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高中数学上教版 (2020)必修 第一册2.3 基本不等式及其应用课堂检测
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这是一份高中数学上教版 (2020)必修 第一册2.3 基本不等式及其应用课堂检测，共20页。试卷主要包含了函数的值域是________，若，则的最小值为______.等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·浦东新·上海师大附中）函数的值域是________．
2．（2023·华东师范大学第三附属中学高二月考）已知正数满足，则的最小值为__________.
3．（2022·全国高三专题练习）（配凑型）已知，求函数的最小值是 ________
4．（2023·全国）已知，，，则的最小值为___________.
5．（2023·福建厦门双十中学高一月考）已知，，且满足，则的最小值为___________.
6．（2023·贵溪市实验中学高二月考（文））若，则的最小值为______.
7．（2023·全国高一课时练习）若，则的最大值是___________.
8．（2023·重庆市万州南京中学）设，都是正数，且，则的最小值为_______.
9．（2023·衡阳市船山英文学校）有材料可做墙（不计高度和厚度），如图所示，要做间房，当堵纵墙的长度相等且长度等于________时，间房的总面积达到最大值.
10．（2023·浙江）若，，且，则下列不等式中恒成立的是_______.①；②；③；④.
11．（2023·安徽金安·六安一中高一月考）函数的最大值为________.
12．（2023·江苏省南通中学高一月考）实数满足，则的最大值为______.
13．（2023·广西桂林·高一月考）已知实数，，则的最小值为（ ）
A．100B．300C．800D．400
14．（2023·如皋市第一中学高一月考）设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·全国高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
16．（2023·普宁市华侨中学）已知函数，则函数的最小值等于（ ）
A．B．C．5D．9
17．（2023·上海）如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
18．（2023·上海）动物园需要用篱笆围成两个面积均为50 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．
（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？
B组 能力提升
19．（2023·郑州市第二高级中学高一月考）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为______．
20．（2022·全国高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值为____________.
21．（2022·全国高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
22．（2022·上海杨浦·复旦附中高一期中）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?
23．（2017·上海青浦·高一期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
专题2.3 基本不等式及其应用
A组 基础巩固
1．（2023·浦东新·上海师大附中）函数的值域是________．
【答案】
【分析】
根据基本不等式，分和两种情况讨论即可得解.
【详解】
易知，
，
当时，
，
当且仅当时取等号，
当时，，
，
当且仅当时取等号，
综上可得函数的值域为，
故答案为：.
2．（2023·华东师范大学第三附属中学高二月考）已知正数满足，则的最小值为__________.
【答案】9
【分析】
将展开，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
解：.
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：9.
3．（2022·全国高三专题练习）（配凑型）已知，求函数的最小值是 ________
【答案】1
【分析】
将函数变形为，再利用基本不等式计算可得.
【详解】
由，即，所以，当即时，函数取得最小值1.
故答案为：1
4．（2023·全国）已知，，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
由已知得，则，再利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为，，，
所以，由得，，
则，
所以，
，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为，
故答案为：.
5．（2023·福建厦门双十中学高一月考）已知，，且满足，则的最小值为___________.
【答案】7
【分析】
然后利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为，，所以，
因为，
所以
，
当且仅当即等号成立，
则的最小值为7.
故答案为：7.
6．（2023·贵溪市实验中学高二月考（文））若，则的最小值为______.
【答案】3
【分析】
先用基本不等式求出的最大值，进而求出的最小值，再拆项，并利用三元均值不等式求出的最小值.
【详解】
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以有成立，因此
（当且仅当时取等号），所以的最小值为3.
故答案为：3.
7．（2023·全国高一课时练习）若，则的最大值是___________.
【答案】
【分析】
先求解出的取值范围，然后利用基本不等式求解出最大值.
【详解】
因为，所以，
又，
取等号时，即，
所以的最大值为，
故答案为：.
8．（2023·重庆市万州南京中学）设，都是正数，且，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】
由题设知且，利用基本不等式“1”的代换，即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
由题设，且，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：
9．（2023·衡阳市船山英文学校）有材料可做墙（不计高度和厚度），如图所示，要做间房，当堵纵墙的长度相等且长度等于________时，间房的总面积达到最大值.
【答案】
【分析】
设堵纵墙的长度为，则横墙的长度为，可得出间房的总面积为，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的值，由此可得出结论.
【详解】
设堵纵墙的长度为，则横墙的长度为，
间房的总面积，
当且仅当，即时，所以，间房的总面积达到最大值.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．（2023·浙江）若，，且，则下列不等式中恒成立的是_______.①；②；③；④.
