2022-2023学年湖南省娄底市涟源二中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省娄底市涟源二中高二（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线l过点A(3,0)和点B(0,2)，则直线l的方程是( )
A. 2x+3y−6=0B. 3x+2y−6=0C. 2x+3y−1=0D. 3x+2y−1=0
2.抛物线x2=y5的焦点坐标为( )
A. (0,120)B. (0,110)C. (120,0)D. (110,0)
3.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c，b/​/c，则x+y的值为( )
A. −1B. 1C. 2D. 3
4.已知数列{an}满足a1=2，an=2−1an−1(n≥2且n∈N+)，则该数列的第5项为( )
A. 54B. 65C. 45D. 56
5.已知双曲线C：x24−y23=−1，则其离心率为( )
A. 72B. 2 33C. 213D. 142
6.已知函数f(x)=13x3+x2−ax,f′(1)=0，则实数a=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.已知数列{an}为等比数列，若a2>0，a4a8=16，则a6=( )
A. −4B. 2C. 4D. ±4
8.设F1、F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点.若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的内切圆半径为( )
A. 2 55或4 55B. 2 55或2 155C. 155或2 155D. 4 55或2 155
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线y=a(x−3)+2(a∈R)过定点(−3,2)
B. 直线2x−y−1=0在y轴上的截距为−1
C. 点(1,3)到直线y−2=0的距离为1
D. 直线x=−2与 3x−y+1=0的夹角为π3
10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个不重合的动点E，F，则( )
A. 当EF⋅AB= 2时，EF=2
B. AC1⊥EF
C. AE的最小值为 6
D. 二面角A−EF−B为定值
11.等差数列{an}是递增数列，满足a7=3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是( )
A. d>0B. a1≤0
C. 当n=5时，Sn最小D. Sn>0时，n的最小值为8
12.已知直线y=−13x+t与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0))交于A，B两点，线段AB的中点为P(m,12)(m>2)，则C的离心率可能是( )
A. 336B. 346C. 306D. 356
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x)=13−8x+2x2，f′(x0)=4，则x0= ．
14.已知向量a=(1,−2,1)，b=(−1,2,2)，且ka−b与a−2b互相垂直，则k= ______ ．
15.与椭圆x22+y26=1有公共的焦点且离心率为2的双曲线的标准方程为______ ．
16.在数列{an}中，若a1=2，an+1=an+n+1，则{an}的通项公式为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆O过三点A(1,−1)，B(1,4)，C(4,−2)．
(1)求圆的方程；
(2)判断圆与直线x−2y=0的位置关系并证明．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−lnx．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f′(x)<0的解集．
19.(本小题12分)
已知等比数列{an}的各项均为正数，a1+a2=6，a3=8．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn+bn+1=lg2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2n．
20.(本小题12分)
四棱锥P−ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA=2，AB=1，AD=2．
(1)求证：PB/​/平面ACE；
(2)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知数列{an}，n∈N+时，a1+2a2+3a3+⋯+nan=(n−1)⋅2n+1+2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列{bnan}的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，且点P(12, 144)在C上．
(1)求C的方程；
(2)设F1，F2为C的左、右焦点，过F2的直线l交C于A，B两点，若△ABF1内切圆的半径为 107，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵直线l过点A(3,0)和点B(0,2)，
∴根据直线的截距式方程可知直线方程维护x3+y2=1，
整理得2x+3y−6=0，
故选：A．
根据直线的截距式方程直接求直线方程即可．
本题主要考查直线方程的求法，利用直线过点得到直线的横截距和纵截距是解决本题的关键，要求熟练掌握直线的各种方程形式．
2.【答案】A
【解析】解：因为抛物线x2=y5的焦点在y轴的正半轴上，可得2p=15，则p2=120，
所以焦点坐标为(0,120).
