数学八年级上册17．2 一元二次方程的解法优秀练习

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学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；
2.运用开平方法解形如x²=p或(x+n)²=p (p≥0)的方程.
3.了解配方法的概念.
4.掌握解一元二次方程的方法解决有关问题.
5.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系.
重点：掌握解一元二次方程的方法解决有关问题.
难点：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系.
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
1.直接开平方法
利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
方程x²=p的根
一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程，
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根；
(3)当p0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，；
②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n；
③当p0 有两个不等的实数根
Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根
Δ=b2－4ac＜0 没有实数根
即学即练 用公式法解下列方程：
．
．
．
(4)．
一、解法选择基本思路:
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；
2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；
3. 化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
二、一元二次方程的各种解法及适用类型.
题型一 解一元二次方程直接开平方法
例1（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）把二次方程x2−4xy+4y2=4化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 ．
举一反三1（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）如果关于x的方程ax2−2x2=3有实数解，那么a的取值范围是 ．
举一反三2（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）方程4x4=14的解是 ．
题型二 解一元二次方程配方法
例2（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）用配方法解方程：2x2+6x−1=0
举一反三1（2022秋·上海静安·八年级校考期中）用配方法解方程：2x2−4x−1=0
举一反三2（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程x2−8x=−2时，在方程两边应同时加上（ ）
A．4B．8C．16D．64
题型三 配方法的应用
例3（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）已知x为实数，若x2+1x2−5x+1x+8=0，那么x+1x的值为 ．
举一反三1（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）−13x2−4x+10的最大值为 ．
举一反三2（2022秋·上海杨浦·八年级统考期中）用一根长为20厘米的绳子，围成一个面积为y平方厘米的长方形，则y的值不可能是（ ）
A．30B．20C．16D．10
题型四 公式法解一元二次方程
例4（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）解关于x的方程：k2−4x2−5k−2x+6=0．
举一反三1（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）解方程：4xx−1+1=2x.
举一反三2（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）在实数范围内分解因式：2x2−x−2= ．
题型五 因式分解法解一元二次方程
例5（2023春·上海虹口·八年级上外附中校考期末）方程x2=27x3的实数解为 ．
举一反三1（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）解方程：x−12=5−5x．
举一反三2（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）方程x4﹣16＝0的根是 ．
题型六 换元法解一元二次方程
例6（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）用换元法解方程x2−12x−4xx2−1=1时，如果设x2−1x=y，那么所得到的关于y的整式方程为 ．
举一反三1（2023春·上海闵行·八年级统考期末）用换元法解方程xx+1−x+1x+3=0时，如果设xx+1=y，那么原方程可化为（ ）
A．y2+3y−1=0B．y2−3y+1=0
C．y2+y−3=0D．y2−y+3=0．
举一反三2（2023春·上海长宁·八年级统考期末）已知方程xx2−1+x2−1x=3，如果设y=xx2−1，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
题型七 一元二次方程的根与系数的关系
例7（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）若方程x2−3x+m=0有一根是1，则另一根是（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
举一反三1（2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则x12+x22的值为 ．
举一反三2（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）已知α，β是方程x2−7x+8=0的两个根，α>β，不解方程，利用根与系数的关系求2α+3β2的值．
单选题
1.（2017秋·上海浦东新·八年级统考期中）用配方法解方程x2+4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．x−22=2B．x+22=2C．x−22=−2D．x−22=6
2．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）关于的一元二次方程x2+(a−1)x+a2−1=0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．1或−1B．−1C．1D．12
3．（2019秋·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期中）方程4x−12=1的根为（ ）
A．x1=x2=14B．x1=x2=12C．x1=0，x2=12D．x1=−12，x2=0
二、填空题
1.（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）方程−1+1−2x2=0的解是 ．
2．（2021秋·上海金山·八年级校考期中）一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是 ．
3．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如x2+x=0是“差1方程”．若关于x的方程ax2+bx+1=0(a，b是常数，a>0)是“差1方程”设t=10a−b2，t的最大值为 ．
4．（2019秋·上海·七年级上海市张江集团中学校考期中）已知a，b，c满足a−b=8，ab+c2+16=0，则2a+b+c的值是
三、解答题
1.（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）用配方法解方程：x2−42x−2=0．
2．（2022秋·上海·八年级校考期中）阅读下列材料并完成练习题：
已知一元一次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根分别为x1和x2
∵ax2+bx+c=ax−x1x−x2
∴ax2+bx+c=ax2−ax1+x2x+ax1x2
对比系数可得：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca
类比上面的证明方法：
(1)如果一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0的两个实数根分别为x1，x2，x3，x1+x2+x3=______，x1x2x3=______，x1x2+x1x3+x2x3=______．
(2)已知方程2x3−x2−3x+1=0，求值：x12+x22+x32=______．
3．（2021秋·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）若α＝1+52为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝ ，t＝ ；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．
类别
解题策略
1.完全平方式中的求参
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
2.求最值或证明代数式的值恒为正(或负)
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
3.利用配方构成非负式的和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.
公式法
内容
根的判别式
Δ=b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（b2－4ac值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
(ax + m)2 = n (a≠0，n≥0)
配方法
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
公式法
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
因式分解
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)