（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 高一（上）期末测试卷（A卷 基础巩固）（原卷版+解析）

这是一份（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 高一（上）期末测试卷（A卷 基础巩固）（原卷版+解析），共19页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，“求方程的解”有如下解题思路，若直角坐标平面内两点满足条件等内容，欢迎下载使用。

高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：泸教版必修一2020。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．已知集合，集合，则_______.
2．函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.
3．已知，且与终边相同，则________.
4．已知集合，，且，则实数取值范围为________.
5．已知，则________.
6．“求方程的解”有如下解题思路：设，则是R上严格减函数，且，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是________.
7．已知是，的反函数，则函数的最小值为________.
8．已知，，，若，且当时，恒成立，则的最大值为________.
9．函数的值域是，则实数的取值范围是___________.
10．若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个.
11．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是________．
12．若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣csθ的值为 ．
第Ⅱ卷
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是
A．B．C．D．
14．已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
15．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
①； ②对任意，恒有成立；
③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立；
④存在三个点、、，使得为等边三角形；其中真命题的序号为（ ）
A．①③④B．②④C．②③④D．①②③
16．设，则取得最小值时，的值为（ ）
A．B．2C．4D．
三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
（1）求的值；
（2）若，终边经过，求.
18．某企业在现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142.
（1）求的值；
（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？
19．已知，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．已知(､)是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；
（3）当时，的值域是，求实数与的值.
21．已知角是第三象限角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
22．已知函数，当点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的相关函数，
（1）解关于的不等式；
（2）对任意的的图像总在其相关函数图像的下方，求的取值范围；
（3）若关于的方程有两个不相等的正实数根，求的取值范围.
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2023-2024学年上学期 期末测试卷（A卷 基础巩固）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：泸教版必修一2020。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．已知集合，集合，则_______.
【答案】{3，4}．
【分析】
利用交集的概念及运算可得结果.
【详解】
，
.
【点睛】
本题考查集合的运算，考查交集的概念与运算，属于基础题.
2．函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.
【答案】
【分析】
令对数的真数为1，求出所对应的的值，再求出，即可得解；
【详解】
解：因为函数（且）的图像恒过定点，所以令即时，所以点坐标为；
故答案为：
3．已知，且与终边相同，则________.
【答案】
【分析】
利用终边相同的定义及性质直接得解即可.
【详解】
由与终边相同，
故为第三象限角，
，
故答案为：.
4．已知集合，，且，则实数取值范围为________.
【答案】
【分析】
首先求出集合，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；
【详解】
解：因为，即，解得，所以，因为且，所以
故答案为：
5．已知，则________.
【答案】
【分析】
先对原式进行弦化切，再把代入即可求解.
【详解】
因为，
所以原式.
故答案为：.
6．“求方程的解”有如下解题思路：设，则是R上严格减函数，且，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是________.
【答案】
【分析】
把给出的不等式变形为，然后引入函数，由函数的单调性把不等式转化为较为简单的不等式，求解不等式得答案．
【详解】
解：因为，所以，令，，原不等式等价于，设，则函数在定义域上单调递增，因为，所以，即，即，解得，即原不等式的解集为
故答案为：
【点睛】
本题考查了简单的合情推理，解答的关键是把复杂的高次不等式通过合理变化，转化为较为简单的不等式，这里构造函数且利用函数的单调性进行转化是解答该题的着眼点．
7．已知是，的反函数，则函数的最小值为________.
【答案】3
【分析】
首先根据函数的单调性求出函数的值域，即可得到反函数的定义域，根据原函数的单调性得到反函数的单调性，即可得到的单调性，从而求出其最小值；
【详解】
解：因为在上单调递增，所以，，所以的值域为
所以的定义域为，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
因为，所以
所以
故答案为：
8．已知，，，若，且当时，恒成立，则的最大值为________.
【答案】4
【分析】
根据题意，求出的解析式，分析可得的单调性以及单调区间，结合单调性的定义分析可得在区间，是增函数，据此分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，，，
则当时，，当时，，
故，函数图象如下所示：
则在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；
且当，，时，恒成立，则在区间，是增函数，且，，，
则的最大值在，时取到，其最大值为4；
故答案为：．
9．函数的值域是，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
函数的值域为，即能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.
【详解】
设，由的值域为R，
知可以取所有的正值，
又，当且仅当时等号成立，
故的值域为，
所以只需满足即可，
即
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：求出的值域，由题意知能取遍一切正实数，转化为的值域包含是解题的关键，属于中档题.
10．若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个.
【答案】2
【详解】
解：根据题意：“友好点对”，可知，
只须作出函数y=2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，
看它与函数y="2" /ex （x≥0）交点个数即可．
如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2．
即f（x）的“友好点对”有：2个．
故答案为2
11．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是________．
【答案】
【详解】
设扇形的半径和弧长分别为，由题设可得，则扇形圆心角所对的弧度数是，应填答案．
12．若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣csθ的值为 ．
【答案】
【分析】
先由条件判断sinθ＞0，csθ＜0，得到sinθ﹣csθ，把已知条件代入运算，可得答案．
【详解】
∵θ是△ABC的一个内角，且，
∴sinθ＞0，csθ＜0，
∴sinθ﹣csθ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，把sinθ﹣csθ 换成是解题的关键
第Ⅱ卷
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.
