（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题4.3 对数函数（课时训练）原卷版+解析

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专题4.3 对数函数A组 基础巩固1．（2023·上海市奉贤中学高三月考）函数的定义域是__________.2．（2023·上海市建平中学高三月考）函数的单调增区间为______．3．（2023·上海外国语大学附属大境中学高三月考）函数的定义域是____________4．（2023·上海金山·高一期末）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为________ .5．（2023·上海·高一专题练习）函数的单调减区间是_____．6．（2017·上海·上外附中高一期中）函数的图像恒过一定点______．7．（2023·上海·高一专题练习）若函数过定点，则定点的坐标为______.8．（2023·上海·高一课时练习）函数的值域为_________．9．（2023·上海·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_________.10．（2023·上海市进才中学高一期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.11．（2023·上海市行知中学高一期末）函数的严格减区间是_________.12．（2023·上海·高一专题练习）函数的定义域是__________．13．（2023·上海市控江中学高一期末）函数的值域是，则实数的取值范围是___________.14．（2023·上海市控江中学高一期末）函数的定义域为_________.15．（2023·上海市第二中学高一期末）已知函数，则________.16．（2023·上海·高一单元测试）若函数在上单调，则实数的取值范围________.17．（2023·上海·高一单元测试）已知函数函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是__________．18．（2023·上海·高一单元测试）函数的值域是______.19．（2023·上海市南洋模范中学高一期末）已知函数在上存在最小值，则的取值范围是______.20．（2023·上海·高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（ ）A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x21．（2022·上海·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B． C． D．22．（2022·上海·高三专题练习）函数的图像大致为（ ）A． B．C． D．23．（2022·上海·高三专题练习）已知，，，则下列判断正确的是（ ）A． B． C． D．24．（2022·上海·高三专题练习）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．25．（2023·上海·高一课时练习）已知，且，函数与的图象只能是下图中的（ ）A． B． C． D．26．（2023·上海·高一单元测试）已知，，，则，，的大小关系是（ ）A． B． C． D．27．（2023·江苏江都·高二期中）已知 ，，，则大小关系为（ ）A． B． C． D．28．（2023·江苏·高一课时练习）已知函数，则的大致图象为（ ）A． B．C． D．29．（2023·江苏省苏州实验中学高一月考）函数的图象大致为（ ）A． B．C． D．B组 能力提升30．（2023·江苏·高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：（1）y＝log2x2；（2）；（3）y＝lg(1－x2)；（4）y＝(log2x)2＋log2x2－1.31．（2023·江苏·高一课时练习）求下列函数的定义域：（1）； （2）；（3）； （4）.32．（2013·江苏淮安·高一期中）已知函数，且.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）当时，求使的的解集.33．（2023·江苏省平潮高级中学高一期中）已知函数.（1）若，求函数的定义域；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；（3）若函数，若对任意的，都存在实数，使得成立，求实数的取值范围．34．（2023·江苏·高考真题）已知函数的定义域是.（1）求实数的取值范围;（2）解关于的不等式.35．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数．（1）若的定义域为，求实数a的取值范围．（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．36．（2022·江苏·徐州一中高一月考）已知函数是奇函数.（1）求实数的值.（2）令函数，当时，求函数的最大值.（3）是否存在实数，，当时，函数的值域是，若存在，求出实数，，若不存在，说明理由.37．（2023·上海·高一单元测试）已知函数.（1）求函数的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当时，，求函数的值域.38．