高中数学5.1 函数练习题

这是一份高中数学5.1 函数练习题，共56页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，函数的表示方法，定时训练等内容，欢迎下载使用。


二、考点梳理
一、函数的概念
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
三、函数的表示方法
1．函数的解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式．
2．函数的表示法
3．函数的表示法
（1）．将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
（2）．作图、识图与用图
(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线；
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－eq \f(b,2a).
函数的图象是否可以关于x轴对称？
提示：不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．
三、题型突破
(一)、判断对应关系（图像）是否为函数.
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
例1．（1）、（2023·江苏·南京市第二十九中学高一期中）在下列图像中，能表示函数图像的是（ ）
A．B．
C．D．
（2）、（2023·江苏·高一课前预习）下列图形中，不可能是函数图象的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-1】、（2023·江苏·高一课前预习）下列各图中，不可能表示函数y=f(x)的图象的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-2】、（2022·江苏省上冈高级中学高一期中）下列可以表示以为定义域，以为值域的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
(二)、求函数的定义域.
1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.
考点精讲：求具体函数的定义域
例2．（1）、（2023·上海·高一专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．且
（2）、（2023·浙江高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．
【变式训练2-1】、（2016·上海市南汇第一中学高一期末）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-2】、（2023·浙江·高一期末）函数的定义域________．
考点精讲：求抽象函数的定义域
例3．（1）、（2023·浙江·绍兴鲁迅中学高一月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-1】、（2023·江苏·高一专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
(三)、判断函数为同一（相等）函数
判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
例4．（1）、（2023·天津市滨海新区塘沽第十三中学高一期中）下列函数中与表示同一函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4-1】．（2023·福建省泰宁第一中学高一月考）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
(四)、求函数值域
求函数值域的基本方法
1．观察法：
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．
2．利用常见函数的值域：
一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.
3．分离常数法：
将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
4．换元法：
对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
5．配方法：
对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
6．数形结合法：
作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．
7．单调性法：
函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．
8．判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
例5、（2023·浙江·诸暨中学高一月考）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例6、（2023·江苏·高一课时练习）求下列函数的定义域、值域，并画出图象：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
例7.（1）、（2023·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高一月考）函数的值域为_________．
（2）、（2023·江苏·高一课时练习）函数，的值域为_______
【变式训练7-1】、（2023·江苏·常州高级中学高一期中）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练7-2】、（2023·浙江省武义第三中学高一期中）函数的值域是（ ）
A．[0，3]B．(0，3]C．[0，3)D．[3，+∞)
【变式训练7-3】、（2023·辽宁）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练7-4】、（2023·江苏高一课时练习）函数的值域是（ ）
A．，B．C．，D．
【变式训练7-5】、（2022·浙江·高一专题练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
(五)、 函数的表示方法
例8、（1）（2023·江苏·高一课时练习）某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）.
A．B．
C．D．
（2）、（2023·江苏·高一专题练习）已知函数，用列表法表示如下：
则（ ）
A．B．0C．2D．3
【变式训练8-1】、（2017·浙江·路桥中学高三专题练习）下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为（ ）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
A．（4）（1）（2）B．（2）（3）（4）
C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（4）
【变式训练8-2】、（2023·浙江浙江·高一期末）如图，设有圆O和定点C，当从开始在平面上绕O匀速旋转（旋转角度不超过）时，它扫过圆内阴影部分面积S是时间t的函数，它的图像大致是如下哪一种（ ）
B．
C．D．
(六)、 函数图象的作法及应用
例9．（2023·浙江·高一单元测试）已知函数，，．
（1）在图中画出函数，的图象；
（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
【变式训练9-1】、（2023·江苏·高一课时练习）作出分段函数的图象．
(七)、 函数解析式的求法
角度一 用待定系数法求函数解析式
例10．（1）、（2023·江苏·高一课时练习）已知f(x)为二次函数，且f(0)＝1， f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【变式训练10-1】、（2022·江苏常州·高二期中（文））若一次函数满足，则______．
角度二 用换元法(配凑法)求函数解析式
例11．（1）、（2022·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练11-1】、（2023·江苏·高一课时练习）已知，则______.
角度三 用方程组法求函数解析式
例12、（2023·江苏·高一课时练习）已知，则函数f(x)的解析式为___________.
例13．（2023·广东·华南师大附中南海实验高中高一期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.
（2）已知，求的解析式，
【变式训练13-1】、（2023·广东·阳江市第三中学高一期中）根据下列条件，求函数的解析式.
