广东省中山市中山纪念中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省中山市中山纪念中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共22页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（测试时间：120分钟，满分120分）
温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷
一、单项选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此作答即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
2. 下列事件为随机事件的是( )
A. 太阳从东边升起B. 抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7
C. 经过红绿灯路口，遇到红灯D. 任意画一个三角形，它的内角和等于180°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了随机事件．根据确定事件和随机事件定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A、太阳从东边升起，是必然事件，故本选项不符合题意；
B、抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7，属于不可能事件，故本选项不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高C、经过红绿灯路口，遇到红灯，属于随机事件，故本选项符合题意；
D、任意画一个三角形，它的内角和等于180°，属于必然事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解顶点式的性质是解题的关键．
【详解】解：A.，抛物线开口向上，结论正确，符合题意；
B.对称轴是直线，结论错误，不符合题意；
C.顶点坐标为，结论错误，不符合题意；
D.当时，y随x的增大而增大；
故选：A．
4. 若圆锥的底面半径是3cm，母线长5cm，则这个圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算．根据“圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2”求解即可．
【详解】解：底面圆的半径为3，则底面周长，
侧面面积．
故选：D．
5. 一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．
【详解】解：，
故选：．
6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
先计算，解不等式即可．
【详解】解：，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
，
∴．
故选：D．
7. 近年来，国内汽车市场经历了翻天覆地的变化，随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，燃油汽车销量持续下滑．某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元．设该款汽车每次降价的平均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用这款汽车经过两次降价后的售价原价该款汽车每次降价的平均下降率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：A．
8. 如图，是的内接三角形，为直径，点D为上一点，若，则的大小为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
先由直径所对的圆周角是直角得到，进而根据同弧所对的圆周角相等得到．
【详解】解； 为直径，
，

，
，
故选：A．
9. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，若点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于x的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴得到，根据抛物线顶点坐标结合对称轴公式得到，即可判断①；根据当时，即可判断②；根据抛物线开口向下，得到离对称轴越远，函数值越小，据此可判断③；根据一元二次方程与二次函数之间的关系得到抛物线与直线没有交点，据此可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点位于0和1之间，
∴当时，，即，
∴，故②错误；
∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴若图象经过点，则，故③正确；
∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴关于x的一元二次方程无实数根，
∴抛物线与直线没有交点，
∴，故④正确；
故选C．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特点解答即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了关于原点对称点的坐标的特点：横纵坐标都互为相反数，熟记特点是解题的关键．
12. 将解析式为的抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后的新抛物线的解析式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将解析式为的抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后的新抛物线的解析式为．
故答案为：
13. 在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，估计袋中红球有______个．
【答案】
【解析】
【分析】根据口袋中有个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，口袋中有个黑球，
∴设有个红球，
∴，解得，，
经检验是分式方程的解，
∴口袋中红球约有个．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
14. 如图，在扇形中，，弦与所成的角，且．则弦与所围成的图中阴影部分的面积为______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，过点C作，垂足为D，先根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形进行判断，再由勾股定理得出的长，最后根据弦与所围成的图中阴影部分的面积为扇形面积减去等边三角形的面积求解即可．
【详解】连接，过点C作，垂足为D，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴弦与所围成的图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、垂线段最短、勾股定理，连接，，根据切线的性质和勾股定理推出，由于为半径是定值，则最小时，取最小值，由垂线段最短可知，当时，最小，利用三角形面积求得，即可求得线段长的最小值．
【详解】解：连接，，如图所示：
为的一条切线，
，
，
为半径是定值，
当最小时，取得最小值，
由垂线段最短可知，当时，最小，
，，．
，
，
，解得，
，
故答案为：．
三、解答题（共4小题，每小题6分，满分24分）
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于原点对称的；
（2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点，，即可，再利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
如图所示即为所求；
【小问2详解】
如图所示即所求，
，
点A到经过的路径长．
【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称，勾股定理和弧长公式，解题的关键是正确得出对应点的位置．
18. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论．
【详解】证明：，，，
无论取何值时，方程总有两个不相等实数根．