（2022·上海市宝山区海滨中学高一期末）已知函数（1）求的单调递减区间；（2）求的最值，并求此时的值.39．（2023·上海·高一单元测试）已知函数.（1）当时，求的定义域；（2）若恒成立，求实数的取值范围.40．（2023·上海·华东师范大学第三附属中学高二月考）已知函数（，）（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，求关于的不等式的解集；（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.专题4.3 对数函数A组 基础巩固1．（2023·上海市奉贤中学高三月考）函数的定义域是__________.【答案】【分析】根据真数位置大于，解不等式即可求解.【详解】由题意可得：，即，所以，所以，所以原函数的定义域为，故答案为：.2．（2023·上海市建平中学高三月考）函数的单调增区间为______．【答案】【分析】求的单调增区间，根据复合函数单调性，即转化为求在定义域上的减区间.【详解】由得，令，由于函数的对称轴为，开口向上，∴在上递减，在（2，＋∞）递增，又由函数是定义域内的减函数，∴原函数的单调递增区间为．故答案为: 3．（2023·上海外国语大学附属大境中学高三月考）函数的定义域是____________【答案】【分析】根据对数式的真数大于求解出的取值范围即为定义域.【详解】因为，所以，所以定义域为，故答案为：.4．（2023·上海金山·高一期末）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为________ .【答案】【分析】分析函数在区间上为减函数，由已知条件可得出关于的等式，结合可求得实数的值.【详解】因为，所以函数在区间上为减函数，所以，，所以，，因为，因此，.故答案为：.5．（2023·上海·高一专题练习）函数的单调减区间是_____．【答案】【分析】根据同增异减原理，由外函数为减函数，只要求得内函数的递增区间且满足定义域即可得解.【详解】函数的单调减区间，即，在的条件下，函数的增区间．利用二次函数的性质可得，在的条件下，函数的增区间为，故答案为：．6．（2017·上海·上外附中高一期中）函数的图像恒过一定点______．【答案】【分析】根据对数函数的性质可得结论．【详解】由函数图像的平移公式，我们可得：将函数的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数的图像．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数的图像恒过点故答案为：7．（2023·上海·高一专题练习）若函数过定点，则定点的坐标为______.【答案】【分析】结合过定点，令得到，再带入函数解析式求得，即可求得点的坐标.【详解】因为过定点，所以令，即，此时，所以定点的坐标为，故答案为：8．（2023·上海·高一课时练习）函数的值域为_________．【答案】【分析】求出的取值范围，利用对数函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】因为，所以，，因此，，故函数的值域为.故答案为：.9．（2023·上海·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_________.【答案】【分析】值域为R，则可以取遍中任意一个数，即可得出结果.【详解】值域为R，设，所以可以取遍中任意一个数，所以所以的取值为故答案为：【点睛】方法点睛：值域为R，则可以取遍中任意一个数.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力.10．（2023·上海市进才中学高一期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.【答案】【分析】令对数的真数为1，求出所对应的的值，再求出，即可得解；【详解】解：因为函数（且）的图像恒过定点，所以令即时，所以点坐标为；故答案为：11．（2023·上海市行知中学高一期末）函数的严格减区间是_________.【答案】【分析】先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.【详解】由可得，解得，即的定义域为，令，则是开口向下，对称轴为的二次函数，所以在上单调递增，在上单调递减，又是增函数，所以函数的严格减区间是.故答案为：12．（2023·上海·高一专题练习）函数的定义域是__________．【答案】【分析】根据函数的形式，直接求函数的定义域.【详解】根据函数的形式可知函数的定义域需满足，解得：，所以函数的定义域是.故答案为：13．（2023·上海市控江中学高一期末）函数的值域是，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】函数的值域为，即能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设，由的值域为R，知可以取所有的正值，又，当且仅当时等号成立，故的值域为，所以只需满足即可，即故答案为：【点睛】关键点点睛：求出的值域，由题意知能取遍一切正实数，转化为的值域包含是解题的关键，属于中档题.14．（2023·上海市控江中学高一期末）函数的定义域为_________.