广东省广州市第二中学2023~2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省广州市第二中学2023~2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1. “福禄寿喜”图是中华传统祥云图纹，以下四个图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解．
【详解】解：A：不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C：是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意 ；
D：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】关于原点对称的横纵坐标互为相反数，由此可得到答案．
【详解】解：由于点与点关于坐标原点对称，您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高根据关于原点对称的横纵坐标互为相反数，
得到，
故选B．
【点睛】本题主要考查坐标关于原点对称的性质，熟知关于原点对称的横纵坐标互为相反数是解题的关键．
3. 反比例函数的图象在（ ）
A. 第一、 二象限B. 第一、 三象限C. 第二、 四象限D. 第三、 四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据在中，当时，函数图象在第一、 三象限，当时，函数图象在第二、 四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，
反比例函数的图象在第一、 三象限，
故选：B．
4. 对于二次函数，下列说法不正确的是( )
A. 当时，随的增大而减小B. 开口向下
C. 当时，有最大值D. 函数图象与x轴交于点，和，
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，令，解关于x的一元二次方程则可求得答案．
【详解】解：，
对称轴为，顶点坐标为，，
，
开口向下，
故选项B正确，不符合题意；
当时，有最大值，最大值为，
故选项C不正确，符合题意；
当时，随的增大而减小，
故选项A正确，不符合题意；
令可得，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标为，和，，
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
5. 如图，把绕点C顺时针旋转某个角度得到，，，则旋转角度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质．熟练掌握了旋转的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
根据，，计算求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
故选：D．
6. 如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（ ）
A. B. 3C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆，连接，证明是等边三角形，求出的长即可解决问题．
【详解】解：连接，如图，
∵正六边形内接于，
∴，
∴是等边三角形，
∵是的边心距，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴
解得，，
∴，
故选：A
7. 如图，的顶点均在⊙O上，，则⊙O的半径为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，由题意得，可推出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴
故选：D．
8. 已知m为一元二次方程的根，那么的值为（ ）
A. 2023B. C. 0D. 4046
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，再变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m为一元二次方程的一个根．
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9. 二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（ ）
A. 3或B. C. 或1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】把二次函数解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而得到当时，二次函数取最小值，最小值为，从而得到，即可求解．
【详解】解：
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∵，且，
∴当时，二次函数取最小值，最小值为，
∵在的范围内有最小值为，
∴，
解得：或3．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
10. 如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A. πB. πC. πD. 2π
【答案】A
【解析】
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有____________个.
【答案】1
【解析】
【分析】设布袋里红球有x个，根据白球的概率列方程求解可得．
【详解】解：设布袋里红球有x个，
由题意得：，解得：，
经检验是原方程的解．
∴布袋里红球有1个，
故答案为：1．
【点睛】本题考查根据概率求球的个数，认真读懂题意是关键．
12. 圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面积为_____．
【答案】12πcm
【解析】
【分析】先根据底面半径求出底面周长，即为扇形的弧长，再设出扇形的半径，根据扇形的弧长公式，确定扇形的半径；最后用扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：∵底面圆的半径为2cm，
∴底面周长为4πcm，
∴侧面展开扇形的弧长为4πcm，
设扇形的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，
∴＝4π，
解得：r＝6，
∴侧面积为×4π×6＝12πcm，
故答案为12πcm．
【点睛】本题考查了圆锥的表面积、扇形的面积以及弧长公式，解答的关键在于对基础知识的牢固掌握和灵活运用.
13. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息条，则可列方程______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得一个人发送信息条，则人发送信息条，即可求解.
【详解】解：∵每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，
∴一个人发送信息条，
则人发送信息条，
∴
故答案为：.
14. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为点E，，，则______．
【答案】##2厘米
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，根据垂径定理求出，再用勾股定理解求出，进而求出．
【详解】解：，
，
是的直径，是的弦，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
15. 如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于__________．

【答案】##104度
【解析】
【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：
∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形内切圆的定义，解题的关键是根据内切圆得到，．
16. 如图，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③若是该抛物线上的三点，则；④（t为实数）；⑤其中正确结论的序号有______．
【答案】①④
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象及性质，根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴，即：，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴，故②错误；
∵和的值相等的是，
∴，故③错误；
∵当时，函数有最大值，
∴对于任意的实数：，故④正确；
∵假设成立，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴与题干矛盾，故⑤不正确，
∴正确结论的序号有：①④．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】可先分解因式，然后提取x-3，利用公式法求解．
【详解】解：原方程可化为，
，
，
．
∴x-3=0或x-9=0，
∴ ，．
【点睛】本题主要考查了求解一元二次方程，熟练运用因式分解法是解题的关键．
18. 如图，在中，点分别是边上的点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解．
【详解】证明：，，
，
又∵为公共角，
．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．
（1）将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出；
（2）直接写出的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的相关知识点，掌握相关结论即可．
（1）确定各顶点绕点B顺时针旋转的对应点，即可作图；
（2）根据图示，即可求解；
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：由图可知：
20. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC．
（1）求证：AC平分∠DAO；
（2）若∠DAO＝105°，∠E＝30°，
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）①45°，②．
【解析】
【分析】（1）由切线性质知OC⊥CD，结合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC＝∠OCA＝∠OAC，从而得证；
（2）①由AD∥OC知∠EOC＝∠DAO＝105°，结合∠E＝30°可得结果；
②作OG⊥CE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG＝FG＝OG，由OC＝得出CG＝FG＝OG＝2，在Rt△OGE中，由∠E＝30°可得GE＝，由此计算即可．
【详解】（1）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC．
∴∠DAC＝∠OCA．
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OAC＝∠DAC．
∴AC平分∠DAO．
（2）①∵AD∥OC，
∴∠EOC＝∠DAO＝105°．
∵∠E＝30°，
∴∠OCE＝180°－∠EOC－∠E ＝45°．
②作OG⊥CE于点G，
∵OC＝，∠OCE＝45°，
∴CG＝OG＝2．
∴FG＝2．
在Rt△OGE中，∠E＝30°，
∴GE＝．
∴EF＝GE−FG＝．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理等知识，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理是解题的关键．
22. “直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，某主播小佳在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示：
（1）当定价为______元时，开始无人购买；
（2）设小佳每天的销售利润（快递费用等不考虑）为元，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若小佳每天想获得的销售利润为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）30 （2）
（3）17元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的应用以及一元二次方程的应用，
（1）利用待定系数法求出销售量（件）与销售单价（元）的函数解析式，令，解方程即可求解；
（2）根据单件的利润乘以销售量即可求解；
（3）令，可得方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
设每天的销售量（件）与销售单价（元）的函数解析式为，把和代入解析式得：
，
解得，
∴，
令，即，
解得，
∴当定价为30元时，开始无人购买，
故答案为：30；
【小问2详解】
由题意得：．
∴与之间的函数关系式为；
【小问3详解】
由题意，令，
∴．
∴，．
又尽可能地减少库存，
，
∴．
∴应将销售单价定为17元．
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点．过A作轴，垂足为C，连接．
（1）求一次函数解析式和反比例函数解析式；
（2）点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象及性质．
（1）将点代入可求出反比例函数解析式，再将代入求出的反比例函数解析式可得，再将和代入可求出一次函数解析式；
（2）令一次函数中分别求出点坐标，再设，再利用三角形面积公式即可求出本题答案；
（3）观察图象即可得到本题答案．
小问1详解】
解：根据题意：将点代入中，得：，，
∴反比例函数解析式：，
再将代入中，得：，
∴，
将和代入中，得：
，解得：，
∴一次函数解析式：；
【小问2详解】
解：由（1）知：，
∴令，则，令，则，
∴，即，，即：，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，解得：，
∴或．
【小问3详解】
解：∵，
∴在图象中找出一次函数比反比例函数低的部分，
∴或．
24. 如图，已知边长为4的正方形，点E是边的中点，点O是线段上的一个动点（O不与A，E重合），以O为圆心，为半径的圆与边相交于点M，过点M作的切线交于点N，连接．
（1）证明：是的切线；
（2）问为何值时，经过的中点？
（3）周长是否一个定值？若不是请说明理由，若是，请求出定值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），定值是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得到，根据切线的判定即可证得结论；
（2）设．则，，根据勾股定理得，解方程即可求得结论；
（3）根据题意得到，再利用相似三角形性质得到周长是定值．
【小问1详解】
解∶∵正方形，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵正方形，
∴，，
∵M是的中点，
设．则，
∵，
∴中，，
解得：，
∴时，经过中点；
【小问3详解】
解：的周长是一个定值，理由如下：
∵是的半径，是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴周长比等于相似比，相似比为：，
的周长=，
∴周长为：．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定、正方形的性质、勾股定理，相似三角形判定及性质，关键是掌握相似三角形的性质．
25. 已知抛物线．
（1）求证：抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设抛物线与x轴的交点为点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①若，点是抛物线上一动点，且是钝角，求m的取值范围；
②设抛物线y轴左边图象为，将关于y轴对称的图象设为，图象T为和的组合图象，当T与直线有四个交点时，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解．
（2）①作轴，连接，求出时m的取值，即可求解；②由题意得：只有当抛物线的对称轴在轴左侧时，T与直线才有可能有四个交点，此时直线在点和抛物线顶点之间时，据此即可求解；
【小问1详解】
证明：∵
又，
∴
∴抛物线与x轴总有两个不同的交点
【小问2详解】
解：①当时，，
令，则；
令，则；
解得：
∴
作轴，连接，如图所示：
若 ,
∵
∴
∴
∴
即：
∴
∵
由①②可得：或（舍去）；
此时，
∴当时，是钝角，
②令，解得，
∴
由题意得：只有当抛物线的对称轴在轴左侧时，T与直线才有可能有四个交点，
∴，
解得：，
当直线在点和抛物线顶点之间时，符合题意，如图所示：
可得：，
解得：或
综上所述：
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了抛物线与坐标轴的交点问题 ，相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合的数学数学是解题关键．