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（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 第五章综合测试卷（A卷 基础巩固）（学生版+教师版）
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绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第五章 函数的概念、性质及应用（A卷 基础巩固）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第五章 函数的概念、性质及应用。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（2023·上海南汇中学高一期末）函数是定义在R上偶函数，且当，，则________．2．（2023·上海·华师大二附中高一期末）已知函数是其反函数，则__________.3．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.4．（2023·上海南汇中学高一期末）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的值域为________．5．（2023·全国·高一课时练习）已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.6．（2023·上海闵行·高一期末）设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足，则_______7．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是____.8．（2023·上海·复旦附中高一期末）函数，的反函数是____.9．（2023·上海南汇中学高一期末）设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．10．（2023·上海师大附中高三月考）已知，，若函数为奇函数，则的最小值是___________.11．（2023·上海青浦·高一期末）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数、都有，则不等式的解集为_________.12．（2023·上海市第三女子中学高三期中）已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是___________.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2023·上海·高一专题练习）下列函数中，定义域为的偶函数是（ ）A． B．C． D．14．（2023·全国·高一课时练习）已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（ ）A． B． C． D．15．（2023·安徽宣城·高一月考）已知为定义在上的奇函数，当时，，则函数的值域为（ ）A．（-1，1） B． C． D．16．（2023·上海闵行·高一期末）对于定义在上的函数，考察以下陈述句：：是上的严格增函数；：任意，，且当时，都有；：当时，都有；关于以上陈述句，下列判断正确的是（ ）A．、都是的充分条件 B．、中仅是的充分条件C．、中仅是的充分条件 D．、都不是的充分条件第Ⅱ卷三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2023·上海青浦·高一期末）已知函数，其中.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，且在区间上是严格减函数，求实数的取值范围.18．（2023·上海南汇中学高一期末）记函数的定义域为D，若对任意的，都有成立，则称是集合M的元素．（1）判断函数，是否是集合M的元素；（2）设函数，求的反函数，并判断是否是集合M的元素；（3）若，求使成立的x的取值范围．19．（2023·上海·上外浦东附中高一期末）已知函数（1）已知，请求出函数的零点；（2）判断并证明函数在区间上的单调性．20．（2022·全国·高三专题练习）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）21．（2023·上海·高一专题练习）定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”， 是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）设函数是区间上的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对. 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第五章 函数的概念、性质及应用（A卷 基础巩固）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第五章 函数的概念、性质及应用。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（2023·上海南汇中学高一期末）函数是定义在R上偶函数，且当，，则________．【答案】【分析】利用偶函数的性质计算得解.【详解】由题得.故答案为：【点睛】方法点睛：奇函数的性质：；偶函数的性质：.2．（2023·上海·华师大二附中高一期末）已知函数是其反函数，则__________.【答案】【分析】令即可求出【详解】解：令，所以，解得，即.故答案为: .3．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.【答案】【分析】作出函数f(x)，的图象，将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，转化为y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点求解.【详解】函数的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，由图知：故答案为：【点睛】方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．4．（2023·上海南汇中学高一期末）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的值域为________．【答案】【分析】根据奇函数在时有定义可得，根据当时，在上为增函数，可得，根据奇函数的图象关于原点对称可得当时，，由此可得结果.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，在上为增函数，所以，根据奇函数的图象关于原点对称可知，当时，，故当时，的值域为.故答案为：5．（2023·全国·高一课时练习）已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.【答案】【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.