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（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题5.3 函数的应用（课时训练）（原卷版+解析）
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这是一份（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题5.3 函数的应用（课时训练）（原卷版+解析），共35页。
专题5.3 函数的应用A组 基础巩固1．（2022·广东南沙·高一期中）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为A． B． C． D．2．（2022·广东珠海·高一期末）某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.00013．（2023·广东龙岗·高一期中）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．4．（2023·上海·高一专题练习）函数的零点是（ ）A．-1,4 B．-4,1 C．,1 D．，-15．（2023·上海市行知中学高一期末）对于函数，有以下四个命题：（1）对于任意实数,为偶函数；（2）存在实数,使得有两个零点；（3）的最小值为；（4）存在实数,使得在上是严格减函数.其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，则方程的不相等的实数根的个数为（ ）A．5 B．6 C．7 D．87．（2023·重庆·高一月考）函数的零点所在的区间为（ ）A． B． C．(1，2) D．(2，3)8．（2023·重庆·礼嘉中学高一月考）已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．9．（2023·重庆市杨家坪中学高三月考）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为A． B． C． D．10．（2023·上海·高一专题练习）王叔叔从家门口步行20分钟到离家900米的书店，停留10分钟后，用15分钟返回家里，图中能表示王叔叔离家的时间与距离之间的关系的图像是（ ）A． B．C． D．11．（2023·上海·高一专题练习）一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图，那么图象所对应的函数模型是( )A．分段函数 B．二次函数C．指数函数 D．对数函数12．（2023·浙江浙江·高一期末）个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-五险一金(个人缴纳部分)-累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除100元，个税政策的税率表部分内容如下：现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金(个人缴纳部分)6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为___________.13．（2023·浙江·高三专题练习）央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水.若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”崔主持质疑这类问题的合理性.其实这类放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量-消耗量=改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题.例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完.假设每小时进､出货量是常数，仓库中的货物量(吨)与时间(时)之间的部分关系如图，那么从不进货起__________小时后该仓库内的货恰好运完. 14．（2023·浙江·高一课时练习）已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为______米． B组 能力提升15．（2023·天津南开·二模）设函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________；若函数恰有5个的零点，则的取值范围为__________.16．（2023·天津滨海新·高一期末）已知函数若方程有四个不同的解，且，则实数的最小值是___________；的最小值是___________.17．（2022·天津·南开中学高三月考）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．18．（2023·上海市进才中学高三月考）设函数，若恰有1个零点，则实数a的取值范围是________．19．（2022·天津河东·高一期中）2018年10月1日开始实行新的个人收入所得税征收办法，在规定项目下的个人，总收入小于等于5000元的将免税，超出部分如下表所示按阶梯方式．不同段有不同的税率．（1）若某人月收入元（），根据上表，结合所学函数知识，写出其每月上税金额关于的函数．（2）解答下列各题①从事IT行业的小张月收入为23800元，则其应缴纳的个税金额为多少？②小张的大学同学小李月上税1000元，则其本月收入为多少？ 20．（2022·上海市吴淞中学高三期中）已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中为关税的税率，且为市场价格，为正常数）且当时市场供应量曲线如图.（1）根据图象，求的值；（2）若市场需求量为，它近似满足，当时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值. 21．（2022·上海浦东新·三模）上海途安型号出租车价格规定：起步费元，可行千米；千米以后按每千米按元计价，可再行千米；以后每千米都按元计价．假如忽略因交通拥挤而等待的时间.请建立车费（元）和行车里程（千米）之间的函数关系式；注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长千米）须付车费元，走路线二（路线二总长千米）也须付车费元.将上述函数解析式进行修正（符号表示不大于的最大整数，符号表示不小于的最小整数）；并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长千米） 22．（2023·江苏·涟水县第一中学高一月考）研究表明，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力指数与听课时间(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.（1）求函数的解析式；（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟，参考数据：，) 23．