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数学必修 第一册1.1 集合初步练习题
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这是一份数学必修 第一册1.1 集合初步练习题，共29页。试卷主要包含了设全集，集合，______.等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·上海市新场中学高一月考）下列各对象的全体，可以构成集合的是_________________（填序号）
①高一数学课本中的难题；②高一年级中身高超过米的同学．
2．（2023·长宁区·上海市延安中学高一月考）已知集合，则集合___________.
3．（2023·长宁区·上海市延安中学高一月考）已知集合，，则___________.
4．（2023·上海市实验学校高三月考）设集合，，，则 __________.
5．（2023·上海市控江中学高一月考）集合，用列举法表示________.
6．（2023·上海市控江中学高一月考）设全集，集合，______.
7．（2023·上海徐汇区·位育中学高一月考）已知，集合，设关于的不等式的解集为B，若，则实数的取值范围为_____________
8．（2023·宝山区·上海交大附中高三开学考试）已知集合，则__________．
9．（2022·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.
10．（2023·上海市向明中学高三月考）已知非空集合A，B满足以下两个条件（ⅰ），；（ⅱ）若，则则有序集合对的个数为 __________．
11．（2023·上海市嘉定区第二中学高一期中）若集合有且仅有两个子集，则实数__________；
12．（2023·上海高一单元测试）已知集合，，若，且中恰有个元素，则的取值范围为________.
13．（2022·上海）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是_____.
14．（2023·上海高一单元测试）设全集，集合，那么____________.
15．（2022·上海市青浦高级中学高一月考）已知，则下列结论中正确的序号是__________．
；；若，则；
④若且，则；⑤若，则.
16．（2023·上海市奉贤中学高一月考）已知全集为，若，是非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·上海市新场中学高一月考）若，集合，则下列表示中正确的是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·上海高一单元测试）用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·上海高一单元测试）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·上海市张堰中学高一月考）已知集合
（1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素；
（2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围.
B组 能力提升
21．（2023·宝山区·上海交大附中高一开学考试）设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.
①集合为幸运集；②集合为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；
其中正确结论的序号是________
22．（2022·上海普陀·曹杨二中）定义全集的子集的特征函数，对于两个集合，定义集合，已知集合，并用表示有限集的元素个数，则对于任意有限集的最小值为________．
23．（2023·上海）设是一数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数），则称是一个数域，例如有理数集是数域，数集也是数域，则下列命题：① 整数集是数域；② 若有理数集，则数集必为数域；③ 数域必为无限集；④ 存在无穷多个数域；其中正确的命题的序号（ ）
A．①②④B．②③④C．③④D．②④
24．（2023·上海市奉贤中学高一月考）已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于.
（1）分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
（2）具有性质，当时，求集合；
（3）①求证：；②求证：.
25．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为且.
（1）若，，求差集；
（2）若，求出一个集合B，使其满足；
（3）请从问题（1）或（2）中选出一组集合，计算，在此基础上写出集合的交集、并集或补集的运算表达式，使其结果与相等，并说明理由.
26．（2023·上海）已知集合，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
27．（2023·上海高一单元测试）已知集合，集合.
（1）求；
（2）设集合，且，求实数的取值范围.
28．（2023·上海高一单元测试）设集合，.
(1)若，求实数的值;
(2)若，求实数的范围.
29．（2017·上海市育才中学高一月考）由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么.
（1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.
专题1.1 集合初步
A组 基础巩固
1．（2023·上海市新场中学高一月考）下列各对象的全体，可以构成集合的是_________________（填序号）
①高一数学课本中的难题；②高一年级中身高超过米的同学．
【答案】②
【分析】
根据集合中的元素满足确定性可得出结论.
【详解】
①中的对象不满足确定性，①中的对象不能构成集合；
②中的对象满足确定性，②中的对象能构成集合.
故答案为：②.
2．（2023·长宁区·上海市延安中学高一月考）已知集合，则集合___________.
【答案】
【分析】
根据集合相等的条件和一元二次方程的根与系数的关系求得a，b，从而求得答案.
【详解】
解：因为集合，所以，解得，
所以，
故答案为：.
3．（2023·长宁区·上海市延安中学高一月考）已知集合，，则___________.
【答案】
【分析】
利用交集定义求解即可.
【详解】
由题知：.