【答案】【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】，，解得所以函数的定义域为，故答案为：15．（2023·上海市第二中学高一期末）已知函数，则________.【答案】【分析】由对数函数性质确定的范围，再根据分段函数定义求函数值即可.【详解】由对数函数性质知，即，则故.故答案为：.16．（2023·上海·高一单元测试）若函数在上单调，则实数的取值范围________.【答案】【分析】对函数在上单调递增和单调递减进行分类讨论，分析每支函数的单调性，结合函数的单调性得出间断点处函数值的大小关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】分以下两种情况讨论：①若函数在上单调递减，则，解得；②若函数在上单调递增，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.17．（2023·上海·高一单元测试）已知函数函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是__________．【答案】【分析】由解得结果即可得解.【详解】因为函数是上的单调函数，所以，解得.故答案为：.【点睛】解决分段函数的单调性时，需考虑函数在每一段区间上的单调性，还需考虑函数在各区间的端点处的函数值的大小关系.18．（2023·上海·高一单元测试）函数的值域是______.【答案】【分析】求出函数定义域，然后先求得的取值范围，利用二次根式的性质，对数函数性质得函数值域．【详解】由得，定义域为，∴当时，，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，解题方法是先求出函数定义域，在定义域内求出内层函数的取值范围，再由对数函数性质得结论．19．（2023·上海市南洋模范中学高一期末）已知函数在上存在最小值，则的取值范围是______.【答案】【分析】对分段函数进行分段讨论即可.【详解】当时，在上单调递减，在存在最小值，当时，在上单调递增，若在上存在最小值，则只需满足，，故答案为：.【点睛】本题考查函数单调性的应用，也考查了数形结合的思想.20．（2023·上海·高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（ ）A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x【答案】A【分析】设对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解.【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A.21．（2022·上海·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.【详解】，，，，，，.故选：D.22．（2022·上海·高三专题练习）函数的图像大致为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时， ，所以，排除D.故选：B.23．（2022·上海·高三专题练习）已知，，，则下列判断正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.24．（2022·上海·高三专题练习）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得.【详解】因函数在R上单调递增，则有在上递增，在上也递增，根据增函数图象特征知，点不能在点上方，于是得 ，解得，所以实数a的取值范围是.故选：A25．（2023·上海·高一课时练习）已知，且，函数与的图象只能是下图中的（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的图象与的图象关于轴对称，函数的图象与的图象关于直线对称，即可判断．【详解】当时，函数与的大致图象如图所示：当时，函数与的大致图象如图所示：根据题意，所以正确的是B．故选：B．【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象的理解和应用，属于容易题．26．（2023·上海·高一单元测试）已知，，，则，，的大小关系是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将和化为同底，利用指数函数的单调性比较，然后再判断的正负，得出，，的大小关系．【详解】，则根据指数函数的单调性可知，又，而，故.故选：A．【点睛】本题考查指数式、对数式的大小比较，一般地比较指数式与对数式的大小可从以下几点判断：（1）先观察所给式子是否有同底数的，或可化为同底，若同底根据指数函数、对数函数的单调性判断即可；（2）和“0”，“1”作比较，或者和最接近的整数比价，可判断某些式子之间的大小关系；（3）可利用指数函数、对数函数的图象，画图分析比较．27．（2023·江苏江都·高二期中）已知 ，，，则大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂函数在上是增函数，对数函数在上是增函数可得答案.【详解】，，，因为，所以，即，因为，， ，所以，所以，即，所以.故选：A.28．（2023·江苏·高一课时练习）已知函数，则的大致图象为（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用排除法分析，先计算的值，排除，再比较与的值，结合函数单调性的定义排除，即可得答案．