19. 一个二次函数图象的顶点为，图象又过点．求二次函数的解析式，并求出该函数与x轴的交点坐标．
【答案】，该函数与x轴的交点坐标为．
【解析】
【分析】本题考查求二次函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．设抛物线为顶点式，将代入解析式求解，再令得，解出方程，即可求得该函数与x轴的交点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，即，
令得，解得：，
∴该函数与x轴的交点坐标为．
四、解答题（共3小题，每小题8分，满分24分）
20. 从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，5，5，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是6的概率为___________；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
【答案】（1）
（2）抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为
【解析】
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是6的概率为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画出树状图如下；
共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
则抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为：．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联，每副春联的进价是20元，并且规定每副春联的售价不少于25元，不超过33元．根据以往的销售经验发现，当每副春联的售价定为25元时，日销售量为250副，每副春联的售价每提高1元，日销售量减少10副．
（1）当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润为2000元？
（2）当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）当每副春联的售价定为30元时，日销售利润为2000元，
（2）当每副春联的售价定为33元时，日销售利润最大，最大利润是2210元
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）设当每副春联的售价定为x元时，日销售利润为2000元，则销售量为副，再根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可；
（2）设售价为m元，每日销售利润为w，则销售量为副，再根据利润（售价进价）销售量列出w关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设当每副春联的售价定为x元时，日销售利润为2000元，
由题意得：，
整理得：，
解得或（舍去），
答：当每副春联的售价定为30元时，日销售利润为2000元；
【小问2详解】
解：设售价为m元，每日销售利润为w，
由题意得，
，
∵，
∴当时，w最大，最大值为，
答：当每副春联的售价定为33元时，日销售利润最大，最大利润是2210元．
22. 如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．若将绕点逆时针旋转90°后，得到．
（1）求的长；
（2）∠BPC度数．
【答案】（1）2 （2）135°
【解析】
【分析】（1）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得，则△PBC≌△P′BA；得到AP′=PC=1，BP′=BP=，∠PBP′=90°，再利用勾股定理求出的长；
（2）在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=，根据勾股定理的逆定理得到△AP′P是直角三角形，再利用∠BPC=∠AP′B=∠BP′P +∠A P′ P即可求解．
【小问1详解】
解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得，则△PBC≌△P′BA．
∴AP′=PC=1，BP′=BP=，∠PBP′=90°．
连接P P′，
在Rt△BP′P中，
∵ BP=BP′=，∠PBP′=90°，
∴ P P′2=BP′2 + BP2=4，
∴ P P′=2，∠BP′P=45°．
【小问2详解】
解：在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=，
∵ ，即AP′2 + PP′2 = AP2．
∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°．
∴ ∠AP′B=∠BP′P +∠A P′ P =135°．
∴ ∠BPC=∠AP′B=135°．
【点睛】本题考查旋转的性质，涉及全等三角形的性质、直角三角形的判定（勾股定理）和性质．正确作出旋转后的三角形是本题解题的关键．
五、解答题（共2小题，第23题10分，第24题12分，满分22分）
23. 如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接．
（1）求证：平分；
（2）连接，判断的形状，并说明理由；
（3）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）等腰三角形，见解析
（3）6
【解析】
【分析】（1）由切线的性质可得出，结合题意可证，即得出．再根据同圆半径相等和等腰三角形的性质，即得出，从而易证平分；
（2）由直径所对圆周角为直角可知．再根据三角形内心的性质可知，．由同弧或等弧所对圆周角相等可知，从而结合三角形外角性质得：，即，即证明为等腰三角形；
（3）连接，作交于点M， 由圆周角定理可知．根据勾股定理可得出，即得出，从而由等腰直角三角形的性质结合勾股的定理求出．又易证为等腰直角三角形，同理可求出，最后再次利用勾股定理即可求出，进而可求出．
【小问1详解】
∵是切线
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，即平分；
【小问2详解】
为等腰三角形，理由如下，
∵为的直径，
∴．
∵G是的内心，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
【小问3详解】
连接，作交于点M，如图所示：
由圆周角定理可知．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的性质，圆周角定理及其推论，三角形内心的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆的相关知识是解题关键．在解（3）时正确作出辅助线也是关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第三象限内抛物线上一个动点，连接．
（1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）存在，有最大值，最大值为，；
（3）存在，点的坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线的表达式，作轴，交直线于点，设点，则，利用三角形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设，分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过，，
∴，解得，
∴该抛物线的表达式为，
∵，
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
解：∵，，
∴设直线的表达式为，
∴，
∴，
∴设直线的表达式为，
作轴，交直线于点，
设点，则，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时；
【小问3详解】
解：解方程，得或，
∴，
∵点在直线上，
∴设，
如图，当点在线段上时，，
∴，
∴，即，
∴，
解得，
∴；
如图，当点在射线上时，，
∴，
∴，即，
∴，
解得（负值已舍去），
∴；
如图，当点在射线上时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得（正值已舍去），∴；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的周长，勾股定理，三角形的外角性质等，涉及知识点较多，综合性较强．