故答案为：
4．（2023·上海市实验学校高三月考）设集合，，，则 __________.
【答案】
【分析】
先求集合A与集合B的并集，再与集合C求交集
【详解】
因为，，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
5．（2023·上海市控江中学高一月考）集合，用列举法表示________.
【答案】
【分析】
根据可以得到的取值范围，从而确定的值，便可确定集合A中的数对.
【详解】
解：由题意得
，则
满足条件的数对为，故
故答案为：
6．（2023·上海市控江中学高一月考）设全集，集合，______.
【答案】
【分析】
先求解出集合的补集，然后根据交集运算求解出结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
故答案为：.
7．（2023·上海徐汇区·位育中学高一月考）已知，集合，设关于的不等式的解集为B，若，则实数的取值范围为_____________
【答案】
【分析】
求出集合B，根据建立不等式求解即可.
【详解】
由可得，
当时，不等式无解，即,不符合.
当时，由不等式解得，即，
由则需，解得，
所以，
当时，由不等式解得，即
由则需，解得.
综上，或.
故答案为：
8．（2023·宝山区·上海交大附中高三开学考试）已知集合，则__________．
【答案】
【分析】
根据集合的定义确定集合中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】
由题意集合是由集合的所有子集构成的集合，
集合是由集合的所有子集构成的集合，
它们有公共元素和，
所以．
故答案为：．
9．（2022·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.
【答案】
【分析】
首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和” ，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.
【详解】
因为，；，；
，；，；
这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为，
故答案为：.
10．（2023·上海市向明中学高三月考）已知非空集合A，B满足以下两个条件（ⅰ），；（ⅱ）若，则则有序集合对的个数为 __________．
【答案】12
【分析】
采用列举法对集合A的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．
【详解】
由题意分类讨论可得：若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则，舍去．
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则．
综上可得：有序集合对的个数为12．
故答案为：12．
11．（2023·上海市嘉定区第二中学高一期中）若集合有且仅有两个子集，则实数__________；
【答案】0或2或18
【分析】
集合有且仅有两个子集，由于空集是任何集合的子集，所以集合是单元素集合，即方程只有一个根或两个相等的实数根，分和两种情况求出实数即可.
【详解】
∵集合有且仅有两个子集,
∴集合中有且仅有一个元素, 即方程有一个根或者两个相等的实数根.
当时, 方程仅有一个实数根, 满足题意;
当时, 令, 解得或.
综上, 或或.
故答案为：0或2或18.
12．（2023·上海高一单元测试）已知集合，，若，且中恰有个元素，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】
计算或，设，根据韦达定理得到，解得答案.
【详解】
或，设，则的轴对称.
且对应方程的根，故，（取），
因此中恰有的整数为，.
∴，解得，故的取值范围是为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了根据交集结果求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力，构造函数利用零点存在定理是解题的关键.
13．（2022·上海）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】
因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式,首先想到的是十字相乘法,但此题行不通;应该把此不等式等价转化为的形式,然后数形结合来解答,需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．
【详解】
解:且
∴
令
∴
∴是一个二次函数,图象是确定的一条抛物线;
而一次函数,图象是过一定点的动直线．
又∵．数形结合,可得:
故答案为:
【点睛】
此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．
14．（2023·上海高一单元测试）设全集，集合，那么____________.
【答案】
【分析】
分析出集合，的各自意义，进而可知的各自意义，从而可求出.
【详解】
解：由可得，即表示直线除去的点集，
表示平面内不在直线上的点集，则表示平面内在直线上的点集，
表示不在直线上的点和点的集合，所以.
故答案为: .
【点睛】
本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力．
15．（2022·上海市青浦高级中学高一月考）已知，则下列结论中正确的序号是__________．
；；若，则；
④若且，则；⑤若，则.
【答案】①②③⑤
【分析】
①中分母有理化后即可判断出①正确；
②中令即可得到，②正确；
③中，可知满足，③正确；
④中通过反例，，即可验证出④错误；
⑤根据展开式通项，可判断出，，可得⑤正确
【详解】
①中，，①正确；
②当时，，可知，②正确；
③令，，
则
， ，③正确；
④令，，满足，则，④错误；
⑤，展开式通项为：
当为偶数时，；当为奇数时，
又 ，，即，⑤正确
故答案为①②③⑤
【点睛】
本题考查元素与集合关系、集合之间的包含关系等知识，属于集合部分知识的综合应用，属于中档题.
