2023-2024学年湖南省怀化市高一（上）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年湖南省怀化市高一（上）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知A={1,3,5,7}，B={2,4,6,7,8}，则A∪B=( )
A. {x|1C. {7}D. {1,2,3,4,5,6,7,8}
2.若关于x的方程x2−x−m=0在R上有解，则实数m的取值范围是( )
A. [−1,1]B. [−14,+∞)C. (−∞,1]D. [−14,2]
3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. y=x+1B. y=x3C. y=−1xD. y=x4
4.黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中(例如图中所示的建筑).黄金三角形有两种，一种是顶角为36°，底角为72°的等腰三角形，另一种是顶角为108°，底角为36°的等腰三角形，则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.已知f(x)=(m2+m−5)xm为幂函数，则( )
A. f(x)在(−∞,0)上单调递增B. f(x)在(−∞,0)上单调递减
C. f(x)在(0,+∞)上单调递增D. f(x)在(0,+∞)上单调递减
6.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是
( )
A. (a+b)2≥4ab
B. 当a=b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C. (a−b)2≤4ab
D. (a+b)2>(a−b)2
7.血药浓度(PlasmaCncentratin)是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的个数是( )
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
8.已知正数x，y满足3xy+y2−4=0，则3x+5y的最小值为( )
A. 1B. 4C. 8D. 16
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={−1,1}，集合B={x|ax−1=0}，若A∩B=B，则a的取值可能是( )
A. 2B. −1C. 1D. 0
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是{x|x≤−2或x≥6}，则下列说法正确的是( )
A. a<0
B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x<−3}
C. 不等式cx2−bx+a<0的解集是{x|−16D. a+b+c>0
11.关于函数f(x)= x2−x4|x|的性质的描述，正确的是( )
A. f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]B. f(x)的值域为(−1,1)
C. f(x)的图象关于y轴对称D. f(x)在定义域上是增函数
12.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a)，则下述正确的是( )
A. f(0)=0B. f(1)=0
C. f(x)是偶函数D. 若f(2)=2，则f(−12)=12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“∃x∈Q，使得x+ 3>0”的否定是______ ．
14.已知f(1x)=x+2，则f(2)=______．
15.若函数f(x)定义域为[1,5]，则函数f(2x+1)的定义域为______ ．
16.奇函数f(x)满足：对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，都有[f(x1)−f(x2)](x2−x1)>0且f(2)=0，则不等式3f(x)−2f(−x)x>0的解集为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|218.(本小题12分)
已知函数f(x)=2+x−2|x|3(−2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+bx，且f(1)=5，f(2)=4．
(1)求实数a，b的值；
(2)用函数单调性定义证明：函数f(x)在区间(−∞,−2]上单调递增．
20.(本小题12分)
已知一次函数f(x)满足f(x)+2f(−x)=−3x−6．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)=xf(x)在[0,t]上的最小值(其中t为常数)．
21.(本小题12分)
已知函数y=(a+1)x2−(a+1)x+1(a∈R)．
(1)若关于x的不等式y≥0的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的不等式y≤0的解集是P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P⋂Q=⌀，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额130−5×[13060]=130−5×2=120元，其中[x]表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额860−5×[86060]−40×1=750元．