故选：A．
根据抛物线标准方程的特点得到焦点坐标．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵a⊥c，
∴a⋅c=2x−4+2=0，解得x=1．
∵b//c，
∴b=λc，∴1=2λy=−4λ1=2λ，解得λ=12，y=−2．
∴x+y=−1．
故选：A．
利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．
本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为a1=2，an=2−1an−1(n≥2且n∈N+)，
所以a2=2−1a1=2−12=32，a3=2−1a2=2−23=43，
a4=2−1a3=2−34=54，a5=2−1a4=2−45=65．
故选：B．
根据递推公式计算可得答案．
本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：双曲线C：x24−y23=−1，化为标准方程得C：y23−x24=1，所以双曲线C的焦点在y轴上，a= 3，b=2，c= 7，其离心率e=ca= 7 3= 213．
故选：C．
化简双曲线的标准方程，求出a，b，c，然后求解双曲线的离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
6.【答案】B
【解析】解：因为f′(x)=x2+2x−a，
所以f′(1)=1+2−a=3−a=0，解得a=3．
故选：B．
求导，利用f′(1)=0即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：数列{an}为等比数列，若a2>0，则偶数项均为正数，
由a4a8=16，
则a6=4．
故选：C．
根据等比数列的性质即可求出．
本题考查了等比数列的性质，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意知椭圆C：x236+y220=1，则其长半轴a=6，短半轴b=2 5，焦距2c=8，
当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点，|AF1|=|BF1|= c2+b2=6，
此时△MF1F2的面积为S=12×8×2 5=8 5，
设△MF1F2内切圆半径为r，则12r(2|AF1|+|F1F2|)=8 5，
即12r(2×6+8)=8 5，
∴r=4 55；
(三角形内切圆半径公式的推导：S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=12r(|AB|+|BC|+|AC|)，)；
当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内，
此时|MF1|>|MF2|，此时|MF2|<|AF2|=6，由△MF1F2为等腰三角形，
可知|MF1|=|F1F2|=8，则|MF2|=2a−|MF1|=12−8=4，△MF1F2的面积为S=12×4× 82−22=4 15，
则12r(2|MF1|+|MF2|)=4 15，即12r(2×8+4)=4 15，∴r=2 155，
综合可得△MF1F2的内切圆半径为4 55或2 155．
故选：D．
讨论M点的位置，结合椭圆的几何性质求出△MF1F2的面积，利用S△MF1F2=12rl(r为三角形内切圆半径，l为三角形周长)，即可求得答案．
本题考查了椭圆的性质，考查了三角形的内切圆半径的求解，考查计算能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，当时x−3=0时，x=3，此时y=2，所以直线y=a(x−3)+2(a∈R)过定点(3,2)而不是(−3,2)，故A错误；
对于B，令x=0得y=−1，所以直线2x−y−1=0在y轴上的截距为−1，故B正确；
对于C，点(1,3)到直线y−2=0的距离为d=|3−2|=1，故C正确；
对于D，直线 3x−y−1=0的斜率为 3，可得倾斜角为π3，所以直线x=−2与 3x−y−1=0的夹角为π2−π3=π6，故D错误．
故选：BC．
根据题意，令x=3得到y=2，可判断A项的正误；取x=0求y的值，可判断B项的正误；利用点到直线的距离公式求解，可判断C的正误；根据 3x−y−1=0的倾斜角判断出D的正误，即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角、点到直线的距离公式等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：连接A1C1，AB1，AD1，BD1，
由正方体的性质可知D1C1/​/AB，∠C1D1B1=45°，
则EF⋅AB=|EF|×2×cs45°= 2，解得|EF|=1，故A错误；
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，故AA 1⊥B1D1，
因为A1C1⊥B1D1，且A1C1∩AA1=A1，A1C1，AA1⊂平面AA1C1C，
所以B1D1⊥平面AA1C1C，
AC1⊂平面AA1C1C，所以B1D1⊥AC1，即EF⊥AC1，则B正确；
当AE⊥B1D1时，AE取得最小值，此时△AB1D1为等腰三角形，
故最小值为 (2 2)2−( 2)2= 6，则C正确；
因为平面AEF与平面AB1D1是同一平面，平面BEF与平面BB1D1是同一平面，
所以二面角A−EF−B就是二面角A−B1D1−B，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BB1D1是两个确定的平面，
故二面角A−B1D1−B是定值，所以二面角A−EF−B为定值，则D正确．
故选：BCD．