16．（2023·上海市奉贤中学高一月考）已知全集为，若，是非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
作出韦恩图，根据集合的运算逐一判断四个选项正确性，进而可得答案.
【详解】
因为全集为，若，是非空集合，且满足，作韦恩图如图：
对于A：因为，所以，因为，所以，故选项A正确；
对于B：由可得，因为，所以，故选项B正确；
对于C和D：由可得，所以，故选项C不正确，选项D正确；
所以错误的是选项C，
故选：C.
17．（2023·上海市新场中学高一月考）若，集合，则下列表示中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断即可得正确选项.
【详解】
因为，所以，故选项A正确，选项B不正确；
集合之间的关系符号有误，应为，故选项C不正确；
元素与集合之间的关系符号有误，应为，故选项D不正确；
故选：A.
18．（2023·上海高一单元测试）用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值，即可得出的值.
【详解】
由题意可知，集合的真子集个数为，解得，
由题中定义可得，或.
由题意可知，为关于的方程的一根.
当时，则，则方程只有一个实根，可得，
此时，方程无实根，则满足条件；
当时，则关于的方程有三个根，必有，
此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论：
①若是方程的一根时，则，解得.
当时，则，合乎题意；
当时，则，合乎题意；
②当方程有两个相等的实根，则，解得.
当时，，合乎题意；
当时，，合乎题意.
因此，，即.
故选：D.
【点睛】
以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解.
19．（2023·上海高一单元测试）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由集合描述求集合，结合韦恩图知阴影部分为，分别求出、，然后求交集即可.
【详解】
，，
由图知：阴影部分为，而，，
∴或，即或，
故选：C
【点睛】
本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.
20．（2023·上海市张堰中学高一月考）已知集合
（1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素；
（2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围.
【答案】（1），，或，；（2）或
【分析】
（1）中只有一个元素，说明方程有唯一解，根据是否为零分类讨论求解即可；
（2）中至多有一个元素，则说明方程有一个解或无解，根据是否为零分类讨论求解即可．
【详解】
（1）当时，原方程变为，
此时，符合题意．
当时，，
解得，
此时原方程为，即．
综上可知：，，或，；
（2）由（1）知当时，中只有一个元素．
当时，若中至多含有一个元素，
则一元二次方程有一个解或无解，
即解得，
此时方程至多有一个解．
综上可知，的取值范围是或．
B组 能力提升
21．（2023·宝山区·上海交大附中高一开学考试）设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.
①集合为幸运集；②集合为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；
其中正确结论的序号是________
【答案】②④
【分析】
①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断；
【详解】
①当，，所以集合P不是幸运集，故错误；
②设，则，所以集合P是幸运集，故正确；
③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误；
④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确；
故答案为：②④
【点睛】
关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的（可以相同），都有，，”，灵活运用举例法.
22．（2022·上海普陀·曹杨二中）定义全集的子集的特征函数，对于两个集合，定义集合，已知集合，并用表示有限集的元素个数，则对于任意有限集的最小值为________．
【答案】4
【分析】
通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论．
【详解】
由M*N的定义可知，fM（x）+fN（x）＝1 ，则M*N∈{x|x∈M∪N，且x∉ M∩N }
即M*A＝{x|x∈M∪A，且x∉M∩A}，M*B＝{x|x∈M∪B，且x∉M∩B}
要使Card（M*A）+Card（M*B）的值最小，
则2，4，8一定属于集合M，且M不能含有A∪B以外的元素，
所以集合M为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集，
要使的值最小，M={2，4，8}，
此时，的最小值为4，
故答案为4
【点睛】
本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．
23．（2023·上海）设是一数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数），则称是一个数域，例如有理数集是数域，数集也是数域，则下列命题：① 整数集是数域；② 若有理数集，则数集必为数域；③ 数域必为无限集；④ 存在无穷多个数域；其中正确的命题的序号（ ）
A．①②④B．②③④C．③④D．②④
【答案】C
【分析】
根据题中定义，结合特殊值法逐一判断即可.
