k2=3，
解之得
k1=3，k2=-1.
∵(2k+1)2-4k2>0，
∴k>-，
∴k=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式及根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， .
举一反三2 （2023·四川巴中·校考二模）已知关于的一元二次方程．两实数根分别为，且满足，则实数的值为 ．
【答案】2
【分析】先由一元二次方程根的判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围，再根据根与系数的关系可得：，，代入得到关于m的一元二次方程，解方程并根据（1）中的m的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
，
解得：，
即的取值范围是；
∵由根与系数的关系可得：，
∴
，
∵，
∴，即，
∴，
解得或，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确计算是解题的关键．
题型六 已知方程的两个根，求新的一元二次方程
例6 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的一个根为，求方程的另一根和的值．
(3)当时，若另一个一元二次方程的两个根分别是这个方程两个根的3倍，求另一个方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得，列出不等式求解即可；
（2）先根据根于系数关系，求出两根之和，即可求出另一个根；
（3）根据题意，得出原方程为，求出两根之和于两根之积，进而得出另一个方程两根之和与两根之积，即可求解．
【详解】（1）解：∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：；
（2）解：根据题意可得：，
∵方程的一个根为，
∴另一个根为；
∴，
∴；
（3）解：当时，原方程为：，
∴，
令该方程两根分别为，
∴，，
∵另一个一元二次方程的两个根分别是这个方程两个根的3倍，
∴另一个方程两根之和为，
另一个方程两根之积为，
∴ 另一个方程为：，即．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围和根与系数关系，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．以及一元二次方程根与系数关系：．
举一反三 已知,是方程的两个根，求以和为根的一个一元二次方程.
【分析】先运用一元二次方程根与系数的关系，得出，的值，然后再分别求出新的两根之和与两根之积，最后写出方程.
【详解】∵,是方程的两个根，
∴=-3，=-5.
∴以和为根的一个一元二次方程为.
题型七 一元二次方程参数最值问题
例7 （2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知关于x的方程有两个实数根a、b．
(1)求k的取值范围；
(2)若k是满足条件的最小整数，求的值．
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）求得最小整数k，再利用一元二次方程的解和根与系数关系求得，，代入所求代数式中求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根a、b，
∴且，
解得且；
（2）解：∵且，
∴k的最小整数为2，
∴方程为，
∵a、b为方程的两个根，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数关系、一元二次方程的解以及解一元一次不等式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件．
举一反三1 （2022秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式的值．
【答案】(1)k＞﹣且k≠0；(2)205．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且
，然后求得两个不等式的公共部分即可；
（2）k＝1，方程变为，利用根与系数的关系得到，利用一元二次方程的定义得到，，则，然后利用整体代入法计算的值．
【详解】（1）解：根据题意得k≠0且，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）解：∵k取满足（1）中条件的最小整数，
∴k＝1，此时方程变为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
＝
＝
＝2×1+203
＝205．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和解，根的判别式以及根与系数的关系，根据题意列出不等式和将降次变形成一次式是解题的关键．
举一反三2 （2022秋·河南鹤壁·九年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）已知：关于的方程=0没有实数根．
求的取值范围；
若关于的一元二次方程有实数根，求证：该方程两根的符号相同；
设中方程的两根分别为、，若，且为整数，求的最小整数值．
【答案】 的取值范围是；证明见解析； 的最小值为．
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系解答即可；（2）根据由于方程mx2+（n-2）x+m-3=0有两个实数根可知m≠0，当m＞4时，即可得出两根的积＞0，从而得出方程的两根符号相同；（3）由已知得m≠0，α+β= ，α•β=，再根据α：β=1：2，得出3α=，2α2=，再进行整理得出（n-2）2=m（m-3），根据m＞4，且n为整数，得出m为整数，即可得出答案．
【详解】∵关于的方程没有实数根，
∴，
∴，
∴的取值范围是；
由于方程有两个实数根可知，
当时，，即方程的两根之积为正，
故方程的两根符号相同．
由已知得：，，．
∵，
∴，．
，即．
∵，且为整数，
∴为整数；
当时，．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．
题型八 新定义问题
例8 （2023秋·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．
【答案】5
【分析】①根据凤凰方程的定义可知：是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，，求出的值，再进行计算即可；②利用凤凰方程的定义、根据系数法的关系求解．
【详解】解：法一：根据题意得：
解得：，
则．
法二：∵是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
∴的两个根均为1，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得到是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题．
举一反三1 （2022秋·山西·九年级山西实验中学校考期中）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请说明方程是倍根方程；
(2)若是倍根方程，则____________；
(3)若一元二次方程是倍根方程，则a，b，c的等量关系是________（直接写出结果）．
【答案】(1)见解析；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）利用因式分解法解方程可得，然后根据倍根方程可判断方程是倍根方程；