【答案】②④
【分析】
利用基本不等式和题设得到答案即可．
【详解】
解：，，且，
，即，当且仅当时取等号，，故选项①错误；
，当且仅当时取等号，选项②正确；
，即，选项③错误；
，当且仅当时取等号，选项④正确，
故答案为：②④．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
11．（2023·安徽金安·六安一中高一月考）函数的最大值为________.
【答案】
【分析】
将解析式化为，再利用基本不等式，即可得答案；
【详解】
，等号成立当且仅当，
故答案为：.
12．（2023·江苏省南通中学高一月考）实数满足，则的最大值为______.
【答案】14
【分析】
结合题意，根据基本不等式可得，，，从而化简得，即可求出的最大值.
【详解】
解：由于，且实数满足，
则由基本不等式得：，，，
即：，，，
所以，
当且仅当，时取“=”，
所以的最大值为14.
故答案为：14.
【点睛】
易错点睛：本题考查利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
13．（2023·广西桂林·高一月考）已知实数，，则的最小值为（ ）
A．100B．300C．800D．400
【答案】D
【分析】
应用“1”的代换，将目标式转化为，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件.
【详解】
由，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为400.
故选：D
14．（2023·如皋市第一中学高一月考）设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据不等式性质和基本不等式逐项分析判断即可得解.
【详解】
对于选项A，因为a､b是正实数，所以，则，可得到，当且仅当时等号成立，故选项A错误；
对于选项B，因为a､b是正实数，所以，当且仅当，即时取等号，故选项B错误；
对于选项C，，当且仅当时取等号，故选项C错误；
对于选项D，，则恒成立，故选项D正确；
故选：D.
15．（2022·全国高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【分析】
将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】
因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
16．（2023·普宁市华侨中学）已知函数，则函数的最小值等于（ ）
A．B．C．5D．9
【答案】C
【分析】
利用基本不等式求最值即可，注意等号成立的条件.
【详解】
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
17．（2023·上海）如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
【答案】高为88厘米，宽为55厘米，所需纸张面积最小为6760平方厘米
【分析】
设画面高为xcm，宽为ycm，求出所需纸张面积S的表达式，利用基本不等式求解即可．
【详解】
解：设画面高为xcm，宽为ycm，依意有xy＝4840，x＞0，y＞0
则所需纸张面积S＝（x+16）（y+10）＝xy+16y+10x+160，，
即S＝5000+16y+12x，
∵x＞0，y＞0，xy＝4840
∴，S≥6760．
当且仅当16y＝10x，即x＝88，y＝55时等号成立．
即当画面高为88cm，宽为55cm时，所需纸张面积最小为6760cm2
【点睛】
本题考查函数的模型与应用，基本不等式的应用，考查计算能力．
18．（2023·上海）动物园需要用篱笆围成两个面积均为50 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．
（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？
【答案】（1），.（2）当垂直于墙的边长为时，所用篱笆的总长度最小，最小为m.
【分析】
（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长，表示出；由且，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．
【详解】
（1）由题得每个长方形平行于墙的边长，
则，
且，
，
所以函数的定义域为，；
（2），当且仅当，即时取等号，
故当垂直于墙的边长为时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是．
【点睛】
此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．
B组 能力提升
19．（2023·郑州市第二高级中学高一月考）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为______．
【答案】2
【分析】
将给定恒成立的不等式分离参数，再利用均值不等式求的最大值即可.
【详解】
因，则，
而，当且仅当时取“=”，则，
所以实数的最小值为2.
故答案为：2
20．（2022·全国高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值为____________.
【答案】
【分析】
将所求代数式变形为，将所求代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
已知正实数、满足，则.
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
21．（2022·全国高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【分析】
由已知可得，即求的最小值，由基本不等式可得答案.
【详解】
因为，，则，
所以，
当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以
所以实数的最大值为8.
故选：C.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
22．（2022·上海杨浦·复旦附中高一期中）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?
【答案】（1）y=x(l−3x)；(0，)（2）当垂直于墙的边长为时，这块长方形场地的面积最大，最大面积为.
【分析】
（1）由已知可得面积y=x(l−3x)，由x>0，且l−3x>0，即可求得定义域；
（2）对面积公式运用基本不等式即可求出面积的最值．
【详解】
解：(1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y=x(l−3x)；
由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域为(0，)；
(2)×=
当x=时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l−3x=，最大面积为.
【点睛】
此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．
23．（2017·上海青浦·高一期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
【答案】（1）当时，车流量最大，最大车流量为（千辆/时）；（2）.
【分析】
（1）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果，由等号成立求得对应的值，即可得解；
（2）解不等式即可求得的取值范围，进而可得解.