【详解】
①例如a=1，b=2，除法为不满足条件，故①不正确；②若M中有一个无理数，如，由于则集合M就不是数域，②不正确；③因为数域中的元素可以任意取两个，进行连续的四则运算，可产生无数个元素，所以数域必为无限集，③正确；④因为任意两个数，即可产生一个数域，故数域有无穷多个，④正确；
故选择：C．
24．（2023·上海市奉贤中学高一月考）已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于.
（1）分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
（2）具有性质，当时，求集合；
（3）①求证：；②求证：.
【答案】（1）集合M具有，集合N不具有，理由见详解 （2） （3）证明见详解
【分析】
（1）利用性质的定义判断即可；
（2）利用，可得，又，，分析可得，即得解；
（3）① 由 ，，可证明；
② 由，以及，可得，将等式左右两边相加可证明.
【详解】
（1）集合具有性质，集合不具有性质
理由如下：
对集合，由于
所以集合具有性质；
对集合，由于，故集合不具有性质.
（2）由于，故
又，故
又，故
因此集合
（3）①由于，故
，故得证
②由于
故
又
将各个式子左右两边相加可得：
故得证
综上所述：实数的取值范围为.
25．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为且.
（1）若，，求差集；
（2）若，求出一个集合B，使其满足；
（3）请从问题（1）或（2）中选出一组集合，计算，在此基础上写出集合的交集、并集或补集的运算表达式，使其结果与相等，并说明理由.
【答案】（1）； （2）（答案不唯一）； （3）答案见解析.
【分析】
（1）求得集合，根据集合的新定义，即可求解；
（2）求得集合或，根据，结合集合的运算，即可求解；
（3）由（1）中，根据集合新定义，求得，根据集合交集和补集的运算，求得，即可求解.
【详解】
（1）由集合，，
根据集合的新定义，可得且.
（2）由不等式，解得或，
所以集合或，
又由且，
所以集合可以为：（答案不唯一）.
（3）由（1）知，，可得，
则，
因为，，
所以.
26．（2023·上海）已知集合，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），或；
（2）或或或.
【分析】
先求得集合中元素的可能取值.
（1）根据，判断出是集合的元素，由此求得的值，进而求得集合，由此确定的值.
（2）根据为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定的取值范围.
【详解】
由，解得或.
（1）当，所以是集合的元素，所以，解得，所以.若，此时，符合.若，此时，符合.故，或.
（2）由于，
当时，由判别式得，解得，此时.
当为单元素集时，由判别式得，解得或.当时，，要使，则.当时，，，要使，则.
当为双元素集时，由（1）知，.
综上所述，的取值范围为或或或.
【点睛】
本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
27．（2023·上海高一单元测试）已知集合，集合.
（1）求；
（2）设集合，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可
（2）根据并集的定义得出关于的不等式组，求出解集即可
【详解】
（1）集合.
则
集合，
则
(2)集合，且
,解得
故实数的取值范围为
【点睛】
本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解．
28．（2023·上海高一单元测试）设集合，.
(1)若，求实数的值;
(2)若，求实数的范围.
【答案】（1）；(2)或
【分析】
（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素，∴A=B，从而得到实数的值；（2）求出集合A、B的元素，利用B是A的子集，即可求出实数a的范围.
【详解】
（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素，
∴A=B，
∴x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，
故a=1；
（2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R}
∴A={0，﹣4}，
∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A．
故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A；
②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A；
当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，
故a=1；
综上所述a=1或a≤﹣1；
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
29．（2017·上海市育才中学高一月考）由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么.
（1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或或；（2）存在，.
【分析】
（1）根据题意设集合，然后分类讨论与的大小，根据集合的性质解出，即可得解；
（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，根据集合中元素的性质可知，，，进一步可知，，不妨设集合且，再根据集合中元素的性质可求得结果.
【详解】
（1）集合A恰有两个元素且.不妨设集合，
当时，由集合A的性质可知，，则或，
解得(舍)或，所以集合
当时，由集合A的性质可知，，则或，
解得或(舍)或所以集合或
综上所述：或或.
（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，即，
当时，则无意义，当时，则无意义，
所以，，并且，，即，
不妨设集合且，
当时，由题意可知，，
若，即，解得或(舍)，此时集合；
若，则不成立；
若，即(舍)，
当时，由题意可知，，
若，则（舍），
若，则（舍），
若，则不成立，
综上所述，集合A是存在的，.
