广东省梅州市兴宁市沐彬中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省梅州市兴宁市沐彬中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的倒数是（ ）
A. B. C. 2023D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了倒数的定义，掌握互为倒数的两个数的积为1是解题的关键．
根据互为倒数的两个数的积为1即可解答．
【详解】解：∵，
∴的倒数是．
故选B．
2. 下列由箭头组成的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（绕一个点旋转180°能够与自身重合的图形）判断即可．
【详解】解：选项A、B、C中的图形都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，不符合题意．
选项D中的图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. 至2011年末，南通市户籍人口为万人，将万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将万用科学记数法表示为：，
故选：．
4. 下面计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据积的乘方即可判断A；根据分式的混合运算即可判断B；根据完全平方公式即可判断C；根据平方差公式即可判断D．
【详解】A. ，正确，不符合题意；
B选项：，错误，符合题意；
C.，正确，不符合题意；
D.，正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了积的乘方、分式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，解答需要熟悉各种基本公式．
5. 如图，AB∥CD，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A. 50°B. 100°C. 130°D. 140°
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠EFD，再根据邻补角的定义列式计算即可得解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠EFD=∠1=40°，
∴∠2=180°-∠EFD=180°-40°=140°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟记性质是解题的关键．
6. 抛物线y =x2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是( )
A. x =1，(1，-4) B. x =1，(1，4) C. x=-1，(-1，4) D. x =-1，(-1，-4)
【答案】A
【解析】
【分析】利用顶点坐标公式可求顶点坐标和对称轴，或者利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标很对称轴．
【详解】解：y=x2-2x-3=x2-2x+1-4=（x-1）2-4，
故对称轴为x=1，顶点的坐标是（1，-4）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数三种表达方式是解题关键．
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在数轴上表示为：
．
故选A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是根据不等式的解集画出数轴．
8. 小罗、小张、小蔡、小潘四位同学参加一次户外活动，两位同学一组，则小张和小蔡分到一组的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：小罗、小张、小蔡、小潘分别记为，列表如下
共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种，（小张和小蔡分到一组，2种；小罗和小潘分到一组，2种，）
则小张和小蔡分到一组的概率为
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法是解题的关键．
9. 如图，点落在第二象限内双曲线上，过两点分别作轴的垂线段，垂足为，连接，若且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出相关三角形面积之间的关系：S1+S阴影=S△BOD，S2+S阴影=S△AOC，再根据反比例函数中系数k的几何意义推出|k|=S△BOD+S△AOC，从而推出|k|=4，结合图象可得k=-4．
【详解】解：由题意可知S1+S阴影=S△BOD，S2+S阴影=S△AOC，
∵S△BOD=S△AOC=，
∴|k|=S△BOD+S△AOC=S1+S阴影+S2+S阴影=S1+S2+2S阴影=2+2=4，
∵函数图象经过第二象限，
∴k＜0，
∴k=-4，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，应数形结合，将图形的性质与反比例函数的相关性质联系起来进行求解．
10. 如图，在正⽅形外取⼀点E，连接．过点A作的垂线交 于点P．若，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②③④B. ①④⑤C. ①②④D. ③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②先说明，结合是等腰直角三角形，即，然后根据求解即可判定；③先说明是等腰直角三角形，再运用勾股定理求，然后用勾股定理求得即可；④过B作，交的延长线于F，先说明由△BEF是等腰直角三角形可求得，进而求得，用勾股定理可求 ，连接，求出的面积，然后减去的面积即可； 根据④求得的长，再结合正方形的性质即可判定．
【详解】解：①∵
∴
又∵，
∵和中，

∴；故①正确；
②∵，
∴，
∵
∴，
∴，即；
∵过点A作的垂线交于点P．若
∴是等腰直角三角形，即
∴故②正确；
③∵， ，
∴， ，
又∵②中，
∴BE= ，故③错误；
④如图：过B作，交的延长线于F，
又∵③中，
∴
∴
又∵，
∴ ，
∴
∴AB=
如图，连接BD，
∵，
∴ ，
∴

，故④正确．
⑤∵正方形，
∴，故⑤错误；
综上可知其中正确结论的序号是①②④．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识是解答本题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：＝________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查数轴和二次根式及绝对值化简，关键是掌握和绝对值的性质．
根据数轴图可知，再根据化简式子即可．
【详解】解：根据数轴图可知，
∴．
故答案为：．
12. 分解因式3m4﹣48＝_____．
【答案】3（m2+4）（m+2）（m﹣2）．
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式把原式进行因式分解即可．
【详解】3m4﹣48＝3（m4﹣42）
＝3（m2+4）（m2﹣4）
＝3（m2+4）（m+2）（m﹣2）．
故答案为：3（m2+4）（m+2）（m﹣2）．
【点睛】本题考查的是提公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键．
13. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员成绩的平均数是_________．
【答案】1.64
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：×（1.50×2+1.60×3+1.70×4+1.80）=1.64（m），
答：这些运动员成绩的平均数是1.64．
故答案为：1.64．
【点睛】本题考查了平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
14. 已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式，得．
【详解】解：∵，
∴，
∵扇形的圆心角为，面积为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式．
15. 一辆汽车，新车购买价18万元，每年的年折旧率为，如果该车在购买满两年后的折旧价值为12.25万元，求年折旧率的值．那么可以列出关于的方程是_________（只列方程，无需求解）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键．
由年折旧率，然后根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：∵年折旧率的值，
∴由题意可得：设这两个月该校图书馆借阅人次的月平均增长率为，
根据题意，得．
故答案为．
