还剩118页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
七年级上册第四章 基本平面图形4.3 角课后复习题
展开
这是一份七年级上册第四章 基本平面图形4.3 角课后复习题，共121页。
题型一 与线段动点有关问题
题型二 动角有关问题
题型三 三角板中角度计算问题
题型四 几何图形中角度计算问题
题型五 实际问题中角度计算问题
题型六 角平分线的有关计算
题型七 角n等分线的有关计算
【经典题型一 与线段动点有关问题】
1．如图，直线上有，，，四个点，，，．
(1)线段______
(2)动点，分别从A点，点同时出发，点沿线段以3/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点沿线段以1/秒的速度，向左运动；点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为（单位：秒）
①求，两点第一次相遇时，运动时间的值；
②求，两点第二次相遇时，与点A的距离．
2．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
(1)P在线段AB上运动，当时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．
3．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．
（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
4．如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，．
（1）直接写出点B表示的数_________；
（2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C；
（3）已知点P在数轴上
①若，直接写出点P所表示的数；
②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数．
5．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；
（2）若，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
6．已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）若，求的值；
（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．
7．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．求线段MN的长度；
（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设，请根据题意画出图形并求MN的长度；
（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．
8．如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为．
⑴ ；
⑵求点所表示的数；
⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由．
9．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
10．【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】如图2，点表示数-10，点表示数20，若点从点，以每秒3的速度向点运动，当点到达点时停止运动，设运动的时间为秒.
（2）点在运动过程中表示的数为 （用含的代数式表示）；
（3）求为何值时，点是线段的“二倍点”；
（4）同时点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【经典题型二 动角有关问题】
11．将一副直角三角板按图摆放在直线上（直角三角板和直角三角板在同一平 面内，，，，），保持三角板不动，将三 角板 绕点以每秒的速度顺时针转动（即每一条边都绕点 以相同速度顺时针转动）， 转动时间为秒．
(1)当 秒时，平分？如图，此时 ；（直接写答案）
(2)继续转动三角板 ，如图，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含 ）
(3)若在三角板开始转动的同时，另一个三角板 也绕点 以每秒的速度顺时针 转动，当 旋转至射线 上时同时停止，（自行画图分析）
当为多少秒时，？
在转动过程中，请写出 与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含 ）
12．已知、共顶点O，平分，平分．
(1)如图1，当与重合时，若，，求的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）；
(3)在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，的值为 ．（直接写出答案）
13．在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）．
(1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则 ；
(2)如图，若射线、同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线、同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”；
(3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小．
14．已知 ，按如图①所示摆放，将边重合在直线上，边在直线的两侧．
(1)保持不动，将绕点O旋转至如图②所示的位置，则 ， ；
(2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为t分钟．
求的大小（用t的代数式表示）；
(3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小．
15．定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）．
(1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值；
(2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值．
16．已知，射线均为内的射线．
(1)如图1，若为的三等分线，则＝ ；
(2)如图2，若，平分平分，求的大小
(3)射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线始终平分，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达的位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，.
17．已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．
(1)若
①如图1，当时， ；
②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．
18．【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数）
【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线．
(1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由．
(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________．
19．如图1，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．
(1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角尺运动时间为秒．
①当时， ；
②求当为何值时，使得；
(2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分．
①当时， ；
②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出的度数．
20．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．
(1)如图2，填空：当时，______．
(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【经典题型三 三角板中角度计算问题】
21．现有一副三角尺，将和重合于点放置，且，，．将三角尺绕点逆时针旋转一周（旋转过程中和均是指小于的角），分别作出、的平分线、
(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点在上，直接写出图1中______度；
(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点在的延长线上，直接写出图2中______度
(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若，
①______．（用含的代数式表示）
②请求出的度数．
22．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．
(1)如图2，若，则______，______；
(2)若射线是的角平分线，且．
①旋转到图3的位置，______．（用含的代数式表示）
②在旋转过程中，若，则此时______．
23．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点处，边在射线上，另一边在直线的下方，绕点逆时针旋转，其中旋转的角度为
(1)将图1中的直角旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时为 度．
(2)将图1中的直角旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
(3)若直角绕点按每秒的速度顺时针旋转，当直角的直角边所在直线恰好平分时，求此时直角绕点的运动时间的值．
24．将一副直角三角板，，按如图1放置，其中B与E重合，，．
(1)如图1，点F在线段的延长线上，求的度数；
(2)将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．
①如图2，当旋转至的内部时，求的度数；
②当旋转至的外部时，直接写出的度数．
25．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变）直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．
(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了______秒；
(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立，并说明理由；
(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变），当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．
①试用字母t分别表示与；
②在旋转的过程中，当t为何值时平分．
【经典题型四 几何图形中角度计算问题】
26．如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且，．
(1)如图1，若平分，求的度数；
(2)如图2，在（1）的条件下，平分，过点O作射线，求的度数；
(3)如图3，若在内部作一射线，若，，试判断与的数量关系．
27．如图，已知．
(1)试说明：；
(2)若平分，，，求的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．
28．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．
(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；
(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．
①若，求的度数（写出推理过程）；
②若，则的度数是________（直接填空）．
(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
29．如图，点在同一条直线上，从点引一条射线，且．
(1)求的度数．
(2)将绕点顺时针旋转（，且不是的整数倍）得到，在内引射线，在内引射线，且．．
①若，求的度数；
②若，请直接写出的大小．
30．已知和是直角．
(1)如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；
(2)如图，当射线，射线都在外部时，过点作线，射线，满足，∠DOF＝，求的度数；
(3)如图，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
【经典题型五 实际问题中角度计算问题】
31．给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）；
①；②；③是的角平分线；
(2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”；
(3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°；
(4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°．
32．如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
(1)①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
(2)如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．
33．如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值；
（3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
34．借助一副三角板，可以得到一些平面图形
（1）如图1，∠AOC＝ 度．由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是多少度？
（2）如图2，∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°，求∠2的度数；
（3）利用图3，反向延长射线OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，请按题意补全图（3），并求出∠EOF的度数．
35．分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值．
情况①若x=2，y=3时，x+y=5
情况②若x=2，y=﹣3时，x+y=﹣1
情况③若x=﹣2，y=3时，x+y=1
情况④若x=﹣2，y=﹣3时，x+y=﹣5
所以，x+y的值为1，﹣1，5，﹣5．
几何的学习过程中也有类似的情况：
问题（1）：已知点A，B，C在一条直线上，若AB=8，BC=3，则AC长为多少？
通过分析我们发现，满足题意的情况有两种
情况①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=
情况②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=
通过以上问题，我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类．
问题（2）：如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和2，点C是数轴上一点，且BC=2AB，则点C表示的数是多少？
仿照问题1，画出图形，结合图形写出分类方法和结果．
问题（3）：点O是直线AB上一点，以O为端点作射线OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度数．画出图形，直接写出结果．
【经典题型六 角平分线的有关计算】
36．定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．
(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）
(2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？
(3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）．
37．如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．
(1)如图1，当时，________，________．
(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．
图2：__________；图3：__________．
38．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________cm；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；
①若，，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若，，，，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．
39．点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．
(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；
(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．
40．在内部作射线，，在的右侧，且．
(1)如图1，若，平分，平分，求的度数；
(2)如图2，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请过点作射线，使平分，再作的角平分线．若，，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
【经典题型七 角n等分线的有关计算】
41．已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
42．定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．
(1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为 ；
(2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线．
①当恰好为的三等分线时，求的值；
②在旋转过程中，若，求的取值范围．
43．如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数；
(3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值．
44．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线……
显然，一个角的三分线、四分线都有两条．
例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．
（1）如图，是的三分线，，若，则 ；
（2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数；
（3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．
45．已知:和是直角．
（1）如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；
（2）如图2，当射线射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若不存在，请说明理由，若存在，求出的度数．
专题13 动点与角度计算45道经典题型专训（7大题型）
【题型目录】
题型一 与线段动点有关问题
题型二 动角有关问题
题型三 三角板中角度计算问题
题型四 几何图形中角度计算问题
题型五 实际问题中角度计算问题
题型六 角平分线的有关计算
题型七 角n等分线的有关计算
【经典题型一 与线段动点有关问题】
1．如图，直线上有，，，四个点，，，．
(1)线段______
(2)动点，分别从A点，点同时出发，点沿线段以3/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点沿线段以1/秒的速度，向左运动；点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为（单位：秒）
①求，两点第一次相遇时，运动时间的值；
②求，两点第二次相遇时，与点A的距离．
【答案】(1)
(2)8、20
【分析】（1）根据，，算出，再根据即可解答；
（2）①根据，两点第一次相遇时，，两点所走的路程之和是的长列方程即可求解；
②根据，两点第二次相遇时，点所走的路程与的差和所走的路程与的差相等列方程即可求解；
【详解】（1）
故线段的长为．
（2）①，两点第一次相遇时根据题意可得：
解得： 秒
故，两点第一次相遇时，运动时间的值是8秒；
②由（1）得
当，两点第二次相遇时：
解得： 秒
故，两点第二次相遇时，与点A的距离是20
【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键．
2．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
(1)P在线段AB上运动，当时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)为定值24；
(3)．
【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；
（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；
（3）利用，，，，再根据MN=PM-PN即可求解．
【详解】（1）解：∵M是线段AP的中点，∴，
，
∵，
∴，
解得．
（2）解：∵，，，
∴，
即为定值24．
（3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．
∵，，，，
∴，
所以MN的长度无变化是定值．
【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度．
3．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．
（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；
（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；
故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，
所以．
（3）分两种情况：
如图，当点在线段上时，
因为，所以．
又因为，
所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
4．如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，．
（1）直接写出点B表示的数_________；
（2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C；
（3）已知点P在数轴上
①若，直接写出点P所表示的数；
②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数．
【答案】（1）1；（2）图见解析，点C表示的数为-0.5；（3）①、；②21
【分析】（1）按照点B的位置和AB两点之间的距离，得出B的表示的数，
（2）点C在AB之间， AC=3BC ，得出点C表示的数，在数轴上描出点C即可，
（3）①设点P表示的数为a，分三种情况讨论，当a＜-5时，当-5＜a＜1时，当a≥1时，结合两点之间的距离，分别求出a的值即可，②这小题比较繁琐，抽象，属难题，先求出AB的中点表示的数P，点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，7次P恰好到达点B的位置，可得7次移动中有2次向左，5次向右，可以求解．
【详解】（1）点B在点A的右侧，AB=6 ，
所以点B表示的数-5+6=1
即点B表示的数为：1．
（2）点C在AB之间，，
∴，
∴，
∴点C表示的数为-0.5
在数轴上正确描出点C，
（3）①设点P表示的数为a
∵PA+3PB=｜a-(-5)｜+3｜a-1｜=｜a+5｜+3｜a-1｜=12
当a＜-5时，即（-a-5)+3(1-a)=12，解得a=-3.5，不在范围内，
当-5＜a＜1时，即a+5+3(1-a)=12，解得a=-2，
当a≥1时，即(a+5)+3(a-1)=12，解得：a=2.5，
∴点P表示的数为、
②21种
∵AB的中点表示的数为，，
∴点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，
共移动了7次，
7次P恰好到达点B的位置
这7个单位，正负相消后，的1-(-2)=3且共移动了7个单位，
又∵3=5+(-2)=(-2)+5
由题意可得：
7次移动中有2次向左，5次向右.
设第1次和第2次向左其它都向右记为，则移动方法有，，，，，，，…，共21种移动方法.