【点睛】
本题考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题.
1．（2023·上海市新场中学高一月考）下列各对象的全体，可以构成集合的是_________________（填序号）
①高一数学课本中的难题；②高一年级中身高超过米的同学．
2．（2023·长宁区·上海市延安中学高一月考）已知集合，则集合___________.
3．（2023·长宁区·上海市延安中学高一月考）已知集合，，则___________.
4．（2023·上海市实验学校高三月考）设集合，，，则 __________.
5．（2023·上海市控江中学高一月考）集合，用列举法表示________.
6．（2023·上海市控江中学高一月考）设全集，集合，______.
7．（2023·上海徐汇区·位育中学高一月考）已知，集合，设关于的不等式的解集为B，若，则实数的取值范围为_____________
8．（2023·宝山区·上海交大附中高三开学考试）已知集合，则__________．
9．（2022·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.
10．（2023·上海市向明中学高三月考）已知非空集合A，B满足以下两个条件（ⅰ），；（ⅱ）若，则则有序集合对的个数为 __________．
11．（2023·上海市嘉定区第二中学高一期中）若集合有且仅有两个子集，则实数__________；
12．（2023·上海高一单元测试）已知集合，，若，且中恰有个元素，则的取值范围为________.
13．（2022·上海）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是_____.
14．（2023·上海高一单元测试）设全集，集合，那么____________.
15．（2022·上海市青浦高级中学高一月考）已知，则下列结论中正确的序号是__________．
；；若，则；
④若且，则；⑤若，则.
16．（2023·上海市奉贤中学高一月考）已知全集为，若，是非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·上海市新场中学高一月考）若，集合，则下列表示中正确的是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·上海高一单元测试）用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·上海高一单元测试）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·上海市张堰中学高一月考）已知集合
（1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素；
（2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围.
B组 能力提升
21．（2023·宝山区·上海交大附中高一开学考试）设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.
①集合为幸运集；②集合为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；
其中正确结论的序号是________
22．（2022·上海普陀·曹杨二中）定义全集的子集的特征函数，对于两个集合，定义集合，已知集合，并用表示有限集的元素个数，则对于任意有限集的最小值为________．
23．（2023·上海）设是一数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数），则称是一个数域，例如有理数集是数域，数集也是数域，则下列命题：① 整数集是数域；② 若有理数集，则数集必为数域；③ 数域必为无限集；④ 存在无穷多个数域；其中正确的命题的序号（ ）
A．①②④B．②③④C．③④D．②④
24．（2023·上海市奉贤中学高一月考）已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于.
（1）分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
（2）具有性质，当时，求集合；
（3）①求证：；②求证：.
25．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为且.
（1）若，，求差集；
（2）若，求出一个集合B，使其满足；
（3）请从问题（1）或（2）中选出一组集合，计算，在此基础上写出集合的交集、并集或补集的运算表达式，使其结果与相等，并说明理由.
26．（2023·上海）已知集合，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
27．（2023·上海高一单元测试）已知集合，集合.
（1）求；
（2）设集合，且，求实数的取值范围.
28．（2023·上海高一单元测试）设集合，.
(1)若，求实数的值;
(2)若，求实数的范围.
29．（2017·上海市育才中学高一月考）由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么.
（1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.
专题1.1 集合初步
A组 基础巩固
1．（2023·上海市新场中学高一月考）下列各对象的全体，可以构成集合的是_________________（填序号）
①高一数学课本中的难题；②高一年级中身高超过米的同学．
【答案】②
【分析】
根据集合中的元素满足确定性可得出结论.
【详解】
①中的对象不满足确定性，①中的对象不能构成集合；
②中的对象满足确定性，②中的对象能构成集合.
故答案为：②.
2．（2023·长宁区·上海市延安中学高一月考）已知集合，则集合___________.
【答案】
【分析】
根据集合相等的条件和一元二次方程的根与系数的关系求得a，b，从而求得答案.
【详解】
解：因为集合，所以，解得，
所以，
故答案为：.
3．（2023·长宁区·上海市延安中学高一月考）已知集合，，则___________.
【答案】
【分析】
利用交集定义求解即可.
【详解】
由题知：.
故答案为：
4．（2023·上海市实验学校高三月考）设集合，，，则 __________.
