2023-2024学年湖南省株洲二中高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省株洲二中高一（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={x|y= x}，B={(x,y)|y=x2}，则A∩B中的元素个数为( )
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
2.函数f(x)=lg2(3ax2−4ax+2)的定义域为全体实数，则a∈( )
A. RB. (0,+∞)C. [0,32)D. (0,32]
3.若α为△ABC的内角，且sinα−csα=2 33，则α为( )
A. 锐角B. 直角C. 钝角D. A=B=α
4.已知函数f(x)=3x+2x,g(x)=lg3(x)+2x,h(x)=x3+2x的零点分别为p，q，r，则p，q，r的大小顺序为( )
A. p>q>rB. q>r>pC. r>p>qD. q>p>r
5.一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月(假设没有捕杀与其他损耗).那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要年(1g2≈0.3)( )
A. 23B. 22C. 21D. 20
6.若α+β=3π4，则(1−tanα)(1−tanβ)的值是( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
7.若方程(x−1)lg(x+1)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)上，则k=( )
A. −1B. 2C. −1或2D. 1
8.若函数f(x)=24ax2+4x−1在区间(−1,1)内恰有一个零点，则α∈( )
A. {−16}B. (−18,524)C. {−16}∪(−18,524)D. {−16}∪[−18,524]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各命题中正确的是( )
A. f(x)=ax与g(x)=lga(x)(a>0且a≠1)互为反函数
B. 函数f(x)= 4−x2的定义域为x∈(−∞,2]
C. 已知α为第一象限的角，则α2是第一、三象限的角
D. 时针转过4小时，则时针转过的弧度数为−7π12
10.以下结论正确的是( )
A. 已知lga12<1,(12)a<1,a12<1则a∈(0,12)
B. f(x)=3lg2x的定义域为x∈[1,+∞)
C. f(x)=3x+1x−1的值域为(−∞,3)∪(3,+∞)
D. f(x)=cs2x−sinx+2的值域为[1,134]
11.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω<2,|φ|<π2)部分图像如图所示，则( )
A. φ=π6B. |m−n|=9π5C. f(3π5)=−1D. f(m+n)=−2
12.下列命题中，正确的是( )
A. sin3θ=3sinθ−4sin3θ
B. 1cs40⋅(3sin220∘−1cs220∘)=32
C. f(x)=asinx+csx= a2+1sin(x+α)，其中tanα=1a，a<0，函数的图像向右平移φ个单位长度后，得到y= a2+1sin(x+α−φ)为偶函数，则2sin2φ−a−1a的最小值为4
D. 方程|sinx|=lg|x|的根的个数为12个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.用二分法求函数在区间[1,3]的零点，若要求精确度<0.01，则至少进行______次二分．
14.f(x)= sinx−12的单调递减区间是______．
15.已知非直角三角形ABC中，满足A+2B=2π3,tanA2tanB=2− 3，则A= ______，B= ______．
16.设f(α)=sinxα+csxα，x∈{n|n=2k,k∈N+}，利用三角变换，估计f(α)在x=2，4，6时的取值情况，猜想对x取一般值时f(α)的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
不通过画图，写出函数f(x)=32sin(23x−π4)的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它的图像．
18.(本小题12分)
已知f(x)=lgax−mx+m，(m>0为常数)．
(1)判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)若a>1，求f(x)的单调区间．
19.(本小题12分)
已知m>0，n>0且mn=m+n+15，求解下列问题．
(1)求mn的最值；
(2)求m+n的最值；
(3)求2m+3n的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sin2x+4cs2x+b在区间[0,π2]上的最大值6．