【详解】解：根据题意，，所以，在区间上，在轴下方有图象，排除，又，而，有，不会是增函数，排除，故选：．29．（2023·江苏省苏州实验中学高一月考）函数的图象大致为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据奇偶性的定义可判断函数为奇函数，故可排除C,D，令，可得函数值并判断正负，进而可得答案.【详解】由，可得函数的定义域为，关于坐标原点对称，且，故函数为奇函数，进而可排除C,D，又令，可知，故可排除A.故选：B.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．B组 能力提升30．（2023·江苏·高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：（1）y＝log2x2；（2）；（3）y＝lg(1－x2)；（4）y＝(log2x)2＋log2x2－1.【答案】（1）定义域为(－∞， 0)∪(0， ＋∞)；值域为R；（2）定义域为(－3，3)；值域为[－2，＋∞)；（3）定义域为(－1，1)；值域为(－∞，0]；（4）定义域为(0，＋∞)；值域为[－2，＋∞).【分析】（1）由对数的真数大于0得定义域，结合对数函数的单调性求函数值域．（2）由对数的真数大于0得定义域，结合对数函数的单调性求函数值域．（3）由对数的真数大于0得定义域，结合对数函数的单调性求函数值域．（4）由对数的真数大于0得定义域，结合二次函数性质求值域．【详解】（1）由题意可得x2>0，即x≠0，所以函数的定义域为(－∞， 0)∪(0， ＋∞)．因为x2>0，所以函数的值域为R.（2） 由题意可得9－x2>0，即－30，所以，故函数的值域为[－2， ＋∞)．（3） 由题意可得1－x2>0，即－10，所以lg(1－x2)≤lg1＝0，故函数的值域为(－∞， 0]．（4） 由题意可得所以x>0，故函数的定义域为(0， ＋∞)．令t＝log2x，则t∈R， y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2≥－2，故函数的值域为[－2， ＋∞)．31．（2023·江苏·高一课时练习）求下列函数的定义域：（1）； （2）；（3）； （4）.【答案】（1）； （2）；（3）；（4）.【分析】根据解析式列出使函数有意义的不等式，即可解出定义域.【详解】（1）要使函数有意义，只需，解得：，所以的定义域为. （2）要使函数有意义，只需，解得：，所以的定义域为.（3）要使函数有意义，只需，解得：，所以的定义域为.（4）要使函数有意义，只需，解得：，所以的定义域为.32．（2013·江苏淮安·高一期中）已知函数，且.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）当时，求使的的解集.【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）本题可通过求解得出结果；（2）本题可根据得出结果；（3）本题首先可判断出当时在定义域内是增函数，然后通过得出，通过计算即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，解得，的定义域为.（2）的定义域为，，故是奇函数.（3）因为当时，是增函数，是减函数，所以当时在定义域内是增函数，即，，，，，解得，故使的的解集为.33．（2023·江苏省平潮高级中学高一期中）已知函数.（1）若，求函数的定义域；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；（3）若函数，若对任意的，都存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）解不等式即可得出函数的定义域；（2）分析可知，对任意的，，利用参变量分离法求得，利用复合函数法可知内层函数在上为增函数，求出的取值范围，综合可得出结果；（3）求出函数的值域，由题意可知，函数的值域为函数的值域为子集，可知函数的值域包含，对实数的符号进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，解不等式，即，解得，故当时，函数的定义域为；（2）由题意可知，对任意的，，等价于对任意的，，可得，，则，故，故，因为函数在区间上为增函数，设，由于外层函数为增函数，故内层函数在上为增函数，所以，，解得或，因为，故，因此，实数的取值范围是；（3），则，即函数的值域为，对任意的，都存在实数，使得成立，则函数的值域为函数的值域的子集，故函数的值域包含.①当时，函数的值域为，合乎题意；②当时，函数的值域为，因为，可得，解得；③当时，函数的值域为，因为，可得，解得.综上所述，实数的取值范围是.34．（2023·江苏·高考真题）已知函数的定义域是.（1）求实数的取值范围;（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出恒成立，然后通过即可得出结果；（2）本题首先可根据得出，然后通过计算即可得出结果.【详解】（1）因为函数的定义域是，所以恒成立，则，解得，的取值范围为.（2），即，因为，所以，即，解得，故不等式的解集为.35．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数．（1）若的定义域为，求实数a的取值范围．