【答案】
【分析】
先求集合A与集合B的并集，再与集合C求交集
【详解】
因为，，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
5．（2023·上海市控江中学高一月考）集合，用列举法表示________.
【答案】
【分析】
根据可以得到的取值范围，从而确定的值，便可确定集合A中的数对.
【详解】
解：由题意得
，则
满足条件的数对为，故
故答案为：
6．（2023·上海市控江中学高一月考）设全集，集合，______.
【答案】
【分析】
先求解出集合的补集，然后根据交集运算求解出结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
故答案为：.
7．（2023·上海徐汇区·位育中学高一月考）已知，集合，设关于的不等式的解集为B，若，则实数的取值范围为_____________
【答案】
【分析】
求出集合B，根据建立不等式求解即可.
【详解】
由可得，
当时，不等式无解，即,不符合.
当时，由不等式解得，即，
由则需，解得，
所以，
当时，由不等式解得，即
由则需，解得.
综上，或.
故答案为：
8．（2023·宝山区·上海交大附中高三开学考试）已知集合，则__________．
【答案】
【分析】
根据集合的定义确定集合中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】
由题意集合是由集合的所有子集构成的集合，
集合是由集合的所有子集构成的集合，
它们有公共元素和，
所以．
故答案为：．
9．（2022·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.
【答案】
【分析】
首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和” ，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.
【详解】
因为，；，；
，；，；
这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为，
故答案为：.
10．（2023·上海市向明中学高三月考）已知非空集合A，B满足以下两个条件（ⅰ），；（ⅱ）若，则则有序集合对的个数为 __________．
【答案】12
【分析】
采用列举法对集合A的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．
【详解】
由题意分类讨论可得：若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则，舍去．
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则．
综上可得：有序集合对的个数为12．
故答案为：12．
11．（2023·上海市嘉定区第二中学高一期中）若集合有且仅有两个子集，则实数__________；
【答案】0或2或18
【分析】
集合有且仅有两个子集，由于空集是任何集合的子集，所以集合是单元素集合，即方程只有一个根或两个相等的实数根，分和两种情况求出实数即可.
【详解】
∵集合有且仅有两个子集,
∴集合中有且仅有一个元素, 即方程有一个根或者两个相等的实数根.
当时, 方程仅有一个实数根, 满足题意;
当时, 令, 解得或.
综上, 或或.
故答案为：0或2或18.
12．（2023·上海高一单元测试）已知集合，，若，且中恰有个元素，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】
计算或，设，根据韦达定理得到，解得答案.
【详解】
或，设，则的轴对称.
且对应方程的根，故，（取），
因此中恰有的整数为，.
∴，解得，故的取值范围是为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了根据交集结果求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力，构造函数利用零点存在定理是解题的关键.
13．（2022·上海）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】
因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式,首先想到的是十字相乘法,但此题行不通;应该把此不等式等价转化为的形式,然后数形结合来解答,需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．
【详解】
解:且
∴
令
∴
∴是一个二次函数,图象是确定的一条抛物线;
而一次函数,图象是过一定点的动直线．
又∵．数形结合,可得:
故答案为:
【点睛】
此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．
14．（2023·上海高一单元测试）设全集，集合，那么____________.
【答案】
【分析】
分析出集合，的各自意义，进而可知的各自意义，从而可求出.
【详解】
解：由可得，即表示直线除去的点集，
表示平面内不在直线上的点集，则表示平面内在直线上的点集，
表示不在直线上的点和点的集合，所以.
故答案为: .
【点睛】
本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力．
15．（2022·上海市青浦高级中学高一月考）已知，则下列结论中正确的序号是__________．
；；若，则；
④若且，则；⑤若，则.
【答案】①②③⑤
【分析】
①中分母有理化后即可判断出①正确；
②中令即可得到，②正确；
③中，可知满足，③正确；
④中通过反例，，即可验证出④错误；
⑤根据展开式通项，可判断出，，可得⑤正确
【详解】
①中，，①正确；
②当时，，可知，②正确；
③令，，
则
， ，③正确；
④令，，满足，则，④错误；
⑤，展开式通项为：
当为偶数时，；当为奇数时，
又 ，，即，⑤正确
故答案为①②③⑤
【点睛】
本题考查元素与集合关系、集合之间的包含关系等知识，属于集合部分知识的综合应用，属于中档题.