(1)求b的值；
(2)求f(x)在x∈R的对称轴方程；
(3)求f(x)在x∈R的单调递增区间．
21.(本小题12分)
如图所示，Rt△ABC≌Rt△BAD(AD(1)写出△APD的面积关于x的函数表达式；
(2)求△APD的面积最大值．
22.(本小题12分)
在半径为R的半圆形空地上，某小区准备设计三个矩形地块栽种一种花草，三个扇形OBC，OCD，OAD的圆心角均为π3，且矩形的地块具有对称性，按如图所示的方案，矩形分别内接于对应的扇形，分别求扇形OBC和OCD内接矩形的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A表示数的集合，集合B表示点的集合，
故A∩B=⌀，即其元素个数为0个．
故选：D．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：当a=0时，显然符合题意，
当a≠0时，a>0Δ=(−4a)2−4×3a×2<0，解得0综上所述，a∈[0,32)．
故选：C．
根据已知条件，结合二次函数、对数函数的性质，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查二次函数、对数函数的性质，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由sinα−csα=2 33，得sin2α−2sinαcsα+cs2α=43，
可得2sinαcsα=−13，又α为△ABC的内角，
∴sinα>0，csα<0，可得α为钝角．
故选：C．
把已知等式两边平方，可得sinα>0，csα<0，则答案可求．
本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查三角函数值的象限符号，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，对于f(x)=3x+2x，易得f(x)在R上为增函数，
由于f(−1)=13−2<0，f(0)=1>0，则f(x)的零点在(−1,0)上，即−1对于g(x)=lg3x+2x，易得g(x)在(0,+∞)上为增函数，
g(13)=−1+23=−13<0，g(1)=2>0，则g(x)在零点在(13,1)上，即13对于h(x)=x3+2x，易得h(x)在R上为增函数，且h(0)=0，
即函数h(x)的零点为x=0，即r=0；
故有q>r>p．
故选：B．
根据题意，由二分法分析f(x)、g(x)零点的范围，由函数零点的定义分析h(x)的零点，综合可得答案．
本题考查函数零点的判定定理，注意二分法的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设兔子由一万只增长到一亿需要x期，
则10000⋅2x=100000000，
即2x=10000，两边取对数，得xlg2=4，
解得x=4lg2≈40.3≈13.3，
因为13.3×21≈279(月)≈23(年)．
故选：A．
设兔子由一万只增长到一亿需要x期，根据题意列方程求出x，即可得出结果．
本题考查了指数与对数函数模型应用问题，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：若α+β=3π4，则tan(α+β)=−1=tanα+tanβ1−tanαtanβ，∴tanα+tanβ=tanαtanβ−1．
∴(1−tanα)(1−tanβ)=1−tanα−tanβ+tanαtanβ=1−(tanαtanβ−1)+tanαtanβ=2，
故选D．
由题意可得tan(α+β)=−1=tanα+tanβ1−tanαtanβ，即tanα+tanβ=tanαtanβ−1，代入(1−tanα)(1−tanβ)的展开式，
化简可得结果．
本题主要考查两角和的正切公式，注意公式的灵活应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由于方程(x−1)lg(x+1)=1，显然x≠1，所以lg(x+1)=1x−1，在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+1)与y=1x−1的图象，
由图象上可得出：方程(x−1)lg(x+1)=1在区间(−1,0)和(2,3)内各有一个实根．
所以k=−1或k=2．
故选：C．
依题意可得，在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+1)与y=1x−1的图象，结合函数图象即可判断方程的根所在区间，即可得解；
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：当a=0时，f(x)=4x−1=0，解得x=14，符合题意；
当a≠0时，二次函数f(x)=24ax2+4x−1的判别式为：Δ=16+96a，
若Δ=0，可得a=−16，此时函数f(x)=24ax2+4x−1的零点为x=12，符合题意；