（2023·江苏省镇江中学高二期中）2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数，（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． （1）试求的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 24．（2023·浙江·高一期末）某公司研发的，两种芯片都已经获得成功. 该公司研发芯片已经耗费资金5（千万元），现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知每投入1（千万元），公司获得毛收入0.25（千万元）；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40（千万元）资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少. 121.51.6251.751.8751.8125-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793级数全月应纳税所得额税率%1不超过3000元的部分3%2超过3000元至12000的部分10%3超过12000元至25000的部分20%等级含税级距（超出5000元）税率（）1不超过1500元的32超过1500元至4500元的部分103超过4500元至9000元的部分204超过9000元至35000元的部分25……………… 专题5.3 函数的应用A组 基础巩固1．（2022·广东南沙·高一期中）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.【详解】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.2．（2022·广东珠海·高一期末）某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.0001【答案】B【详解】令，则用计算器作出的对应值表：由表格数据知，用二分法操作次可将作为得到方程的近似解，，，近似解的精确度应该为0.01，故选B.3．（2023·广东龙岗·高一期中）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内，由题意，解得.因此，实数的取值范围是.故选:D.4．（2023·上海·高一专题练习）函数的零点是（ ）A．-1,4 B．-4,1 C．,1 D．，-1【答案】B【分析】令可得答案.【详解】令，解得.故选：B.5．（2023·上海市行知中学高一期末）对于函数，有以下四个命题：（1）对于任意实数,为偶函数；（2）存在实数,使得有两个零点；（3）的最小值为；（4）存在实数,使得在上是严格减函数.其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用函数得单调性和奇偶性对四个命题逐一判断正误即得结果.【详解】（1）函数，定义域R，由知，为偶函数，该命题正确；（2）时，.设，则，，即，故，即，在上单调递增，由（1）知为偶函数，故在上单调递减，故时，函数取得最小值，故存在时有两个零点，该命题正确；（3）由（2）知，最小值时，函数取得最小值，该命题正确；（4）由（2）知，对任意实数a，在上单调递减，在上单调递增.故存在实数,使得在上是严格减函数，也是正确的.故正确命题有4个.故选：D.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.6．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，则方程的不相等的实数根的个数为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】方程知：或，画出图像分别判断交点个数，相加得到答案.【详解】方程可解出或 方程的不相等的实根个数即两个函数或的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数，的图象与函数的图象的交点个数相同，如图：的图象与函数的图象的交点个数有个的图象与函数的图象的交点个数有个， 故方程有个解， 故选：A7．（2023·重庆·高一月考）函数的零点所在的区间为（ ）A． B． C．(1，2) D．(2，3)【答案】B【分析】由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．【详解】易知是上的减函数，且，所以函数的零点所在的区间为．故选：B8．（2023·重庆·礼嘉中学高一月考）已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的解析式，作出函数的图象，方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数的取值范围.【详解】，图象如图：方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，由图象可知：的取值范围为.故选：A【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，考查了分段函数的图象，函数与方程的关系，考查了数形结合与转化化归的思想.9．（2023·重庆市杨家坪中学高三月考）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：通过f（x）的单调性，画出f（x）的图象和直线y=a，考虑四个交点的情况，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围．详解：当x＞0时，f（x）=，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减， 由f（x）=e (x+1)2，x≤0， x＜-1时，f（x）递减；-1＜x＜0时，f（x）递增， 可得x=-1处取得极小值1， 作出f（x）的图象，以及直线y=a， 可得e (x1+1)2=e (x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4， x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0递减， 可得所求范围为[4，5）．故选B.点睛：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．10．（2023·上海·高一专题练习）王叔叔从家门口步行20分钟到离家900米的书店，停留10分钟后，用15分钟返回家里，图中能表示王叔叔离家的时间与距离之间的关系的图像是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】按照王叔叔的行程时间段可知函数图象分三段.【详解】由题意0-20分钟，步行到离家900米的书店，离家路程增加到900米，20-30分钟停留，离家路程不变，30-45分钟返回家，离家路程减少为0米。故选：D.11．（2023·上海·高一专题练习）一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图，那么图象所对应的函数模型是( )A．