16．（2023·上海市奉贤中学高一月考）已知全集为，若，是非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
作出韦恩图，根据集合的运算逐一判断四个选项正确性，进而可得答案.
【详解】
因为全集为，若，是非空集合，且满足，作韦恩图如图：
对于A：因为，所以，因为，所以，故选项A正确；
对于B：由可得，因为，所以，故选项B正确；
对于C和D：由可得，所以，故选项C不正确，选项D正确；
所以错误的是选项C，
故选：C.
17．（2023·上海市新场中学高一月考）若，集合，则下列表示中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断即可得正确选项.
【详解】
因为，所以，故选项A正确，选项B不正确；
集合之间的关系符号有误，应为，故选项C不正确；
元素与集合之间的关系符号有误，应为，故选项D不正确；
故选：A.
18．（2023·上海高一单元测试）用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值，即可得出的值.
【详解】
由题意可知，集合的真子集个数为，解得，
由题中定义可得，或.
由题意可知，为关于的方程的一根.
当时，则，则方程只有一个实根，可得，
此时，方程无实根，则满足条件；
当时，则关于的方程有三个根，必有，
此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论：
①若是方程的一根时，则，解得.
当时，则，合乎题意；
当时，则，合乎题意；
②当方程有两个相等的实根，则，解得.
当时，，合乎题意；
当时，，合乎题意.
因此，，即.
故选：D.
【点睛】
以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解.
19．（2023·上海高一单元测试）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由集合描述求集合，结合韦恩图知阴影部分为，分别求出、，然后求交集即可.
【详解】
，，
由图知：阴影部分为，而，，
∴或，即或，
故选：C
【点睛】
本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.
20．（2023·上海市张堰中学高一月考）已知集合
（1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素；
（2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围.
【答案】（1），，或，；（2）或
【分析】
（1）中只有一个元素，说明方程有唯一解，根据是否为零分类讨论求解即可；
（2）中至多有一个元素，则说明方程有一个解或无解，根据是否为零分类讨论求解即可．
【详解】
（1）当时，原方程变为，
此时，符合题意．
当时，，
解得，
此时原方程为，即．
综上可知：，，或，；
（2）由（1）知当时，中只有一个元素．
当时，若中至多含有一个元素，
则一元二次方程有一个解或无解，
即解得，
此时方程至多有一个解．
综上可知，的取值范围是或．
B组 能力提升
21．（2023·宝山区·上海交大附中高一开学考试）设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.
①集合为幸运集；②集合为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；
其中正确结论的序号是________
【答案】②④
【分析】
①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断；
【详解】
①当，，所以集合P不是幸运集，故错误；
②设，则，所以集合P是幸运集，故正确；
③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误；
④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确；
故答案为：②④
【点睛】
关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的（可以相同），都有，，”，灵活运用举例法.
22．（2022·上海普陀·曹杨二中）定义全集的子集的特征函数，对于两个集合，定义集合，已知集合，并用表示有限集的元素个数，则对于任意有限集的最小值为________．
【答案】4
【分析】
通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论．
【详解】
由M*N的定义可知，fM（x）+fN（x）＝1 ，则M*N∈{x|x∈M∪N，且x∉ M∩N }
即M*A＝{x|x∈M∪A，且x∉M∩A}，M*B＝{x|x∈M∪B，且x∉M∩B}
要使Card（M*A）+Card（M*B）的值最小，
则2，4，8一定属于集合M，且M不能含有A∪B以外的元素，
所以集合M为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集，
要使的值最小，M={2，4，8}，
此时，的最小值为4，
故答案为4
【点睛】
本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．
23．（2023·上海）设是一数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数），则称是一个数域，例如有理数集是数域，数集也是数域，则下列命题：① 整数集是数域；② 若有理数集，则数集必为数域；③ 数域必为无限集；④ 存在无穷多个数域；其中正确的命题的序号（ ）
A．①②④B．②③④C．③④D．②④
【答案】C
【分析】
根据题中定义，结合特殊值法逐一判断即可.