（2）利用因式分解法解方程可得，，再利用倍根方程的定义得到n的值；
（3）先根据倍根方程定义，设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系，即可求得解．
【详解】（1）
或，
∴，∴
∴方程是倍根方程．
（2） 是倍根方程，
，
当 时，，
当 时， ，
或．
故答案为或．
（3）∵一元二次方程是倍根方程，
∴设方程的两根分别为t，，
根据根与系数的关系得，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程解得定义，熟悉掌握相关关系是解题的关键．
举一反三2 若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根分别是，，则方程是“邻根方程”．
(1)直接写出下列方程的根，并判断是否为“邻根方程”：
①；②；
(2)若关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值；
(3)若关于的方程（，是常数，是“邻根方程”，探索与之间的数量关系，并加以说明．
【答案】(1)①，，不是“邻根方程”；②，，是“邻根方程”
(2)或
(3)
【分析】（1）分别求得①②中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）将方程化为求得两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于m的方程求解即可，注意有两种情况；
（3）设方程的两个根，根据 “邻根方程”的定义得到，利用根与系数关系可得到a、b的数量关系．
【详解】（1）解：①解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
②解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
（2）解：解方程即得，，
∵该方程是“邻根方程”，
∴或，
解得或；
（3）解：∵关于的方程（，是常数，是“邻根方程”，
∴设方程的两个根，则，，，，
由得，
∴，即，
∴即．
【点睛】本题考查解一元二次方程、根与系数的关系，解答的关键是正确理解“邻根方程”的定义，熟练运用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
单选题
1．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3B．x2−2x−m2C．x2−2x−mD．3x2−4xy+5y2
【答案】B
【分析】转化一元二次方程根的判别式计算判断即可．
【详解】A. ∵x2+2x+3=0中，Δ=22−4×1×3＜0，
∴x2+2x+3=0无实数根，
故x2+2x+3在实数范围内不能因式分解，不符合题意；
B. ∵x2−2x−m2=0中，Δ=−22−4×1×−m2=4+4m2＞0，
∴x2−2x−m2=0有两个不相等的实数根，
故x2−2x−m2在实数范围内能因式分解，符合题意；
C.∵x2−2x−m=0中，Δ=−22−4×1×m=4+4m，无法确定属性，
∴x2−2x−m=0不一定有实数根，
故x2−2x−m在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
D. ∵3x2−4xy+5y2=0中，Δ=−4y2−4×3×5y2=−44y2＜0，
∴3x2−4xy+5y2=0无实数根，
故3x2−4xy+5y2在实数范围内不能因式分解，不符合题意；
故选Ｂ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
2．（2023·上海·八年级假期作业）已知关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，若k为非负整数，则k等于（ ）
A．0B．1C．0或1D．12
【答案】B
【分析】根据一元二次方程求根公式得出Δ=−22−4k≥0，求出k≤1，根据k为非负整数，得出k=0或1，再根据二次项系数非零即可求得k．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，
∴Δ=−22−4k≥0，
解得：k≤1，
∵k为非负整数，且k≠0
∴k=1，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
3．（2023·上海·八年级假期作业）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1B．m≤−1C．m<−1D．m≥−1且m≠0
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m+5=0有实数根，
∴Δ=42−4m+5≥0，
∴m≤−1，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．
4．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
5．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题
1．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）一元二次方程3x2=2的根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】先化成一般式再求根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：3x2−2=0
∵a=3,b=0,c=−2
∴Δ=02−4×3×−2=24>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
2．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）当k 时，k+2x2−6x+1=0有两个不相等的实数根．
【答案】k<7且k≠−2
【分析】一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0a≠0．当判别式Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，一元二次方程没有实数根．首先根据一元二次方程的定义得到k+2≠0，然后根据题意得到判别式Δ=(−6)2−4(k+2)>0，解不等式组即可获得答案．
【详解】解：∵关于x的方程k+2x2−6x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k+2≠0Δ=(−6)2−4(k+2)>0，解得k≠−2k<7，
∴k<7且k≠−2．
故答案为：k<7且k≠−2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义和判别式、解不等式组等知识，解题的关键是根据题意列出不等式组并求解．
3．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）已知关于y的方程y2+3y−a=0的判别式的值为13，则a= ．
【答案】1
【分析】根据题意可得Δ=32−4×1×(−a)=13，求解即可．
【详解】解：根据题意，关于y的方程y2+3y−a=0的判别式的值为13，
可得Δ=32−4×1×(−a)=13，
解得a=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程等知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．