分段函数 B．二次函数C．指数函数 D．对数函数【答案】A【分析】根据函数图象是不同的直线段构成的可知，图象不是B,C,D,可知答案.【详解】根据函数图象由不同的直线段构成可知,函数是分段函数，在每一段上函数是一次函数，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.12．（2023·浙江浙江·高一期末）个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-五险一金(个人缴纳部分)-累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除100元，个税政策的税率表部分内容如下：现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金(个人缴纳部分)6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为___________.【答案】元.【分析】根据个税政策，先计算需要交费的金额，再根据级数分别计算每个级数的个税金额，即可求解.【详解】根据题意，王某需要交费的金额为：元，第一级数交费为元，剩余元，第二级数交费为元，剩余元，第三级数交费为元，合计交费为元.故答案为：元.13．（2023·浙江·高三专题练习）央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水.若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”崔主持质疑这类问题的合理性.其实这类放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量-消耗量=改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题.例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完.假设每小时进､出货量是常数，仓库中的货物量(吨)与时间(时)之间的部分关系如图，那么从不进货起__________小时后该仓库内的货恰好运完. 【答案】8【分析】由图象计算出进货速度与出货速度，由此可得结果.【详解】由图象可知，在到小时进货吨，故进货速度是每小时吨，所以出货速度为每小时吨，从不进货起，需要小时将该仓库内的货恰好运完.故答案为：8【点睛】关键点点睛：根据图象计算出进货速度与出货速度是解题关键.14．（2023·浙江·高一课时练习）已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为______米．【答案】【分析】设y＝kv2，由汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，可求出k，再代值计算即可．【详解】解：由汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，设y＝kv2，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，∴20＝3600k，解得k，∴yv2，当v＝90千米/时，∴y902＝45米，故答案为45【点睛】本题考查了函数模型的选择和应用，考查了运算能力和转化能力，属于基础题． B组 能力提升15．（2023·天津南开·二模）设函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________；若函数恰有5个的零点，则的取值范围为__________.【答案】或 【分析】①分别画出两段函数的图像，分析单调性可求出范围；②函数恰有5个的零点，令，即等价于有个解，共有五个解，分析情况可知有两个解，，由这两个解的范围观察图像可得出的范围.【详解】解：①，当时，，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；若函数在区间上单调递增，则或解得：或.②若函数恰有5个的零点，令，由图像可知：，有可能有1个，2个，3个解，若有五个解，则有两根，且，或.当，时，不存在当 ，时.故答案为：或；.【点睛】思路点睛：函数恰有个的零点问题，可令，先求所有的解，然后再求的解的个数，个数之和为，由个数的情况找到的所有解，然后根据解的情况求出的范围.16．（2023·天津滨海新·高一期末）已知函数若方程有四个不同的解，且，则实数的最小值是___________；的最小值是___________.【答案】2 【分析】画出的图像,数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.【详解】画出的图像有：因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,, 故的取值范围是,故的最小值是2.又由图可知,,,故,故.故.又当时, .当时, ,故.又在时为增函数,故当时取最小值.故答案为：(1). 2 (2)9.【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,解题的关键是需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.17．（2022·天津·南开中学高三月考）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) 【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．（2023·上海市进才中学高三月考）设函数，若恰有1个零点，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】首先求和的实数根，再根据分段函数只有1个零点，确定实数的取值范围.【详解】，解得：或，，解得：，当时，函数的零点只有一个，即，当时，函数有两个零点，即或，当时，函数的零点只有一个，即，当时，函数有两个零点，即或，综上可知，若恰有1个零点，则的取值范围是.故答案为：19．（2022·天津河东·高一期中）2018年10月1日开始实行新的个人收入所得税征收办法，在规定项目下的个人，总收入小于等于5000元的将免税，超出部分如下表所示按阶梯方式．不同段有不同的税率．（1）若某人月收入元（），根据上表，结合所学函数知识，写出其每月上税金额关于的函数．（2）解答下列各题①从事IT行业的小张月收入为23800元，则其应缴纳的个税金额为多少？②小张的大学同学小李月上税1000元，则其本月收入为多少？【答案】（1）；（2）①3695元；②12775元．【分析】（1）根据已知用分段函数写出函数解析式．（2）①由函数解析式计算函数值，②由函数值计算自变量值．【详解】（1）当时，，当时，；当时，，当时，，当时，，综上，；（2）①时，，②，若，则，若，，满足题意．所以①应缴纳的个税金额为3695元，②本月收入为12775元．20．（2022·上海市吴淞中学高三期中）已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中为关税的税率，且为市场价格，为正常数）且当时市场供应量曲线如图.