【详解】
因为为奇函数，所以
因为，所以
因此选B.
【点睛】
本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.
14．已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由的解集可知的解集，设，即可知的解集，再利用指数函数的单调性解不等式.
【详解】
由不等式的解集为，
得的解集为，
设，，
即的解集为，
故，即，
解得，
故选：D.
15．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
①； ②对任意，恒有成立；
③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立；
④存在三个点、、，使得为等边三角形；其中真命题的序号为（ ）
A．①③④B．②④C．②③④D．①②③
【答案】C
【分析】
命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；
命题②和命题③：分为无理数和为有理数两种情况进行验证；
命题④：结合狄利克雷函数的定义找特殊点进行验证.
【详解】
当为无理数时，，所以；
当为有理数时，，所以，
所以对任意，恒有，①错误；
当为无理数时，也为无理数，所以；
当为有理数时，也为有理数，所以，②正确；
对任意实数，任取一个不为零的有理数，若为无理数时，则也为无理数，
所以；当为有理数时，也为有理数，所以，
所以任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立，③正确；
取，则，
此时，三点恰好构成等边三角形，④正确.
故选：C.
16．设，则取得最小值时，的值为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【分析】
转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.
【详解】
，
当且仅当，即，，时，等号成立.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
（1）求的值；
（2）若，终边经过，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）将两边同时平方，得到，再利用诱导公式计算可得；
（2）首先求出，再根据任意角的三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简，最后代入计算可得；
【详解】
解：（1）因为，所以，即，所以
所以
（2）因为，所以
所以
又因为终边经过，所以
所以
18．某企业在现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142.
（1）求的值；
（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？
【答案】（1）；（2），每吨最大利润为4万元.
【分析】
(1)求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x=1时，
总成本y=142，代入计算得k=1.
(2)求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可.
【详解】
(1)由题意，除尘后
，
当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1.
(2)由(1)，
总利润，
每吨产品的利润为，
当且仅当，即x=8时取等号，
除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.
19．已知，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，.
【分析】
（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得；
（2）由得，令，对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围；
【详解】
（1）因为，，
令，
∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值，
∴函数的值域为.
（2）由得，
令，∵，∴，
∴对一切的恒成立，
①当时，若时，；
当时，恒成立，即，
函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时，
于是；
②当时，此时时，恒成立，即，
∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，；
③当时，此时时，恒成立，即，
函数在单调递增，于是时取最小值，
此时，于是.
综上可得：当时，当时，当时，
20．已知(､)是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；
（3）当时，的值域是，求实数与的值.
【答案】（1）；（2）时在上严格减；时.在上严格增；（3）.
【分析】
（1）根据奇函数的定义可知f（﹣x）+f（x）＝0，建立关于m的等式关系，解之即可；
（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；
（3）先求函数的定义域，讨论（n，a﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．
【详解】
（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．
∴f（﹣x）+f（x）＝0
即，
所以，
即
解得，
当时，无意义，舍去.
故.
（2）由（1）及题设知：，
设，
∴当x1＞x2＞1时，
∴t1＜t2．
当a＞1时，lgat1＜lgat2，即f（x1）＜f（x2）．
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），
∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；
②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知
得，n＝1．
【点睛】
方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.
21．已知角是第三象限角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据tanα，以及 sin2α+cs2α＝1，结合范围求得sinα、csα的值；
（2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，代入正切值即求得结果．
【详解】
解：（1）tanα，sin2α+cs2α＝1，
∴或，而角是第三象限角，则，
故；
（2）
.
∵，
∴原式.
【点睛】
方法点睛：
已知正切值化简求值时，通过整理式子使其分子分母的弦的次数相同，通过同时除以同次的余弦，进行弦化切的转化，代入计算即可.
22．已知函数，当点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的相关函数，
（1）解关于的不等式；
（2）对任意的的图像总在其相关函数图像的下方，求的取值范围；
（3）若关于的方程有两个不相等的正实数根，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由对数函数的单调性，结合不等式得真数的取值范围，即求得不等式的解集；
（2）先求出，题意转化为不等式对任意的恒成立，再求实数的取值范围即可；
（3）利用方程脱掉对数符号，得到二次函数，再利用韦达定理得到，求得取值范围即可.
【详解】
解：（1）依题，则，所以
所以原不等式的解集为；
（2）由题意知，点在函数图像上，
即，所以.
即的相关函数为.
依题意，对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，
即当，恒成立①.
首先由，知对任意的总成立，即对数式有意义.
在此条件下，①等价于时，恒成立，
即，即.
设，
要使时，恒成立，
只需，即成立，解得，故，
综上可知，的取值范围是；
（3）由（2）知，
首先由，知对任意的正数x总成立，即对数式有意义.
故即，即有两个不相等的正实数根，则，，，
即，对称轴是，故在上单调递减，
故.
所以的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：
与对数函数有关的复合函数的性质（如最值）以及对数不等式的恒成立，解决这类问题，通常是“脱去对数符号”，把问题转化为二次函数在给定范围上的恒成立或分式函数的最值来讨论.