（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.
（2）是一次函数，且满足；
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·浙江·杭州高级中学高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________
2．（2013·浙江宁海·高二月考（文））函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是______________________.
3．（2011·浙江台州·高三月考（理））已知,则 ___________．
4．（2023·上海·高一专题练习）下列曲线中，可以表示函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·浙江浙江·高三专题练习）设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：
映射f的对应法则
映射g的对应法则
则f[g(1)]的值为( )
A．1B．2C．3D．4
6．（2023·天津·高一期中）下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①当时，的最小值是5；
②与表示同一函数；
③函数的定义域是，则函数的定义域是；
④已知，，且，则最小值为．
A．B．C．D．
7．（2023·天津市滨海新区汉沽第六中学高一期中）若函数，且，则的值（ ）
A．5B．11C．8D．9
8．（2022·天津市静海区大邱庄中学高一月考）（1）求函数的定义域；
（2）求函数在上的值域．
9．（2023·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并说出函数的定义域､值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
10．（2023·广东·深圳中学高一期中）已知的定义域为集合，集合.
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
函数
映射
两个集合A、B
设A、B是两个非空数集
设A、B是两个非空集合
对应关系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
x
0
1
2
y
1
0
2
x
1
2
3
4
f(x)
3
4
2
1
x
1
2
3
4
g(x)
4
3
1
2
专题5.1 函数
一、考情分析
二、考点梳理
一、函数的概念
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
三、函数的表示方法
1．函数的解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式．
2．函数的表示法
3．函数的表示法
（1）．将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
（2）．作图、识图与用图
(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线；
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－eq \f(b,2a).
函数的图象是否可以关于x轴对称？
提示：不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．
三、题型突破
(一)、判断对应关系（图像）是否为函数.
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
例1．（1）、（2023·江苏·南京市第二十九中学高一期中）在下列图像中，能表示函数图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据函数的定义可判断.
【详解】
根据函数的定义，对于ABC，存在自变量，有两个函数值与之对应，故ABC不能表示函数图象，D选项满足.
故选：D.
（2）、（2023·江苏·高一课前预习）下列图形中，不可能是函数图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据函数的定义依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
根据函数的定义，一个自变量对应唯一的函数值，
表现在图像上，用一条垂直于轴的直线交函数图像，至多有一个交点．
所以D不是函数图像．
故选：D
【变式训练1-1】、（2023·江苏·高一课前预习）下列各图中，不可能表示函数y=f(x)的图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
逐一判断选项是否满足函数定义，即得结果.
【详解】
函数定义是对应定义域中的每个x值都有唯一确定的y值与之对应．
选项B中图象，对于的x值，有两个y值与之对应，故不是函数图象；
选项ACD中图象，均满足函数定义，故是函数图象．
故选：B.
【变式训练1-2】、（2022·江苏省上冈高级中学高一期中）下列可以表示以为定义域，以为值域的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意，依次分析选项中的图象，综合即可得答案．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，其对应函数的值域不是，错误；
对于，图象中存在一部分与轴垂直，该图象不是函数的图象，错误；
对于，其对应函数的定义域为，值域是，正确；
对于，图象不满足一个对应唯一的，该图象不是函数的图象，错误；
故选：．
(二)、求函数的定义域.
1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.
考点精讲：求具体函数的定义域
例2．（1）、（2023·上海·高一专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】D
【分析】
利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】
因为且，
所以且，
解得，且.
故选：D
（2）、（2023·浙江高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．
【答案】
【分析】
有函数解析式知要使定义域为R，则恒成立，结合二次函数的性质即可求参数a的范围.
【详解】
当时，，即定义域为R；
当，要使的定义域为R，则在上恒成立，
∴，解得，
综上，有，
故答案为：
【点睛】
本题考查由函数定义域求参数范围，注意将问题转化为不等式恒成立问题，属于基础题.
【变式训练2-1】、（2016·上海市南汇第一中学高一期末）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据函数的解析式知，解不等式组即可得定义域
【详解】
由函数，知
解之得：
故选：B
【点睛】
本题考查了函数的表示，根据函数解析式的性质求函数的定义域，属于简单题
【变式训练2-2】、（2023·浙江·高一期末）函数的定义域________．
【答案】
【分析】
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【详解】
由可得：
解得：，且 ，
∴函数的定义域为：，
故答案为：
考点精讲：求抽象函数的定义域
例3．（1）、（2023·浙江·绍兴鲁迅中学高一月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题可列出，可求出.