当Δ>0，a>−16时，只需f(1)⋅f(−1)=(24a+3)(24a−5)<0，所以−18当f(1)=0时，a=−18，经验证符合题意；
当f(−1)=0时，a=524，经验证符合题意；
所以实数a的取值范围为{−16}∪[−18,524]．
故选：D．
根据判别式结合零点存在定理分类讨论即可．
本题考查了函数的零点、分类讨论思想性及二次函数的性质，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A：根据函数f(x)=ax与函数g(x)=lga(x)(a>0且a≠1)的性质，函数的图象关于直线y=x对称，故这两个函数互为反函数，故A正确；
对于B：函数f(x)= 4−x2的定义域满足4−x2≥0，整理得−2≤x≤2，故函数的定义域为[−2,2]，故B错误；
对于C：由于α为第一象限的角，故2kπ<α<2kπ+π2，(k∈Z)，整理得kπ<α2对于D：时针转过4小时，则时针转过的弧度数为−2π3，故D错误．
故选：AC．
直接利用反函数的定义，函数的定义域的求法，象限角的确定，弧度数的定义判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：反函数的定义，函数的定义域的求法，象限角的确定，弧度数的定义，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，lga12<1⇒a>1或0又(12)a<1，a12<1，故0由①②得a∈(0,12)，A正确；
对于B，由x>0，得f(x)=3lg2x的定义域为(0,+∞)，B错误；
对于C，f(x)=3x+1x−1≠3，故f(x)的值域为(−∞,3)∪(3,+∞)，C正确；
对于D，f(x)=cs2x−sinx+2=−sin2x−sinx+3=−(sinx+12)2+134，
当sinx=−12时，f(x)取得最大值134；
当sinx=1时，f(x)取得最小值1，故f(x)的值域为[1,134]，D正确．
故选：ACD．
对于A，利用基本初等函数的性质可判断其正误；
对于B，由x>0，可求得f(x)=3lg2x的定义域为(0,+∞)，可判断B的正误；
对于C，由f(x)=3x+1x−1≠3，可判断C的正误；
对于D，化简得f(x)=−(sinx+12)2+134，利用正弦函数的性质结合二次函数的性质可判断D的正误．
本题考查了命题的真假判断与应用，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω<2,|φ|<π2)部分图像，
可得2sinφ=1，求得φ=π6，故A正确．
根据五点法作图可得ω×3π4+π6=π，
∴ω=109，f(x)=2sin(109x+π6)，|m−n|=T=2πω=9π5，故B正确．
根据f(3π5)=2sin5π6=1，可得C错误．
根据五点法作图，可得2m+π6=0，2n+π6=2π，故有m+n=5π6，
f(m+n)=2sin(109×5π6+π6)=2sin25π27≠−2，故D错误．
故选：AB．
由特殊点的坐标求出φ，根据五点法作图求出ω值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，sin3θ=sin(2θ+θ)=sin2θcsθ+cs2θsinθ=2sinθcs2θ+(1−2sin2θ)sinθ
=2sinθ(1−sin2θ)+(1−2sin2θ)sinθ=3sinθ−4sin3θ，正确；
对于B，1cs40∘⋅(3sin220∘−1cs220∘)=1cs40∘⋅(3cs220°−sin220°sin220∘cs220∘)
=4cs40∘⋅( 3cs20°−sin20°)( 3cs20°+sin20°)sin240∘
=16cs40∘⋅(sin40°sin80°)sin240∘=16cs40∘⋅sin80°sin40∘=32sin80°sin80∘=32，正确：
对于C，因为y= a2+1sin(x+α−φ)为偶函数，
所以α−φ=kπ+π2，k∈Z，
即φ=α−kπ−π2，k∈Z，则2φ=2α−2k π−π，k∈Z，
所以sin2φ=sin(2α−2kπ−π)=−sin2α=−2snαcsα=−2sinα⋅csαcs2α+sin2α
=−2tanα1+tan2α=−2aa2+1，
所以2sin2φ−a−1a=−4aa2+1−a−1a=(−4a)a2+1+a2+1−a，
因为a<0，所以(−4a)a2+1>0,a2+1−a>0，
所以(−4a)a2+1+a2+1−a≥2 (−4a)a2+1×a2+1−a=4，
当且仅当(−4a)a2+1=a2+1−a，即a=−1时，等号成立，
所以2sin2φ−a−1a的最小值为4，正确；
对于D，作出函数y=|sinx|和y=lg|x|的图象，
如图：
则方程sinx=1g|x|的根的个数为函数y=|sinx|和y=lg|x|的图象交点个数，
而sin7π2=1,lg10=1，sinπ=0，lgπ>0，
结合图知，两函数共有10个交点，
故方程|sinx|=1g|x|的根的个数为10个，错误．
故选：ABC．
根据二倍角及两角和公式化简判断A；利用三角恒等变换化简求值判断B；利用正弦函数的对称性及基本不等式求解判断C；作出函数y=|sinx|和y=lg|x|的图象，数形结合即可判断D．