【点睛】本题考查了，线段的中点的定义，以及两点之间的距离，解题的关键是画出图形，利用中点的定义和两点之间的距离，确定点的坐标．
5．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；
（2）若，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
【答案】（1）6；（2）6；（3）或2
【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，
(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，
(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．
【详解】解：如图
(1)∵AB= 12，AC=4
∴BC= 8
∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4
∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m
∴AC=12-m
∵点D， E分别时 AC和BC中点
∴DC=6-m，BC=EC=
∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t
∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12
解得t=或t= 2
故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．
6．已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）若，求的值；
（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）的值为或；（3）
【分析】（1）由D为AC的中点，E为BC的中点得到DC=AC=2，CE=BC=3，则可计算出DE=5，再利用F为DE的中点得到DF=DE，然后利用CF=DF-DC求解；
（2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解；
（3）如图，设AC=x，BC=y，即x-y=a，利用线段中点定义得到DC=，CE=，则，所以，再利用的中点，得到，于是可计算出，即有．
【详解】解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=2，CE=BC=3，
∴DE=DC+CE=2+3=5，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=，
∴CF=DF-DC=；
（2）①当AC＞BC，点F在点C左侧时，如图所示：
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DC-DF=AC-4CF，
∴AC=10CF，
∴BC=AB-AC=16CF-10CF =6CF，
∴，
②当AC＜BC，点F在点C右侧时，如图所示：
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DF-DC=4CF-AC，
∴AC=6CF，
∴BC=AB-AC=16CF-6CF =10CF，
∴，
综上所述，的值为或．
（3）如图，
设AC=x，BC=y，即x-y=a，
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=x，CE=BC=y，
∵DC的中点为 ，CE的中点为，
∴，
∴，
∵的中点为 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键．
7．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．求线段MN的长度；
（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设，请根据题意画出图形并求MN的长度；
（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．
【答案】（1）8cm；（2）图见解析，；（3），或，或．
【分析】（1）根据中点的定义、线段的和差可得答案；
（2）根据中点的定义、线段的和差可得答案；
（3）根据线段中点的性质可得方程，根据解方程可得答案．
【详解】解：（1）∵线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴厘米，厘米，
∴厘米；
（2）如图，∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴，，
∴．
（3）①当时，C是线段PQ的中点，得
，解得；
②当时，P为线段CQ的中点，，解得；
③当时，Q为线段PC的中点，，解得；
④当时，C为线段PQ的中点，，解得（舍），
综上所述：，或，或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
8．如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为．
⑴ ；
⑵求点所表示的数；
⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由．
【答案】(1) 4；(2)-8;(3)EF长度不变，EF=2，证明见解析
【分析】(1)根据线段的和差得到AB=4，
(2)由AB=4得到AC=24，即可得出：OC=24-16=8．于是得到点C所表示的数为-8;
(3)分五种情况:设运动时间为t，用含t的式子表示出AP、BQ、PC、 CQ，根据线段中点的定义得到 画出图形，计算EF，于是得到结论．
【详解】解: (1)∵ OA=16,点B所表示的数为20,
∴OB=20,
∴AB=OB-OA=20-16=4,
故答案为：4
(2)∵AB=4，AC=6AB．
∴AC=24,
∴OC=24- 16=8,
∴点C所表示的数为-8;
(3)EF长度不变，EF=2，理由如下：
设运动时间为t，
当 时，点P，Q在点C的右侧，则AP=BQ=2t,
∵AC=24，BC=28,
∴PC=24-2t， CQ=28- 2t．
∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点,
∴
∴EF=CF-CE=2:
当t=12时,C、P重合，此时PC=0， CQ=28-24=4．
∵点F为线段CQ的中点,
∴
∴
当12
∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点,
∴
∴EF=CE+CF=2,
当t=14时,C、Q重合，此时PC=4， CQ=0
∵点E为线段CP的中点,
∴
∴
当t> 14时，点P、Q在点C的左侧，PC=2t-24， CQ=2t-28,
∴
∴EF=CE-CF=2．
综上所述，EF长度不变，EF=2．
【点睛】本题考查两点间的距离，数轴，线段中点的定义线段和差，正确的理解题意是解题的关键．
9．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置；
（2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值.
（3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值.
【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则，
由得，即
，，，即
所以点P在线段AB的处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由可知，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
，
综合上述，的值为或；
（3）②的值不变.
由点、运动5秒可得，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
所以②的值不变正确，.
【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.
10．【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】如图2，点表示数-10，点表示数20，若点从点，以每秒3的速度向点运动，当点到达点时停止运动，设运动的时间为秒.
（2）点在运动过程中表示的数为 （用含的代数式表示）；
（3）求为何值时，点是线段的“二倍点”；
（4）同时点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【答案】（1）是 ；（2）；（3）或5或；（4）或或
【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
（2）由题意可直接得出；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”定义分类讨论的出结果；
（4）用含t的代数式分别表示出线段AN、MN、AM，然后根据“二倍点”定义分类讨论的出结果；
【详解】解：（1）因为线段的中点将线段分为相等的两部分，该线段等于2倍的中点一侧的线段长，符合“二倍点”的定义，所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”；
故答案为：是．
（2）由题意得出：
点在运动过程中表示的数为：20-3t；
（3）AB=30，AM=30-3t，BM=3t，
当AM=2BM时，30-3t=6t，解得，；
当2AM=BM时，60-6t=3t，解得，；
当AM=BM时，30-3t=3t，解得，；
答：当或5或时，点是线段AB的“二倍点”．
（4）AN=2t，AM=30-3t，NM=5t-30，
当AN=2NM时2t=10t-60，解得，；
当2AM=NM时，60-6t=5t-30，解得，；
当AM=2NM时，30-3t=10t-60，解得，．
答：当或或时，点是线段的“二倍点”．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用以及两点间的距离，读懂题意，领会“二倍点”的定义是解此题的关键，此题需要分情况讨论，注意不要漏解
【经典题型二 动角有关问题】
11．将一副直角三角板按图摆放在直线上（直角三角板和直角三角板在同一平 面内，，，，），保持三角板不动，将三 角板 绕点以每秒的速度顺时针转动（即每一条边都绕点 以相同速度顺时针转动）， 转动时间为秒．
(1)当 秒时，平分？如图，此时 ；（直接写答案）
(2)继续转动三角板 ，如图，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含 ）
(3)若在三角板开始转动的同时，另一个三角板 也绕点 以每秒的速度顺时针 转动，当 旋转至射线 上时同时停止，（自行画图分析）
当为多少秒时，？
在转动过程中，请写出 与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含 ）
【答案】(1)，；
(2)，理由见解析；
(3)秒或秒；，理由见解析．
【分析】（）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到；
（）根据题意得，求得，即可得到结论；
（）根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；
根据角的和差即可得到结论．
【详解】（1）∵，平分，
∴，
∴(秒)，
∵，，
∴；
故答案为：，；
（2），理由：
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴或，
∴秒或秒．
，理由：
∵，，，，
∵，，
∴，
∴
【点睛】此题考查了角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
12．已知、共顶点O，平分，平分．
(1)如图1，当与重合时，若，，求的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）；
(3)在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，的值为 ．（直接写出答案）
【答案】(1)10度
(2)
(3)5或75
【分析】（1）根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
（2）根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
（3）分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
【详解】（1）解：如图1，
∵平分，平分，与重合，
∴，，
∴；
（2）如图2，
∵平分，平分，
∴，，
∴
＝
＝
＝
＝
＝，
∵绕点O逆时针旋转一个角，
∴，
∵，
∴；
（3）①当时，如图3，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：；
②当时，如图4，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
③当时，如图5，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
④当时，如图6，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：；
综上，t的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．本题是探究型题目，利用类比的方法解答是解题的关键．
13．在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）．
(1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则 ；
(2)如图，若射线、同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线、同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”；
(3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小．
【答案】(1)或；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）根据“二倍关联角”的概念，得到，分两种情况讨论即可得到答案；
（2）分三种情况讨论：①当时；②当时；当时，分别用含t的式子表示出和,再利用“二倍关联角”的概念列方程求解即可得到答案；
（3）分三种情况讨论：①当在内部时；②当在内部时；③当在外部时，利用“二倍关联角”的概念分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：是的“二倍关联角”，，
；
如图，当在上方时，，
如图，当在下方时，，
故答案为：或；
（2）解：①当时，，，
是的“二倍关联角”，
，
，
，符合题意，
②当时，，，
是的“二倍关联角”，
，
，
，不符合题意，舍去；
当时，，，
是的“二倍关联角”，
，
，
，符合题意，
综上可知，当或时，是的“二倍关联角”；
（3）解：①如图，当在内部时，
，
解得：，
②如图，当在内部时，
，
解得：，
③如图，当在外部时，
，
解得，
综上可知，的大小为或．
【点睛】本题考查了新定义——二倍关联角，利用分类讨论的思想，找准角度之间的数量关系是解题关键．
14．已知 ，按如图①所示摆放，将边重合在直线上，边在直线的两侧．
(1)保持不动，将绕点O旋转至如图②所示的位置，则 ， ；
(2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为t分钟．
求的大小（用t的代数式表示）；
(3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得；
（2）设运动时间为t秒，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇前、后表达式不同，故需分与相遇前后即和两种情况求解；
（3）设绕点O逆时针旋转，则也绕点O逆时针旋转，再分①射线在射线同侧；②射线在射线异侧，分别求解即可．
【详解】（1）①
，
②
；
故答案为：；
（2）设旋转时间为t秒，则，，
①时，与相遇前，，
∴；
②时，与相遇后，，
∴；
（3）设绕点O逆时针旋转，则也绕点O逆时针旋转，
①时，如图①，
在射线同侧，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，平分，
∴
∴，
∴；
②时，如图②，
在射线异侧，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，平分，
∴
∴，
∴．
综上，．
【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算、角平分线的定义及分类讨论思想的运用．
15．定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）．
(1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值；
(2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)
(2)存在，4或8
(3)5或7
【分析】（1）根据半径是扇形的“弧中线”列方程求解即可；
（2）分当时和当时两种情况求解；
（3）分当，时和当时三种情况求解；
【详解】（1）当是扇形的“弧中线”时，．
∴．
解得．
（2）存在，理由如下：
①如图，当时．
．
∵，
∴．
∴．
解得．
②如图，当时，
，．
∵，
∴．
∴．
解得．
∴当或8时，半径是扇形的“弧中线”．
（3）如图，当时，
由题意得，，，
∴．
∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴（不合题意，舍去）．
如图，当时，
由题意得，，，
∴．
∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴．
如图，当时，
由题意得，，，
∴．
∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴．
综上可知，当时，t的值为5或7．
【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．
16．已知，射线均为内的射线．
(1)如图1，若为的三等分线，则＝ ；
(2)如图2，若，平分平分，求的大小
(3)射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线始终平分，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达的位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，.
