沪教版 (五四制)八年级上册16．3 二次根式的运算优秀课后练习题

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1.会进行二次根式的加减运算
2.掌握二次根式乘除法运算的法则，会进行二次根式的乘除运算
3.理解分母有理化的意义,会寻找合适的有理化因式将分母有理化
4.掌握二次根式的运算顺序,会进行二次根式的加、减、乘、除混合运算
5.通过解简单的实际问题以及解一元一次方程和一元一次不等式体会二次根式的运用.在学习过程中体会类比、化归的数学思想
知识点一 二次根式的加减运算
二次根式加减运算的步骤
一化：将各个二次根式化成最简二次根式
二判：找出同类二次根式
三合并：合并同类二次根式根号外的因式相加减,根指数与根号内的被开方数不变
（1）二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式
（2）在二次根式的加减运算中，化成最简二次根式后，不是同类二次根式的不能合并，直接保留在结果中.
（3）整式加减运算中的运算律、去括号法则、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用.
即学即练 （2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：12−232+1327−616．
【答案】33−26
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：12−232+1327−616
=23−2×62+13×33−6×66
=23−6+3−6
=33−26．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的性质．掌握二次根式的性质和二次根加减运算法则是解题的关键．
二次根式的加减运算可类比整式加减中的合并同类项,根号外的因式进行加减运算要加括号.
原式中如果有括号,要先去括号，再用加法的交换律、结合律将同类二次根式合并.
2.二次根式的乘法法则
两个二次根式相乘被开方数相乘,根指数不变.符号表示为
（1）中已隐舍了的条件,因为只有当都是非负数时,才有意义；
（2）二次根式相乘的结果必须化成最简二次根式；
（3）推广公式：
即学即练 （2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）计算:
(1)8×15×20;
(2)−5827×114×354
【答案】(1)206
(2)−305
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可．
（2）根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：8×15×20
=8×15×20
=2400
=206；
（2）−5827×114×354
=−15827×54×54
=−154×5
=−305．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
知识点三 二次根式的除法法则
两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.符号表示为
（1）中已隐舍了的条件,如果都是负数时，虽然有意义，但是在实数范围内无意义，如果=0，则无意义；
（2）推广公式1：
（3）推广公式2：
即学即练1 −43x−3yx2÷47x−y2x2y
【答案】−76y
【分析】根据二次根式除法直接计算即可.
【详解】解：原式=−73x−3yx2÷x−y2x2y
=−73(x−y)x2⋅2x2yx−y
=−76y
【点睛】本题是对二次根式计算的考查，熟练掌握二次根式除法和化简是解决本题的关键.
即学即练2（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）计算：248−227÷3．
【答案】2
【分析】把括号内的每一项都除以3，再化简，相加即可．
【详解】解：248−227÷3
=216−29
=2×4−2×3
=8−6
=2；
【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键．
二次根式相除,根号前的系数除以系数的商作为商的系数，被开方数除以被开方数的商作为商的被开方数.
知识点四 分母有理化
分母有理化的概念
把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
分母有理化的方法
一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号.
3.有理化因式
（1）分母有理化时，分子、分母所乘的代数式叫做分母的有理化因式，分母有理化的关键是确定分母的有理化因式;
（2）两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.
常见的互为有理化因式的形式有: 与互为有理化因式，与 互为有理化因式,与互为有理化因式。
即学即练 （2022秋·上海静安·八年级校考期中）计算：27−513+112−13+1
【答案】433+12
【分析】利用二次根式的混和运算法则即可求解．
【详解】解：原式=33−163+1212−3−13+13−1
=33−433+36−3−12
=433+12
【点睛】本题考查二次根式的混和运算．掌握相关运算法则是解题关键．
知识点五 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除的混合运算，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点:
（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算的顺序类似，先乘除，再加减，有括号的先算括号里面的;
（2）在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则仍然适用，如:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、去括号法则等都适用;
（3）若结果是二次根式，则必须化为最简二次根式.