4．（2023春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【答案】
【分析】由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，
∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查根与系数的关系，求代数式的值，一元二次方程解的定义．解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．
5．（2023·江西吉安·统考模拟预测）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ．
【答案】4
【分析】根据根与系数关系直接列式即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴，
故答案为：4；
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握．
6．（2023·辽宁营口·统考中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【详解】设另一个根为，
根据题意：，
解得，，
即另一个根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义．
7．（2023·江苏泰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系进行求值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握．
三、解答题
1.（2022秋·上海静安·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k−12=0有一个根为0，求这个方程的根的判别式的值．
【答案】9
【分析】将x=0代入关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k−12=0，可求得k的值，进而可得到一元二次方程的解析式．
【详解】将x=0代入关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k−12=0，得
k−12=0．
解得：k=1．
所以，关于x的一元二次方程为x2+3x=0．
则方程的根的判别式Δ=b2−4ac=9．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，牢记一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式（Δ=b2−4ac）是解题的关键．
2．（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）已知关于x一元二次方程kx2+4x−2=0有两个实数根，求k的取值范围．
【答案】k≥−2且k≠0
【分析】根据方程有两个实数根得到Δ≥0，且k≠0，即可求出k的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程kx2+4x−2=0有两个实数根，
∴Δ≥0，且k≠0
∴42−4k×−2≥0，
解得k≥−2且k≠0．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，正确掌握一元二次方程根的判别式与根的三种情况的关系是解题的关键．
3．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）已知关于x的方程kx2−(3k−1)x+2k=1中，根的判别式的值是1，求k的值并解这个方程．
【答案】k=2，解为x1=−12，x2=3
【分析】由题意知，k≠0，计算出根的判别式，解方程即可求得k的值，再解方程即可．
【详解】原方程整理得：kx2−(3k−1)x+2k−1=0，
由题意知，k≠0，且−(3k−1)2−4k(2k−1)=1，
解得k=2，k=0（舍去），
当k=2时，原方程为：2x2−5x−3=0，
解得：x1=−12，x2=3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识，注意二次项系数非零．
4．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）先根据根与系数的关系求出的值，再代入求解即可．
【详解】（1）证明：
∵，
∴恒成立，
故无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，，
代入可得：
，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
5．（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断．
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到m的值．
【详解】（1）∵方程中，，，
∴
∴方程总有两个实数根．
（2）∵方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知：，
∵，
∴联立得，
解得
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣2(1﹣m)x+m2＝0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣1时，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据根的判别式和得出△≥0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=，x1•x2=，把进行变形，再代入求出答案．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0有实数根，
则△＝b2﹣4ac≥0，
即[﹣2（1﹣m）]2﹣4×1×m2≥0，
∴；
∴m的取值范围为：；
（2）当m＝﹣1时，x2﹣4x+1＝0，
设x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝1，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
判别式的情况
根的情况
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
学习目标：1.根据根的判别式不解方程判断一元二次方程根的情况；
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
3.能应用判别式解决实际问题.
重点：能通过一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况.
难点：确定含字母系数的方程的根的情况.
知识点一 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
将ax²+bx+c=0(a≠0)配方成(x+)2=后，可以看出，只有当b²-4ac≥0时，方程才有实数根，这样b²-4ac的值就决定着一元二次方程根的情况.
一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b²-4ac.
判别式△与一元二次方程根的情况
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，
即Δ= b2－4ac.