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据三等分角的定义求解即可；
（2）设，根据角平分线性质表示出，，根据求解即可；
（3）根据运动时间分类讨论，表示出，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵为的三等分线，，
∴，
；
故答案为：．
（2）解：设，则，，，
∵平分平分，
∴，，
．
（3）解：如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，；
如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，（舍去）；
如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，
如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，解题关键是熟练运用角平分线的性质表示出角的度数，利用角的和差关系求解．
17．已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．
(1)若
①如图1，当时， ；
②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．
【答案】(1)①150；②，或，
(2)不改变，其度数为
【分析】（1）①先根据求出，再根据计算即可；
②设，分两种情况：(Ⅰ) 在内部，(Ⅱ) 在内部，分别讨论即可；
（2）设，求出所有情况后判断即可．
【详解】（1）①∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为150；
②(Ⅰ)当在内部时（如图1），
设，则，
，
由得，，
解得，
∴，
∴；
(Ⅱ) 当在内部时（如图2），
设，则，
由得，，
解得，
，
，
∴；
（2）不改变，其度数为．
设，由条件知，
分四种情况：
ⅰ)当在内部时（如图3），
，
，
，
∴；
ⅱ) 当在内部时（如图4），
，
，
∴；
ⅲ)当在内部时（如图5），
，
，
∴；
ⅳ)当在外部时（如图6），
；
综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为．
【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角．
18．【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数）
【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线．
(1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由．
(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________．
【答案】(1)是
(2)是，理由见解析
(3)，4
【分析】（1）由是可得，由可得，，进而得出，可知是；
（2）由是可得，由可得，，进而得出，可知是；
（3）由m等个性线的定义可得，由此可得m与的关系，再根据，m是正整数，即可求解．
【详解】（1）解：是，
，
，
，
，，
，
，
，
是，
故答案为：是；
（2）解：是，理由如下：
是，
，
，
，
，，
，
，
，
是；
（3）解：是，
，
同理，是，
，
，
，
，
，
，
又m是正整数，
，
，，
故答案为：，4．
【点睛】本题考查角n等分线的计算问题、角的和差关系等，解题的关键是理解m等个性线的定义．
19．如图1，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．
(1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角尺运动时间为秒．
①当时， ；
②求当为何值时，使得；
(2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分．
①当时， ；
②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出的度数．
【答案】(1)①；②
(2)①；②不变化，
【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；
②由，结合题意可得，从而得出，，进而求出时间；
（2）①根据平分，平分，可得，则可以将整理为，进而得出答案；
②根据平分，平分，可得，，进而推导出，继而得出答案．
【详解】（1）解：①当时，，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
∴秒，
∴当为秒时，；
（2）①∵平分，平分，
∴，
∴
，
故答案为：；
②的度数不发生变化，
理由：平分，
∴，
∵平分，
∴，
，
∵，
∴，
．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键．
20．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．
(1)如图2，填空：当时，______．
(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)30
(2)
(3)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案；
（2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案；
（3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定．
【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角，
∴，
又∵平分，
∴．
故答案为：30；
（2）当时，如图2，
∵是平角，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）当时（如图3），为定值．
理由如下：
∵是平角，，，
∴，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为定值，定值为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
【经典题型三 三角板中角度计算问题】
21．现有一副三角尺，将和重合于点放置，且，，．将三角尺绕点逆时针旋转一周（旋转过程中和均是指小于的角），分别作出、的平分线、
(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点在上，直接写出图1中______度；
(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点在的延长线上，直接写出图2中______度
(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若，
①______．（用含的代数式表示）
②请求出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据三角板得到，，根据角平分线的定义求出，，相加可得结果；
（2）求出、，利用角平分线的定义得到，，最后根据得出结果；
（3）①求出，根据角平分线的定义可得结果；②求出，根据角平分线的定义求出，再加上和即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴；
（3）①∵，，
∴，
∵平分，
∴；
②∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角板中的角度运算，角的和差，解题的关键是仔细分析，得出每个小问中的的构成．
22．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．
(1)如图2，若，则______，______；
(2)若射线是的角平分线，且．
①旋转到图3的位置，______．（用含的代数式表示）
②在旋转过程中，若，则此时______．
【答案】(1)；
(2)①；②或
【分析】（1）根据，以及角的和差计算即可；
（2）①先求，再利用得出结论；
②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
，
∴；
故答案为：；．
（2）解：①∵，，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
②当旋转到左侧时，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当旋转到右侧时，如图所示：
设，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上分析可知，的值为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键．
23．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点处，边在射线上，另一边在直线的下方，绕点逆时针旋转，其中旋转的角度为
(1)将图1中的直角旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时为 度．
(2)将图1中的直角旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
(3)若直角绕点按每秒的速度顺时针旋转，当直角的直角边所在直线恰好平分时，求此时直角绕点的运动时间的值．
【答案】(1)90
(2)，理由见解析
(3)22.5秒或58.5秒
【分析】（1）根据，先求出，，根据旋转的位置即可作答；
（2）由图可知，，两式相减即可作答；
（3）分两种情况讨论即可作答：当射线恰好平分，此时旋转角为：；当射线的反向延长线恰好平分，此时旋转角为：，问题随之得解．
【详解】（1），，
，，
由落在射线上，可知旋转角为：；
故答案为：90．
（2），，
，
即关系为：；
（3）所在直线恰好平分，顺时针旋转，
，
当射线恰好平分，此时旋转角为：,
即：（秒），
当射线的反向延长线恰好平分，此时旋转角为：，
（秒）
所以直角绕点的运动时间是22.5秒或58.5秒．
【点睛】本题主要考查学生对几何中心旋转知识点的掌握，综合运用几何性质与旋转性质解决问题的能力．要注意培养数形结合思想，运用到考试中去．掌握旋转中角度的变化以及旋转反向是解答本题的关键．
24．将一副直角三角板，，按如图1放置，其中B与E重合，，．
(1)如图1，点F在线段的延长线上，求的度数；
(2)将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．
①如图2，当旋转至的内部时，求的度数；
②当旋转至的外部时，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）先根据三角板的度数得到的度数，再用即可；
（2）①由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数；②当旋转至的外部时，分情况讨论：当是锐角时，由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数；当是钝角时，由角平分线的定义可得，，再根据，得出的度数．
【详解】（1）解：，，
，
．
（2）解：①，分别为，的角平分线，
，，
；
②当旋转至的外部时，分两种情况：
（Ⅰ）如图：
，分别为，的角平分线，
，，
；
（Ⅱ）如图：
，分别为，的角平分线，
，，
；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了角度的计算，利用角平分线定义和角的和差是解题关键，注意要分情况讨论．
25．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变）直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．
(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了______秒；
(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立，并说明理由；
(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变），当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．
①试用字母t分别表示与；
②在旋转的过程中，当t为何值时平分．
【答案】(1)9
(2)，仍成立．理由见解析
(3)①，，②秒
【分析】（1）绕过的角度为，据此除以旋转速度，即可作答；
（2）、在直线的异侧，用很含式子表示出与，即可作答；、在直线的右侧，同理可证明；
（3）①根据题意直接列式即可；②若平分，则有，根据①的结果列式：，解方程即可求解．
【详解】（1）根据题意可知：（秒），
故答案为：9；
（2）∵，，，，
、在直线的异侧，如图2所示，
∵，，
∴，
∴即，
、在直线的右侧，仍成立．
理由如下：
如图3所示，∵，，
∴；
（3）当三角板旋转的同时，另一个三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，
①当旋转t秒时，，,
∴．
②若平分，
则有，
根据①的结果列式：，
解得：．
答：在旋转的过程中，当t为秒时，平分．
【点睛】本题考查三角形综合题、三角形板中的角度的计算、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【经典题型四 几何图形中角度计算问题】
26．如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且，．
(1)如图1，若平分，求的度数；
(2)如图2，在（1）的条件下，平分，过点O作射线，求的度数；
(3)如图3，若在内部作一射线，若，，试判断与的数量关系．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；
（2）分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可；
（3）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数．
【详解】（1）平分，
，
，
．
（2）当在下方时，
平分，，
，
，
，
，
．
当在上方时，
平分，，
，
，
，
，，
；
（3）设，则，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质等知识，结合图形找到角度之间的和差关系是解题关键．
27．如图，已知．
(1)试说明：；
(2)若平分，，，求的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)图见解析，的度数是或或 或
【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解；
（2）观察图形中角之间的位置关系，得，由角平分线，得；
（3）由，分情况：①在内部：由，进一步分情况讨论，在内部或在外部，②在外部：进一步分情况讨论，在内部或在外部；分别求解．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）由（1）可知，
，
，
，
平分，
，
的度数是；
（3）的度数是或或或，
理由如下：
如图1，，
，
，
，
又，
，
，
如图2，，
即，
又，
，
，
如图3，，
，
又，
，
，
如图，
，
，
，
综上所述，的大小为或或 或．
【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．
28．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．
(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；
(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．
①若，求的度数（写出推理过程）；
②若，则的度数是________（直接填空）．
(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
【答案】(1)65°，40°
(2)①135°，②135°
(3)35°或55°
【分析】（1）根据求出，利用角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；
（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出，根据进行求解即可；
②同①法，进行计算即可；
（3）分在内部和在外部两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①解：∵，，
∴，
又∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，，
∴，
②∵，，
∴，
又∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，，
∴；
故答案为：；
（3）①当在内部时，如图：
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
②当在外部时，如图：
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
综上：的度数是或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间的和差关系．
29．如图，点在同一条直线上，从点引一条射线，且．
(1)求的度数．
(2)将绕点顺时针旋转（，且不是的整数倍）得到，在内引射线，在内引射线，且．．
①若，求的度数；
②若，请直接写出的大小．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据邻补角的定义和性质即可得出结论；
（2）①根据的角度可得出和的度数，由此可得出和的度数，根据和差关系即可得出结论；②分当时和当时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：①如图1，
，
当时，则，
，，
，，
，，
，
；
②或．
如图2，当时，
，
，
，
，
，
解得；
如图3，当时，
，
，
，，
，
解得，
综上所述，的大小为或．
【点睛】本题主要考查了角的计算，涉及分类讨论的思想，由图得出角的和差关系是解题的关键．
30．已知和是直角．
(1)如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；
(2)如图，当射线，射线都在外部时，过点作线，射线，满足，∠DOF＝，求的度数；
(3)如图，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，的度数是或．
【分析】（1）根据已知条件，和是直角，可得出和与的关系式，再根据与和列出等量关系，即可得出答案；
（2）根据已知条件，可设，则，再根据周角的关系可得到的等量关系，再根据，可得到的等量关系式，由、和可列出等量关系，即可得到答案；
（3）分两种情况，当射线在内部时，由，可得出结果，当射线在外部时，由，可得出结果．
【详解】（1），理由如下：
∵和是直角，
∴，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∴；
（2）设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）存在，
当射线在内部时，
∵，
∴，
当射线在外部时，
∵，
∴，
综上所述，的度数是或．
【点睛】此题考查了角的计算，根据题意列出相应的等量关系是解决本题的关键．
【经典题型五 实际问题中角度计算问题】
31．给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）；
①；②；③是的角平分线；
(2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”；
(3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°；
(4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°．
【答案】(1)①③
(2)见解析
(3)60或80
(4)或
【分析】（1）分别求出和后判断是否符合（k为正整数）；
（2）先求出的度数，再任意画出一个符合题意的角即可；
（3）先求出的所有可能性，再分别求出的度数；
（4）分两种情况分别讨论．
【详解】（1）当时，，，①符合题意；
当时，，，②不符合题意；
当是的角平分线，，③符合题意；
故答案为①③．
（2）∵，，
∴，
如下图：
（3）∵是的“倍锐角”，
∴（k为正整数），
∵，
∴，
∴应逆时针旋转，
∵当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，
∴可取，，，，
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
故答案为：60或80．
（4）∵是的“倍锐角”，
∴（k为正整数），
∵，
∴，
①：如图，
；
②：如图，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了用新定义计算角的和差，正确理解“倍锐角”是解题的关键．
32．如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
(1)①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
(2)如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．
【答案】(1)①是；②∠MPN=α或∠MPN=3α
(2)t=秒，4秒，5秒
【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；
（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．
【详解】（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，
∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，
∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；
②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”
又∵ ∠MPQ≠∠NPQ
∴此题有两种情况
Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时
∵∠MPQ=α
∴∠QPN=α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；
Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时
∵∠MPQ=α
∴∠QPN=2α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α
综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．
（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，
设运用的时间为t秒，则PM运用后有
，，
①当时，如图：
∴，
解得：；
②当，即时，如图：
∴，
解得：；
③当，如图：
∴，
解得：；
④当，如图：
∵，，
∴，
解得：；
∵的最大值为：，
∴不符合题意，舍去；
综合上述，t=，4，5秒．
【点睛】本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．
33．如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值；
（3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
【答案】（1）6，0.5；（2）的值为；（3）的值为或
【分析】（1）由题意根据分针每60分钟转动一圈，时针每12小时转动一圈进行分析计算；
（2）由题意与在同一直线上即与所围成的角为180°，据此进行分析计算；
（3）根据题意分当时以及当时两种情况进行分析求解.
