高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念免费一课一练

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[A组 必备知识练]
1．给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有( )
A.4个 B．5个
C.6个 D．7个
解析：速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有大小和方向．
答案：A
2．(多选)下列说法错误的有( )
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若 eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(CD,\s\up6(→))，则不一定有直线AB∥CD
D.若向量 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
解析：A错误，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错误，相等向量的起点和终点都可能不相同；C正确，直线AB与CD可能重合；D错误，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线．
答案：ABD
3．若| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(AD,\s\up6(→))|且 eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形 B．矩形
C.菱形 D．等腰梯形
解析：因为 eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(CD,\s\up6(→))，
所以四边形ABCD为平行四边形．
又| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(AD,\s\up6(→))|，即邻边相等，
所以四边形ABCD为菱形．
答案：C
4．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则| eq \(BD,\s\up6(→))|＝________．
解析：由题意知，AC⊥BD，且∠ABD＝30°.
设AC与BD的交点为O，
∴在Rt△ABO中，| eq \(BO,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|cs 30°＝2× eq \f(\r(3),2)＝ eq \r(3)，
∴| eq \(BD,\s\up6(→))|＝2| eq \(BO,\s\up6(→))|＝2 eq \r(3).
答案：2 eq \r(3)
5．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是________．(填序号)
①与 eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有1个(不含 eq \(AB,\s\up6(→)))；
②与 eq \(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含 eq \(AB,\s\up6(→)))；
③ eq \(BD,\s\up6(→))的模恰为 eq \(DA,\s\up6(→))的模的 eq \r(3)倍；
④ eq \(CB,\s\up6(→))与 eq \(DA,\s\up6(→))不共线．
解析：由于 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，因此与 eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有 eq \(DC,\s\up6(→))，而与 eq \(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有 eq \(DA,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))， eq \(CA,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(BA,\s\up6(→))，因此①②正确．在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以| eq \(DO,\s\up6(→))|＝ eq \f(\r(3),2)| eq \(DA,\s\up6(→))|，故| eq \(DB,\s\up6(→))|＝ eq \r(3)| eq \(DA,\s\up6(→))|，因此③正确．由于 eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))，因此 eq \(CB,\s\up6(→))与 eq \(DA,\s\up6(→))是共线的，因此④错误，故填①②③.
答案：①②③
6．如图所示，在四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，N，M分别是AD，BC上的点，且 eq \(CN,\s\up6(→))＝ eq \(MA,\s\up6(→)).求证： eq \(DN,\s\up6(→))＝ eq \(MB,\s\up6(→)).
证明：∵ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，∴AB＝DC且AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴ eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→)).
又 eq \(CN,\s\up6(→))＝ eq \(MA,\s\up6(→))，∴CN＝MA, CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形，
∴ eq \(CM,\s\up6(→))＝ eq \(NA,\s\up6(→))，∴CM＝NA，CM∥NA.
∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN.
又DN∥MB，∴ eq \(DN,\s\up6(→))与 eq \(MB,\s\up6(→))的模相等且方向相同，
∴ eq \(DN,\s\up6(→))＝ eq \(MB,\s\up6(→)).
7.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)画出 eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))；
(2)求B地相对于A地的位移．
解：(1)向量 eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))如图所示．
(2)由题意知 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))，
∴AD∥BC，AD＝BC，
则四边形ABCD为平行四边形，
∴ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，长度为6千米”．
[B组 关键能力练]
8．(多选)如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是( )
A. eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→)) B．| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(DC,\s\up6(→))|
C. eq \(AD,\s\up6(→))> eq \(BC,\s\up6(→)) D． eq \(BC,\s\up6(→))∥ eq \(AD,\s\up6(→))
解析： eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(DC,\s\up6(→))方向不同，故不是相等向量，故A错误；| eq \(AB,\s\up6(→))|与| eq \(DC,\s\up6(→))|表示等腰梯形ABCD两腰的长度，所以| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(DC,\s\up6(→))|，故B正确；向量无法比较大小，只能比较模的大小，故C错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以 eq \(BC,\s\up6(→))∥ eq \(AD,\s\up6(→))，故D正确．
答案：BD
9．下列说法正确的是( )
A.若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B.共线向量一定在同一直线上
C.若|a|<|b|，则aD.单位向量的长度为1
解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行；B中，共线向量不一定在同一直线上；C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小；显然D正确．
答案：D
10．已知A，B，C是平面内不共线的三点，m与 eq \(AB,\s\up6(→))是平行向量，与 eq \(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝________．
解析：因为A，B，C是平面内不共线的三点，所以 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))不共线，又m与 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))都共线，所以m＝0.
答案：0
11．如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形．设△ABC的边长为3a，图中列出的长度均为a的若干个向量中：
(1)与 eq \(GH,\s\up6(→))相等的向量为________；
(2)与 eq \(GH,\s\up6(→))共线且长度相等的向量为____________；
(3)与 eq \(EA,\s\up6(→))方向相反且长度相等的向量为__________．
解析：(1)与向量 eq \(GH,\s\up6(→))相等的向量为 eq \(DB′,\s\up6(→))， eq \(HC,\s\up6(→)).
(2)与向量 eq \(GH,\s\up6(→))共线且长度相等的向量为 eq \(EC′,\s\up6(→))， eq \(DE,\s\up6(→))， eq \(DB′,\s\up6(→))， eq \(GB,\s\up6(→))， eq \(HC,\s\up6(→)).
(3)与向量 eq \(EA,\s\up6(→))方向相反且长度相等的向量为 eq \(EF,\s\up6(→))， eq \(FB,\s\up6(→))， eq \(HA′,\s\up6(→)).
答案：(1) eq \(DB′,\s\up6(→))， eq \(HC,\s\up6(→)) (2) eq \(EC′,\s\up6(→))， eq \(DE,\s\up6(→))， eq \(DB′,\s\up6(→))， eq \(GB,\s\up6(→))， eq \(HC,\s\up6(→))
(3) eq \(EF,\s\up6(→))， eq \(FB,\s\up6(→))， eq \(HA′,\s\up6(→))
12．在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规作图．
(1)画出 eq \(OA,\s\up6(→))，使| eq \(OA,\s\up6(→))|＝4 eq \r(2)，点A在点O北偏东45°；
(2)在图中画一个以A为起点的向量 eq \(AB,\s\up6(→))，使| eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，并写出向量 eq \(AB,\s\up6(→))终点的集合所构成的图形．
解：(1)由点A在点O北偏东45°处和| eq \(OA,\s\up6(→))|＝4 eq \r(2)，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量 eq \(OA,\s\up6(→)).
(2)向量 eq \(AB,\s\up6(→))终点的集合所构成的图形是以A为圆心，半径为4的圆．
[C组 素养培优练]
13．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10 eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)求 eq \(AD,\s\up6(→))的模．
解：(1)作出向量 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))，如图所示：
(2)由题意易知，△BCD与△ABD都是直角三角形．在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，BC＝10 eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝ eq \r(52＋102)＝5 eq \r(5)(米)，所以| eq \(AD,\s\up6(→))|＝5 eq \r(5)米．