学生：请问一元二次方程根的判别式的主要应用有哪些？
老师：①不解方程，判断根的情况；
②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围
(1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a,b,c的值；(2)此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；(3)当 b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根。
即学即练 不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)方程有两不等实根
(2)方程无实数根
(3)方程有两相等实根
(4)方程有两不等实根
【分析】先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况．
【详解】（1）解：，，，
，
方程有两不等实根；
（2）解：，，，
，
方程无实数根；
（3）解：，，，
，
方程有两相等实根；
（4）解：，，，
，
方程有两不等实根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，，方程有两不相等的实数根，方程有两相等的实数根，，方程无实数根．
知识点二 探索一元二次方程的根与系数的关系
方程的根与系数的关系
设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，.
注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
方程（a≠0）的根与系数的关系的推导
若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为，
由求根公式得（），
令，.
由此可得+=+=，
=·=.
所以，.
这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）.
知识点三 以x1，x2为实数根的一元二次方程（二次项系数为1）
知识点四 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形
前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0.
即学即练1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案；
（2）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案；
（3）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，，，
∴，；
（2）∵，
∴，，，
∴，；
（3）∵，即
∴，，，
∴，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．
即学即练2 （2023·山东·统考中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．
题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
例1（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）若方程x2−2x−m+1=0没有实数根，试判断方程x2−m+2x+2m+1=0根的情况并说明理由．
【答案】方程x2−m+2x+2m+1=0有两个不相等的实数根，理由见解析
【分析】由方程x2−m+2x+2m+1=0没有实数根，可求出m<0，进而可得出方程x2−m+2x+2m+1=0的根的判别式Δ>0，然后根据判别式的意义得出结论．
【详解】解：方程x2−m+2x+2m+1=0有两个不相等的实数根，
理由：∵方程x2−2x−m+1=0没有实数根，
∴Δ=−22−4×1×−m+1<0，
解得：m<0，
∴方程x2−m+2x+2m+1=0的根的判别式Δ=−m+22−4×1×2m+1=m2−4m>0，
∴方程x2−m+2x+2m+1=0有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键．
举一反三1（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）已知关于x的方程2+kx2+6kx+4k+1=0有两个相等的实数根，求k的值和此时方程的根．
【答案】k=2或k=−15，方程的根为：x=−32或x=13
【分析】根据题意得：2+k≠0且b2−4ac=0解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得．
【详解】解：根据题意，得：2+k≠0，即k≠−2，
b2−4ac=6k2−4×2+k4k+1=0，
解得：k=2或k=−15，
当k=2时，方程为4x2+12x+9=0，
解得：x=−32，
当k=−15时，方程为95x2−65x+15=0，
解得：x=13，
∴k=2或k=−15，x=−32或x=13．
【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义，解题的关键是掌ax2+bx+c=0a≠0的根与b2−4ac有如下关系：当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2−4ac<0时，方程无实数根．
举一反三2（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2x=1（m为实数）．
(1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
(2)如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．
(3)如果该方程没有实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)m>−2且m≠−1
(2)m=−2
(3)m<−2
【分析】（1）先根据一元二次方程的定义可得m≠−1，再根据一元二次方程的根的判别式Δ>0即可得；
（2）先根据一元二次方程的定义可得m≠−1，再根据一元二次方程的根的判别式Δ=0即可得；
（3）先根据一元二次方程的定义可得m≠−1，再根据一元二次方程的根的判别式Δ<0即可得．
【详解】（1）∵方程(m+1)x2+2x=1是关于x的一元二次方程，
∴m+1≠0，
解得m≠−1，
如果该方程有两个不相等的实数根，
则其根的判别式Δ=22−4×m+1×−1>0，
解得m>−2，
故此时m的取值范围为m>−2且m≠−1；
（2）如果该方程有两个相等的实数根，
则其根的判别式Δ=22−4×m+1×−1=0，
解得m=−2；
（3）如果该方程没有实数根，
则其根的判别式Δ=22−4×m+1×−1<0，
解得m<−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键．
题型二 根据一元二次方程根的情况求参数
例2（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程m4x2−mx=x−m．
(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
(3)有实根，求m的最小整数值．
【答案】(1)m>−12且m≠0
(2)m=−12，x1=x2=−2
(3)0
【分析】（1）分两种情况讨论：当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0；当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，根据方程根的情况可得Δ=b2−4ac>0，求解即可；
（2）当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0；当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，根据方程根的情况可得Δ=b2−4ac=0，求解即可；
（3）当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0；当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，根据方程根的情况可得Δ=b2−4ac≥0，求解即可．
【详解】（1）解：m4x2−mx=x−m，
移项合并同类项得：m4x2−(m+1)x+m=0，