考点：指数函数的性质.6．（2023·上海闵行·高一期末）设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足，则_______【答案】0【分析】根据奇函数性质得，再根据条件求【详解】因为为定义在R上的奇函数，所以，因为，所以，即【点睛】已知函数的奇偶性求函数值，首先抓住奇偶性求一些函数具体数值，再充分利用有关的方程，解得所求的值.7．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是____.【答案】【分析】分离常数，根据的取值范围，分类讨论函数单调性及值域.【详解】由题意，当，即时，函数在单调递增，故，值域为恒成立；当，即时，，当且仅当，即时取等，又在单调递增，且，若值域为，则有，解得，综上所述，的取值范围为，故答案为：.8．（2023·上海·复旦附中高一期末）函数，的反函数是____.【答案】【分析】先求原函数的值域，再利用反函数的求法求解.【详解】因为，所以，所以，转化为指数式得：，所以函数的反函数是故答案为：9．（2023·上海南汇中学高一期末）设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．【答案】【分析】分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式组，求出解集即可【详解】解：因为在上为增函数，所以，所以在上的值域为，因为的对称轴为直线，所以在上为增函数，所以，所以在上的值域为，因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，所以，解得，所以或，所以实数a的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而可求出实数a的取值范围，属于中档题10．（2023·上海师大附中高三月考）已知，，若函数为奇函数，则的最小值是___________.【答案】【分析】利用已知条件得到，又利用为奇函数，即可求出的值，代入，分四种情况去绝对值，利用二次函数的单调性求最值即可得出结果.【详解】由，得，又 ，则，因为，又函数为奇函数，，故；所以，当时，原式，对称轴为，故函数在上为增函数，所以的最小值为：；当时，原式，对称轴为，故函数在上为增函数，所以的最小值为：；当时，原式，对称轴为，故函数在上为增函数，在上为减函数，所以的最小值为：；当时，原式，对称轴为，故函数在上为减函数，所以的最小值为：；综上：的最小值是.故答案为：.【点睛】方法点睛：形如求最值的问题.分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为四个部分，在每个部分上去掉绝对值符号，研究二次函数的单调性即可求解最值.11．（2023·上海青浦·高一期末）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数、都有，则不等式的解集为_________.【答案】【分析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集.【详解】不妨令，则等价于，可得，构造函数，则是上的增函数.因为，所以等价于，即，所以，，即，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），求解即可.12．（2023·上海市第三女子中学高三期中）已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】由是偶函数，图象关于轴对称，可知，3，5是的两个根，根据方程的根与系数关系可求得，，的关系，然后结合二次函数的性质可求的范围．【详解】解：是偶函数，图象关于轴对称，令可得，或，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是的两个根，，，由可得，，时，，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2023·上海·高一专题练习）下列函数中，定义域为的偶函数是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性的定义及判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，根据指数函数的性质知，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B中，函数定义域为，但满足，所以函数为奇函数，不符合题意；对于C中，函数的定义域为，且满足，所以函数为偶函数，符合题意；对于D中，函数为偶函数，但定义域不是R,所以不符合题意.故选：C.14．（2023·全国·高一课时练习）已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函数的图像必经过点，然后即可求出函数的图像一定经过点.【详解】解：函数的图像经过点，则函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点，故选：B.【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题15．（2023·安徽宣城·高一月考）已知为定义在上的奇函数，当时，，则函数的值域为（ ）A．（-1，1） B． C． D．【答案】A【分析】先根据函数是奇函数，求得函数的解析式，再根据指数函数的单调性可求得值域得选项.【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，所以当时，， 所以，当时，，即，当时，，即，又，所以的值域为（-1，1）.故选：A.【点睛】方法点睛：根据函数的奇偶性求函数的解析式的步骤：首先，我们任取x>0，（或者x<0）其次，可以变形为-x<0，（或者-x>0）然后，将-x作为整体，代入已经给定的解析式中，最后，再利用奇偶性f(-x)=-f(x)(或者f(-x)=f(x))来进行化简,接触题目；16．（2023·上海闵行·高一期末）对于定义在上的函数，考察以下陈述句：：是上的严格增函数；：任意，，且当时，都有；：当时，都有；关于以上陈述句，下列判断正确的是（ ）A．、都是的充分条件 B．、中仅是的充分条件C．、中仅是的充分条件 D．、都不是的充分条件【答案】B【分析】对于，首先利用赋值法求出函数为奇函数，再利用函数的单调性定义即可判断；对于，由增函数的定义中自变量具有任意性，从而可判断.【详解】对于，令，则，解得，令，，则，所以，所以函数为奇函数，设，则，因为，所以，所以，所以函数是上的增函数，故是的充分条件.对于，当时存在情况，不符合严格单调性的定义，故不是的充分条件.故选：第Ⅱ卷三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2023·上海青浦·高一期末）已知函数，其中.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，且在区间上是严格减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，直接判定，即可得出结果；（2）先得到，根据其在给定区间的单调性质，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以其定义域为，关于原点对称；又，所以是奇函数；（2）因为是开口向上，对称轴为的二次函数，又在区间上是严格减函数，所以只需，即.