（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题知在上恒成立，故，解不等式即可得答案.（2）由题知在上单调递增，且时，恒有，进而得，解不等式即可得答案.【详解】解：（1）的定义域为，则在上恒成立，令，得．所以实数a的取值范围为（2）因为函数在区间上单调递增，且为定义域上的增函数，所以在上单调递增，且时，恒有，根据二次函数的性质，可得，解得．【点睛】本题考查对数函数的性质，一元二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于把握复合函数单调性原则“同增异减”，且时，恒有.36．（2022·江苏·徐州一中高一月考）已知函数是奇函数.（1）求实数的值.（2）令函数，当时，求函数的最大值.（3）是否存在实数，，当时，函数的值域是，若存在，求出实数，，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根据奇函数恒成立，化简得，再验证函数无意义，符合题意即可；（2）先化简为二次函数，再讨论对称轴与区间端点的关系，即结合单调性求得最大值的情况；（3）先求定义域，讨论区间与、的关系，再结合复合函数判断单调性判断最值，根据已知条件值域为列关系，解方程即得结果.【详解】解：（1）函数是奇函数.，即，即恒成立，化简得恒成立，故，所以，又时，表达式无意义，所以，符合题意；（2），，有，，，，，二次函数开口向下，对称轴，①当，即时，时，函数在上单调递减，所以，②当，即时，函数在上单调递增，所以，③当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以.综上①②③，；（3）由题设知：函数的定义域为，①当时，有，而，复合函数内外两层均是减函数，故为增函数，要使其值域为，知(与题设矛盾，无解；②当时，有，而，复合函数外层是上增函数，内层是上的减函数，故为减函数，要使其值域为，知，解得，， 即，（舍去）.综上①②知，存在这样的实数，满足条件，，.【点睛】思路点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分四种情况：（1）轴定区间定，（2）轴定区间动，（3）轴动区间定，（4）轴动区间动，这四种情况都需要先判定抛物线开口方向，再按照三个方向来研究最值，对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而利于单调性判断最值.37．（2023·上海·高一单元测试）已知函数.（1）求函数的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当时，，求函数的值域.【答案】（1）或，证明见解析；（2）.【分析】（1）本题首先可通过求解得出函数的定义域，然后通过证得函数是奇函数；（2）本题可根据题意将函数转化为，然后通过当时即可求出函数的值域.【详解】（1）因为函数，所以，解得或，则函数的定义域为或，且定义域关于原点对称，因为，所以函数为奇函数.（2），当时，，函数是增函数，故当时，，函数的值域为.【点睛】方法点睛：判断或证明函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后通过判断函数是奇函数或者通过判断函数是偶函数.38．（2022·上海市宝山区海滨中学高一期末）已知函数（1）求的单调递减区间；（2）求的最值，并求此时的值.【答案】（1）；（2）当时有最大值.【分析】（1）先由题意得到，求解，即可得出定义域；再令，根据二次函数与对数函数单调性，即可得出结果；（2）由（1）可直接得出结果.【详解】（1）由题意可得：，即，解得：；即函数的定义域为；令，则其为开口向下的二次函数，且对称轴为，当时，函数单调递增，时，函数单调递减；又为增函数；所以在上单调递增，在上单调递减；即函数的单调递减区间为；（2）由（1）得：当时，有最大值.【点睛】本题主要考查求对数型复合函数单调性，以及由函数单调性求最值，熟记二次函数与对数函数单调性即可，属于常考题型.39．（2023·上海·高一单元测试）已知函数.（1）当时，求的定义域；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（-∞，-0）∪（2,+∞）；（2）【分析】（1）把代入解析式并化简，从而可得，从而求出定义域． （2）由得，从而可得，令从而化为最值问题．【详解】（1）当时，，则，故或，所以函数的定义域为或．（2），，由得，即，令，则，当时，恒成立，故实数的取值范围为【点睛】本题考查了函数的定义域的求法以及恒成立问题，注意“分离参数法”求参数的取值范围．40．（2023·上海·华东师范大学第三附属中学高二月考）已知函数（，）（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，求关于的不等式的解集；（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由ax-1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令，可知在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.（3）设，，设，，故，，故：，又∵对任意实数恒成立，故：.【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．