（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题5.4 反函数（重难点突破）（原卷版+解析）

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专题5.4 反函数一、考情分析二、考点梳理知识点1.反函数的定义对于函数y=f(x)，x∈D，记其值域为f(D).如果对f(D)中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x),那么得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数（inverse function），记作x=，y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，而函数值常用y表示，因此把该函数改写为知识点2.反函数的图像命题 在平面直角坐标系中，点P(a,b)与点P’(b,a)关于直线y=x对称.性质 互为反函数的两函数的图像关于直线y=x对称.知识点3.求反函数的步骤（1）求出反函数的定义域（即原来函数的值域）；（2）解方程y=f(x)，求出x关于y的函数式,；（3）交换x与y.得到；（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域.知识点4.有关反函数的结论（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域;（2）在定义域上严格单调的函数存在反函数；（3）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如；三、题型突破重难点题型突破1、求反函数、定义域、函数值例1．（1）、（2023·全国·高一课时练习）函数的反函数的表达式为（ ）A． B．C． D．（2）、（2023·全国·高一课时练习）若，则______．（3）、（2023·全国·高一课时练习）若，，则其反函数的定义域为______．【变式训练1-1】、（2022·上海·高三专题练习）函数的反函数为（ ）．A．； B．；C．； D．．【变式训练1-2】、（2023·上海·高一课时练习）函数的反函数的定义域为（ ）A． B． C． D．【变式训练1-3】、（2022·上海·高三专题练习），设是的反函数，则________.例2、（2023·全国·高一课时练习）求下列函数的反函数．（1）；（2）；（3）（）．【变式训练2-1】、（2023·全国·高一课时练习）求下列函数的反函数：（1）；（2）．重难点题型突破2、反函数的图像例3．（2023·全国·高一单元测试）函数的反函数的图象为（ ）A． B．C． D．【变式训练3-1】、（2023·全国·高一课时练习）函数的反函数的图象为（ ）A． B．C． D．例4．（2023·全国·高一课时练习）设．（1）求函数的反函数；（2）判断函数在定义域上的单调性，并给出理由；（3）解不等式．【变式训练4-1】、（2023·全国·高一课时练习）设函数是上的奇函数.（1）求的值；（2）求的反函数.四、定时训练（30分钟）1．（2023·福建·厦门双十中学高一期中）已知函数的反函数为，则的图像为（ ）A． B．C． D．2．（2022·上海市建平中学高一期末）函数的反函数是（ ）A． B．C． D．3．（2023·全国·高一课时练习）函数的反函数是（ ）A． B．C． D．4．（2023·上海市高桥中学高三期中）已知，则_____．5．（2023·上海市建平中学高三期中）函数的反函数是___________6．（2023·全国·高一期末）函数的反函数是______．7．（2023·全国·高一课时练习）若函数的图象经过点，则其反函数的图象经过点______．8．（2022·上海·高三专题练习）设，其中常数.（1）设，，求函数()的反函数；（2）求证：当且仅当时，函数为奇函数.专题5.4 反函数一、考情分析二、考点梳理知识点1.反函数的定义对于函数y=f(x)，x∈D，记其值域为f(D).如果对f(D)中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x),那么得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数（inverse function），记作x=，y∈f(D).由于习惯上，自变量常用x表示，而函数值常用y表示，因此把该函数改写为知识点2.反函数的图像命题 在平面直角坐标系中，点P(a,b)与点P’(b,a)关于直线y=x对称.性质 互为反函数的两函数的图像关于直线y=x对称.知识点3.求反函数的步骤（1）求出反函数的定义域（即原来函数的值域）；（2）解方程y=f(x)，求出x关于y的函数式,；（3）交换x与y.得到；（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域.知识点4.有关反函数的结论（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域;（2）在定义域上严格单调的函数存在反函数；（3）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如；三、题型突破重难点题型突破1、求反函数、定义域、函数值例1．（1）、（2023·全国·高一课时练习）函数的反函数的表达式为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用反函数的定义求解.【详解】由得，令得，所以函数的反函数的表达式为，故选：B（2）、（2023·全国·高一课时练习）若，则______．【答案】2【分析】利用反函数的定义，令求解.【详解】令，解得，所以，故答案为：2（3）、（2023·全国·高一课时练习）若，，则其反函数的定义域为______．【答案】【分析】利用二次函数的单调性可知，在上单调递增，进而求出，再根据反函数的概念，即可求出结果.【详解】因为，在上单调递增，所以，由反函数的概念，则函数，的反函数的定义域为.故答案为：.【变式训练1-1】、（2022·上海·高三专题练习）函数的反函数为（ ）．A．； B．；C．； D．．【答案】B【分析】求得原函数值域，并用表示，由反函数定义可直接得到结果.【详解】当时，，又，的反函数为.故选：B.【变式训练1-2】、（2023·上海·高一课时练习）函数的反函数的定义域为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反函数的定义，函数的值域即为其反函数的定义域，值域求出即可得解.【详解】解：因为，所以，所以，所以，即其反函数的定义域为.故选：A.【变式训练1-3】、（2022·上海·高三专题练习），设是的反函数，则________.