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为A={1,3,5,7}，B={2,4,6,7,8}，
所以A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8}．
故选：D．
由集合的并集运算求解A∪B即可．
本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为：“∃x∈R，使x2−x−m=0”为真命题，
则即m=x2−x有解，
设f(x)=x2−x，对称轴方程为x=12，
则f(x)≥f(12)=−14，
则要使：∃x∈R，使x2−x−m=0，只需m≥−14．
故选：B．
根据存在性问题的解法，结合二次函数性质可解．
本题考查存在性问题的解法以及二次函数性质，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题．
由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．
【解答】
解：函数y=x+1不为奇函数，故A错误；
函数y=x3在R上为奇函数，且为增函数，故B正确；
函数y=−1x为奇函数，但在定义域内不单调，故C错误；
函数y=x4为偶函数，故D错误．
故选B．
4.【答案】B
【解析】解：若△ABC中有一个角是36°且△ABC不是等腰三角形，则△ABC不是黄金三角形，
反之，若△ABC为黄金三角形，则△ABC中必有一个角是36°．
因此，“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的必要不充分条件．
故选：B．
根据三角形的性质与充分必要条件的概念，对两个条件进行正反认证，可得答案．
本题主要考查充分必要条件的判断、三角形的内角和等知识，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=(m2+m−5)xm是幂函数，所以m2+m−5=1，解得m=2或m=−3，
所以f(x)=x2或f(x)=x−3，
对于f(x)=x2，函数在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减；
对于f(x)=x−3，函数在(0,+∞)上单调递减，且为奇函数，所以在(−∞,0)上单调递减；
故只有B选项“f(x)在(−∞,0)上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B．
根据幂函数的定义求出参数m的值，得到函数解析式，再分析其性质即可．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了常见的函数单调性问题，是基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用图形和不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】
解：由题知：正方形ABCD的面积为(a+b)2，正方形A1B1C1D1的面积为(a−b)2，长方形面积为ab．
对于A：由图可知：正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a+b)2≥4ab，故A正确；
对于B：正方形A1B1C1D1的面积为(a−b)2，当a=b时，正方形A1B1C1D1的面积为0，故B正确；
对于C：结合图象正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和的大小关系不定，故C错误；
对于D：结合图象正方形ABCD的面积大于正方形A1B1C1D1的面积，即(a+b)2>(a−b)2，故D正确．
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：由图可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用所以①正确；
服用该药物1单位后，药物的持续作用时间约为5.5小时，所以②错误，③正确；
首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，累计浓度会超过最低中毒浓度，会发生药物中毒，所以④错误．
所以正确的有①③，
故选：C．
根据图象，结合题意，逐一判断每个选项即可．
本题考查了函数的图象，考查学生的阅读能力和数据分析能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵正数x，y满足3xy+y2−4=0，
∴y(3x+y)=4即3x+y=4y，
则3x+5y=3x+y+4y=4y+4y≥2 4y⋅4y=8，
当且仅当4y=4y即y=1，x=1时取等号，此时3x+5y取得最小值8，
故选：C．
由已知可得，3x+y=4y，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：∵A∩B=B，
∴B⊆A，
当a=0时，集合B为⌀，符合题意，
当a≠0时，集合B={1a}，
则1a=−1或1a=1，解得a=−1或a=1，
综上所述，a的取值为0或1或−1．
故选：BCD．
由题意可得，B⊆A，再分a是否为空集讨论，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是{x|x≤−2或x≥6}，则a<0，选项A正确；
对于B，由题意可知，关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=−2，x2=6，
由韦达定理可得6−2=−ba，即b=−4a，−2×6=ca，所以c=−12a，
由bx+c>0可得−4ax−12a>0，解得x>−3，选项B错误；
对于C，由cx2−bx+a<0可得−12ax2+4ax+a<0，即12x2−4x−1<0，解得−16因此，不等式cx2−bx+a<0的解集是{x|−16对于D，由b=−4a，c=−12a，且a<0，得a+b+c=−15a>0，选项D正确．