【详解】
的定义域是，
在中，，解得，
故的定义域为.
故选：C.
【变式训练3-1】、（2023·江苏·高一专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由解得结果即可得解.
【详解】
因为函数的定义域是，所以，
要使有意义，只需，解得。
所以的定义域是.
故选：C
【点睛】
方法点睛：复合函数定义域的求法：
一、已知的定义域为，求的定义域：解不等式即可得解；
二、已知的定义域为，求的定义域：求出在上的值域即可得解；
三、已知的定义域为，求的定义域：先用型二求出的定义域，再用类型一求出的定义域.
(三)、判断函数为同一（相等）函数
判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
例4．（1）、（2023·天津市滨海新区塘沽第十三中学高一期中）下列函数中与表示同一函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个方面判断．
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，与函数定义域不相同，故不是同一函数；
对于B选项，函数的解析式与不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数，且定义域为，故是同一函数；
对于D选项，的定义域为，与函数定义域不相同，故不是同一函数.
故选：C．
【点睛】
本题考查同一函数的概念，解答的关键点在于判断所给函数的定义域、解析式是否相同.
【变式训练4-1】．（2023·福建省泰宁第一中学高一月考）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.
【详解】
对于选项A：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.
(四)、求函数值域
求函数值域的基本方法
1．观察法：
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．
2．利用常见函数的值域：
一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.
3．分离常数法：
将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
4．换元法：
对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
5．配方法：
对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
6．数形结合法：
作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．
7．单调性法：
函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．
8．判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
例5、（2023·浙江·诸暨中学高一月考）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由二次函数的值域结合不等式的基本性质求解
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以函数的值域为
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数值域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
例6、（2023·江苏·高一课时练习）求下列函数的定义域、值域，并画出图象：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；（5）答案见解析；（6）答案见解析.
【分析】
（1）根据一次函数的性质可得定义域和值域，列表、描点、连线可得图象；
（2）根据一次函数的性质可得定义域和值域，列表、描点、连线可得图象；
（3）由分母不等于可得定义域，列表、描点、连线可得图象，根据单调性可得值域；
（4）由分母不等于可得定义域，列表、描点、连线可得图象，根据单调性可得值域；
（5）根据二次函数的性质可得定义域和值域，列表、描点、连线可得图象；
（6）根据二次函数的性质可得定义域和值域，列表、描点、连线可得图象.
【详解】
（1）定义域为，值域为，
列表如下：
作出图象如图：
（2）的定义域为，值域为，
列表如下：
作出图象如图：
（3）的定义域为，
列表如下：
作出图象如图：
由图知：值域为
（4）的定义域为，
列表如下：
作出图象如图：
由图知：值域为；
（5）的定义域为，开口向下的抛物线，最大值为，所以值域为，
列表如下：
作出图象如图：
（6）的定义域为，对称轴为，开口向上，
，所以值域为；
列表如下：
作出图象如图：
例7.（1）、（2023·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高一月考）函数的值域为_________．
【答案】
【分析】
利用换元法，令，解得，代入原函数，可将原函数变为关于的二次函数，配方求值域即可.
【详解】
令，，，
由，解得，
，
，，，
，，
函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查换元法求函数的值域问题，属于基础题.利用换元法求函数的值域时，一定要注意新变量的取值范围，这是易错点.
（2）、（2023·江苏·高一课时练习）函数，的值域为_______
【答案】
【分析】
采用分离常数法分析值域.
【详解】
因为，，所以，所以，所以值域为：.
【点睛】
本题考查函数值域的求解，难度一般.形如的函数值域的求解方法：分离常数法，即.
【变式训练7-1】、（2023·江苏·常州高级中学高一期中）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
利用分离常数法得到，因为，分子是常数，分母不能为0，所以，即可得到答案．
【详解】
解：，因为，所以，所以函数的值域为
故选：D
【变式训练7-2】、（2023·浙江省武义第三中学高一期中）函数的值域是（ ）
A．[0，3]B．(0，3]C．[0，3)D．[3，+∞)
【答案】A
【分析】
由可得答案.
【详解】
因为
所以
故选：A
【变式训练7-3】、（2023·辽宁）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
配方求出分母的取值范围，再根据不等式的性质即可求出函数的值域.
【详解】
，
，
，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了函数的值域，不等式的性质，属于容易题.