当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，
由题意得：Δ=b2−4ac=−m+12−4×m4×m>0，
解得：m>−12；
当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0，只有一个实数根，不符合题意；
∴m的取值范围是m>−12且m≠0；
（2）解：当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0，只有一个实数根，不符合题意；
当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，
由题意得：Δ=b2−4ac=−m+12−4×m4×m=0，
解得：m=−12，
把m=−12代入m4x2−mx=x−m得：−18x2−12x−12=0，
整理得：x2+4x+4=0，
解得：x1=x2=−2；
（3）解：当m=0时，m4x2−mx=x−m变成x=0，有一个实数根，符合题意，
当m≠0时，m4x2−mx=x−m是一元二次方程，
由题意得：Δ=b2−4ac=−m+12−4×m4×m≥0，
解得：m≥−12，
∴m的最小整数值是0；
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ=b2−4ac与一元二次方程根的情况是解题的关键．
举一反三1（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知关于x的方程k+1x2+k+1x+12=0，当k是什么实数时，有两个相等的实数根，并且求出这两个根．
【答案】k=1；x1=x2=−12
【分析】若方程有两个相等的实数根，则方程的Δ=0，可据此求出k的值，进而可确定原一元二次方程，从而求出方程的根．
【详解】解：∵关于x的方程(k+1)x2+(k+1)x+12=0有两个相等的实数根，
∴k+1≠0，且Δ=b2−4ac=(k+1)2−4(k+1)×12=0，
解得k=1；
故原方程为：2x2+2x+12=0，
解得x1=x2=−12．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
举一反三2（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于x的方程k+1x2−2k−1x+k−1=0
(1)当k取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】(1)k=−1
(2)k<1且k≠−1
【分析】（1）先根据方程只有一个根可知此方程是一元一次方程，故可得出k的值；
（2）根据方程有两个相等的实数根可知k+1≠0−2k−12−4k+1k−1>0，由此即可得出k的取值范围．
【详解】（1）解：当k+1=0时，得：k=−1，
此时−2k−1=−2×−1−1=4≠0，
则方程4x−2=0为一元一次方程，它的根是x=12，此时方程只有一个根，
∴当k=−1时，方程只有一个根；
（2）∵关于x的方程k+1x2−2k−1x+k−1=0有两个不相等的实数根，
∴k+1≠0−2k−12−4k+1k−1>0，
解得：k<1且k≠−1，
∴k的取值范围是k<1且k≠−1．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程的定义及根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的情况与判别式Δ=b2−4ac的关系：Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ<0⇔方程没有实数根．掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
题型三 已知方程的一个根，求另一个根或字母系数的值
例3 （2023秋·广西防城港·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）把代入方程，可求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，即，
解得：，
又∵，
∴m的取值范围是且．
（2）解：把代入方程得：，
解得：．
∴原方程为，
设方程的另一个根为a，
∵方程有一个根是，
∴，
解得：，
即方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
举一反三1 （2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求m的值及另一个根；
(2)若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)，另一个根为
(2)且
【分析】（1）将代入原方程可求出的值，将的值代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根；
（2）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：将代入原方程得，
解得：．
当时，原方程为，即，
，，
方程的另一个根为．
（2）解：方程有两个不同的实数根，
，
解得：且，
当且时，方程有两个不同的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根的判别式，解题的关键是：（1）代入求出值；（2）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组．
举一反三2 已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此方程有一个根是0，求出m的值和另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)m=2，方程的另一个根是2．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值正负即可得证；
（2）把x=0代入方程求出m的值，即可确定出另一根．
【详解】（1）证明：Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不等实数根；
（2）解：∵方程有一个根是0，
∴m-2=0，
解得：m=2，
∴x2-2x=0，即x（x-2）=0，
解得：x1=0，x2=2，
∴此方程的另一个根是2．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义以及因式分解法解一元二次方程．
题型四 求由方程两根构成的代数式的值
例4 已知一元二次方程的两个根分别是、，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】结合题意利用一元二次方程根与系数的关系求得，，代入即可求解．
【详解】解：一元二次方程的两个根分别是、，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值；熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
举一反三1 （2023春·江苏南京·九年级统考期中）设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将所求式子变形为，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握方程的两根之和与两根之积与方程各系数之间的关系是解题的关键．
举一反三2 （2023·江西宜春·统考二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【答案】0
【分析】由题意知，，则．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
题型五 求方程中字母系数的值
例5 （2023·四川成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，若，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
∵
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键．
举一反三1 （2023秋·湖北黄石·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为，，且，则的值是 ．
【答案】3
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1·x2的值，把化简后代入，即可求出k的值.