【详解】解：（1）由题意得分针每分钟转动：；
时针每分钟转动：.
故答案为：6，0．5.
（2）当与在同一直线上时，
时针转了度，即
分针转了度，即
∴
解得，
∴的值为．
（3）①当时，
∵
∴
∴；
②当时，
∵
∴
∴；
∴综上所述，符合条件的的值为或.
【点睛】本题考查钟表角的实际应用，根据题意熟练掌握并运用方程思维进行分析是解答此题的关键.
34．借助一副三角板，可以得到一些平面图形
（1）如图1，∠AOC＝ 度．由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是多少度？
（2）如图2，∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°，求∠2的度数；
（3）利用图3，反向延长射线OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，请按题意补全图（3），并求出∠EOF的度数．
【答案】（1）75°，150°；（2）15°；（3）15°.
【分析】（1）根据三角板的特殊性角的度数，求出∠AOC即可,把∠AOC、∠BOC、∠AOB相加即可求出射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和；
（2）依题意设∠2＝x，列等式，解方程求出即可；
（3）依据题意求出∠BOM,∠COM,再根据角平分线的性质得出∠MOE，∠MOF，即可求出∠EOF.
【详解】解：（1）∵∠BOC＝30°，∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝75°，
∴∠AOC+∠BOC+∠AOB＝150°；
答：由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是150°；
故答案为75；
（2）设∠2＝x，则∠1＝3x+30°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴x+3x+30°＝90°，
∴x＝15°，
∴∠2＝15°，
答：∠2的度数是15°；
（3）如图所示，∵∠BOM＝180°﹣45°＝135°，∠COM＝180°﹣15°＝165°，
∵OE为∠BOM的平分线，OF为∠COM的平分线，
∴∠MOF＝∠COM＝82.5°，∠MOE＝∠MOB＝67.5°，
∴∠EOF＝∠MOF﹣∠MOE＝15°．
【点睛】本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用，熟记概念是解题的关键.
35．分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值．
情况①若x=2，y=3时，x+y=5
情况②若x=2，y=﹣3时，x+y=﹣1
情况③若x=﹣2，y=3时，x+y=1
情况④若x=﹣2，y=﹣3时，x+y=﹣5
所以，x+y的值为1，﹣1，5，﹣5．
几何的学习过程中也有类似的情况：
问题（1）：已知点A，B，C在一条直线上，若AB=8，BC=3，则AC长为多少？
通过分析我们发现，满足题意的情况有两种
情况①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=
情况②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=
通过以上问题，我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类．
问题（2）：如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和2，点C是数轴上一点，且BC=2AB，则点C表示的数是多少？
仿照问题1，画出图形，结合图形写出分类方法和结果．
问题（3）：点O是直线AB上一点，以O为端点作射线OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度数．画出图形，直接写出结果．
【答案】（1）11，5；（2）点C表示的数为﹣4或8；（3）①当OC，OD在AB的同侧时，30°；②当OC，OD在AB的异侧时，150°.
【分析】（1）分两种情况进行讨论：①当点C在点B的右侧时，②当点C在点B的左侧时，分别依据线段的和差关系进行计算；
（2）分两种情况进行讨论：①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，分别依据BC=2AB进行计算；
（3）分两种情况进行讨论：①当OC，OD在AB的同侧时，②当OC，OD在AB的异侧时，分别依据角的和差关系进行计算．
【详解】解：（1）满足题意的情况有两种：
①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=AB+BC=8+3=11；
②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=AB﹣BC=8﹣3=5；
故答案为11，5；
（2）满足题意的情况有两种：
①当点C在点B的左侧时，如图，此时，BC=2AB=2（2+1）=6，
∴点C表示的数为2﹣6=﹣4；
②当点C在点B的右侧时，如图，BC=2AB=2（2+1）=6，
∴点C表示的数为2+6=8；
综上所述，点C表示的数为﹣4或8；
（3）满足题意的情况有两种：
①当OC，OD在AB的同侧时，如图，∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD=30°；
②当OC，OD在AB的异侧时，如图，∠BOD=180°﹣（∠COD﹣∠AOC）=150°；
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，垂线的定义以及角的计算，解决问题的关键是根据题意画出图形，解题时注意分类讨论思想的运用．
【经典题型六 角平分线的有关计算】
36．定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．
(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）
(2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？
(3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）．
【答案】(1)③
(2)是关于边的补线，理由见解答
(3)可以表示为或或或
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行判断即可；
（2）根据是的平分线，得出，求出，根据不与重合，结合补线定义进行判断即可；
（3）分情况讨论：当为钝角，且在内部时，当为钝角，且在外部时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在外部，当为直角时，只能在的外部，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）解：①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部；
②当这个角是直角时，它的补线只有1条；
③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条；
故答案为：③；
（2）解：是关于边的补线，理由如下：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵不与重合，
∴是关于边的补线．
（3）解：当为钝角，且在内部时，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线．
∴，
∴．
当为钝角，且在外部时，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线．
∴，
∴．
当为锐角，且在内部，且时，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线．
∴，
∴；
当为锐角，且在内部，且时，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
当为锐角，且在外部，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
当为直角时，只能在的外部，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
综上分析可知：可以表示为或或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握新定义，数形结合，注意进行分类讨论．
37．如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．
(1)如图1，当时，________，________．
(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．
图2：__________；图3：__________．
【答案】(1)，
(2)，理由见详解
(3)，
【分析】（1）根据角平分的定义即可求解；
（2）根据（1），可得，问题得解；
（3）图2，先表示出，，再根据角平分线可得，问题随之得解；图3，由，可得，根据，，可得，问题随之得解．
【详解】（1）∵射线、射线分别平分、，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2），理由如下：
在（1）中有：，，，
∴；
（3）图2中，，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵射线、射线分别平分、，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
图3中，，理由如下：
∵，
∴，
∵射线、射线分别平分、，
∴，，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为，以及角度的计算，理清图中各个角直角的数量关系是解答本题的关键．
38．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________cm；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；
①若，，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若，，，，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．
【答案】（1）24；
（2）①90°；②．理由见详解；
（3）．
【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．点C和点D分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题．
（2）①欲求，需求．已知，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题．②与①同理可证．
（3）由，可得，，，所以，根据可得结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵点C和点D分别是，的中点，
∴，，
∴．
∴．
故答案为：24．
（2）①∵和分别平分和，
∴，．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
②．
理由如下：
∵和分别平分和，
∴，．
∴．
∴
．
（3）∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键．
39．点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．
(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；
(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．
【答案】(1)45
(2)
(3)为或
【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可．
（2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可．
（3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可．
【详解】（1）平分，平分，
，
（2）
平分，
，
根据图形有：，
，
，
，
，
（3）当H在K左侧时
平分
平分
当K在H左侧时
平分
平分
综上所述：为或
【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置．
40．在内部作射线，，在的右侧，且．
(1)如图1，若，平分，平分，求的度数；
(2)如图2，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请过点作射线，使平分，再作的角平分线．若，，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用角的和差计算即可；
（2）根据角的和差与角平分线的定义可得结论；
（3）分情况：当在外部时和当在内部时，分别画出图形，再利用角的和差计算．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴
；
（2）根据角的和差可得，，
，
；
（3）①当在外部时，如图，
设，则，，
平分，
，
平分，
，即，即，
；
②当在内部时，如图，
设，则，，
平分，
，
平分，
，即，即，
；
综上，或．
【点睛】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．容易出错的地方是解（3）小题漏掉其中的一种情况．
【经典题型七 角n等分线的有关计算】
41．已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
【答案】(1)；
(2)；理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解；
（2）根据图形得出，计算，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）如图1，，
在内部，
，，
，
，
；
（2）；理由如下：如图2，
，
射线、分别在内、外部，
，
，
，
；
（3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，
则，，如图3，
，，
，
，
；
②当时，如图4，射线、在的外部，如图4，
则，
，
，，
，
，
，
.
综合①②得．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
42．定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．
(1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为 ；
(2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线．
①当恰好为的三等分线时，求的值；
②在旋转过程中，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）由角的三等分线定义，即可计算；
（2）①分两种情况讨论，表示出有关的角，即可求n的值；②分两种情况，表示出有关的角，即可求出n的取值范围．
【详解】（1）解：，、是的两条三等分线，
，
故答案为：；
（2）①当时，
，
．
当时，
，
，不符合题意，
的值是；
②当在内部时，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
当在射线下方时，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
的取值范围是或．
【点睛】本题考查角的计算，有一定难度，关键是注意要分情况讨论．
43．如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数；
(3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值．
【答案】(1)是；
(2)，，，；
(3)或或．
【分析】（1）若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义；
（2）根据“幸福线”的定义可得当时，当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的“幸福线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸福线”可分类进行求解．
【详解】（1）解：若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”；
故答案为：是．
（2）解：由题意得：
∵，射线为的“幸福线”，
∴①当时，则有：；
②当时，则有；
③当时，则有；
④当时，则有：；；
综上所述：当射线为的“幸福线”时，∠AOC的度数为，，，；
（3）解：∵，
∴射线ON与OA重合的时间为（秒），
∴当时在与重合之前，如图所示：
∴°，°，
是的“幸福线”，则有以下三类情况：
①，即，（舍去），
②，即，，
③，即，；
④，即，（舍去）；
当时，在与重合之后，如图所示：
∴°，°，
是的“幸福线”，则有以下三类情况：
①，即，（不符合题意，舍去），
②，即，（不符合题意，舍去）；
③，即，；
④，即，不存在；
综上：或或．
【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键．
44．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线……
显然，一个角的三分线、四分线都有两条．
例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．
（1）如图，是的三分线，，若，则 ；
（2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数；
（3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或
【分析】（1）根据三分线的定义解答即可；
（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；
（3）根据四分线的定义分类解答即可．
【详解】解：（1）∵是的三分线，，，
∴，
故答案为：；
（2），是的四分线，，
，
为的三分线，
①当时，，
，
②当时，，
，
综上所述，的度数为或，
（3）∵射线、是的两条四分线，
∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°，
如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=,
∠BOD=80°，∠COD=20°，
α=30°-20°=10°；
如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时，
∠COD=∠BOC=15°，
α=30°+15°=45°；
如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时，
∠COD=∠BOC=45°，
α=30°+45°=75°；
如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=,
∠COD=80°，
α=30°+80°=110°；
的值为或或或
【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想．
45．已知:和是直角．
（1）如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；
（2）如图2，当射线射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若不存在，请说明理由，若存在，求出的度数．
【答案】（1），详见解析；（2）；（3）的度数是或
【分析】（1）根据角与角之间的关系进行转换，证明；
（2）利用角度之间的倍数关系，设，然后用表示、、，最后加起来就可以算出；
（3）分情况讨论，射线在内部或者外部，再根据比例关系求出的度数．
【详解】解：（1） ，
证明：和是直角，
，
，
，
同理：，
，
；
（2）解：设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：的度数是；
（3）①如图，当射线在内部时，
，
，
如图，当射线在外部时，
，
，
综上所述，的度数是或．
【点睛】本题考查角度的计算，解题的关键是找到图象中角与角之间的联系，进行列式求解，需要注意最后一问要进行分类讨论．
题型一 与线段动点有关问题
题型二 动角有关问题
题型三 三角板中角度计算问题
题型四 几何图形中角度计算问题
题型五 实际问题中角度计算问题
题型六 角平分线的有关计算
题型七 角n等分线的有关计算
【经典题型一 与线段动点有关问题】
1．如图，直线上有，，，四个点，，，．
(1)线段______
(2)动点，分别从A点，点同时出发，点沿线段以3/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点沿线段以1/秒的速度，向左运动；点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为（单位：秒）
①求，两点第一次相遇时，运动时间的值；
②求，两点第二次相遇时，与点A的距离．
2．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
(1)P在线段AB上运动，当时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．
3．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．
（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
4．如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，．
（1）直接写出点B表示的数_________；
（2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C；
（3）已知点P在数轴上
①若，直接写出点P所表示的数；
②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数．
5．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；
（2）若，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
6．已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）若，求的值；
（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．
7．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．求线段MN的长度；
（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设，请根据题意画出图形并求MN的长度；
（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．
8．如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为．
⑴ ；
⑵求点所表示的数；
⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由．
9．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
10．【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】如图2，点表示数-10，点表示数20，若点从点，以每秒3的速度向点运动，当点到达点时停止运动，设运动的时间为秒.