本题考查三角函数图象与性质的应用，属于中档题．
13.【答案】8
【解析】解：根据题意，原来区间[1,3]的长度等于2，
每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过n次操作后，区间的长度为2×12n=12n−1，
若要求精确度<0.01，即12n−1<0.01，解可得n≥8，
即至少进行8个二分．
故答案为：8．
根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过n次操作后，区间的长度，可得关于n的不等式，解可得n的取值范围，即可得答案．
本题考查二分法的使用，注意二分法区间长度的变化，属于基础题．
14.【答案】[π2+2kπ,56π+2kπ]，k∈Z
【解析】解：函数f(x)的定义域满足sinx≥12，解得π6+2kπ≤x≤56π+2kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为[π6+2kπ,56π+2kπ]，k∈Z，
y=sinx的单调递减区间为[π2+2kπ,32π+2kπ]，k∈Z，
所以函数f(x)= sinx−12的单调递减区间为[π2+2kπ,56π+2kπ]，k∈Z．
故答案为：[π2+2kπ,56π+2kπ]，k∈Z．
先求出函数f(x)的定义域及函数y=sinx的单调递减区间，再求出函数f(x)的单调递减区间．
本题考查复合函数的单调递减区间的求法，属于基础题．
15.【答案】π6 π4
【解析】解：由题意知A+B+C=π，A+2B=2π3，
所以C=π3+B，A=2π3−2B，
又tanA2tanB=2− 3，即tan(π3−B)tanB=2− 3，
所以( 3−tanB1+ 3tanB)tanB=2− 3，
所以 tanB2−(3− 3)tanB+2− 3=0，解得tanB=1或tanB=2− 3，
又0所以π6所以tanB=1，所以B=π4，所以A=2π3−π2=π6．
故答案为：π6；π4．
由已知及三角形内角和的性质得A=2π3−2B，然后利用两角差的正切公式求得tanB=1或tanB=2− 3，再结合角的范围求出B=π4，进一步求出A，即可解答．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于中档题．
16.【答案】[12k−1,1]
【解析】解：当x=2时，f(α)=sin2α+cs2α=1；
当x=4时，f(α)=sin4α+cs4α=(sin2α+cs2α)−2sin2αcs2α=1−12sin22α=34+14cs4α，
∴f(α)∈[12,1]；
当x=6时，f(α)=sin6α+cs6α=(sin2α+cs2α)(sin4α−sin2αcs2α+cs4α)=1−34sin22α=58+38cs4α，
∴f(α)∈[14,1]；
由以上规律可以猜想：当x=2k(k∈N*)时，f(α)的取值范围是[12k−1,1]；
故答案为：[12k−1,1]．
分别计算f(α)=sin2α+cs2α，f(α)=sin4α+cs4α，f(α)=sin6α+cs6α的取值范围，数学归纳，猜想对任意x时f(α)的取值范围．
本题主要考查归纳推理，考查转化能力，基础题．
17.【答案】解：函数f(x)=32sin(23x−π4)的振幅为A=32，周期为T=2π23=3π，初相为−π4；
把正弦曲线y=sinx向右平移π4个单位，得y=sin(x−π4)的图像；
再纵坐标不变，横坐标变为原来的32倍，得y=sin(23x−π4)的图像；
最后横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得y=32sin(23x−π4)的图像．
【解析】根据三角函数的振幅、周期和初相的定义，以及三角函数平移变换，求解即可．
本题考查了三角函数的图像与性质应用问题，也考查了图像平移变换问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)为奇函数，证明如下：
由x−mx+m>0可得x>m或x<−m，(m>0)，
则f(−x)+f(x)=lga−x−m−x+m+lgax−mx+m=lgax2−m2x2−m2=lga1=0，
所以f(−x)=−f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)令t=x−mx+m=1−2mx+m，
则t=x−mx+m=1−2mx+m的单调递增区间为(−∞,−m)，(m,+∞)，没有单调递减区间，
因为a>1，
根据复合函数单调性可知，f(x)的单调递增区间为(−∞,−m)，(m,+∞)，没有单调递减区间．
【解析】(1)结合函数奇偶性的定义即可判断；
(2)先令t=x−mx+m=1−2mx+m，结合反比例函数的性质及函数图象的平移可求出该函数的单调区间，然后结合复合函数单调性即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为m>0，n>0，mn=m+n+15≥2 mn+15，当且仅当m=n=5时取等号，