【详解】由题意得
x1+x2=-2k-1，x1·x2=.
∵，
∴1+ x1+x2+x1·x2=3，
∴1-2k-1+k2=3，
解之得
k1=3，k2=-1.
∵(2k+1)2-4k2>0，
∴k>-，
∴k=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式及根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， .
举一反三2 （2023·四川巴中·校考二模）已知关于的一元二次方程．两实数根分别为，且满足，则实数的值为 ．
【答案】2
【分析】先由一元二次方程根的判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围，再根据根与系数的关系可得：，，代入得到关于m的一元二次方程，解方程并根据（1）中的m的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
，
解得：，
即的取值范围是；
∵由根与系数的关系可得：，
∴
，
∵，
∴，即，
∴，
解得或，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确计算是解题的关键．
题型六 已知方程的两个根，求新的一元二次方程
例6 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的一个根为，求方程的另一根和的值．
(3)当时，若另一个一元二次方程的两个根分别是这个方程两个根的3倍，求另一个方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得，列出不等式求解即可；
（2）先根据根于系数关系，求出两根之和，即可求出另一个根；
（3）根据题意，得出原方程为，求出两根之和于两根之积，进而得出另一个方程两根之和与两根之积，即可求解．
【详解】（1）解：∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：；
（2）解：根据题意可得：，
∵方程的一个根为，
∴另一个根为；
∴，
∴；
（3）解：当时，原方程为：，
∴，
令该方程两根分别为，
∴，，
∵另一个一元二次方程的两个根分别是这个方程两个根的3倍，
∴另一个方程两根之和为，
另一个方程两根之积为，
∴ 另一个方程为：，即．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围和根与系数关系，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．以及一元二次方程根与系数关系：．
举一反三 已知,是方程的两个根，求以和为根的一个一元二次方程.
【分析】先运用一元二次方程根与系数的关系，得出，的值，然后再分别求出新的两根之和与两根之积，最后写出方程.
【详解】∵,是方程的两个根，
∴=-3，=-5.
∴以和为根的一个一元二次方程为.
题型七 一元二次方程参数最值问题
例7 （2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知关于x的方程有两个实数根a、b．
(1)求k的取值范围；
(2)若k是满足条件的最小整数，求的值．
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）求得最小整数k，再利用一元二次方程的解和根与系数关系求得，，代入所求代数式中求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根a、b，
∴且，
解得且；
（2）解：∵且，
∴k的最小整数为2，
∴方程为，
∵a、b为方程的两个根，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数关系、一元二次方程的解以及解一元一次不等式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件．
举一反三1 （2022秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式的值．
【答案】(1)k＞﹣且k≠0；(2)205．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且
，然后求得两个不等式的公共部分即可；
（2）k＝1，方程变为，利用根与系数的关系得到，利用一元二次方程的定义得到，，则，然后利用整体代入法计算的值．
【详解】（1）解：根据题意得k≠0且，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）解：∵k取满足（1）中条件的最小整数，
∴k＝1，此时方程变为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
＝
＝
＝2×1+203
＝205．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和解，根的判别式以及根与系数的关系，根据题意列出不等式和将降次变形成一次式是解题的关键．
举一反三2 （2022秋·河南鹤壁·九年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）已知：关于的方程=0没有实数根．
求的取值范围；
若关于的一元二次方程有实数根，求证：该方程两根的符号相同；
设中方程的两根分别为、，若，且为整数，求的最小整数值．
【答案】 的取值范围是；证明见解析； 的最小值为．
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系解答即可；（2）根据由于方程mx2+（n-2）x+m-3=0有两个实数根可知m≠0，当m＞4时，即可得出两根的积＞0，从而得出方程的两根符号相同；（3）由已知得m≠0，α+β= ，α•β=，再根据α：β=1：2，得出3α=，2α2=，再进行整理得出（n-2）2=m（m-3），根据m＞4，且n为整数，得出m为整数，即可得出答案．
【详解】∵关于的方程没有实数根，
∴，
∴，
∴的取值范围是；
由于方程有两个实数根可知，
当时，，即方程的两根之积为正，
故方程的两根符号相同．
由已知得：，，．
∵，
∴，．
，即．
∵，且为整数，
∴为整数；
当时，．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．
题型八 新定义问题
例8 （2023秋·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．
【答案】5
【分析】①根据凤凰方程的定义可知：是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，，求出的值，再进行计算即可；②利用凤凰方程的定义、根据系数法的关系求解．
【详解】解：法一：根据题意得：
解得：，
则．
法二：∵是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
∴的两个根均为1，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得到是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题．
举一反三1 （2022秋·山西·九年级山西实验中学校考期中）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请说明方程是倍根方程；