（2）点在运动过程中表示的数为 （用含的代数式表示）；
（3）求为何值时，点是线段的“二倍点”；
（4）同时点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【经典题型二 动角有关问题】
11．将一副直角三角板按图摆放在直线上（直角三角板和直角三角板在同一平 面内，，，，），保持三角板不动，将三 角板 绕点以每秒的速度顺时针转动（即每一条边都绕点 以相同速度顺时针转动）， 转动时间为秒．
(1)当 秒时，平分？如图，此时 ；（直接写答案）
(2)继续转动三角板 ，如图，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含 ）
(3)若在三角板开始转动的同时，另一个三角板 也绕点 以每秒的速度顺时针 转动，当 旋转至射线 上时同时停止，（自行画图分析）
当为多少秒时，？
在转动过程中，请写出 与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含 ）
12．已知、共顶点O，平分，平分．
(1)如图1，当与重合时，若，，求的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）；
(3)在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，的值为 ．（直接写出答案）
13．在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）．
(1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则 ；
(2)如图，若射线、同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线、同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”；
(3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小．
14．已知 ，按如图①所示摆放，将边重合在直线上，边在直线的两侧．
(1)保持不动，将绕点O旋转至如图②所示的位置，则 ， ；
(2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为t分钟．
求的大小（用t的代数式表示）；
(3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小．
15．定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）．
(1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值；
(2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值．
16．已知，射线均为内的射线．
(1)如图1，若为的三等分线，则＝ ；
(2)如图2，若，平分平分，求的大小
(3)射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线始终平分，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达的位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，.
17．已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．
(1)若
①如图1，当时， ；
②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．
18．【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数）
【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线．
(1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由．
(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________．
19．如图1，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．
(1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角尺运动时间为秒．
①当时， ；
②求当为何值时，使得；
(2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分．
①当时， ；
②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出的度数．
20．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．
(1)如图2，填空：当时，______．
(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【经典题型三 三角板中角度计算问题】
21．现有一副三角尺，将和重合于点放置，且，，．将三角尺绕点逆时针旋转一周（旋转过程中和均是指小于的角），分别作出、的平分线、
(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点在上，直接写出图1中______度；
(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点在的延长线上，直接写出图2中______度
(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若，
①______．（用含的代数式表示）
②请求出的度数．
22．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．
(1)如图2，若，则______，______；
(2)若射线是的角平分线，且．
①旋转到图3的位置，______．（用含的代数式表示）
②在旋转过程中，若，则此时______．
23．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点处，边在射线上，另一边在直线的下方，绕点逆时针旋转，其中旋转的角度为
(1)将图1中的直角旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时为 度．
(2)将图1中的直角旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
(3)若直角绕点按每秒的速度顺时针旋转，当直角的直角边所在直线恰好平分时，求此时直角绕点的运动时间的值．
24．将一副直角三角板，，按如图1放置，其中B与E重合，，．
(1)如图1，点F在线段的延长线上，求的度数；
(2)将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．
①如图2，当旋转至的内部时，求的度数；
②当旋转至的外部时，直接写出的度数．
25．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变）直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．
(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了______秒；
(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立，并说明理由；
(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变），当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．
①试用字母t分别表示与；
②在旋转的过程中，当t为何值时平分．
【经典题型四 几何图形中角度计算问题】
26．如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且，．
(1)如图1，若平分，求的度数；
(2)如图2，在（1）的条件下，平分，过点O作射线，求的度数；
(3)如图3，若在内部作一射线，若，，试判断与的数量关系．
27．如图，已知．
(1)试说明：；
(2)若平分，，，求的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．
28．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．
(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；
(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．
①若，求的度数（写出推理过程）；
②若，则的度数是________（直接填空）．
(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
29．如图，点在同一条直线上，从点引一条射线，且．
(1)求的度数．
(2)将绕点顺时针旋转（，且不是的整数倍）得到，在内引射线，在内引射线，且．．
①若，求的度数；
②若，请直接写出的大小．
30．已知和是直角．
(1)如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；
(2)如图，当射线，射线都在外部时，过点作线，射线，满足，∠DOF＝，求的度数；
(3)如图，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
【经典题型五 实际问题中角度计算问题】
31．给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）；
①；②；③是的角平分线；
(2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”；
(3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°；
(4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°．
32．如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
(1)①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
(2)如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．
33．如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值；
（3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
34．借助一副三角板，可以得到一些平面图形
（1）如图1，∠AOC＝ 度．由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是多少度？
（2）如图2，∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°，求∠2的度数；
（3）利用图3，反向延长射线OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，请按题意补全图（3），并求出∠EOF的度数．
35．分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值．
情况①若x=2，y=3时，x+y=5
情况②若x=2，y=﹣3时，x+y=﹣1
情况③若x=﹣2，y=3时，x+y=1
情况④若x=﹣2，y=﹣3时，x+y=﹣5
所以，x+y的值为1，﹣1，5，﹣5．
几何的学习过程中也有类似的情况：
问题（1）：已知点A，B，C在一条直线上，若AB=8，BC=3，则AC长为多少？
通过分析我们发现，满足题意的情况有两种
情况①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=
情况②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=
通过以上问题，我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类．
问题（2）：如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和2，点C是数轴上一点，且BC=2AB，则点C表示的数是多少？
仿照问题1，画出图形，结合图形写出分类方法和结果．
问题（3）：点O是直线AB上一点，以O为端点作射线OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度数．画出图形，直接写出结果．
【经典题型六 角平分线的有关计算】
36．定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．
(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）
(2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？
(3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）．
37．如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．
(1)如图1，当时，________，________．
(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．
图2：__________；图3：__________．
38．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________cm；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；
①若，，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若，，，，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．
39．点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．
(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；
(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．
40．在内部作射线，，在的右侧，且．
(1)如图1，若，平分，平分，求的度数；
(2)如图2，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请过点作射线，使平分，再作的角平分线．若，，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
【经典题型七 角n等分线的有关计算】
41．已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
42．定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．
(1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为 ；
(2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线．
①当恰好为的三等分线时，求的值；
②在旋转过程中，若，求的取值范围．
43．如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数；
(3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值．
44．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线……
显然，一个角的三分线、四分线都有两条．
例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．
（1）如图，是的三分线，，若，则 ；
（2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数；
（3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．
45．已知:和是直角．
（1）如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；
（2）如图2，当射线射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若不存在，请说明理由，若存在，求出的度数．
专题13 动点与角度计算45道经典题型专训（7大题型）
【题型目录】
题型一 与线段动点有关问题
题型二 动角有关问题
题型三 三角板中角度计算问题
题型四 几何图形中角度计算问题
题型五 实际问题中角度计算问题
题型六 角平分线的有关计算
题型七 角n等分线的有关计算
【经典题型一 与线段动点有关问题】
1．如图，直线上有，，，四个点，，，．
(1)线段______
(2)动点，分别从A点，点同时出发，点沿线段以3/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点沿线段以1/秒的速度，向左运动；点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为（单位：秒）
①求，两点第一次相遇时，运动时间的值；
②求，两点第二次相遇时，与点A的距离．
【答案】(1)
(2)8、20
【分析】（1）根据，，算出，再根据即可解答；
（2）①根据，两点第一次相遇时，，两点所走的路程之和是的长列方程即可求解；
②根据，两点第二次相遇时，点所走的路程与的差和所走的路程与的差相等列方程即可求解；
【详解】（1）
故线段的长为．
（2）①，两点第一次相遇时根据题意可得：
解得： 秒
故，两点第一次相遇时，运动时间的值是8秒；
②由（1）得
当，两点第二次相遇时：
解得： 秒
故，两点第二次相遇时，与点A的距离是20
【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键．
2．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
(1)P在线段AB上运动，当时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)为定值24；
(3)．
【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；
（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；
（3）利用，，，，再根据MN=PM-PN即可求解．
【详解】（1）解：∵M是线段AP的中点，∴，
，
∵，
∴，
解得．
（2）解：∵，，，
∴，
即为定值24．
（3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．
∵，，，，
∴，
所以MN的长度无变化是定值．
【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度．
3．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．
（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；
（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；
故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，
所以．
（3）分两种情况：
如图，当点在线段上时，
因为，所以．
又因为，
所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
4．如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，．
（1）直接写出点B表示的数_________；
（2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C；
（3）已知点P在数轴上
①若，直接写出点P所表示的数；
②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数．
【答案】（1）1；（2）图见解析，点C表示的数为-0.5；（3）①、；②21
【分析】（1）按照点B的位置和AB两点之间的距离，得出B的表示的数，
（2）点C在AB之间， AC=3BC ，得出点C表示的数，在数轴上描出点C即可，
（3）①设点P表示的数为a，分三种情况讨论，当a＜-5时，当-5＜a＜1时，当a≥1时，结合两点之间的距离，分别求出a的值即可，②这小题比较繁琐，抽象，属难题，先求出AB的中点表示的数P，点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，7次P恰好到达点B的位置，可得7次移动中有2次向左，5次向右，可以求解．
【详解】（1）点B在点A的右侧，AB=6 ，
所以点B表示的数-5+6=1
即点B表示的数为：1．
（2）点C在AB之间，，
∴，
∴，
∴点C表示的数为-0.5
在数轴上正确描出点C，
（3）①设点P表示的数为a
∵PA+3PB=｜a-(-5)｜+3｜a-1｜=｜a+5｜+3｜a-1｜=12
当a＜-5时，即（-a-5)+3(1-a)=12，解得a=-3.5，不在范围内，
当-5＜a＜1时，即a+5+3(1-a)=12，解得a=-2，
当a≥1时，即(a+5)+3(a-1)=12，解得：a=2.5，
∴点P表示的数为、
②21种
∵AB的中点表示的数为，，
∴点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，
共移动了7次，
7次P恰好到达点B的位置
这7个单位，正负相消后，的1-(-2)=3且共移动了7个单位，
又∵3=5+(-2)=(-2)+5
由题意可得：
7次移动中有2次向左，5次向右.
设第1次和第2次向左其它都向右记为，则移动方法有，，，，，，，…，共21种移动方法.