因此实数的取值范围是.18．（2023·上海南汇中学高一期末）记函数的定义域为D，若对任意的，都有成立，则称是集合M的元素．（1）判断函数，是否是集合M的元素；（2）设函数，求的反函数，并判断是否是集合M的元素；（3）若，求使成立的x的取值范围．【答案】（1）是集合M的元素，不是集合M的元素；（2），是集合M的元素；（3）．【分析】（1）欲判断函数，是否是的元素，只须验证对任意，是否成立；（2）先求出函数的反函数，然后直接根据题中的定义判断是否是的元素即可；（3）根据定义，问题可转换为对一切定义域中恒成立，建立等式，从而可得：恒成立，即，故可解不等式，即可求使成立的的范围．【详解】（1）因为对任意，，所以，因为不恒等，所以；（2）因为，所以，，，函数的反函数，，又因为，所以；（3）因为，所以对定义域内一切恒成立，，即解得：恒成立，故，由，得即，即，，，，，解得或不等式解集为，，．【点睛】关键点睛：本题的第（1）问和第（2）的关键都是要正确理解题中的新定义，然后只 需要验证就可以了；第（3）问的关键是先运用定义，然后解不等式.19．（2023·上海·上外浦东附中高一期末）已知函数（1）已知，请求出函数的零点；（2）判断并证明函数在区间上的单调性．【答案】（1），；（2）函数在区间上是严格增函数.【分析】（1）由得，再解方程即可；（2）用定义法判断并证明函数在区间上的单调性即可.【详解】（1），，．，解方程，分类讨论当时，，得，符合；当时，得，符合；综上，函数零点为，．（2）任取，且，则因为，所以所以函数在区间上是严格增函数20．（2022·全国·高三专题练习）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当时，设函数，因为，所以，所以，当时，，由，解得，所以，综上，函数的解析式为.（2）当时，令，即，解得或（舍去），所以，当时，令，得，所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.21．（2023·上海·高一专题练习）定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”， 是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）设函数是区间上的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对.【答案】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由见解析；（2）；（3）.【分析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果；（3）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果.【详解】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由如下：由题题意，，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”；（2）因为函数是区间上的“平均值函数”，所以存在，使，即，即，令，所以在上是增函数，因此，；（3）因为函数是区间的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，所以，即，所以，又因为，所以或，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得，所以满足条件的数对只有.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可.
绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第五章 函数的概念、性质及应用（A卷 基础巩固）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第五章 函数的概念、性质及应用。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（2023·上海南汇中学高一期末）函数是定义在R上偶函数，且当，，则________．2．（2023·上海·华师大二附中高一期末）已知函数是其反函数，则__________.3．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.4．（2023·上海南汇中学高一期末）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的值域为________．5．（2023·全国·高一课时练习）已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.6．（2023·上海闵行·高一期末）设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足，则_______7．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是____.8．（2023·上海·复旦附中高一期末）函数，的反函数是____.9．（2023·上海南汇中学高一期末）设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．10．（2023·上海师大附中高三月考）已知，，若函数为奇函数，则的最小值是___________.11．（2023·上海青浦·高一期末）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数、都有，则不等式的解集为_________.12．（2023·上海市第三女子中学高三期中）已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是___________.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2023·上海·高一专题练习）下列函数中，定义域为的偶函数是（ ）A． B．C． D．14．（2023·全国·高一课时练习）已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（ ）A． B． C． D．15．（2023·安徽宣城·高一月考）已知为定义在上的奇函数，当时，，则函数的值域为（ ）A．（-1，1） B． C． D．16．（2023·上海闵行·高一期末）对于定义在上的函数，考察以下陈述句：：是上的严格增函数；：任意，，且当时，都有；：当时，都有；关于以上陈述句，下列判断正确的是（ ）A．、都是的充分条件 B．、中仅是的充分条件C．、中仅是的充分条件 D．、都不是的充分条件第Ⅱ卷三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2023·上海青浦·高一期末）已知函数，其中.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，且在区间上是严格减函数，求实数的取值范围.18．（2023·上海南汇中学高一期末）记函数的定义域为D，若对任意的，都有成立，则称是集合M的元素．