（1）根据图象，求的值；（2）若市场需求量为，它近似满足，当时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由图象知，在图象上，由求解；（2）根据得到，令，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）由图可知，当时，有，解得.（2）当时，得，解得：，令，则，对称轴，且开口向下；时，取得最小值，此时，所以税率的最小值为.21．（2022·上海浦东新·三模）上海途安型号出租车价格规定：起步费元，可行千米；千米以后按每千米按元计价，可再行千米；以后每千米都按元计价．假如忽略因交通拥挤而等待的时间.请建立车费（元）和行车里程（千米）之间的函数关系式；注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长千米）须付车费元，走路线二（路线二总长千米）也须付车费元.将上述函数解析式进行修正（符号表示不大于的最大整数，符号表示不小于的最小整数）；并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长千米）【答案】（1）（2）， 元.【分析】（1）分类讨论的范围，得出与的函数关系式；（2）由（1）函数的解析式，根据条件修正函数解析式，代入计算车费，即可求解．【详解】（1）由题意，知当时；当时，；当时，，所以函数的解析式为．（2）首先根据题意将路线一长和路线二长分别带入第一问求出的函数中，得车费分别为元和元，根据题目中的要求都付车费元，故选择符号，从而有，代入第三个函数解析式求得须付元.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，合理求得分段函数解析式的求解以及求得分段函数的函数值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．22．（2023·江苏·涟水县第一中学高一月考）研究表明，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力指数与听课时间(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.（1）求函数的解析式；（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟，参考数据：，)【答案】（1）；（2）28分钟【分析】（1）当时，设，由，可求出；当时，，由，可求出，从而可得到的解析式；（2）当时，令，可求出范围；当时，令，可求出范围，根据所表示的时间长度，可求出学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间.【详解】（1）当时，设，因为，所以，所以；当时，，由，解得，所以.综上，.（2）当时，令，解得或，所以；当时，令，可得，即，解得，所以.所以在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间为分钟.【点睛】本题考查函数模型的应用，考查二次函数、对数函数的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.23．（2023·江苏省镇江中学高二期中）2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数，（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． （1）试求的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【答案】（1）；（2）教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析．【分析】（1）利用待定系数法求函数第一段的解析式，代入特殊点求函数第二段的解析式即可；（2）利用分段解析式，分别解不等式，即可求出效果最佳的的范围，验证即可．【详解】（1）当时，设，将点代入得，∴当时，；当时，将点代入，得．所以；（2）当时，，解得，所以；当时，，解得，所以，综上时学生听课效果最佳，此时，答：教师能够合理安排时间讲完题目．【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，考查了一元二次不等式的解法以及对数函数的性质，是中档题．24．（2023·浙江·高一期末）某公司研发的，两种芯片都已经获得成功. 该公司研发芯片已经耗费资金5（千万元），现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知每投入1（千万元），公司获得毛收入0.25（千万元）；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40（千万元）资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）；（2）9（千万元）.【分析】（1）利用待定系数法，根据投入与获得毛收入情况以及图象上的特殊点可求出解析式；（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），利润，换元后再利用二次函数求最值即可求解．【详解】（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设，因为每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元，故，所以，因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.对于芯片，由图象可知，，故.因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），假设利润为，则利润，.令，则，当即（千万元）时，有最大利润为9（千万元）.【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.25．（2022·江苏省震泽中学高一月考）已知函数是偶函数.（1）求k的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据偶函数得到，化简得到，解得答案.（2）化简得方程，设得到有且仅有一个正根，考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】（1）由函数是偶函数可知：，∴，，即对一切恒成立，∴.（2）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根.化简得：方程有且只有一个实根.令，则方程有且只有一个正根，当时，，不合题意；当且，解得或.若，，不合题意；若，满足；当且时，即或且，故；综上，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，函数公共交点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，换元是解题关键. 121.51.6251.751.8751.8125-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793级数全月应纳税所得额税率%1不超过3000元的部分3%2超过3000元至12000的部分10%3超过12000元至25000的部分20%等级含税级距（超出5000元）税率（）1不超过1500元的32超过1500元至4500元的部分103超过4500元至9000元的部分204超过9000元至35000元的部分25………………