【变式训练7-4】、（2023·江苏高一课时练习）函数的值域是（ ）
A．，B．C．，D．
【答案】D
【分析】
利用配方法，结合根号下非负，即可得得范围，再开方即可.
【详解】
因为
所以
所以，
即函数的值域为
故选：D
【点睛】
本题主要考查了配方法求函数值域，属于基础题.
【变式训练7-5】、（2022·浙江·高一专题练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
令，且，将函数转化为二次函数求解.
【详解】
令，且，
则，函数转化为
由，则，即值域为
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的值域以及二次函数的值域，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
(五)、 函数的表示方法
例8、（1）（2023·江苏·高一课时练习）某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据随时间的推移该人所走的距离的大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答，即先利用时的函数值排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果
【详解】
解：由题意可知：时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A、C，
随着时间的增加，先跑步，开始时随的变化快，后步行，则随的变化慢，
所以适合的图象为D；
故选：D
（2）、（2023·江苏·高一专题练习）已知函数，用列表法表示如下：
则（ ）
A．B．0C．2D．3
【答案】D
【分析】
根据表格中自变量x和函数值y的对应关系，代入数据，即可得答案.
【详解】
由表格可得：，所以，
所以
故选：D
【变式训练8-1】、（2017·浙江·路桥中学高三专题练习）下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为（ ）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
A．（4）（1）（2）B．（2）（3）（4）
C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（4）
【答案】A
【分析】
（1）根据时间和离开家距离的关系进行判断．根据回家后，离家的距离又变为0，可判断（1）的图象开始后不久又回归为0；
（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；
（3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快．
【详解】
解：（1）离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象（4）；
（2）骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象（1）；
（3）最后加速向学校，其距离变化速度越来越快，故应选图象（2）．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对四个图象进行分析，即可得到答案．
【变式训练8-2】、（2023·浙江浙江·高一期末）如图，设有圆O和定点C，当从开始在平面上绕O匀速旋转（旋转角度不超过）时，它扫过圆内阴影部分面积S是时间t的函数，它的图像大致是如下哪一种（ ）
B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先分析直线从初始位置转到经过点时阴影部分面积的变化情况，再分析从过点的位置转至结束时阴影部分面积的变化情况，由此确定出大致图像.
【详解】
当直线从初始位置转到经过点的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；
从过点的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越“平缓”，
故选：C.
(六)、 函数图象的作法及应用
例9．（2023·浙江·高一单元测试）已知函数，，．
（1）在图中画出函数，的图象；
（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
【答案】（1）图象见解析；（2）；图象见解析.
【分析】
（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；
（2）根据定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.
【详解】
（1），的图象如下图所示：
（2）当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述：.
图象如下图所示：
【变式训练9-1】、（2023·江苏·高一课时练习）作出分段函数的图象．
【答案】答案见解析
【分析】
先化简函数解析式，再根据解析式画函数的图象即可
【详解】
解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即
作出图象如下：
(七)、 函数解析式的求法
角度一 用待定系数法求函数解析式
例10．（1）、（2023·江苏·高一课时练习）已知f(x)为二次函数，且f(0)＝1， f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【答案】
【分析】
设，结合已知条件求得，由此求得.
【详解】
设，，
，
，
，
所以.
【变式训练10-1】、（2022·江苏常州·高二期中（文））若一次函数满足，则______．
【答案】1
【分析】
先用待定系数法求出一次函数的解析式，然后代入求出.
【详解】
解：因为是一次函数，可设
则
所以，解得
所以
所以
故答案为1.
角度二 用换元法(配凑法)求函数解析式
例11．（1）、（2022·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用换元法求函数解析式.
【详解】
令，则，
据此可得：，
所以的解析式为.
故选：B
【变式训练11-1】、（2023·江苏·高一课时练习）已知，则______.
【答案】6
【分析】
利用配凑的方法可求得函数的解析式，从而求得.
【详解】
由题意，故，故.
故答案为：6
【点睛】
本题考查函数解析式的求解方法，考查分析能力，属于基础题.
角度三 用方程组法求函数解析式
例12、（2023·江苏·高一课时练习）已知，则函数f(x)的解析式为___________.
【答案】
【分析】
以代替得出，与已知等式联立，解出函数f(x)的解析式．
【详解】
∵，①
∴，②
①×3﹣②×5，得：
﹣16f(x)=﹣10x﹣2，
∴
故答案为：
例13．（2023·广东·华南师大附中南海实验高中高一期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.
（2）已知，求的解析式，
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，带入已知条件，对应系数相等，求出即可；
（2）换元法求函数的解析式.