【详解】
①例如a=1，b=2，除法为不满足条件，故①不正确；②若M中有一个无理数，如，由于则集合M就不是数域，②不正确；③因为数域中的元素可以任意取两个，进行连续的四则运算，可产生无数个元素，所以数域必为无限集，③正确；④因为任意两个数，即可产生一个数域，故数域有无穷多个，④正确；
故选择：C．
24．（2023·上海市奉贤中学高一月考）已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于.
（1）分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
（2）具有性质，当时，求集合；
（3）①求证：；②求证：.
【答案】（1）集合M具有，集合N不具有，理由见详解 （2） （3）证明见详解
【分析】
（1）利用性质的定义判断即可；
（2）利用，可得，又，，分析可得，即得解；
（3）① 由 ，，可证明；
② 由，以及，可得，将等式左右两边相加可证明.
【详解】
（1）集合具有性质，集合不具有性质
理由如下：
对集合，由于
所以集合具有性质；
对集合，由于，故集合不具有性质.
（2）由于，故
又，故
又，故
因此集合
（3）①由于，故
，故得证
②由于
故
又
将各个式子左右两边相加可得：
故得证
综上所述：实数的取值范围为.
25．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为且.
（1）若，，求差集；
（2）若，求出一个集合B，使其满足；
（3）请从问题（1）或（2）中选出一组集合，计算，在此基础上写出集合的交集、并集或补集的运算表达式，使其结果与相等，并说明理由.
【答案】（1）； （2）（答案不唯一）； （3）答案见解析.
【分析】
（1）求得集合，根据集合的新定义，即可求解；
（2）求得集合或，根据，结合集合的运算，即可求解；
（3）由（1）中，根据集合新定义，求得，根据集合交集和补集的运算，求得，即可求解.
【详解】
（1）由集合，，
根据集合的新定义，可得且.
（2）由不等式，解得或，
所以集合或，
又由且，
所以集合可以为：（答案不唯一）.
（3）由（1）知，，可得，
则，
因为，，
所以.
26．（2023·上海）已知集合，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），或；
（2）或或或.
【分析】
先求得集合中元素的可能取值.
（1）根据，判断出是集合的元素，由此求得的值，进而求得集合，由此确定的值.
（2）根据为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定的取值范围.
【详解】
由，解得或.
（1）当，所以是集合的元素，所以，解得，所以.若，此时，符合.若，此时，符合.故，或.
（2）由于，
当时，由判别式得，解得，此时.
当为单元素集时，由判别式得，解得或.当时，，要使，则.当时，，，要使，则.
当为双元素集时，由（1）知，.
综上所述，的取值范围为或或或.
【点睛】
本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
27．（2023·上海高一单元测试）已知集合，集合.
（1）求；
（2）设集合，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可
（2）根据并集的定义得出关于的不等式组，求出解集即可
【详解】
（1）集合.
则
集合，
则
(2)集合，且
,解得
故实数的取值范围为
【点睛】
本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解．
28．（2023·上海高一单元测试）设集合，.
(1)若，求实数的值;
(2)若，求实数的范围.
【答案】（1）；(2)或
【分析】
（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素，∴A=B，从而得到实数的值；（2）求出集合A、B的元素，利用B是A的子集，即可求出实数a的范围.
【详解】
（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素，
∴A=B，
∴x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，
故a=1；
（2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R}
∴A={0，﹣4}，
∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A．
故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A；
②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A；
当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，
故a=1；
综上所述a=1或a≤﹣1；
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
29．（2017·上海市育才中学高一月考）由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么.
（1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或或；（2）存在，.
【分析】
（1）根据题意设集合，然后分类讨论与的大小，根据集合的性质解出，即可得解；
（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，根据集合中元素的性质可知，，，进一步可知，，不妨设集合且，再根据集合中元素的性质可求得结果.
【详解】
（1）集合A恰有两个元素且.不妨设集合，
当时，由集合A的性质可知，，则或，
解得(舍)或，所以集合
当时，由集合A的性质可知，，则或，
解得或(舍)或所以集合或
综上所述：或或.
（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，即，
当时，则无意义，当时，则无意义，
所以，，并且，，即，
不妨设集合且，
当时，由题意可知，，
若，即，解得或(舍)，此时集合；
若，则不成立；
若，即(舍)，
当时，由题意可知，，
若，则（舍），
若，则（舍），
若，则不成立，
综上所述，集合A是存在的，.
【点睛】
本题考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题.
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