初中数学苏科版九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系课后复习题

第05讲 一元二次方程根与系数的关系（5种题型）

1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）

2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）

韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ．

那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．

题型1：求根与系数关系

例1．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ）

A． B． C． D．

例2．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）若一元二次方程的两个根为、，则是（   ）

A．1 B． C．2 D．

题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值

例3．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）一元二次方程的两个根为， 则___________．

例4．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

例5.已知是方程的两根，求下列各式的值：

（1）；       （2）；        （3）；       （4）．

例6.已知的值．

例7.已知是方程：的两根，求代数式的值．

题型3：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值

例8．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______．

例9.若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________．

题型4：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题

例10.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长．

例11．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．

例12．（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．

(1)下列方程是三倍根方程的是___________；

①    ②    ③

(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________；

(3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．

一、单选题

1．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）关于下列一元二次方程，说法正确的是（    ）

A．的两根之和等于5 B．的两根之积等于1

C．两根不可能互为倒数 D．中m=0时，两根互为相反数

2．（2022秋·江苏·九年级统考期中）关于的方程的一个解为，则该方程的另一个解是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（    ）

A．或5 B．或 C． D．5

4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）若是关于的一元二次方程的一个根．则与方程另一个根分别是（    ）

A．6，5 B．5，  C．2，5 D．，5

5．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）方程的根的情况，下列结论中正确的是（    ）

A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根

二、填空题

6．（2023·江苏盐城·统考一模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______．

7．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）已知一元二次方程的两个根分别是、，则代数式的值为______．

8．（2023·江苏南京·统考一模）设，是方程的两个根，且，则m＝______．

9．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）已知、是关于的方程的两个根，则值等于________．

10．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为______．

11．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，则的取值范围是______．

12．（2023·江苏宿迁·统考一模）关于x的方程的两个根分别是，则______________．

13．（2023·江苏南京·统考二模）若、为的两根，则的值为______．

14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）设是关于x的方程的两个根，则_____________．

15．（2023秋·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）设、是方程的两个根，则___________．

16．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期末）若一元二次方程有两个实数根，，则的值是________．

三、解答题

17．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x的一元二次方程

(1)求证：该方程总有两个实数根．

(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．

18．（2020秋·江苏南京·九年级统考期中）已知关于x的方程．

(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．

一、单选题

1．（2022·江苏·九年级专题练习）设一元二次方程的两根为，，则的值为（    ）

A．1 B．﹣1 C．0 D．3

2．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）若m、n是方程的两个实数根，则的值为(    )

A．4 B．2 C．0 D．-1

3．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）若关于x的方程的一个根是，则另一个根是（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3

4．（2022秋·九年级课时练习）若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（    ）

A．－3 B．3 C．－5 D．5

5．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）设x1，x2是方程x2＋5x﹣6＝0的两个根，则x12＋x22的值是（    ）

A．5 B．13 C．35 D．37

6．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．

7．（2020秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）两根均为负数的一元二次方程是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

8．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若a，b是方程的两个实数根，则代数式的值为______．

9．（2023春·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）设方程的两个根分别为，则的值是___________．

10．（2023·江苏南京·九年级专题练习）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是________．

11．（2022春·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知：m、n是方程的两根，则_____．

三、解答题

12．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．

(1)求m的取值范围；

(2)当时，求另一个根的值．

13．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）已知关于的一元二次方程．

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若，且该方程的两个实数根的平方和为10，求的值．

14．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若，求的值．

15．（2022秋·江苏·九年级专题练习）关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数．

（1）求k的取值范围；

（2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值；

（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．

16．（2022秋·江苏·九年级专题练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：

（1）两根都小于0；

（2）两根都大于1；

（3）方程一根大于1，一根小于1．

17．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1， x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则=?

（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．

18．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）阅读材料，解答问题：

【材料1】

为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

【材料2】

已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程的解为 ；

(2)间接应用：

已知实数，满足：，且，求的值．