即学即练 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：75−2327−3−12+43+1
【答案】73−6
【分析】先根据二次根式的性质，完全平方公式和分母有理化化简，再计算加减即可．
【详解】解：原式=53−23−3−23+1+23−1
=53−23−4+23+23−2
=73−6
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握分母有理化和二次根式混合运算的法则是解题的关键．
题型一 解含二次根式的方程
例1 （2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）解方程：2x+26=3x+5x．
【答案】x=5−3+2
【分析】按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可．
【详解】解：2x+26=3x+5x，
∴3x+5x−2x=26，
∴3+5−2x=26，
∴x=263+5−2
=26[5−3−2][5+3−2][5−3−2]
=26[5−3−2]5−3−22
=26[5−3−2]5−3−26+2
=26[5−3−2]26
=5−3+2，
∴方程的解为x=5−3+2．
【点睛】本题考查了解方程，涉及二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键．
举一反三1 解方程：2−2x−1=3x+1−3．
【答案】x=26−4
【分析】先去括号，然后再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可．
【详解】解：2−2x−1=3x+1−3
去括号得：2−2x+2=3x+3−3，
移项合并同类项得：3+2x=22，
未知数系数化为1得：x=26−4．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确计算．
举一反三2 （2022春·山东烟台·八年级统考期中）小明在解方程24−x−8−x=2时采用了下面的方法：由(24−x−8−x)(24−x+8−x) =(24−x)2−(8−x)2=(24−x)−(8−x)=16，又有24−x−8−x=2，可得24−x+8−x=8，将这两式相加可得{24−x=58−x=3，将24−x=5两边平方可解得x=−1，经检验x=−1是原方程的解、请你学习小明的方法，解方程：x2+42+x2+10=16．
【答案】x=±39
【分析】参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可．
【详解】解：∵(x2+42+x2+10)(x2+42−x2+10)=(x2+42)2−(x2+10)2
=(x2+42)−(x2+10)=32，
而x2+42+x2+10=16，
∴x2+42−x2+10=2，
两式相减得2x2+10=14，即x2+10=7，
两边平方得到x2=39，
∴x=±39，经检验x=±39是原方程的解．
【点睛】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
举一反三3 （2022秋·江苏常州·八年级校考期中）小明在解方程24−x−8−x=2时采用了下面的方法：
由(24−x−8−x)(24−x+8−x)=(24−x)2−(8−x)2=(24−x)−(8−x)=16，又有24−x−8−x=2可得24−x+8−x=8，将这两式相加可得24−x=58−x=3，将24−x=5两边平方可解得x=−1，经检验x=−1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
(1)解方程x2+42+x2+10=16；
(2)解方程4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x．
【答案】(1)x=±39
(2)x=3
【分析】（1）仿照题意求解即可；
（2）仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：x2+42+x2+10 x2+42−x2+10
=x2+422-x2+102
=x2+42−x2+10
=32
∵x2+42+x2+10=16，
∴x2+42-x2+10=32÷16=2，
∴x2+42+x2+10=16x2+42−x2+10=2，
∴x2+42=9x2+10=7
∵x2+422=x2+42=92=81，
∴x=±39，
经检验x=±39都是原方程的解，
∴方程x2+42+x2+10=16的解是：x=±39；
（2）解：4x2+6x−5+4x2−2x−5 4x2+6x−5−4x2−2x−5
=4x2+6x−52−4x2−2x−52
=4x2+6x−5−4x2−2x−5
=8x，
∵4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x，
∴4x2+6x−5-4x2−2x−5=8x÷4x=2，
∴4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x4x2+6x−5−4x2−2x−5=2
∴4x2+6x−5=2x+14x2−2x−5=2x−1，
∵(4x2+6x−5)2=(2x+1)2，
∴4x2+6x﹣5=4x2+4x+1，
∴2x=6，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
∴方程4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x的解是：x=3．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，求平方根的方法解方程，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算及乘法公式是解题的关键．
题型二 解含二次根式的不等式（组）
例2 （2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式3x−3x−3−3/x>−3−3
【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解．
【详解】解： 3x−3x−3−3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键．
举一反三1 （2022秋·上海普陀·八年级校考期中）不等式2x+223+22/x>22+23
【分析】先移项，再合并，即可求解．
【详解】解：2x+223+22．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
举一反三2 （2022秋·上海虹口·八年级校考期中）不等式2x−50、b>0时，ab与a+b的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当a>0、b>0时，
特例1：若a+b=2，则2ab≤2；
特例2：若a+b=3，则2ab≤3；
特例3：若a+b=6，则2ab≤0．
②观察、归纳，得出猜想：当a>0、b>0时，2ab≤a+b．
③证明猜想：
当a>0、b>0时，
∵a−b2=a−2ab+b≥0，
∴a+b≥2ab+a+b≥2ab，
∴2ab≤a+b．
当且仅当a=b时，2ab=a+b．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当x＞0时，x+1x的最小值为
(2)当x＜0时，−x−2x的最小值为 ；
(3)当x＜0时，求x2+2x+6x的最大值．
【答案】(1)2
(2)22
(3)−26+2
【分析】（1）直接由题中规律即可完成；
（2）当x0，−2x>0，则可由题中规律完成；
（3）原式x2+2x+6x变形为x+6x+2，由x0时，x，1x均为正数，
由题中规律得：x+1x≥2x×1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时，x+1x=2，
∴当x＞0时，x+1x的最小值为2；
故答案为：2；
（2）解：当x0，−2x>0，
由题中规律得：−x−2x=(−x)+−2x≥2(−x)×−2x=22，
当且仅当−x=−2x，即x=−2时，−x−2x=22，
∴当x＜0时，−x−2x的最小值为22；
故答案为：22；
（3）解：∵x2+2x+6x=x2x+2xx+6x=x+2+6x=x+6x+2，
∴当x0，−6x>0，
∴(−x)+−6x≥2(−x)×−6x=26，
当且仅当−x=−6x，即x=−6时，−x−6x=26，
∵(−x)+−6x≥26，
∴x+6x≤−26，
∴x+6x+2≤−26+2，
∴x2+2x+6x≤−26+2，
当且仅当x=−6时，x2+2x+6x的最大值为−26+2，
∴当x0，则a1a=a2·1a=a，所以③正确；
3a与2a不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键．
4．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）等式x2−1=x+1⋅x−1成立的条件是（ ）
A．x≥1B．x≥−1C．x≥1或x≤−1D．x≠±1
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘法法则ab=a⋅b成立的条件为a≥0且b≥0，即可确定答案．
【详解】解：根据题意，可得x+1≥0x−1≥0，
解不等式组，得 x≥1，
所以，等式x2−1=x+1⋅x−1成立的条件是x≥1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
5．（2022秋·上海普陀·八年级统考期中）下列等式中，一定成立的是（ ）
A．a2=aB．a2=aC．a2+b2=a+bD．ab=a⋅b
【答案】A
【分析】运用二次根式的性质、二次根式的乘法运算依次判断即可．
【详解】解：A、a2=a，一定成立，该选项符合题意；
B、当a