专题5.3 函数的应用A组 基础巩固1．（2022·广东南沙·高一期中）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为A． B． C． D．2．（2022·广东珠海·高一期末）某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.00013．（2023·广东龙岗·高一期中）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．4．（2023·上海·高一专题练习）函数的零点是（ ）A．-1,4 B．-4,1 C．,1 D．，-15．（2023·上海市行知中学高一期末）对于函数，有以下四个命题：（1）对于任意实数,为偶函数；（2）存在实数,使得有两个零点；（3）的最小值为；（4）存在实数,使得在上是严格减函数.其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，则方程的不相等的实数根的个数为（ ）A．5 B．6 C．7 D．87．（2023·重庆·高一月考）函数的零点所在的区间为（ ）A． B． C．(1，2) D．(2，3)8．（2023·重庆·礼嘉中学高一月考）已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．9．（2023·重庆市杨家坪中学高三月考）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为A． B． C． D．10．（2023·上海·高一专题练习）王叔叔从家门口步行20分钟到离家900米的书店，停留10分钟后，用15分钟返回家里，图中能表示王叔叔离家的时间与距离之间的关系的图像是（ ）A． B．C． D．11．（2023·上海·高一专题练习）一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图，那么图象所对应的函数模型是( )A．分段函数 B．二次函数C．指数函数 D．对数函数12．（2023·浙江浙江·高一期末）个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-五险一金(个人缴纳部分)-累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除100元，个税政策的税率表部分内容如下：现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金(个人缴纳部分)6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为___________.13．（2023·浙江·高三专题练习）央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水.若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”崔主持质疑这类问题的合理性.其实这类放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量-消耗量=改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题.例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完.假设每小时进､出货量是常数，仓库中的货物量(吨)与时间(时)之间的部分关系如图，那么从不进货起__________小时后该仓库内的货恰好运完. 14．（2023·浙江·高一课时练习）已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为______米． B组 能力提升15．（2023·天津南开·二模）设函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________；若函数恰有5个的零点，则的取值范围为__________.16．（2023·天津滨海新·高一期末）已知函数若方程有四个不同的解，且，则实数的最小值是___________；的最小值是___________.17．（2022·天津·南开中学高三月考）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．18．（2023·上海市进才中学高三月考）设函数，若恰有1个零点，则实数a的取值范围是________．19．（2022·天津河东·高一期中）2018年10月1日开始实行新的个人收入所得税征收办法，在规定项目下的个人，总收入小于等于5000元的将免税，超出部分如下表所示按阶梯方式．不同段有不同的税率．（1）若某人月收入元（），根据上表，结合所学函数知识，写出其每月上税金额关于的函数．（2）解答下列各题①从事IT行业的小张月收入为23800元，则其应缴纳的个税金额为多少？②小张的大学同学小李月上税1000元，则其本月收入为多少？ 20．（2022·上海市吴淞中学高三期中）已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中为关税的税率，且为市场价格，为正常数）且当时市场供应量曲线如图.（1）根据图象，求的值；（2）若市场需求量为，它近似满足，当时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值. 21．（2022·上海浦东新·三模）上海途安型号出租车价格规定：起步费元，可行千米；千米以后按每千米按元计价，可再行千米；以后每千米都按元计价．假如忽略因交通拥挤而等待的时间.请建立车费（元）和行车里程（千米）之间的函数关系式；注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长千米）须付车费元，走路线二（路线二总长千米）也须付车费元.将上述函数解析式进行修正（符号表示不大于的最大整数，符号表示不小于的最小整数）；并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长千米） 22．（2023·江苏·涟水县第一中学高一月考）研究表明，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力指数与听课时间(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.（1）求函数的解析式；（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟，参考数据：，) 23．（2023·江苏省镇江中学高二期中）2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数，（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． （1）试求的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 24．