故选：ACD．
由一元二次不等式与解集的关系可判断A选项；
利用韦达定理可得出b、c与a的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；
利用二次不等式的解法可判断C选项；
计算a+b+c=−15a可判断D选项．
本题考查了二次函数与二次方程及二次不等式关系的应用问题，是基础题．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题综合考查了函数性质的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．
先对已知函数解析式进行化简，然后结合函数的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：当x≠0时，f(x)= x2−x4|x|=|x| 1−x2|x|= 1−x2，
故1−x2≥0，解得−1≤x≤1且x≠0，f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]，A正确；
因为0≤1−x2<1，
所以0≤f(x)<1，f(x)的值域为[0,1)，B错误，
因为f(−x)= 1−(−x)2= 1−x2=f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，故f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，C正确；
f(0.5)= 32>f(1)=0，所以f(x)在定义域上不是增函数，D错误．
故选：AC．
12.【答案】ABD
【解析】解：f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，
对于任意a，b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a)，
对于A，令a=b=0，则f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确；
对于B，令a=b=1，则f(1)=1f(1)+1f(1)=2f(1)，则f(1)=0，故B正确；
对于C，令a=b=−1，则f(1)=−f(−1)−f(−1)=−2f(−1)，∴f(−1)=0，
又令a=−1，b=x，则f(−x)=−f(x)+xf(−1)=−f(x)+0=−f(x)，
∴f(x)是奇函数，故C错误；
对于D，令a=2，b=−12，则f(−1)=f[2×(−12)]=2f(−12)−12f(2)=2f(−12)−1=0，
∴若f(2)=2，则f(−12)=12，故D正确．
故选：ABD．
对a，b取特殊值，代入已知表达式，即可求解．
本题考查命题真假的判断，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】∀x∈Q，都有x+ 3≤0
【解析】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知：
命题“∃x∈Q，使得x+ 3>0”的否定是∀x∈Q，都有x+ 3≤0．
故答案为：∀x∈Q，都有x+ 3≤0．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题易求．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
14.【答案】52
【解析】解：∵f(1x)=x+2，∴f(x)=1x+2，则f(2)=12+2=52，
故答案为：52．
由题意先求出函数的解析式，再根据函数的解析式，求函数的值．
本题主要考查根据函数的解析式，求函数的值，属于基础题．
15.【答案】[0,2]
【解析】解：由题得1≤2x+1≤5，解得0≤x≤2．
故函数f(2x+1)的定义域为[0,2]．
故答案为：[0,2]．
解不等式1≤2x+1≤5即得解．
本题主要考查抽象函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
16.【答案】(−2,0)∪(0,2)
【解析】解：因为对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，都有[f(x1)−f(x2)](x2−x1)>0，
即[f(x1)−f(x2)](x1−x2)<0，
所以f(x)在(0,+∞)上递减，
又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)在(−∞,0)上递减，f(−2)=−f(2)=0，
则当f(x)<0时，x>2或−2当f(x)>0时，x<−2或0因为f(x)=−f(−x)，
所以不等式3f(x)−2f(−x)x>0等价于5f(x)x>0，即f(x)x>0，
则有f(x)>0x>0或f(x)<0x<0，
解得−2所以不等式3f(x)−2f(−x)x>0的解集为(−2,0)∪(0,2)．
故答案为：(−2,0)∪(0,2)．
根据[f(x1)−f(x2)](x2−x1)>0，可得函数f(x)在(0,+∞)上递减，再根据函数为奇函数可得所求不等式即为f(x)x>0，则f(x)>0x>0或f(x)<0x<0，解之即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵A={x|3≤x<7}，B={x|2∴A⋃B={x|2∴CR(A⋃B)={x|x≤2或x≥10}；
(2)∵A={x|3≤x<7}，
∴CRA={x|x<3或x≥7}，
又∵B={x|2∴(∁RA)⋂B={x|2【解析】(1)利用集合的基本运算求解；