【点睛】本题考查了，线段的中点的定义，以及两点之间的距离，解题的关键是画出图形，利用中点的定义和两点之间的距离，确定点的坐标．
5．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；
（2）若，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
【答案】（1）6；（2）6；（3）或2
【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，
(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，
(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．
【详解】解：如图
(1)∵AB= 12，AC=4
∴BC= 8
∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4
∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m
∴AC=12-m
∵点D， E分别时 AC和BC中点
∴DC=6-m，BC=EC=
∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t
∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12
解得t=或t= 2
故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．
6．已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）若，求的值；
（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）的值为或；（3）
【分析】（1）由D为AC的中点，E为BC的中点得到DC=AC=2，CE=BC=3，则可计算出DE=5，再利用F为DE的中点得到DF=DE，然后利用CF=DF-DC求解；
（2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解；
（3）如图，设AC=x，BC=y，即x-y=a，利用线段中点定义得到DC=，CE=，则，所以，再利用的中点，得到，于是可计算出，即有．
【详解】解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=2，CE=BC=3，
∴DE=DC+CE=2+3=5，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=，
∴CF=DF-DC=；
（2）①当AC＞BC，点F在点C左侧时，如图所示：
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DC-DF=AC-4CF，
∴AC=10CF，
∴BC=AB-AC=16CF-10CF =6CF，
∴，
②当AC＜BC，点F在点C右侧时，如图所示：
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DF-DC=4CF-AC，
∴AC=6CF，
∴BC=AB-AC=16CF-6CF =10CF，
∴，
综上所述，的值为或．
（3）如图，
设AC=x，BC=y，即x-y=a，
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=x，CE=BC=y，
∵DC的中点为 ，CE的中点为，
∴，
∴，
∵的中点为 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键．
7．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．求线段MN的长度；
（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设，请根据题意画出图形并求MN的长度；
（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．
【答案】（1）8cm；（2）图见解析，；（3），或，或．
【分析】（1）根据中点的定义、线段的和差可得答案；
（2）根据中点的定义、线段的和差可得答案；
（3）根据线段中点的性质可得方程，根据解方程可得答案．
【详解】解：（1）∵线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴厘米，厘米，
∴厘米；
（2）如图，∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴，，
∴．
（3）①当时，C是线段PQ的中点，得
，解得；
②当时，P为线段CQ的中点，，解得；
③当时，Q为线段PC的中点，，解得；
④当时，C为线段PQ的中点，，解得（舍），
综上所述：，或，或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
8．如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为．
⑴ ；
⑵求点所表示的数；
⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由．
【答案】(1) 4；(2)-8;(3)EF长度不变，EF=2，证明见解析
【分析】(1)根据线段的和差得到AB=4，
(2)由AB=4得到AC=24，即可得出：OC=24-16=8．于是得到点C所表示的数为-8;
(3)分五种情况:设运动时间为t，用含t的式子表示出AP、BQ、PC、 CQ，根据线段中点的定义得到 画出图形，计算EF，于是得到结论．
【详解】解: (1)∵ OA=16,点B所表示的数为20,
∴OB=20,
∴AB=OB-OA=20-16=4,
故答案为：4
(2)∵AB=4，AC=6AB．
∴AC=24,
∴OC=24- 16=8,
∴点C所表示的数为-8;
(3)EF长度不变，EF=2，理由如下：
设运动时间为t，
当 时，点P，Q在点C的右侧，则AP=BQ=2t,
∵AC=24，BC=28,
∴PC=24-2t， CQ=28- 2t．
∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点,
∴
∴EF=CF-CE=2:
当t=12时,C、P重合，此时PC=0， CQ=28-24=4．
∵点F为线段CQ的中点,
∴
∴
当12
∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点,
∴
∴EF=CE+CF=2,
当t=14时,C、Q重合，此时PC=4， CQ=0
∵点E为线段CP的中点,
∴
∴
当t> 14时，点P、Q在点C的左侧，PC=2t-24， CQ=2t-28,
∴
∴EF=CE-CF=2．
综上所述，EF长度不变，EF=2．
【点睛】本题考查两点间的距离，数轴，线段中点的定义线段和差，正确的理解题意是解题的关键．
9．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置；
（2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值.
（3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值.
【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则，
由得，即
，，，即
所以点P在线段AB的处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由可知，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
，
综合上述，的值为或；
（3）②的值不变.
由点、运动5秒可得，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
所以②的值不变正确，.
【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.
10．【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】如图2，点表示数-10，点表示数20，若点从点，以每秒3的速度向点运动，当点到达点时停止运动，设运动的时间为秒.
（2）点在运动过程中表示的数为 （用含的代数式表示）；
（3）求为何值时，点是线段的“二倍点”；
（4）同时点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【答案】（1）是 ；（2）；（3）或5或；（4）或或
【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
（2）由题意可直接得出；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”定义分类讨论的出结果；
（4）用含t的代数式分别表示出线段AN、MN、AM，然后根据“二倍点”定义分类讨论的出结果；
【详解】解：（1）因为线段的中点将线段分为相等的两部分，该线段等于2倍的中点一侧的线段长，符合“二倍点”的定义，所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”；
故答案为：是．
（2）由题意得出：
点在运动过程中表示的数为：20-3t；
（3）AB=30，AM=30-3t，BM=3t，
当AM=2BM时，30-3t=6t，解得，；
当2AM=BM时，60-6t=3t，解得，；
当AM=BM时，30-3t=3t，解得，；
答：当或5或时，点是线段AB的“二倍点”．
（4）AN=2t，AM=30-3t，NM=5t-30，
当AN=2NM时2t=10t-60，解得，；
当2AM=NM时，60-6t=5t-30，解得，；
当AM=2NM时，30-3t=10t-60，解得，．
答：当或或时，点是线段的“二倍点”．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用以及两点间的距离，读懂题意，领会“二倍点”的定义是解此题的关键，此题需要分情况讨论，注意不要漏解
【经典题型二 动角有关问题】
11．将一副直角三角板按图摆放在直线上（直角三角板和直角三角板在同一平 面内，，，，），保持三角板不动，将三 角板 绕点以每秒的速度顺时针转动（即每一条边都绕点 以相同速度顺时针转动）， 转动时间为秒．
(1)当 秒时，平分？如图，此时 ；（直接写答案）
(2)继续转动三角板 ，如图，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含 ）
(3)若在三角板开始转动的同时，另一个三角板 也绕点 以每秒的速度顺时针 转动，当 旋转至射线 上时同时停止，（自行画图分析）
当为多少秒时，？
在转动过程中，请写出 与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含 ）
【答案】(1)，；
(2)，理由见解析；
(3)秒或秒；，理由见解析．
【分析】（）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到；
（）根据题意得，求得，即可得到结论；
（）根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；
根据角的和差即可得到结论．
【详解】（1）∵，平分，
∴，
∴(秒)，
∵，，
∴；
故答案为：，；
（2），理由：
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴或，
∴秒或秒．
，理由：
∵，，，，
∵，，
∴，
∴
【点睛】此题考查了角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
12．已知、共顶点O，平分，平分．
(1)如图1，当与重合时，若，，求的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）；
(3)在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，的值为 ．（直接写出答案）
【答案】(1)10度
(2)
(3)5或75
【分析】（1）根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
（2）根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
（3）分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案；
【详解】（1）解：如图1，
∵平分，平分，与重合，
∴，，
∴；
（2）如图2，
∵平分，平分，
∴，，
∴
＝
＝
＝
＝
＝，
∵绕点O逆时针旋转一个角，
∴，
∵，
∴；
（3）①当时，如图3，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：；
②当时，如图4，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
③当时，如图5，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
④当时，如图6，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：；
综上，t的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．本题是探究型题目，利用类比的方法解答是解题的关键．
13．在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）．
(1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则 ；
(2)如图，若射线、同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线、同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”；
(3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小．
【答案】(1)或；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）根据“二倍关联角”的概念，得到，分两种情况讨论即可得到答案；
（2）分三种情况讨论：①当时；②当时；当时，分别用含t的式子表示出和,再利用“二倍关联角”的概念列方程求解即可得到答案；
（3）分三种情况讨论：①当在内部时；②当在内部时；③当在外部时，利用“二倍关联角”的概念分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：是的“二倍关联角”，，
；
如图，当在上方时，，
如图，当在下方时，，
故答案为：或；
（2）解：①当时，，，
是的“二倍关联角”，
，
，
，符合题意，
②当时，，，
是的“二倍关联角”，
，
，
，不符合题意，舍去；
当时，，，
是的“二倍关联角”，
，
，
，符合题意，
综上可知，当或时，是的“二倍关联角”；
（3）解：①如图，当在内部时，
，
解得：，
②如图，当在内部时，
，
解得：，
③如图，当在外部时，
，
解得，
综上可知，的大小为或．
【点睛】本题考查了新定义——二倍关联角，利用分类讨论的思想，找准角度之间的数量关系是解题关键．
14．已知 ，按如图①所示摆放，将边重合在直线上，边在直线的两侧．
(1)保持不动，将绕点O旋转至如图②所示的位置，则 ， ；
(2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为t分钟．
求的大小（用t的代数式表示）；
(3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得；
（2）设运动时间为t秒，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇前、后表达式不同，故需分与相遇前后即和两种情况求解；
（3）设绕点O逆时针旋转，则也绕点O逆时针旋转，再分①射线在射线同侧；②射线在射线异侧，分别求解即可．
【详解】（1）①
，
②
；
故答案为：；
（2）设旋转时间为t秒，则，，
①时，与相遇前，，
∴；
②时，与相遇后，，
∴；
（3）设绕点O逆时针旋转，则也绕点O逆时针旋转，
①时，如图①，
在射线同侧，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，平分，
∴
∴，
∴；
②时，如图②，
在射线异侧，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，平分，
∴
∴，
∴．
综上，．
【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算、角平分线的定义及分类讨论思想的运用．
15．定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）．
(1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值；
(2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)
(2)存在，4或8
(3)5或7
【分析】（1）根据半径是扇形的“弧中线”列方程求解即可；
（2）分当时和当时两种情况求解；
（3）分当，时和当时三种情况求解；
【详解】（1）当是扇形的“弧中线”时，．
∴．
解得．
（2）存在，理由如下：
①如图，当时．
．
∵，
∴．
∴．
解得．
②如图，当时，
，．
∵，
∴．
∴．
解得．
∴当或8时，半径是扇形的“弧中线”．
（3）如图，当时，
由题意得，，，
∴．
∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴（不合题意，舍去）．
如图，当时，
由题意得，，，
∴．
∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴．
如图，当时，
由题意得，，，
∴．
∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴．
综上可知，当时，t的值为5或7．
【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．
16．已知，射线均为内的射线．
(1)如图1，若为的三等分线，则＝ ；
(2)如图2，若，平分平分，求的大小
(3)射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线始终平分，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达的位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，.