（2023·浙江·高一期末）某公司研发的，两种芯片都已经获得成功. 该公司研发芯片已经耗费资金5（千万元），现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知每投入1（千万元），公司获得毛收入0.25（千万元）；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40（千万元）资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少. 121.51.6251.751.8751.8125-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793级数全月应纳税所得额税率%1不超过3000元的部分3%2超过3000元至12000的部分10%3超过12000元至25000的部分20%等级含税级距（超出5000元）税率（）1不超过1500元的32超过1500元至4500元的部分103超过4500元至9000元的部分204超过9000元至35000元的部分25……………… 专题5.3 函数的应用A组 基础巩固1．（2022·广东南沙·高一期中）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.【详解】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.2．（2022·广东珠海·高一期末）某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.0001【答案】B【详解】令，则用计算器作出的对应值表：由表格数据知，用二分法操作次可将作为得到方程的近似解，，，近似解的精确度应该为0.01，故选B.3．（2023·广东龙岗·高一期中）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内，由题意，解得.因此，实数的取值范围是.故选:D.4．（2023·上海·高一专题练习）函数的零点是（ ）A．-1,4 B．-4,1 C．,1 D．，-1【答案】B【分析】令可得答案.【详解】令，解得.故选：B.5．（2023·上海市行知中学高一期末）对于函数，有以下四个命题：（1）对于任意实数,为偶函数；（2）存在实数,使得有两个零点；（3）的最小值为；（4）存在实数,使得在上是严格减函数.其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用函数得单调性和奇偶性对四个命题逐一判断正误即得结果.【详解】（1）函数，定义域R，由知，为偶函数，该命题正确；（2）时，.设，则，，即，故，即，在上单调递增，由（1）知为偶函数，故在上单调递减，故时，函数取得最小值，故存在时有两个零点，该命题正确；（3）由（2）知，最小值时，函数取得最小值，该命题正确；（4）由（2）知，对任意实数a，在上单调递减，在上单调递增.故存在实数,使得在上是严格减函数，也是正确的.故正确命题有4个.故选：D.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.6．（2023·上海·高一专题练习）已知函数，则方程的不相等的实数根的个数为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】方程知：或，画出图像分别判断交点个数，相加得到答案.【详解】方程可解出或 方程的不相等的实根个数即两个函数或的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数，的图象与函数的图象的交点个数相同，如图：的图象与函数的图象的交点个数有个的图象与函数的图象的交点个数有个， 故方程有个解， 故选：A7．（2023·重庆·高一月考）函数的零点所在的区间为（ ）A． B． C．(1，2) D．(2，3)【答案】B【分析】由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．【详解】易知是上的减函数，且，所以函数的零点所在的区间为．故选：B8．（2023·重庆·礼嘉中学高一月考）已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的解析式，作出函数的图象，方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数的取值范围.【详解】，图象如图：方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，由图象可知：的取值范围为.故选：A【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，考查了分段函数的图象，函数与方程的关系，考查了数形结合与转化化归的思想.9．（2023·重庆市杨家坪中学高三月考）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：通过f（x）的单调性，画出f（x）的图象和直线y=a，考虑四个交点的情况，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围．详解：当x＞0时，f（x）=，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减， 由f（x）=e (x+1)2，x≤0， x＜-1时，f（x）递减；-1＜x＜0时，f（x）递增， 可得x=-1处取得极小值1， 作出f（x）的图象，以及直线y=a， 可得e (x1+1)2=e (x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4， x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0递减， 可得所求范围为[4，5）．故选B.点睛：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．10．（2023·上海·高一专题练习）王叔叔从家门口步行20分钟到离家900米的书店，停留10分钟后，用15分钟返回家里，图中能表示王叔叔离家的时间与距离之间的关系的图像是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】按照王叔叔的行程时间段可知函数图象分三段.【详解】由题意0-20分钟，步行到离家900米的书店，离家路程增加到900米，20-30分钟停留，离家路程不变，30-45分钟返回家，离家路程减少为0米。故选：D.11．（2023·上海·高一专题练习）一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图，那么图象所对应的函数模型是( )A．分段函数 B．二次函数C．指数函数 D．对数函数【答案】A【分析】根据函数图象是不同的直线段构成的可知，图象不是B,C,D,可知答案.【详解】根据函数图象由不同的直线段构成可知,函数是分段函数，在每一段上函数是一次函数，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.12．