根据数量积的计算可求得|EF|=1，判断A；证明B1D1⊥平面AA1C1C1，根据线面垂直的性质可判断B；当AE⊥B1D1时，AE取得最小值，求得其值，判断C；根据正方体性质可知二面角A−EF−B就是二面角A−B1D1−B，由此判断D．
本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，因为数列{an}是递增数列，
所以an+1>an，
又因为{an}是等差数列，
所以d=an+1−an>0，即d>0，故A正确；
由a7=3a5，得a1+6d=3(a1+4d)，解得a1=−3d，
由d>0，所以a1=−3d<0，故B错误；
由a1=−3d，得Sn=d2n2+(a1−d2)n=d2n2−7d2n，
由二次函数的性质知，对称轴为n=−−7d22×d2=72，开口向上，
当n=72时，当n=3或n=4时，Sn取得最小，故C错误；
令Sn=d2n2−7d2n>0，解得n<0或n>7，即Sn>0时，n的最小值为8，故D正确；
故选：AD．
根据数列的单调性定义及等差数列的定义，利用等差数列的通项公式及前n项和公式，结合二次函数的性质及一元二次不等式的解法即可求解．
本题考查等差数列的性质，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，则x12−x22a2+y12−y22b2=0，故y1−y2x1−x2=−b2a2x1+x2y1+y2，
∵线段AB的中点为P(m,12)(m>2)，
∴x1+x2=2m，y1+y2=1，
故y1−y2x1−x2=−2mb2a2，
又y1−y2x1−x2=−13，则−2mb2a2=−13，即b2a2=16m，
∵m>2，∴b2a2=16m<112，
故椭圆C的离心率e= 1−b2a2> 1−112= 336，
故椭圆离心率范围为( 336,1)，
故 346与 356满足要求．
故选：BD．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，利用点差法可得y1−y2x1−x2=−b2a2x1+x2y1+y2，结合P(m,12)(m>2)及直线斜率为−13，m>2，求出离心率范围，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：∵f(x)=13−8x+2x2，
∴f′(x)=−8+4x，
∴−8+4x0=4，
解得x0=3，
故答案为：3．
利用导数的运算法则即可得出．
本题主要考查了函数的求导，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．
14.【答案】−74
【解析】解：因为向量 a=(1,−2,1)，b=(−1,2,2)，
所以 ka−b=(k+1,−2k−2,k−2)，a−2b=(3,−6,−3)．
因为ka−b与 a−2b垂直，所以(ka−b)⋅(a−2b)=0，
所以3(k+1)−6(−2k−2)−3(k−2)=0，
解得：k=−74．
故答案为：−74．
利用空间向量垂直列方程直接求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
15.【答案】y2−x23=1
【解析】解：由椭圆x22+y26=1可得c=2，则焦点(0,2)，(0,−2)，
∴双曲线的焦点(0,2)，(0,−2)，即c=2，
又双曲线的离心率为2，则a=1，则b2=3，
∴此双曲线的标准方程为y2−x23=1，
故答案为：y2−x23=1．
由椭圆x22+y26=1可得c=2，则焦点(0,2)，(0,−2)，可得双曲线的焦点(0,2)，(0,−2)，即c=2，结合离心率，求出a，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质和双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16.【答案】an=n2+n+22
【解析】解：由题意可知数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，
故an+1−an=n+1(n≥2)，
所以an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)，
即an=2+2+3+⋯+n=2+(n−1)(n+2)2=n2+n+22，
又a1=2满足上式，所以an=n2+n+22．
故答案为：an=n2+n+22．
将an+1=an+n+1变为an+1−an=n+1，利用累加法即可求得答案．
本题考查累加法，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设圆O的一般方程为x2+y2+Dx+ky+F=0(D2+E2−4F>0)，
因为圆O过点A(1,−1)，B(1,4)，C(4,−2)，
所以1+1+D−E+F=01+16+D+4E+F=016+4+4D−2E+F=0，解得D=−7E=−3F=2，
所以圆O的方程为x2+y2−7x−3y+2=0；
(2)圆与直线相交．证明如下：
由(1)知，x2+y2−7x−3y+2=0，
化为标准方程为(x−72)2+(y−32)2=252，
圆心为O(72,32)，半径为r=5 22，
所以圆心O(72,32)到直线x−2y=0的距离为d=|72−2×32| 12+(−2)2 510，
得d【解析】(1)设圆的一般方程，将点A、B、C的坐标代入，即可求解；
(2)将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式可得d本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)依题意，函数f(x)=x2−lnx的定义域为(0,+∞)，
且f′(x)=2x−1x，