【详解】
（1）依题意，当且仅当等号成立，
最大车流量（千辆/时）；
（2）由条件得，整理得，解得.
故汽车的平均速度应该在范围内.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
1．（2023·浦东新·上海师大附中）函数的值域是________．
2．（2023·华东师范大学第三附属中学高二月考）已知正数满足，则的最小值为__________.
3．（2022·全国高三专题练习）（配凑型）已知，求函数的最小值是 ________
4．（2023·全国）已知，，，则的最小值为___________.
5．（2023·福建厦门双十中学高一月考）已知，，且满足，则的最小值为___________.
6．（2023·贵溪市实验中学高二月考（文））若，则的最小值为______.
7．（2023·全国高一课时练习）若，则的最大值是___________.
8．（2023·重庆市万州南京中学）设，都是正数，且，则的最小值为_______.
9．（2023·衡阳市船山英文学校）有材料可做墙（不计高度和厚度），如图所示，要做间房，当堵纵墙的长度相等且长度等于________时，间房的总面积达到最大值.
10．（2023·浙江）若，，且，则下列不等式中恒成立的是_______.①；②；③；④.
11．（2023·安徽金安·六安一中高一月考）函数的最大值为________.
12．（2023·江苏省南通中学高一月考）实数满足，则的最大值为______.
13．（2023·广西桂林·高一月考）已知实数，，则的最小值为（ ）
A．100B．300C．800D．400
14．（2023·如皋市第一中学高一月考）设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·全国高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
16．（2023·普宁市华侨中学）已知函数，则函数的最小值等于（ ）
A．B．C．5D．9
17．（2023·上海）如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
18．（2023·上海）动物园需要用篱笆围成两个面积均为50 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．
（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？
B组 能力提升
19．（2023·郑州市第二高级中学高一月考）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为______．
20．（2022·全国高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值为____________.
21．（2022·全国高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
22．（2022·上海杨浦·复旦附中高一期中）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?
23．（2017·上海青浦·高一期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
专题2.3 基本不等式及其应用
A组 基础巩固
1．（2023·浦东新·上海师大附中）函数的值域是________．
【答案】
【分析】
根据基本不等式，分和两种情况讨论即可得解.
【详解】
易知，
，
当时，
，
当且仅当时取等号，
当时，，
，
当且仅当时取等号，
综上可得函数的值域为，
故答案为：.
2．（2023·华东师范大学第三附属中学高二月考）已知正数满足，则的最小值为__________.
【答案】9
【分析】
将展开，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
解：.
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：9.
3．（2022·全国高三专题练习）（配凑型）已知，求函数的最小值是 ________
【答案】1
【分析】
将函数变形为，再利用基本不等式计算可得.
【详解】
由，即，所以，当即时，函数取得最小值1.
故答案为：1
4．（2023·全国）已知，，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
由已知得，则，再利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为，，，
所以，由得，，
则，
所以，
，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为，
故答案为：.
5．（2023·福建厦门双十中学高一月考）已知，，且满足，则的最小值为___________.
【答案】7
【分析】
然后利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为，，所以，
因为，
所以
，
当且仅当即等号成立，
则的最小值为7.
故答案为：7.
6．（2023·贵溪市实验中学高二月考（文））若，则的最小值为______.
【答案】3
【分析】
先用基本不等式求出的最大值，进而求出的最小值，再拆项，并利用三元均值不等式求出的最小值.
【详解】
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以有成立，因此
（当且仅当时取等号），所以的最小值为3.
故答案为：3.
7．（2023·全国高一课时练习）若，则的最大值是___________.
【答案】
【分析】
先求解出的取值范围，然后利用基本不等式求解出最大值.
【详解】
因为，所以，
又，
取等号时，即，
所以的最大值为，
故答案为：.
8．（2023·重庆市万州南京中学）设，都是正数，且，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】
由题设知且，利用基本不等式“1”的代换，即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
由题设，且，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：
9．（2023·衡阳市船山英文学校）有材料可做墙（不计高度和厚度），如图所示，要做间房，当堵纵墙的长度相等且长度等于________时，间房的总面积达到最大值.
【答案】
【分析】
设堵纵墙的长度为，则横墙的长度为，可得出间房的总面积为，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的值，由此可得出结论.
【详解】
设堵纵墙的长度为，则横墙的长度为，
间房的总面积，
当且仅当，即时，所以，间房的总面积达到最大值.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．（2023·浙江）若，，且，则下列不等式中恒成立的是_______.①；②；③；④.
【答案】②④
【分析】
利用基本不等式和题设得到答案即可．
【详解】
解：，，且，
，即，当且仅当时取等号，，故选项①错误；
，当且仅当时取等号，选项②正确；
，即，选项③错误；
，当且仅当时取等号，选项④正确，
故答案为：②④．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
11．（2023·安徽金安·六安一中高一月考）函数的最大值为________.