（2023·浙江浙江·高一期末）个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-五险一金(个人缴纳部分)-累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除100元，个税政策的税率表部分内容如下：现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金(个人缴纳部分)6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为___________.【答案】元.【分析】根据个税政策，先计算需要交费的金额，再根据级数分别计算每个级数的个税金额，即可求解.【详解】根据题意，王某需要交费的金额为：元，第一级数交费为元，剩余元，第二级数交费为元，剩余元，第三级数交费为元，合计交费为元.故答案为：元.13．（2023·浙江·高三专题练习）央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水.若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”崔主持质疑这类问题的合理性.其实这类放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量-消耗量=改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题.例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完.假设每小时进､出货量是常数，仓库中的货物量(吨)与时间(时)之间的部分关系如图，那么从不进货起__________小时后该仓库内的货恰好运完. 【答案】8【分析】由图象计算出进货速度与出货速度，由此可得结果.【详解】由图象可知，在到小时进货吨，故进货速度是每小时吨，所以出货速度为每小时吨，从不进货起，需要小时将该仓库内的货恰好运完.故答案为：8【点睛】关键点点睛：根据图象计算出进货速度与出货速度是解题关键.14．（2023·浙江·高一课时练习）已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为______米．【答案】【分析】设y＝kv2，由汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，可求出k，再代值计算即可．【详解】解：由汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，设y＝kv2，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，∴20＝3600k，解得k，∴yv2，当v＝90千米/时，∴y902＝45米，故答案为45【点睛】本题考查了函数模型的选择和应用，考查了运算能力和转化能力，属于基础题． B组 能力提升15．（2023·天津南开·二模）设函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________；若函数恰有5个的零点，则的取值范围为__________.【答案】或 【分析】①分别画出两段函数的图像，分析单调性可求出范围；②函数恰有5个的零点，令，即等价于有个解，共有五个解，分析情况可知有两个解，，由这两个解的范围观察图像可得出的范围.【详解】解：①，当时，，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；若函数在区间上单调递增，则或解得：或.②若函数恰有5个的零点，令，由图像可知：，有可能有1个，2个，3个解，若有五个解，则有两根，且，或.当，时，不存在当 ，时.故答案为：或；.【点睛】思路点睛：函数恰有个的零点问题，可令，先求所有的解，然后再求的解的个数，个数之和为，由个数的情况找到的所有解，然后根据解的情况求出的范围.16．（2023·天津滨海新·高一期末）已知函数若方程有四个不同的解，且，则实数的最小值是___________；的最小值是___________.【答案】2 【分析】画出的图像,数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.【详解】画出的图像有：因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,, 故的取值范围是,故的最小值是2.又由图可知,,,故,故.故.又当时, .当时, ,故.又在时为增函数,故当时取最小值.故答案为：(1). 2 (2)9.【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,解题的关键是需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.17．（2022·天津·南开中学高三月考）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) 【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．（2023·上海市进才中学高三月考）设函数，若恰有1个零点，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】首先求和的实数根，再根据分段函数只有1个零点，确定实数的取值范围.【详解】，解得：或，，解得：，当时，函数的零点只有一个，即，当时，函数有两个零点，即或，当时，函数的零点只有一个，即，当时，函数有两个零点，即或，综上可知，若恰有1个零点，则的取值范围是.故答案为：19．（2022·天津河东·高一期中）2018年10月1日开始实行新的个人收入所得税征收办法，在规定项目下的个人，总收入小于等于5000元的将免税，超出部分如下表所示按阶梯方式．不同段有不同的税率．（1）若某人月收入元（），根据上表，结合所学函数知识，写出其每月上税金额关于的函数．（2）解答下列各题①从事IT行业的小张月收入为23800元，则其应缴纳的个税金额为多少？②小张的大学同学小李月上税1000元，则其本月收入为多少？【答案】（1）；（2）①3695元；②12775元．【分析】（1）根据已知用分段函数写出函数解析式．（2）①由函数解析式计算函数值，②由函数值计算自变量值．【详解】（1）当时，，当时，；当时，，当时，，当时，，综上，；（2）①时，，②，若，则，若，，满足题意．所以①应缴纳的个税金额为3695元，②本月收入为12775元．20．（2022·上海市吴淞中学高三期中）已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中为关税的税率，且为市场价格，为正常数）且当时市场供应量曲线如图.（1）根据图象，求的值；（2）若市场需求量为，它近似满足，当时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由图象知，在图象上，由求解；（2）根据得到，令，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）由图可知，当时，有，解得.（2）当时，得，解得：，令，则，对称轴，且开口向下；时，取得最小值，此时，所以税率的最小值为.21．