∴f(1)=12−ln1=1，f′(1)=2−1=1，
因此，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=x−1，即y=x；
(2)依题意，函数f(x)=x2−lnx的定义域为(0,+∞)，
且f′(x)=2x−1x，令f′(x)<0且x>0，
2x2−1x<0x>0⇒0故不等式f′(x)>0的解集为(0, 22)
【解析】(1)求出f(1)、f′(1)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
(2)求得函数f(x)=x2−lnx的定义域为(0,+∞)，然后在x∈(0,+∞)上解不等式f′(x)<0即可得解集．
本题考查导数的几何意义以及不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
∵a3=8，a1+a2=6，
∴8q2+8q=6，即3q2−4q−4=0，
解得q=2或q=−23(舍去)，
∴an=a3⋅qn−3=8×2n−3=2n；
(2)∵bn+bn+1=lg2an=lg22n=n，
∴T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+⋯+(b2n−1+b2n)=1+3+⋯+(2n−1)=n2．
【解析】(1)根据等比数列的通项公式列式求出公比，再根据等比数列的通项公式，即可得出答案；
(2)求出bn+bn+1=n后，利用并项求和法以及等差数列的求和公式，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：四棱锥P−ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，因此以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

所以P(0,0,2)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，B(1,0,0)，
设平面ACE的一个法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅AE=0n⋅AC=0，即：a+2b=0b+c=0⇒a=−2b=1c=−1⇒n=(−2,1,−1)，
因为PB=(1,0,−2)，所以PB⋅n=−2+0+2=0，
又因为PB⊄平面ACE，所以PB/​/平面ACE．
(2)解：设直线CP与平面ACE所成角为θ，
因为PC=(1,2,−2)，平面ACE的一个法向量为n=(−2,1,−1)，
所以sinθ=|cs〈PC,n〉|=|PC⋅n||PC|⋅|n|=23 6= 69，
即直线CP与平面ACE所成角的正弦值为 69．
【解析】(1)(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可得解．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)∵a1+2a2+3a3+⋯+nan=(n−1)⋅2n+1+2①，
∴当n≥2时，a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)an−1=(n−2)⋅2n+2②，
由①−②得nan=(n−1)⋅2n+1−(n−2)⋅2n=n⋅2n，
∴an=2n，
当n=1时，a1=2满足上式，
∴an=2n,n∈N*；
(2)由(1)得an=2n，
则S2n+1=(2n+1)(b1+b2n+1)2=(2n+1)×2bn+12=(2n+1)bn+1=bnbn+1，
又在各项非零的等差数列{bn}中，则bn=2n+1，
∴bnan=2n+12n，
∴Tn=321+522+⋯+2n+12n③，12Tn=322+523+⋯+2n+12n+1④，
由③−④得12Tn=321+222+⋯+22n−2n+12n+1=32+121+122+⋯+12n−1−2n+12n+1，
=32+12[1−(12)n−1]1−12−2n+12n+1=52−12n−1−2n+12n+1=52−2n+52n+1，
∴Tn=5−2n+52n．
【解析】(1)根据an，Sn的关系，即可得出答案；
(2)利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)依题意，可得ca= 2214a2+1416b2=1a2=b2+c2，解得a2=2b2=c2=1，
所以C的方程为x22+y2=1．
(2)易得△ABF1的周长为4a=4 2，
故S△ABF1=12×4 2× 107=4 57．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为x=ty+1，
则S△ABF1=12×2×|y1−y2|=|y1−y2|=4 57，
由x=ty+1x2+2y2=2，得(t2+2)y2+2ty−1=0，此时Δ=8t2+8>0，
所以y1+y2=−2tt2+2,y1y2=−1t2+2，
故|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= (−2tt2+2)2−4(−1t2+2)=2 2× t2+1t2+2=4 57，
解得t=± 62，故直线l的方程为2x− 6y−2=0或2x+ 6y−2=0．
【解析】(1)根据题意建立a，b，c的方程组，可求a，b，从而可得椭圆的方程；
(2)设直线l的方程x=ty+1，设A(x1,y2)，B(x2,y2)，联立直线方程和椭圆方程，消元后结合韦达定理可得关于的方程，结合内切圆的半径为 107，可得|y1−y2|=4 57，代入计算可得t值，从而求得直线方程．
本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系综合，属于中档题．