（1）判断函数，是否是集合M的元素；（2）设函数，求的反函数，并判断是否是集合M的元素；（3）若，求使成立的x的取值范围．19．（2023·上海·上外浦东附中高一期末）已知函数（1）已知，请求出函数的零点；（2）判断并证明函数在区间上的单调性．20．（2022·全国·高三专题练习）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）21．（2023·上海·高一专题练习）定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”， 是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）设函数是区间上的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对. 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第五章 函数的概念、性质及应用（A卷 基础巩固）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第五章 函数的概念、性质及应用。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（2023·上海南汇中学高一期末）函数是定义在R上偶函数，且当，，则________．【答案】【分析】利用偶函数的性质计算得解.【详解】由题得.故答案为：【点睛】方法点睛：奇函数的性质：；偶函数的性质：.2．（2023·上海·华师大二附中高一期末）已知函数是其反函数，则__________.【答案】【分析】令即可求出【详解】解：令，所以，解得，即.故答案为: .3．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.【答案】【分析】作出函数f(x)，的图象，将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，转化为y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点求解.【详解】函数的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，由图知：故答案为：【点睛】方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．4．（2023·上海南汇中学高一期末）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的值域为________．【答案】【分析】根据奇函数在时有定义可得，根据当时，在上为增函数，可得，根据奇函数的图象关于原点对称可得当时，，由此可得结果.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，在上为增函数，所以，根据奇函数的图象关于原点对称可知，当时，，故当时，的值域为.故答案为：5．（2023·全国·高一课时练习）已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.【答案】【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.考点：指数函数的性质.6．（2023·上海闵行·高一期末）设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足，则_______【答案】0【分析】根据奇函数性质得，再根据条件求【详解】因为为定义在R上的奇函数，所以，因为，所以，即【点睛】已知函数的奇偶性求函数值，首先抓住奇偶性求一些函数具体数值，再充分利用有关的方程，解得所求的值.7．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是____.【答案】【分析】分离常数，根据的取值范围，分类讨论函数单调性及值域.【详解】由题意，当，即时，函数在单调递增，故，值域为恒成立；当，即时，，当且仅当，即时取等，又在单调递增，且，若值域为，则有，解得，综上所述，的取值范围为，故答案为：.8．（2023·上海·复旦附中高一期末）函数，的反函数是____.【答案】【分析】先求原函数的值域，再利用反函数的求法求解.【详解】因为，所以，所以，转化为指数式得：，所以函数的反函数是故答案为：9．（2023·上海南汇中学高一期末）设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．【答案】【分析】分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式组，求出解集即可【详解】解：因为在上为增函数，所以，所以在上的值域为，因为的对称轴为直线，所以在上为增函数，所以，所以在上的值域为，因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，所以，解得，所以或，所以实数a的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而可求出实数a的取值范围，属于中档题10．（2023·上海师大附中高三月考）已知，，若函数为奇函数，则的最小值是___________.【答案】【分析】利用已知条件得到，又利用为奇函数，即可求出的值，代入，分四种情况去绝对值，利用二次函数的单调性求最值即可得出结果.【详解】由，得，又 ，则，因为，又函数为奇函数，，故；所以，当时，原式，对称轴为，故函数在上为增函数，所以的最小值为：；当时，原式，对称轴为，故函数在上为增函数，所以的最小值为：；当时，原式，对称轴为，故函数在上为增函数，在上为减函数，所以的最小值为：；当时，原式，对称轴为，故函数在上为减函数，所以的最小值为：；综上：的最小值是.故答案为：.【点睛】方法点睛：形如求最值的问题.分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为四个部分，在每个部分上去掉绝对值符号，研究二次函数的单调性即可求解最值.11．（2023·上海青浦·高一期末）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数、都有，则不等式的解集为_________.【答案】【分析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集.【详解】不妨令，则等价于，可得，构造函数，则是上的增函数.因为，所以等价于，即，所以，，即，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），求解即可.12．（2023·上海市第三女子中学高三期中）已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】由是偶函数，图象关于轴对称，可知，3，5是的两个根，根据方程的根与系数关系可求得，，的关系，然后结合二次函数的性质可求的范围．