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据三等分角的定义求解即可；
（2）设，根据角平分线性质表示出，，根据求解即可；
（3）根据运动时间分类讨论，表示出，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵为的三等分线，，
∴，
；
故答案为：．
（2）解：设，则，，，
∵平分平分，
∴，，
．
（3）解：如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，；
如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，（舍去）；
如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，
如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，解题关键是熟练运用角平分线的性质表示出角的度数，利用角的和差关系求解．
17．已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．
(1)若
①如图1，当时， ；
②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．
【答案】(1)①150；②，或，
(2)不改变，其度数为
【分析】（1）①先根据求出，再根据计算即可；
②设，分两种情况：(Ⅰ) 在内部，(Ⅱ) 在内部，分别讨论即可；
（2）设，求出所有情况后判断即可．
【详解】（1）①∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为150；
②(Ⅰ)当在内部时（如图1），
设，则，
，
由得，，
解得，
∴，
∴；
(Ⅱ) 当在内部时（如图2），
设，则，
由得，，
解得，
，
，
∴；
（2）不改变，其度数为．
设，由条件知，
分四种情况：
ⅰ)当在内部时（如图3），
，
，
，
∴；
ⅱ) 当在内部时（如图4），
，
，
∴；
ⅲ)当在内部时（如图5），
，
，
∴；
ⅳ)当在外部时（如图6），
；
综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为．
【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角．
18．【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数）
【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线．
(1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由．
(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________．
【答案】(1)是
(2)是，理由见解析
(3)，4
【分析】（1）由是可得，由可得，，进而得出，可知是；
（2）由是可得，由可得，，进而得出，可知是；
（3）由m等个性线的定义可得，由此可得m与的关系，再根据，m是正整数，即可求解．
【详解】（1）解：是，
，
，
，
，，
，
，
，
是，
故答案为：是；
（2）解：是，理由如下：
是，
，
，
，
，，
，
，
，
是；
（3）解：是，
，
同理，是，
，
，
，
，
，
，
又m是正整数，
，
，，
故答案为：，4．
【点睛】本题考查角n等分线的计算问题、角的和差关系等，解题的关键是理解m等个性线的定义．
19．如图1，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．
(1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角尺运动时间为秒．
①当时， ；
②求当为何值时，使得；
(2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分．
①当时， ；
②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出的度数．
【答案】(1)①；②
(2)①；②不变化，
【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；
②由，结合题意可得，从而得出，，进而求出时间；
（2）①根据平分，平分，可得，则可以将整理为，进而得出答案；
②根据平分，平分，可得，，进而推导出，继而得出答案．
【详解】（1）解：①当时，，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
∴秒，
∴当为秒时，；
（2）①∵平分，平分，
∴，
∴
，
故答案为：；
②的度数不发生变化，
理由：平分，
∴，
∵平分，
∴，
，
∵，
∴，
．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键．
20．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．
(1)如图2，填空：当时，______．
(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)30
(2)
(3)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案；
（2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案；
（3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定．
【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角，
∴，
又∵平分，
∴．
故答案为：30；
（2）当时，如图2，
∵是平角，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）当时（如图3），为定值．
理由如下：
∵是平角，，，
∴，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为定值，定值为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
【经典题型三 三角板中角度计算问题】
21．现有一副三角尺，将和重合于点放置，且，，．将三角尺绕点逆时针旋转一周（旋转过程中和均是指小于的角），分别作出、的平分线、
(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点在上，直接写出图1中______度；
(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点在的延长线上，直接写出图2中______度
(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若，
①______．（用含的代数式表示）
②请求出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据三角板得到，，根据角平分线的定义求出，，相加可得结果；
（2）求出、，利用角平分线的定义得到，，最后根据得出结果；
（3）①求出，根据角平分线的定义可得结果；②求出，根据角平分线的定义求出，再加上和即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴；
（3）①∵，，
∴，
∵平分，
∴；
②∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角板中的角度运算，角的和差，解题的关键是仔细分析，得出每个小问中的的构成．
22．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．
(1)如图2，若，则______，______；
(2)若射线是的角平分线，且．
①旋转到图3的位置，______．（用含的代数式表示）
②在旋转过程中，若，则此时______．
【答案】(1)；
(2)①；②或
【分析】（1）根据，以及角的和差计算即可；
（2）①先求，再利用得出结论；
②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
，
∴；
故答案为：；．
（2）解：①∵，，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
②当旋转到左侧时，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当旋转到右侧时，如图所示：
设，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上分析可知，的值为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键．
23．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点处，边在射线上，另一边在直线的下方，绕点逆时针旋转，其中旋转的角度为
(1)将图1中的直角旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时为 度．
(2)将图1中的直角旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
(3)若直角绕点按每秒的速度顺时针旋转，当直角的直角边所在直线恰好平分时，求此时直角绕点的运动时间的值．
【答案】(1)90
(2)，理由见解析
(3)22.5秒或58.5秒
【分析】（1）根据，先求出，，根据旋转的位置即可作答；
（2）由图可知，，两式相减即可作答；
（3）分两种情况讨论即可作答：当射线恰好平分，此时旋转角为：；当射线的反向延长线恰好平分，此时旋转角为：，问题随之得解．
【详解】（1），，
，，
由落在射线上，可知旋转角为：；
故答案为：90．
（2），，
，
即关系为：；
（3）所在直线恰好平分，顺时针旋转，
，
当射线恰好平分，此时旋转角为：,
即：（秒），
当射线的反向延长线恰好平分，此时旋转角为：，
（秒）
所以直角绕点的运动时间是22.5秒或58.5秒．
【点睛】本题主要考查学生对几何中心旋转知识点的掌握，综合运用几何性质与旋转性质解决问题的能力．要注意培养数形结合思想，运用到考试中去．掌握旋转中角度的变化以及旋转反向是解答本题的关键．
24．将一副直角三角板，，按如图1放置，其中B与E重合，，．
(1)如图1，点F在线段的延长线上，求的度数；
(2)将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．
①如图2，当旋转至的内部时，求的度数；
②当旋转至的外部时，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）先根据三角板的度数得到的度数，再用即可；
（2）①由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数；②当旋转至的外部时，分情况讨论：当是锐角时，由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数；当是钝角时，由角平分线的定义可得，，再根据，得出的度数．
【详解】（1）解：，，
，
．
（2）解：①，分别为，的角平分线，
，，
；
②当旋转至的外部时，分两种情况：
（Ⅰ）如图：
，分别为，的角平分线，
，，
；
（Ⅱ）如图：
，分别为，的角平分线，
，，
；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了角度的计算，利用角平分线定义和角的和差是解题关键，注意要分情况讨论．
25．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变）直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．
(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了______秒；
(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立，并说明理由；
(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变），当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．
①试用字母t分别表示与；
②在旋转的过程中，当t为何值时平分．
【答案】(1)9
(2)，仍成立．理由见解析
(3)①，，②秒
【分析】（1）绕过的角度为，据此除以旋转速度，即可作答；
（2）、在直线的异侧，用很含式子表示出与，即可作答；、在直线的右侧，同理可证明；
（3）①根据题意直接列式即可；②若平分，则有，根据①的结果列式：，解方程即可求解．
【详解】（1）根据题意可知：（秒），
故答案为：9；
（2）∵，，，，
、在直线的异侧，如图2所示，
∵，，
∴，
∴即，
、在直线的右侧，仍成立．
理由如下：
如图3所示，∵，，
∴；
（3）当三角板旋转的同时，另一个三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，
①当旋转t秒时，，,
∴．
②若平分，
则有，
根据①的结果列式：，
解得：．
答：在旋转的过程中，当t为秒时，平分．
【点睛】本题考查三角形综合题、三角形板中的角度的计算、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【经典题型四 几何图形中角度计算问题】
26．如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且，．
(1)如图1，若平分，求的度数；
(2)如图2，在（1）的条件下，平分，过点O作射线，求的度数；
(3)如图3，若在内部作一射线，若，，试判断与的数量关系．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；
（2）分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可；
（3）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数．
【详解】（1）平分，
，
，
．
（2）当在下方时，
平分，，
，
，
，
，
．
当在上方时，
平分，，
，
，
，
，，
；
（3）设，则，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质等知识，结合图形找到角度之间的和差关系是解题关键．
27．如图，已知．
(1)试说明：；
(2)若平分，，，求的度数；
(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)图见解析，的度数是或或 或
【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解；
（2）观察图形中角之间的位置关系，得，由角平分线，得；
（3）由，分情况：①在内部：由，进一步分情况讨论，在内部或在外部，②在外部：进一步分情况讨论，在内部或在外部；分别求解．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）由（1）可知，
，
，
，
平分，
，
的度数是；
（3）的度数是或或或，
理由如下：
如图1，，
，
，
，
又，
，
，
如图2，，
即，
又，
，
，
如图3，，
，
又，
，
，
如图，
，
，
，
综上所述，的大小为或或 或．
【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．
28．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．
(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；
(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．
①若，求的度数（写出推理过程）；
②若，则的度数是________（直接填空）．
(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
【答案】(1)65°，40°
(2)①135°，②135°
(3)35°或55°
【分析】（1）根据求出，利用角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；
（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出，根据进行求解即可；
②同①法，进行计算即可；
（3）分在内部和在外部两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①解：∵，，
∴，
又∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，，
∴，
②∵，，
∴，
又∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，，
∴；
故答案为：；
（3）①当在内部时，如图：
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
②当在外部时，如图：
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
综上：的度数是或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间的和差关系．
29．如图，点在同一条直线上，从点引一条射线，且．
(1)求的度数．
(2)将绕点顺时针旋转（，且不是的整数倍）得到，在内引射线，在内引射线，且．．
①若，求的度数；
②若，请直接写出的大小．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据邻补角的定义和性质即可得出结论；
（2）①根据的角度可得出和的度数，由此可得出和的度数，根据和差关系即可得出结论；②分当时和当时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：①如图1，
，
当时，则，
，，
，，
，，
，
；
②或．
如图2，当时，
，
，
，
，
，
解得；
如图3，当时，
，
，
，，
，
解得，
综上所述，的大小为或．
【点睛】本题主要考查了角的计算，涉及分类讨论的思想，由图得出角的和差关系是解题的关键．
30．已知和是直角．
(1)如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；
(2)如图，当射线，射线都在外部时，过点作线，射线，满足，∠DOF＝，求的度数；
(3)如图，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，的度数是或．
【分析】（1）根据已知条件，和是直角，可得出和与的关系式，再根据与和列出等量关系，即可得出答案；
（2）根据已知条件，可设，则，再根据周角的关系可得到的等量关系，再根据，可得到的等量关系式，由、和可列出等量关系，即可得到答案；
（3）分两种情况，当射线在内部时，由，可得出结果，当射线在外部时，由，可得出结果．
【详解】（1），理由如下：
∵和是直角，
∴，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∴；
（2）设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）存在，
当射线在内部时，
∵，
∴，
当射线在外部时，
∵，
∴，
综上所述，的度数是或．
【点睛】此题考查了角的计算，根据题意列出相应的等量关系是解决本题的关键．
【经典题型五 实际问题中角度计算问题】
31．给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）；
①；②；③是的角平分线；
(2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”；
(3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°；
(4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°．
【答案】(1)①③
(2)见解析
(3)60或80
(4)或
【分析】（1）分别求出和后判断是否符合（k为正整数）；
（2）先求出的度数，再任意画出一个符合题意的角即可；
（3）先求出的所有可能性，再分别求出的度数；
（4）分两种情况分别讨论．
【详解】（1）当时，，，①符合题意；
当时，，，②不符合题意；
当是的角平分线，，③符合题意；
故答案为①③．
（2）∵，，
∴，
如下图：
（3）∵是的“倍锐角”，
∴（k为正整数），
∵，
∴，
∴应逆时针旋转，
∵当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，
∴可取，，，，
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
故答案为：60或80．
（4）∵是的“倍锐角”，
∴（k为正整数），
∵，
∴，
①：如图，
；
②：如图，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了用新定义计算角的和差，正确理解“倍锐角”是解题的关键．
32．如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
(1)①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
(2)如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．
【答案】(1)①是；②∠MPN=α或∠MPN=3α
(2)t=秒，4秒，5秒
【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；
（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．
【详解】（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，
∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，
∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；
②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”
又∵ ∠MPQ≠∠NPQ
∴此题有两种情况
Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时
∵∠MPQ=α
∴∠QPN=α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；
Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时
∵∠MPQ=α
∴∠QPN=2α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α
综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．
（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，
设运用的时间为t秒，则PM运用后有
，，
①当时，如图：
∴，
解得：；
②当，即时，如图：
∴，
解得：；
③当，如图：
∴，
解得：；
④当，如图：
∵，，
∴，
解得：；
∵的最大值为：，
∴不符合题意，舍去；
综合上述，t=，4，5秒．
【点睛】本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．
33．如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值；
（3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
【答案】（1）6，0.5；（2）的值为；（3）的值为或
【分析】（1）由题意根据分针每60分钟转动一圈，时针每12小时转动一圈进行分析计算；
（2）由题意与在同一直线上即与所围成的角为180°，据此进行分析计算；
（3）根据题意分当时以及当时两种情况进行分析求解.
【详解】解：（1）由题意得分针每分钟转动：；
时针每分钟转动：.
故答案为：6，0．5.