16. 如下图，以长方形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点A落在边上的点处．若在轴上存在点，且满足，则点坐标为_________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：连接，进而得到，再证明可得，进而确定的长即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴P点坐标为或，即图中的点P和点．
故答案为：或．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：：
（2）解方程：．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解分式方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、零次幂化简，然后再计算即可；
（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
，
，
检验：将代入得，
故原方程的解为x =．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图；作∠BAC的平分线交BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知AD＝BD，求∠B的度数．
【答案】（1）见解析 （2）30°
【解析】
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于H、F，再分别以H、F为圆心，大于HF长为半径画弧，两弧交于点M，再画射线AM交CB于D；
（2）先根据角平分线定义和等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAD＝∠CAD，则∠B＝30°．
【小问1详解】
如图所示：AD即为所求；
【小问2详解】
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝＝30°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的基本作图，以及等腰三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的基本作图是关键．
19. 某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看作平行线）．如图，他们在河岸一侧的A处，观察到对岸点处有一棵树，测得，向前走到达处，测得，求河的宽度（精确到）（，，，）．
【答案】68m
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图：过点作于点，设，在中解直角三角形可得，进而得到，然后在中解直角三角形即可解答．
【详解】解：如图：过点作于点，
设，
在中，，
，
，
∴，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根．
答：河的宽度约为68m．
20. 某水果超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售120kg．超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加80kg，于是决定调整销售策略，降价销售这种水果．
（1）若超市每天要获销售利润3080元，又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元；
（2）当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元；
（2）当销售单价定为21元时，超市所获利润最大，最大利润是3240元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，利用二次函数性质是解题的关键．
（1）设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案；
（2）设降低元，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意得，
，
整理得，
或．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为（元，
答：水果的销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元；
【小问2详解】
解：设降低元，由题得，
∴，
∵，
∴有最大值，
当时，最大．
售价为（元，
答：水果的销售价为每千克21元时，超市每天一天获利最大为3240元．
21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得．
【小问1详解】
解：根据题意得，
解得：；
【小问2详解】
是方程的一个实数根，
，即，
代入中，得：
，
解得：或，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
22. 如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD．
（1）求证：△ADC∽△BGC；
（2）求证：CG•AB＝CB•DG．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）由（1）可得=，再证明△GDC∽△BAC，所以=，进而可证明CG•AB=CB•DG．
【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，
∴∠BGC＝∠ADC＝90°．
又∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BGC；
（2）∵△ADC∽△BGC，
∴＝．
∴=．
又∠C＝∠C，
∴△GDC∽△BAC．
∴=,
∴CG•AB＝CB•DG．
【点睛】本题考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质分别得到=和=是证题的关键．
23. 如图，一次函数与反比例函数为常数，的图象在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点在轴上，且的面积等于，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式，进而将把代入，即可求解；
（2）设，分别求得的坐标，根据的面积等于，建立方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：把代入得，解得，
一次函数解析式为；
把代入得，
反比例函数解析式为；
【小问2详解】
设，
当时，，则，
当时，，解得，则，
的面积等于，
，解得或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
24. 如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）6π．
【解析】
【分析】（1）连接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四边形ABDC为平行四边形，则∠A=∠D=30°，由圆周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由内角和定理可求∠OCA=90°，证明切线..
（2）由（1）中的切线的性质和垂径定理以及解直角三角形来求BD的长度.
（3）证明△OEB≌△CED，将阴影部分面积问题转化为求扇形OBC的面积求解．
【详解】解：（1）证明：如答图，连接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°.
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形.
∴∠A=∠D=30°.
∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD.
∴BE=DE.
∵在Rt△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，
∴BE=OBcs30°=3.
∴BD=2BE=6.
（3）∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，
∴△OEB≌△CED（AAS）.
∴S阴影=S扇形BOC.
∴S阴影=．
答：阴影部分的面积是6π．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，平行四边形的判定和性质，切线的判定和性质，垂径定理，特殊角的三角函数值，扇形面积，掌握转换思想和数形结合思想是关键．
25 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【解析】
【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．成绩/
1.50
1.60
1.70
180
人数/个
2
3
4
1