【详解】解：是偶函数，图象关于轴对称，令可得，或，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是的两个根，，，由可得，，时，，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2023·上海·高一专题练习）下列函数中，定义域为的偶函数是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性的定义及判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，根据指数函数的性质知，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B中，函数定义域为，但满足，所以函数为奇函数，不符合题意；对于C中，函数的定义域为，且满足，所以函数为偶函数，符合题意；对于D中，函数为偶函数，但定义域不是R,所以不符合题意.故选：C.14．（2023·全国·高一课时练习）已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函数的图像必经过点，然后即可求出函数的图像一定经过点.【详解】解：函数的图像经过点，则函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点，故选：B.【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题15．（2023·安徽宣城·高一月考）已知为定义在上的奇函数，当时，，则函数的值域为（ ）A．（-1，1） B． C． D．【答案】A【分析】先根据函数是奇函数，求得函数的解析式，再根据指数函数的单调性可求得值域得选项.【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，所以当时，， 所以，当时，，即，当时，，即，又，所以的值域为（-1，1）.故选：A.【点睛】方法点睛：根据函数的奇偶性求函数的解析式的步骤：首先，我们任取x>0，（或者x<0）其次，可以变形为-x<0，（或者-x>0）然后，将-x作为整体，代入已经给定的解析式中，最后，再利用奇偶性f(-x)=-f(x)(或者f(-x)=f(x))来进行化简,接触题目；16．（2023·上海闵行·高一期末）对于定义在上的函数，考察以下陈述句：：是上的严格增函数；：任意，，且当时，都有；：当时，都有；关于以上陈述句，下列判断正确的是（ ）A．、都是的充分条件 B．、中仅是的充分条件C．、中仅是的充分条件 D．、都不是的充分条件【答案】B【分析】对于，首先利用赋值法求出函数为奇函数，再利用函数的单调性定义即可判断；对于，由增函数的定义中自变量具有任意性，从而可判断.【详解】对于，令，则，解得，令，，则，所以，所以函数为奇函数，设，则，因为，所以，所以，所以函数是上的增函数，故是的充分条件.对于，当时存在情况，不符合严格单调性的定义，故不是的充分条件.故选：第Ⅱ卷三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2023·上海青浦·高一期末）已知函数，其中.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，且在区间上是严格减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，直接判定，即可得出结果；（2）先得到，根据其在给定区间的单调性质，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以其定义域为，关于原点对称；又，所以是奇函数；（2）因为是开口向上，对称轴为的二次函数，又在区间上是严格减函数，所以只需，即.因此实数的取值范围是.18．（2023·上海南汇中学高一期末）记函数的定义域为D，若对任意的，都有成立，则称是集合M的元素．（1）判断函数，是否是集合M的元素；（2）设函数，求的反函数，并判断是否是集合M的元素；（3）若，求使成立的x的取值范围．【答案】（1）是集合M的元素，不是集合M的元素；（2），是集合M的元素；（3）．【分析】（1）欲判断函数，是否是的元素，只须验证对任意，是否成立；（2）先求出函数的反函数，然后直接根据题中的定义判断是否是的元素即可；（3）根据定义，问题可转换为对一切定义域中恒成立，建立等式，从而可得：恒成立，即，故可解不等式，即可求使成立的的范围．【详解】（1）因为对任意，，所以，因为不恒等，所以；（2）因为，所以，，，函数的反函数，，又因为，所以；（3）因为，所以对定义域内一切恒成立，，即解得：恒成立，故，由，得即，即，，，，，解得或不等式解集为，，．【点睛】关键点睛：本题的第（1）问和第（2）的关键都是要正确理解题中的新定义，然后只 需要验证就可以了；第（3）问的关键是先运用定义，然后解不等式.19．（2023·上海·上外浦东附中高一期末）已知函数（1）已知，请求出函数的零点；（2）判断并证明函数在区间上的单调性．【答案】（1），；（2）函数在区间上是严格增函数.【分析】（1）由得，再解方程即可；（2）用定义法判断并证明函数在区间上的单调性即可.【详解】（1），，．，解方程，分类讨论当时，，得，符合；当时，得，符合；综上，函数零点为，．（2）任取，且，则因为，所以所以函数在区间上是严格增函数20．（2022·全国·高三专题练习）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当时，设函数，因为，所以，所以，当时，，由，解得，所以，综上，函数的解析式为.（2）当时，令，即，解得或（舍去），所以，当时，令，得，所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.21．（2023·上海·高一专题练习）定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”， 是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）设函数是区间上的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对.【答案】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由见解析；（2）；（3）.【分析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果；（3）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果.【详解】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由如下：由题题意，，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”；（2）因为函数是区间上的“平均值函数”，所以存在，使，即，即，令，所以在上是增函数，因此，；（3）因为函数是区间的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，所以，即，所以，又因为，所以或，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得，所以满足条件的数对只有.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可.
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