(2)若是倍根方程，则____________；
(3)若一元二次方程是倍根方程，则a，b，c的等量关系是________（直接写出结果）．
【答案】(1)见解析；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）利用因式分解法解方程可得，然后根据倍根方程可判断方程是倍根方程；
（2）利用因式分解法解方程可得，，再利用倍根方程的定义得到n的值；
（3）先根据倍根方程定义，设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系，即可求得解．
【详解】（1）
或，
∴，∴
∴方程是倍根方程．
（2） 是倍根方程，
，
当 时，，
当 时， ，
或．
故答案为或．
（3）∵一元二次方程是倍根方程，
∴设方程的两根分别为t，，
根据根与系数的关系得，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程解得定义，熟悉掌握相关关系是解题的关键．
举一反三2 若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根分别是，，则方程是“邻根方程”．
(1)直接写出下列方程的根，并判断是否为“邻根方程”：
①；②；
(2)若关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值；
(3)若关于的方程（，是常数，是“邻根方程”，探索与之间的数量关系，并加以说明．
【答案】(1)①，，不是“邻根方程”；②，，是“邻根方程”
(2)或
(3)
【分析】（1）分别求得①②中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）将方程化为求得两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于m的方程求解即可，注意有两种情况；
（3）设方程的两个根，根据 “邻根方程”的定义得到，利用根与系数关系可得到a、b的数量关系．
【详解】（1）解：①解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
②解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
（2）解：解方程即得，，
∵该方程是“邻根方程”，
∴或，
解得或；
（3）解：∵关于的方程（，是常数，是“邻根方程”，
∴设方程的两个根，则，，，，
由得，
∴，即，
∴即．
【点睛】本题考查解一元二次方程、根与系数的关系，解答的关键是正确理解“邻根方程”的定义，熟练运用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
单选题
1．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3B．x2−2x−m2C．x2−2x−mD．3x2−4xy+5y2
【答案】B
【分析】转化一元二次方程根的判别式计算判断即可．
【详解】A. ∵x2+2x+3=0中，Δ=22−4×1×3＜0，
∴x2+2x+3=0无实数根，
故x2+2x+3在实数范围内不能因式分解，不符合题意；
B. ∵x2−2x−m2=0中，Δ=−22−4×1×−m2=4+4m2＞0，
∴x2−2x−m2=0有两个不相等的实数根，
故x2−2x−m2在实数范围内能因式分解，符合题意；
C.∵x2−2x−m=0中，Δ=−22−4×1×m=4+4m，无法确定属性，
∴x2−2x−m=0不一定有实数根，
故x2−2x−m在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
D. ∵3x2−4xy+5y2=0中，Δ=−4y2−4×3×5y2=−44y2＜0，
∴3x2−4xy+5y2=0无实数根，
故3x2−4xy+5y2在实数范围内不能因式分解，不符合题意；
故选Ｂ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
2．（2023·上海·八年级假期作业）已知关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，若k为非负整数，则k等于（ ）
A．0B．1C．0或1D．12
【答案】B
【分析】根据一元二次方程求根公式得出Δ=−22−4k≥0，求出k≤1，根据k为非负整数，得出k=0或1，再根据二次项系数非零即可求得k．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，
∴Δ=−22−4k≥0，
解得：k≤1，
∵k为非负整数，且k≠0
∴k=1，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
3．（2023·上海·八年级假期作业）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1B．m≤−1C．m<−1D．m≥−1且m≠0
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m+5=0有实数根，
∴Δ=42−4m+5≥0，
∴m≤−1，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．
4．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
5．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题
1．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）一元二次方程3x2=2的根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】先化成一般式再求根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：3x2−2=0
∵a=3,b=0,c=−2
∴Δ=02−4×3×−2=24>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
2．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）当k 时，k+2x2−6x+1=0有两个不相等的实数根．
【答案】k<7且k≠−2
【分析】一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0a≠0．当判别式Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，一元二次方程没有实数根．首先根据一元二次方程的定义得到k+2≠0，然后根据题意得到判别式Δ=(−6)2−4(k+2)>0，解不等式组即可获得答案．
【详解】解：∵关于x的方程k+2x2−6x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k+2≠0Δ=(−6)2−4(k+2)>0，解得k≠−2k<7，
∴k<7且k≠−2．
故答案为：k<7且k≠−2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义和判别式、解不等式组等知识，解题的关键是根据题意列出不等式组并求解．