【详解】
（1）因为是一次函数，所以设，又因为，所以，整理得，故，解得，所以;
（2）令，则，所以，即.
【变式训练13-1】、（2023·广东·阳江市第三中学高一期中）根据下列条件，求函数的解析式.
（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.
（2）是一次函数，且满足；
【答案】
（1）
（2）或
【分析】
（1）利用待定系数法，设，可得，即求；
（2）利用待定系数法，设，可得，即求.
（1）
因为是一次函数，所以设，
又因为，
所以，整理得，
故，
解得，
所以.
（2）
因为f（x）是一次函数，所以设，
所以，
又因为，所以，
故，解得或，
所以或.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·浙江·杭州高级中学高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________
【答案】
【解析】
由题意得，所以定义域为
2．（2013·浙江宁海·高二月考（文））函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是______________________.
【答案】
【详解】
试题分析：图像开口向上，对称轴为，，，．又因为所给值域中包括最小值，所以的取值范围是．
考点：二次函数的性质．
3．（2011·浙江台州·高三月考（理））已知,则 ___________．
【答案】28.5
【详解】
本试题主要是考查了函数的解析式的运用．
因为已知,则所求解的可知有9组和加上中点项f(1),故，故答案为28.5.
解决该试题关键是得到规律．
4．（2023·上海·高一专题练习）下列曲线中，可以表示函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据函数的定义可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，当时，有两个值与之对应，与函数的定义矛盾；
对于B选项，当时，每个有两个值与之对应，与函数的定义矛盾；
对于C选项，当时，有两个值与之对应，与函数的定义矛盾；
对于D选项，对定义域中每一个，都由唯一的与之对应，符合函数的定义.
故选：D.
5．（2022·浙江浙江·高三专题练习）设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：
映射f的对应法则
映射g的对应法则
则f[g(1)]的值为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】
根据表格先求出，再根据表格求出，即可解决.
【详解】
由映射g的对应法则，可知g(1)＝4，
由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1.
【点睛】
本题主要考查了函数表示方法中的列表法，及函数概念的理解，属于中档题.
6．（2023·天津·高一期中）下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①当时，的最小值是5；
②与表示同一函数；
③函数的定义域是，则函数的定义域是；
④已知，，且，则最小值为．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用基本不等式判断①④，根据相等函数的定义判断②，根据复合函数的定义计算法则判断③；
【详解】
解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误；
对于②与表示同一函数，故②正确；
对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误；
对于④已知，，且，所以，则
，当且仅当，即，时取等号，故④正确；
故选：B
7．（2023·天津市滨海新区汉沽第六中学高一期中）若函数，且，则的值（ ）
A．5B．11C．8D．9
【答案】B
【分析】
根据求出，整体代入可得的值.
【详解】
因为，所以，
所以.
故选：B
8．（2022·天津市静海区大邱庄中学高一月考）（1）求函数的定义域；
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）使式子有意义即，解不等式组即可.
（2）利用分离常数法以及函数的单调性即可求解.
【详解】
（1）解：要使有意义
，即且
∴的定义域为.
（2）解：∵
∴在上单减
∴
∴
∴
∴
∴的值域为
【点睛】
本题主要考查了求函数的定义域、值域，需掌握住求函数值域的常用方法，属于基础题.
9．（2023·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并说出函数的定义域､值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】
（1）答案见解析.
（2）答案见解析.
（3）答案见解析.
（4）答案见解析.
【分析】
根据基本初等函数的图像特征，直接画出图像，写出定义域和值域.
（1）
一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.
（2）
反比例函数的图形如图所示，定义域为，值域为.
（3）
一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.
（4）
二次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为.
10．（2023·广东·深圳中学高一期中）已知的定义域为集合，集合.
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）结合二次根式和分式性质直接求解；
（2）结合，由边界值建立不等式，即可求解.
（1）
为使有定义，不等式，成立，
综合有的取值范围为，
即集合；
（2）
由题意知，
不等式，成立，综合即，
故的取值范围为.
函数
映射
两个集合A、B
设A、B是两个非空数集
设A、B是两个非空集合
对应关系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B









































































x
0
1
2
y
1
0
2
x
1
2
3
4
f(x)
3
4
2
1
x
1
2
3
4
g(x)
4
3
1
2