所以mn≥25，即mn的最小值为25；
(2)由m+n+15=mn≤(m+n2)2，当且仅当m=n=5时取等号，
解得，m+n≥10(舍负)，
所以m+n的最小值为10；
(3)由mn=m+n=15可得，(m−1)(n−1)=16，
所以2m+3n=2(m−1)+3(n−1)+5≥2 2(m−1)×3(n−1)+5=8 6+5，
当且仅当2m−2=3n−3且(m−1)(n−1)=16，即n=1+4 63，m=1+2 6时取等号，
所以2m+3n的最小值为5+8 6．
【解析】(1)由已知结合m+n≥2 mn，解不等式即可求解mn的范围，进而可求最小值；
(2)由已知结合mn≤(m+n2)2，解不等式即可求解m+n的范围，进而可求最小值；
(3)由已知得(m−1)(n−1)=16，然后结合基本不等式即可求解2m+3n的最小值．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=2 3sin2x+2(cs2x+1)+b=4sin(2x+π6)+2+b，
因为x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，
所以当2x+π2时，函数取到最大值，即4+2+b=6，
解得b=0；
(2)函数的对称轴方程满足2x+π6=π2+kπ，k∈Z，解得x=π6+kπ2，k∈Z；
(3)函数的单调递增区间满足−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．
【解析】(1)将函数化简，由x的范围，可得角的整体的范围，进而可得函数的最大值，由题意可得b的值；
(2)求出函数的对称轴满足的方程，进而求出函数的对称轴的方程；
(3)求出函数的单调递增区间满足的条件，进而求出函数的单调递增区间．
本题考查三角函数恒等变换及三角函数的性质的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)设∠ABD=θ，在Rt△ABC中，因为AD=x，AD+BD=16，
所以tanθ=x16−x，又Rt△ABC≌Rt△BAD，所以∠ABD=∠PAB=θ，
所以∠APD=2θ，所以tan∠APD=tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×x16−x1−(x16−x)2=2x(16−x)(16−x)2−x2，
则PD=ADtan2θ=x2x(16−x)(16−x)2−x2=(16−x)2−x22(16−x)=128−16x16−x，
所以S△APD=12AD⋅PD=12x×128−16x16−x=64x−8x216−x，
又x>016−x>0，所以0所以△APD的面积关于x的函数表达式为S=64x−8x216−x(0(2)由(1)知S=64x−8x216−x,(0令t=16−x>0，则S=64(16−t)−8(16−t)2t=−8t2+192t−1024t=−(8t+1024t)+192
≤−2 8t×1024t+192=192−128 2，
当且仅当8t=1024t，即t=8 2，
即x=16−8 2时，等号成立，
故当x=16−8 2时，△APD的面积取到最大值为192−128 2．
【解析】(1)设∠ABD=θ，利用直角三角形性质知tanθ=x16−x利用二倍角公式得tan2θ=2x(16−x)(16−x)2−x2，进而求得PD=128−16x16−x，利用直角三角形面积公式求解即可；(2)令t=16−x，则S=−(8t+1024t)+192，利用基本不等式求解最值即可．
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：在扇形OBC中，其内接矩形为EFHG，
如图1：

设∠EOB=θ，在直角△OEG中，由∠EOB=θ，可得OG=Rcsθ，EG=Rsinθ，
又HG=OG−OH=Rcsθ−FHtanπ3=Rcsθ− 33Rsinθ，
所以SEFHG=EG⋅HG=Rsinθ(Rcsθ− 33Rsinθ)=R2sinθcsθ− 33R2sin2θ
=R22sin2θ− 3R26(1−cs2θ)= 33R2sin(2θ+π6)− 3R26，
当2θ+π6=π2，则θ=π6时，则形OBC内接矩形EFHG的面积最大，最大值为Smax= 3R26，
在扇形OCD中，其内接矩形为KTSQ，取圆弧CD的中点为M，连接OM，
设OM∩QK=P，OM∩ST=N，∠SOM=φ，
如图2：

则SN=Rsinφ，于是ST=2Rsinφ，
又SQ=PN=ON−OP=Rcsφ−QPtanπ6=Rcsφ− 3Rsinφ，
所以SKTSQ=ST⋅SQ=2Rsinφ(Rcsφ− 3Rsinφ)=2R2sinφcsφ−2 3R2sin2φ
=R2sin2φ− 3R2(1−cs2φ)=2R2sin(2φ+π3)− 3R2，
当2φ+π3=π2时，即φ=π12时，扇形OCD内接矩形KTSQ的面积最大，最大值为(2− 3)R2．
【解析】利用锐角三角函数定义，结合矩形面积公式分别表示两个矩形面积，根据正弦二倍角公式、辅助角公式、降幂公式，结合正弦型函数的性质进行求解即可．
本题考查扇形面积公式的应用，属于难题．