3．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）已知关于y的方程y2+3y−a=0的判别式的值为13，则a= ．
【答案】1
【分析】根据题意可得Δ=32−4×1×(−a)=13，求解即可．
【详解】解：根据题意，关于y的方程y2+3y−a=0的判别式的值为13，
可得Δ=32−4×1×(−a)=13，
解得a=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程等知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．
4．（2023春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【答案】
【分析】由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，
∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查根与系数的关系，求代数式的值，一元二次方程解的定义．解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．
5．（2023·江西吉安·统考模拟预测）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ．
【答案】4
【分析】根据根与系数关系直接列式即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴，
故答案为：4；
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握．
6．（2023·辽宁营口·统考中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【详解】设另一个根为，
根据题意：，
解得，，
即另一个根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义．
7．（2023·江苏泰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系进行求值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握．
三、解答题
1.（2022秋·上海静安·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k−12=0有一个根为0，求这个方程的根的判别式的值．
【答案】9
【分析】将x=0代入关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k−12=0，可求得k的值，进而可得到一元二次方程的解析式．
【详解】将x=0代入关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k−12=0，得
k−12=0．
解得：k=1．
所以，关于x的一元二次方程为x2+3x=0．
则方程的根的判别式Δ=b2−4ac=9．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，牢记一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式（Δ=b2−4ac）是解题的关键．
2．（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）已知关于x一元二次方程kx2+4x−2=0有两个实数根，求k的取值范围．
【答案】k≥−2且k≠0
【分析】根据方程有两个实数根得到Δ≥0，且k≠0，即可求出k的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程kx2+4x−2=0有两个实数根，
∴Δ≥0，且k≠0
∴42−4k×−2≥0，
解得k≥−2且k≠0．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，正确掌握一元二次方程根的判别式与根的三种情况的关系是解题的关键．
3．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）已知关于x的方程kx2−(3k−1)x+2k=1中，根的判别式的值是1，求k的值并解这个方程．
【答案】k=2，解为x1=−12，x2=3
【分析】由题意知，k≠0，计算出根的判别式，解方程即可求得k的值，再解方程即可．
【详解】原方程整理得：kx2−(3k−1)x+2k−1=0，
由题意知，k≠0，且−(3k−1)2−4k(2k−1)=1，
解得k=2，k=0（舍去），
当k=2时，原方程为：2x2−5x−3=0，
解得：x1=−12，x2=3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识，注意二次项系数非零．
4．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）先根据根与系数的关系求出的值，再代入求解即可．
【详解】（1）证明：
∵，
∴恒成立，
故无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，，
代入可得：
，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
5．（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断．
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到m的值．
【详解】（1）∵方程中，，，
∴
∴方程总有两个实数根．
（2）∵方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知：，
∵，
∴联立得，
解得
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣2(1﹣m)x+m2＝0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣1时，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据根的判别式和得出△≥0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=，x1•x2=，把进行变形，再代入求出答案．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0有实数根，
则△＝b2﹣4ac≥0，
即[﹣2（1﹣m）]2﹣4×1×m2≥0，
∴；
∴m的取值范围为：；
（2）当m＝﹣1时，x2﹣4x+1＝0，
设x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝1，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
判别式的情况
根的情况
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
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