(2)利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当0当−2综上，函数f(x)的解析式为f(x)=x+2,−2(2)过点(−2,0)，(0,2)，(3,1)画函数f(x)的图象，其中点(−2,0)是空点，(0,2)和(3,1)是实心点，
函数f(x)的图象如图所示：
(3)由图得函数f(x)的值域为(0,2]．
【解析】本题考查了分段函数的解析式，图象以及值域问题，属于基础题．
(1)分段求出函数的解析式；
(2)根据解析式画出函数的图象；
(3)根据图象写出值域．
19.【答案】解：(1)根据题意，f(x)=ax+bx
∴f(1)=a+b=5f(2)=2a+b2=4，
∴a=1b=4；
(2)证明：由(1)可知f(x)=x+4x，
∀x1，x2∈(−∞,−2]，且x1>x2，
则f(x1)−f(x2)=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)+(4x1−4x2)
=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2)=(x1−x2)(x1x2−4x1x2)，
∵x1−x2>0,4−x1x2x1x2>0
∴f(x1)>f(x2)；
故函数f(x)在区间(−∞,−2]上单调递增．
【解析】(1)根据题意，由函数的解析式可得f(1)=a+b=5f(2)=2a+b2=4，解可得答案；
(2)根据题意，由作差法分析可得答案．
本题考查函数单调性的证明，涉及函数解析式的求法，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵f(x)+2f(−x)=−3x−6①，∴f(−x)+2f(x)=3x−6②，
由−②×2−①得 3f(x)=2×(3x−6)−(−3x−6)，∴f(x)=3x−2．
(2)由(1)可知g(x)=x(3x−2)=3x2−2x，
∴g(x)=3x2−2x=3(x−13)2−13，其中x∈[0,t]，
若0此时g(x)的最小值为g(t)=3t2−2t，
若t>13，则函数g(x)=3(x−13)2−13在(0,13)上单调递减，在(13,t)上单调递增，
此时g(x)的最小值为g(13)=−13．
综合上述，g(x)min=3t2−2t,0【解析】(1)利用方程组法求解函数f(x)解析式即可；
(2)求出函数g(x)的解析式，求出函数g(x)的对称轴，利用对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可．
本题考查求解析式，考查二次函数的值域问题，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题设y=(a+1)x2−(a+1)x+1≥0在x∈R恒成立，
显然a+1=0，即a=−1时y=1>0，满足在x∈R上恒成立；
由a+1>0Δ=(a+1)2−4(a+1)≤0⇒a+1>0a−3≤0⇒−1综上所述a的取值范围为[−1,3]．
(2)由题设y=f(x)=(a+1)x2−(a+1)x+1>0在x∈[0,1]上恒成立，
当a+1=0，即a=−1时y=1>0，满足在x∈[0,1]上恒成立；
当a+1≠0时，函数对称轴为x=12∈[0,1]，
当a+1>0，即a>−1时，只需Δ=(a+1)2−4(a+1)<0，即a<3，故−1当a+1<0，即a<−1时，只需f(1)=(a+1)−(a+1)+1=1>0，也满足题设；
综上，a的取值范围为(−∞,3)．
【解析】(1)由y≥0在x∈R恒成立，结合对应二次函数的性质列不等式组求参数范围；
(2)问题化为y=f(x)>0在x∈[0,1]上恒成立，讨论a+1符号，结合二次函数性质求参数范围．
本题考查的知识要点：二次函数的性质，恒成立问题的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)分两次支付：支付额为250−5×[25060]+650−5×[65060]−40=230+600−40=790元，
一次支付：支付额为900−5×[90060]−40×2=745元
因为745<790，所以一次支付好．
(2)设购买x(x∈N*)件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，最多购买19件，
当1≤x≤14时，不能享受每满400元再减40元的优惠，
当1≤x≤14时，y=1x(30x−5×[30x60])=30−5x×[x2]，n∈N*，
当x=2n时，y=30−52n×n=27.5，n∈N*．
当x=2n+1时，y=30−52n+1×n=30−52+52(2n+1)>27.5，n∈N*．
所以当1≤x≤14时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．
当15≤x≤19时，能享受每满400元再减40元的优惠y=1x(30x−5×[30x60]−40)=30−5x×[x2]−40x，
当x=2n时，y=30−52n×n−402n=27.5−20n，当n=8，x=16时，ymin=25，
当x=2n+1时，y=30−52n+1×n−402n+1=30−52−752(2n+1)，y随着n的增大而增大，所以当n=7，x=15时，ymin=25．
综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．
【解析】本题考查函数的实际应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
(1)求出分两次支付：支付额，一次支付：支付额，即可判断结果．
(2)设购买x(x∈N*)件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，最多购买19件，通过x的范围，x=2n时，当x=2n+1时，求解函数的最小值，推出结果即可．

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