（2022·上海浦东新·三模）上海途安型号出租车价格规定：起步费元，可行千米；千米以后按每千米按元计价，可再行千米；以后每千米都按元计价．假如忽略因交通拥挤而等待的时间.请建立车费（元）和行车里程（千米）之间的函数关系式；注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长千米）须付车费元，走路线二（路线二总长千米）也须付车费元.将上述函数解析式进行修正（符号表示不大于的最大整数，符号表示不小于的最小整数）；并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长千米）【答案】（1）（2）， 元.【分析】（1）分类讨论的范围，得出与的函数关系式；（2）由（1）函数的解析式，根据条件修正函数解析式，代入计算车费，即可求解．【详解】（1）由题意，知当时；当时，；当时，，所以函数的解析式为．（2）首先根据题意将路线一长和路线二长分别带入第一问求出的函数中，得车费分别为元和元，根据题目中的要求都付车费元，故选择符号，从而有，代入第三个函数解析式求得须付元.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，合理求得分段函数解析式的求解以及求得分段函数的函数值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．22．（2023·江苏·涟水县第一中学高一月考）研究表明，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力指数与听课时间(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.（1）求函数的解析式；（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟，参考数据：，)【答案】（1）；（2）28分钟【分析】（1）当时，设，由，可求出；当时，，由，可求出，从而可得到的解析式；（2）当时，令，可求出范围；当时，令，可求出范围，根据所表示的时间长度，可求出学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间.【详解】（1）当时，设，因为，所以，所以；当时，，由，解得，所以.综上，.（2）当时，令，解得或，所以；当时，令，可得，即，解得，所以.所以在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间为分钟.【点睛】本题考查函数模型的应用，考查二次函数、对数函数的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.23．（2023·江苏省镇江中学高二期中）2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数，（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． （1）试求的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【答案】（1）；（2）教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析．【分析】（1）利用待定系数法求函数第一段的解析式，代入特殊点求函数第二段的解析式即可；（2）利用分段解析式，分别解不等式，即可求出效果最佳的的范围，验证即可．【详解】（1）当时，设，将点代入得，∴当时，；当时，将点代入，得．所以；（2）当时，，解得，所以；当时，，解得，所以，综上时学生听课效果最佳，此时，答：教师能够合理安排时间讲完题目．【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，考查了一元二次不等式的解法以及对数函数的性质，是中档题．24．（2023·浙江·高一期末）某公司研发的，两种芯片都已经获得成功. 该公司研发芯片已经耗费资金5（千万元），现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知每投入1（千万元），公司获得毛收入0.25（千万元）；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40（千万元）资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）；（2）9（千万元）.【分析】（1）利用待定系数法，根据投入与获得毛收入情况以及图象上的特殊点可求出解析式；（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），利润，换元后再利用二次函数求最值即可求解．【详解】（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设，因为每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元，故，所以，因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.对于芯片，由图象可知，，故.因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），假设利润为，则利润，.令，则，当即（千万元）时，有最大利润为9（千万元）.【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.25．（2022·江苏省震泽中学高一月考）已知函数是偶函数.（1）求k的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据偶函数得到，化简得到，解得答案.（2）化简得方程，设得到有且仅有一个正根，考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】（1）由函数是偶函数可知：，∴，，即对一切恒成立，∴.（2）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根.化简得：方程有且只有一个实根.令，则方程有且只有一个正根，当时，，不合题意；当且，解得或.若，，不合题意；若，满足；当且时，即或且，故；综上，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，函数公共交点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，换元是解题关键. 121.51.6251.751.8751.8125-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793级数全月应纳税所得额税率%1不超过3000元的部分3%2超过3000元至12000的部分10%3超过12000元至25000的部分20%等级含税级距（超出5000元）税率（）1不超过1500元的32超过1500元至4500元的部分103超过4500元至9000元的部分204超过9000元至35000元的部分25………………
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