初中苏科版1.3 一元二次方程的根与系数的关系一课一练

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1.3一元二次方程的根与系数的关系

一、选择题

1.下列的一元二次方程中,有实数根的是(　　)

A.x2-x+1=0　  　B.x2=-x　 　C.x2-2x+4=0　 　D.(x-2)2+1=0

2．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021

3．若2+，2﹣是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，则m+n的值为（　　）

A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．5

4．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）

A．8 B．32 C．8或32 D．16或40

5.一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　  　）

   A．k＞2       B．k＜2      C．k＜2且k≠1    D．k＞2且k≠1

6．m、n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，（m2﹣2020m+2020）•（n2﹣2020n+2020）的值是（　　）

A．2017 B．2018 C．2019 D．2020

7．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，则方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c的两根为（　　）

A．﹣，6 B．﹣3，10 C．﹣2，11 D．﹣5，21

8．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（　　）

A．x2＝1，k＝2 B．x2＝2，k＝2 C．x2＝1，k＝﹣1 D．x2＝2，k＝﹣1

9.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则m＋n的值是(     )

    A.－10              B.10                    C.－6               D.2

10.若方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为(　　)

A．12       B．10       C．4         D．﹣4

二、填空题

11．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 　      　．

12．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　 　．

13．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝　     　．

14.如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　　　　　　．

15.若a，b分别是方程x2+2x-2017=0的两个实数根，则a2 +3a+b=_____________．

16.设α，β是方程x2﹣x﹣2019=0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为　   　；

三、解答题

17．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．

（2）若该方程有一个根为4，求m的值．

18．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围．

（2）当m为正整数时，求方程的根．

19．a为实数，关于x的方程（x﹣a）2+2（x+1）＝a有两个实数根x1，x2．

（1）求a的取值范围．

（2）若（x1﹣x2）2+x1x2＝12．试求a的值．

20.关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．

参考答案

1.B.

2．B．

3．B．

4．B．

5.C．

6．D．

7．C．

8．A．

9.A

10.A.

11．．

12．3．

13．2020．

14. k＜1．

15. 2015；

16. 2018.

17．（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，

原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，

∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，

∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，

∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，

解得：m1＝4，m2＝6．

故m的值为4或6．

18．解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．

解得m＜2；

（2）由（1）知，m＜2．

有m为正整数，

∴m＝1，

将m＝1代入原方程，得

x2﹣2x＝0

x（x﹣2）＝0，

解得x1＝0，x2＝2．

19．解：（1）（x﹣a）2+2（x+1）＝a，

变形为x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a+2＝0．

根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a+2）＝4a2﹣8a+4﹣4a2+4a﹣8＝﹣4a﹣4≥0，

解得a≤﹣1．

即a的取值范围是a≤﹣1；

（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a+2，

∵（x1﹣x2）2+x1x2＝12，

∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝12，

∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a+2）＝12，即a2﹣5a﹣14＝0，

解得a1＝﹣2，a2＝7，

∵a≤﹣1，

∴a的值为﹣2．

20.解：(1)根据题意得△=(﹣3)2﹣4k≥0，解得k≤；

(2)k的最大整数为2，方程x2﹣3x+k=0变形为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，

∵一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根，

∴当x=1时，m﹣1+1+m﹣3=0，解得m=；

当x=2时，4(m﹣1)+2+m﹣3=0，解得m=1，

而m﹣1≠0，∴m的值为．