（2）当与在同一直线上时，
时针转了度，即
分针转了度，即
∴
解得，
∴的值为．
（3）①当时，
∵
∴
∴；
②当时，
∵
∴
∴；
∴综上所述，符合条件的的值为或.
【点睛】本题考查钟表角的实际应用，根据题意熟练掌握并运用方程思维进行分析是解答此题的关键.
34．借助一副三角板，可以得到一些平面图形
（1）如图1，∠AOC＝ 度．由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是多少度？
（2）如图2，∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°，求∠2的度数；
（3）利用图3，反向延长射线OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，请按题意补全图（3），并求出∠EOF的度数．
【答案】（1）75°，150°；（2）15°；（3）15°.
【分析】（1）根据三角板的特殊性角的度数，求出∠AOC即可,把∠AOC、∠BOC、∠AOB相加即可求出射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和；
（2）依题意设∠2＝x，列等式，解方程求出即可；
（3）依据题意求出∠BOM,∠COM,再根据角平分线的性质得出∠MOE，∠MOF，即可求出∠EOF.
【详解】解：（1）∵∠BOC＝30°，∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝75°，
∴∠AOC+∠BOC+∠AOB＝150°；
答：由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是150°；
故答案为75；
（2）设∠2＝x，则∠1＝3x+30°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴x+3x+30°＝90°，
∴x＝15°，
∴∠2＝15°，
答：∠2的度数是15°；
（3）如图所示，∵∠BOM＝180°﹣45°＝135°，∠COM＝180°﹣15°＝165°，
∵OE为∠BOM的平分线，OF为∠COM的平分线，
∴∠MOF＝∠COM＝82.5°，∠MOE＝∠MOB＝67.5°，
∴∠EOF＝∠MOF﹣∠MOE＝15°．
【点睛】本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用，熟记概念是解题的关键.
35．分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值．
情况①若x=2，y=3时，x+y=5
情况②若x=2，y=﹣3时，x+y=﹣1
情况③若x=﹣2，y=3时，x+y=1
情况④若x=﹣2，y=﹣3时，x+y=﹣5
所以，x+y的值为1，﹣1，5，﹣5．
几何的学习过程中也有类似的情况：
问题（1）：已知点A，B，C在一条直线上，若AB=8，BC=3，则AC长为多少？
通过分析我们发现，满足题意的情况有两种
情况①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=
情况②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=
通过以上问题，我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类．
问题（2）：如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和2，点C是数轴上一点，且BC=2AB，则点C表示的数是多少？
仿照问题1，画出图形，结合图形写出分类方法和结果．
问题（3）：点O是直线AB上一点，以O为端点作射线OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度数．画出图形，直接写出结果．
【答案】（1）11，5；（2）点C表示的数为﹣4或8；（3）①当OC，OD在AB的同侧时，30°；②当OC，OD在AB的异侧时，150°.
【分析】（1）分两种情况进行讨论：①当点C在点B的右侧时，②当点C在点B的左侧时，分别依据线段的和差关系进行计算；
（2）分两种情况进行讨论：①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，分别依据BC=2AB进行计算；
（3）分两种情况进行讨论：①当OC，OD在AB的同侧时，②当OC，OD在AB的异侧时，分别依据角的和差关系进行计算．
【详解】解：（1）满足题意的情况有两种：
①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=AB+BC=8+3=11；
②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=AB﹣BC=8﹣3=5；
故答案为11，5；
（2）满足题意的情况有两种：
①当点C在点B的左侧时，如图，此时，BC=2AB=2（2+1）=6，
∴点C表示的数为2﹣6=﹣4；
②当点C在点B的右侧时，如图，BC=2AB=2（2+1）=6，
∴点C表示的数为2+6=8；
综上所述，点C表示的数为﹣4或8；
（3）满足题意的情况有两种：
①当OC，OD在AB的同侧时，如图，∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD=30°；
②当OC，OD在AB的异侧时，如图，∠BOD=180°﹣（∠COD﹣∠AOC）=150°；
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，垂线的定义以及角的计算，解决问题的关键是根据题意画出图形，解题时注意分类讨论思想的运用．
【经典题型六 角平分线的有关计算】
36．定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．
(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）
(2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？
(3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）．
【答案】(1)③
(2)是关于边的补线，理由见解答
(3)可以表示为或或或
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行判断即可；
（2）根据是的平分线，得出，求出，根据不与重合，结合补线定义进行判断即可；
（3）分情况讨论：当为钝角，且在内部时，当为钝角，且在外部时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在外部，当为直角时，只能在的外部，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）解：①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部；
②当这个角是直角时，它的补线只有1条；
③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条；
故答案为：③；
（2）解：是关于边的补线，理由如下：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵不与重合，
∴是关于边的补线．
（3）解：当为钝角，且在内部时，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线．
∴，
∴．
当为钝角，且在外部时，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线．
∴，
∴．
当为锐角，且在内部，且时，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线．
∴，
∴；
当为锐角，且在内部，且时，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
当为锐角，且在外部，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
当为直角时，只能在的外部，如图所示：
∵射线为关于边的补线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
综上分析可知：可以表示为或或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握新定义，数形结合，注意进行分类讨论．
37．如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．
(1)如图1，当时，________，________．
(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．
图2：__________；图3：__________．
【答案】(1)，
(2)，理由见详解
(3)，
【分析】（1）根据角平分的定义即可求解；
（2）根据（1），可得，问题得解；
（3）图2，先表示出，，再根据角平分线可得，问题随之得解；图3，由，可得，根据，，可得，问题随之得解．
【详解】（1）∵射线、射线分别平分、，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2），理由如下：
在（1）中有：，，，
∴；
（3）图2中，，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵射线、射线分别平分、，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
图3中，，理由如下：
∵，
∴，
∵射线、射线分别平分、，
∴，，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为，以及角度的计算，理清图中各个角直角的数量关系是解答本题的关键．
38．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________cm；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；
①若，，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若，，，，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．
【答案】（1）24；
（2）①90°；②．理由见详解；
（3）．
【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．点C和点D分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题．
（2）①欲求，需求．已知，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题．②与①同理可证．
（3）由，可得，，，所以，根据可得结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵点C和点D分别是，的中点，
∴，，
∴．
∴．
故答案为：24．
（2）①∵和分别平分和，
∴，．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
②．
理由如下：
∵和分别平分和，
∴，．
∴．
∴
．
（3）∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键．
39．点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．
(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；
(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．
【答案】(1)45
(2)
(3)为或
【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可．
（2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可．
（3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可．
【详解】（1）平分，平分，
，
（2）
平分，
，
根据图形有：，
，
，
，
，
（3）当H在K左侧时
平分
平分
当K在H左侧时
平分
平分
综上所述：为或
【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置．
40．在内部作射线，，在的右侧，且．
(1)如图1，若，平分，平分，求的度数；
(2)如图2，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请过点作射线，使平分，再作的角平分线．若，，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用角的和差计算即可；
（2）根据角的和差与角平分线的定义可得结论；
（3）分情况：当在外部时和当在内部时，分别画出图形，再利用角的和差计算．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴
；
（2）根据角的和差可得，，
，
；
（3）①当在外部时，如图，
设，则，，
平分，
，
平分，
，即，即，
；
②当在内部时，如图，
设，则，，
平分，
，
平分，
，即，即，
；
综上，或．
【点睛】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．容易出错的地方是解（3）小题漏掉其中的一种情况．
【经典题型七 角n等分线的有关计算】
41．已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
【答案】(1)；
(2)；理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解；
（2）根据图形得出，计算，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）如图1，，
在内部，
，，
，
，
；
（2）；理由如下：如图2，
，
射线、分别在内、外部，
，
，
，
；
（3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，
则，，如图3，
，，
，
，
；
②当时，如图4，射线、在的外部，如图4，
则，
，
，，
，
，
，
.
综合①②得．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
42．定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．
(1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为 ；
(2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线．
①当恰好为的三等分线时，求的值；
②在旋转过程中，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）由角的三等分线定义，即可计算；
（2）①分两种情况讨论，表示出有关的角，即可求n的值；②分两种情况，表示出有关的角，即可求出n的取值范围．
【详解】（1）解：，、是的两条三等分线，
，
故答案为：；
（2）①当时，
，
．
当时，
，
，不符合题意，
的值是；
②当在内部时，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
当在射线下方时，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
的取值范围是或．
【点睛】本题考查角的计算，有一定难度，关键是注意要分情况讨论．
43．如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数；
(3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值．
【答案】(1)是；
(2)，，，；
(3)或或．
【分析】（1）若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义；
（2）根据“幸福线”的定义可得当时，当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的“幸福线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸福线”可分类进行求解．
【详解】（1）解：若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”；
故答案为：是．
（2）解：由题意得：
∵，射线为的“幸福线”，
∴①当时，则有：；
②当时，则有；
③当时，则有；
④当时，则有：；；
综上所述：当射线为的“幸福线”时，∠AOC的度数为，，，；
（3）解：∵，
∴射线ON与OA重合的时间为（秒），
∴当时在与重合之前，如图所示：
∴°，°，
是的“幸福线”，则有以下三类情况：
①，即，（舍去），
②，即，，
③，即，；
④，即，（舍去）；
当时，在与重合之后，如图所示：
∴°，°，
是的“幸福线”，则有以下三类情况：
①，即，（不符合题意，舍去），
②，即，（不符合题意，舍去）；
③，即，；
④，即，不存在；
综上：或或．
【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键．
44．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线……
显然，一个角的三分线、四分线都有两条．
例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．
（1）如图，是的三分线，，若，则 ；
（2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数；
（3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或
【分析】（1）根据三分线的定义解答即可；
（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；
（3）根据四分线的定义分类解答即可．
【详解】解：（1）∵是的三分线，，，
∴，
故答案为：；
（2），是的四分线，，
，
为的三分线，
①当时，，
，
②当时，，
，
综上所述，的度数为或，
（3）∵射线、是的两条四分线，
∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°，
如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=,
∠BOD=80°，∠COD=20°，
α=30°-20°=10°；
如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时，
∠COD=∠BOC=15°，
α=30°+15°=45°；
如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时，
∠COD=∠BOC=45°，
α=30°+45°=75°；
如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=,
∠COD=80°，
α=30°+80°=110°；
的值为或或或
【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想．
45．已知:和是直角．
（1）如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；
（2）如图2，当射线射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若不存在，请说明理由，若存在，求出的度数．
【答案】（1），详见解析；（2）；（3）的度数是或
【分析】（1）根据角与角之间的关系进行转换，证明；
（2）利用角度之间的倍数关系，设，然后用表示、、，最后加起来就可以算出；
（3）分情况讨论，射线在内部或者外部，再根据比例关系求出的度数．
【详解】解：（1） ，
证明：和是直角，
，
，
，
同理：，
，
；
（2）解：设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：的度数是；
（3）①如图，当射线在内部时，
，
，
如图，当射线在外部时，
，
，
综上所述，的度数是或．
【点睛】本题考查角度的计算，解题的关键是找到图象中角与角之间的联系，进行列式求解，需要注意最后一问要进行分类讨论．
相关试卷
初中北师大版4.5 多边形和圆的初步认识当堂检测题： 这是一份初中北师大版<a href="/sx/tb_c77556_t7/?tag_id=28" target="_blank">4.5 多边形和圆的初步认识当堂检测题</a>，共57页。
初中数学4.3 角习题： 这是一份初中数学<a href="/sx/tb_c77555_t7/?tag_id=28" target="_blank">4.3 角习题</a>，共105页。
七年级上册4.1 线段、射线、直线课时作业： 这是一份七年级上册<a href="/sx/tb_c9928_t7/?tag_id=28" target="_blank">4.1 线段、射线、直线课时作业</a>，共92页。