【答案】
【分析】
将解析式化为，再利用基本不等式，即可得答案；
【详解】
，等号成立当且仅当，
故答案为：.
12．（2023·江苏省南通中学高一月考）实数满足，则的最大值为______.
【答案】14
【分析】
结合题意，根据基本不等式可得，，，从而化简得，即可求出的最大值.
【详解】
解：由于，且实数满足，
则由基本不等式得：，，，
即：，，，
所以，
当且仅当，时取“=”，
所以的最大值为14.
故答案为：14.
【点睛】
易错点睛：本题考查利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
13．（2023·广西桂林·高一月考）已知实数，，则的最小值为（ ）
A．100B．300C．800D．400
【答案】D
【分析】
应用“1”的代换，将目标式转化为，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件.
【详解】
由，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为400.
故选：D
14．（2023·如皋市第一中学高一月考）设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据不等式性质和基本不等式逐项分析判断即可得解.
【详解】
对于选项A，因为a､b是正实数，所以，则，可得到，当且仅当时等号成立，故选项A错误；
对于选项B，因为a､b是正实数，所以，当且仅当，即时取等号，故选项B错误；
对于选项C，，当且仅当时取等号，故选项C错误；
对于选项D，，则恒成立，故选项D正确；
故选：D.
15．（2022·全国高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【分析】
将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】
因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
16．（2023·普宁市华侨中学）已知函数，则函数的最小值等于（ ）
A．B．C．5D．9
【答案】C
【分析】
利用基本不等式求最值即可，注意等号成立的条件.
【详解】
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
17．（2023·上海）如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
【答案】高为88厘米，宽为55厘米，所需纸张面积最小为6760平方厘米
【分析】
设画面高为xcm，宽为ycm，求出所需纸张面积S的表达式，利用基本不等式求解即可．
【详解】
解：设画面高为xcm，宽为ycm，依意有xy＝4840，x＞0，y＞0
则所需纸张面积S＝（x+16）（y+10）＝xy+16y+10x+160，，
即S＝5000+16y+12x，
∵x＞0，y＞0，xy＝4840
∴，S≥6760．
当且仅当16y＝10x，即x＝88，y＝55时等号成立．
即当画面高为88cm，宽为55cm时，所需纸张面积最小为6760cm2
【点睛】
本题考查函数的模型与应用，基本不等式的应用，考查计算能力．
18．（2023·上海）动物园需要用篱笆围成两个面积均为50 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．
（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？
【答案】（1），.（2）当垂直于墙的边长为时，所用篱笆的总长度最小，最小为m.
【分析】
（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长，表示出；由且，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．
【详解】
（1）由题得每个长方形平行于墙的边长，
则，
且，
，
所以函数的定义域为，；
（2），当且仅当，即时取等号，
故当垂直于墙的边长为时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是．
【点睛】
此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．
B组 能力提升
19．（2023·郑州市第二高级中学高一月考）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为______．
【答案】2
【分析】
将给定恒成立的不等式分离参数，再利用均值不等式求的最大值即可.
【详解】
因，则，
而，当且仅当时取“=”，则，
所以实数的最小值为2.
故答案为：2
20．（2022·全国高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值为____________.
【答案】
【分析】
将所求代数式变形为，将所求代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
已知正实数、满足，则.
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
21．（2022·全国高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【分析】
由已知可得，即求的最小值，由基本不等式可得答案.
【详解】
因为，，则，
所以，
当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以
所以实数的最大值为8.
故选：C.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
22．（2022·上海杨浦·复旦附中高一期中）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?
【答案】（1）y=x(l−3x)；(0，)（2）当垂直于墙的边长为时，这块长方形场地的面积最大，最大面积为.
【分析】
（1）由已知可得面积y=x(l−3x)，由x>0，且l−3x>0，即可求得定义域；
（2）对面积公式运用基本不等式即可求出面积的最值．
【详解】
解：(1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y=x(l−3x)；
由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域为(0，)；
(2)×=
当x=时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l−3x=，最大面积为.
【点睛】
此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．
23．（2017·上海青浦·高一期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
【答案】（1）当时，车流量最大，最大车流量为（千辆/时）；（2）.
【分析】
（1）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果，由等号成立求得对应的值，即可得解；
（2）解不等式即可求得的取值范围，进而可得解.
【详解】
（1）依题意，当且仅当等号成立，
最大车流量（千辆/时）；
（2）由条件得，整理得，解得.
故汽车的平均速度应该在范围内.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
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