【答案】16【分析】根据反函数的定义，在原函数中令函数值为，即可解出.【详解】令，则.故答案为：16.例2、（2023·全国·高一课时练习）求下列函数的反函数．（1）；（2）；（3）（）．【答案】（1）（）（2）（）（3）（）【分析】（1）确定函数的值域为即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数；（2）确定函数的值域为即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，然后交换得反函数；（3）确定函数的值域为即为反函数定义域，把函数式中作为变量解方程，解出后，有两个解，根据定义域进行取舍，然后交换得反函数；（1）由，得，且，∴（）．（2）由，得，∴（）．（3）由，得．∵，∴．∴（）．【变式训练2-1】、（2023·全国·高一课时练习）求下列函数的反函数：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【分析】利用反函数的定义求解.（1）解：由，可得，所以．（2）由，可得，所以．重难点题型突破2、反函数的图像例3．（2023·全国·高一单元测试）函数的反函数的图象为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出反函数，根据图象可得答案.【详解】由得，所以反函数为，故选：A.【变式训练3-1】、（2023·全国·高一课时练习）函数的反函数的图象为（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函数的反函数，即可得出结论.【详解】由得，可得，故函数的反函数的解析式为，而函数的图象可由函数的图象向下平移个单位得到.故选：D.例4．（2023·全国·高一课时练习）设．（1）求函数的反函数；（2）判断函数在定义域上的单调性，并给出理由；（3）解不等式．【答案】（1），（2）反函数在定义域上也是严格增函数，理由见解析（3）【分析】（1）由，得，解得，再x，y互换可得反函数；（2）由在上是严格的增函数，原函数和反函数的单调性一致，可得证；（3）令，求得．再由（2）在其定义域上是严格增函数，由此求得不等式的解集.（1）解：由，得，，因为，所以，所以，．（2）解：在其定义域上是严格增函数，理由：因为在上是严格的增函数，原函数和反函数的单调性一致，所以反函数在定义域上也是严格增函数．（3）解：令，则．由（2），知在其定义域上是严格增函数，因此的解集为．【变式训练4-1】、（2023·全国·高一课时练习）设函数是上的奇函数.（1）求的值；（2）求的反函数.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）利用奇函数的性质可求得实数的值；（2）由（1）得出，即，用表示，可得出函数的表达式，进一步求出函数的定义域，即可得解.【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，，即，解得；（2）由（1）得，即，所以，所以，由可得，解得，所以，.四、定时训练（30分钟）1．（2023·福建·厦门双十中学高一期中）已知函数的反函数为，则的图像为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出函数的反函数，进而得到，再利用单调性排除部分选项，再利用特殊值法求解.【详解】因为函数的反函数为，所以，是R上的减函数，排除AB，又当时，，排除D,故选：C.2．（2022·上海市建平中学高一期末）函数的反函数是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据反函数：用原函数中的函数表示自变量，且原函数的值域为定义域，原函数的定义域为值域， 即可求的反函数；【详解】，知：值域为且；∴其反函数为；故选：B【点睛】本题考查了反函数，从解析式角度写出原函数的反函数，注意用函数表示自变量且定义域、值域互换即为所求反函数解析式；3．（2023·全国·高一课时练习）函数的反函数是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由求得的范围，并由解得，由此可求得原函数的反函数.【详解】因为，所以，，由可得，因此，函数的反函数是.故选：C.【点睛】本题考查反函数的求解，考查计算能力，属于基础题.4．（2023·上海市高桥中学高三期中）已知，则_____．【答案】【分析】利用反函数的定义，得到f（x）＝1，求解x的值即可．【详解】因为f（x）＝+2，令f（x）＝1，即+2＝1，解得x＝﹣3，故f﹣1（1）＝﹣3．故答案为：﹣3．5．（2023·上海市建平中学高三期中）函数的反函数是___________【答案】，.【分析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解，再对换，，求出即可．【详解】解：，，得，，对换，得，，故答案为：，.6．（2023·全国·高一期末）函数的反函数是______．【答案】．【分析】根据得出关于的解析式 ，然后将与交换位置，则可得反函数的解析式，【详解】由， 可得:=， 所以 的反函数是=，故答案为：=.7．（2023·全国·高一课时练习）若函数的图象经过点，则其反函数的图象经过点______．【答案】【分析】利用反函数的性质可得结果.【详解】因为点关于直线的对称点为，函数与函数的图象关于直线对称，因为函数的图象经过点，故其反函数的图象经过点.故答案为：.8．（2022·上海·高三专题练习）设，其中常数.（1）设，，求函数()的反函数；（2）求证：当且仅当时，函数为奇函数.【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）设，得.利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的定义域；（2）先证明若，，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明为奇函数，必有.可以根据奇函数的定义，利用特值法求得；也可以利用反证法;假设，利用特值法得出矛盾；也可以根据奇函数的定义，进行恒等式的变形推导出.【详解】解：（1）由已知，设，得.又，所以，函数()单调递增.因为,所以的值域.故，；（2）证明：i)函数的定义域为.若，，对于任意的，有.所以，是奇函数.ii)方法1：由是奇函数，有，解得.方法2：若，则，，(否则)，不是奇函数.方法3：若为奇函数，则对于任意的，有，即，.即..【点睛】本题考查反函数的求法和奇函数的判定与性质，涉及指数函数的性质和指数运算，属中等难度.关键是要注意通过求原函数的值域确定反函数的定义域，再就是注意(2)中的证明的逻辑方向是双向的，证明为奇函数，必有时可以使用多种方法，要灵活运用.