高中数学上教版 (2020)必修 第一册2.2 不等式的求解当堂检测题

这是一份高中数学上教版 (2020)必修 第一册2.2 不等式的求解当堂检测题，共30页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，题型突破，定时训练等内容，欢迎下载使用。


二、考点梳理
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5写解集.根据图象写出不等式的解集.
2. 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3．已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
1根据解集来判断二次项系数的符号；
2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
4.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
5．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
6.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
三、题型突破
(一) 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.三个“二次”的关系
例1．（1）、（2023·上海）不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a>4或a<－4}B．{a|－4C．{a|a≥4或a≤－4}D．{a|－4≤a≤4}
（2）．.
（3）．（2023·江苏省震泽中学高二月考）已知函数．则不等式的解集为________．
【变式训练1-1】．（2023·江苏）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1-2】、（2023·上海市嘉定区中光高级中学）若不等式的解集是（2，3），则的解集为（ ）
A．B．（2，3）C．D．
【变式训练1-3】．（2023·上海南汇中学）是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
(二) 含有参数的一元二次不等式的解法
1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。
例2．（1）（2023·江苏省震泽中学高二月考）已知不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
（2）．（2023·全国高一单元测试）二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A．B．5C．D．6
（3）．（2023·上海高一开学考试）关于x的不等式x2+ax﹣3＜0，解集为（﹣3，1），则不等式ax2+x﹣3＜0的解集为
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．D．
【变式训练2-1】．25．（2023·上海市金山中学高一月考）若不等式的解集为，则___________.
【变式训练2-2】．（2023·重庆）已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是
A．B．C．D．
【变式训练2-3】．（2023·江苏省南京市第十二中学高一月考）设为实数，若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是___________.
(三) 分式不等式的解法
1.分式不等式：形如eq \f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
例3．（1）．（2023·上海高一专题练习）若不等式的解集是{x|-1≤x<5}，则a的值为____.
(2)．（2023·江苏省高邮中学高二月考）不等式的解集为________．
【变式训练3-1】．（2023·全国高一课时练习）求不等式的解集.
【变式训练3-2】．（2023·上海高三）不等式的解集为______.
(四) 绝对值不等式的解法
例4．(1)、（2023·上海高三）不等式的解集是_________
(2)、（2023·上海高一单元测试）不等式的解集是________．
(3)、（2023·上海外国语大学附属大境中学高三月考）不等式的解集是_____________
例5．（2023·上海高一专题练习）已知关于的不等式.
（1）当时，求此不等式的解集；
（2）当时，求此不等式的解集.
(五)二次不等式综合问题
例6．(1)、（2023·上海高一专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
(2)．（2023·江苏省南京市第十二中学高一月考）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-1】．（2023·宁阳县第四中学高二期末）不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-2】．（2023·调兵山市第一高级中学高二月考）已知函数，（），若任意，且都有，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
例7．（2023·上海市张堰中学）已知不等式的解集为.
（1）求m、n的值；
（2）求不等式的解集.
【变式训练7-1】．（2023·鸡泽县第一中学高一月考）设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·上海市建平中学）不等式的解集为__________.
2．（2023·上海市杨思高级中学）不等式的解集是_____________；
3．（2023·上海市洋泾中学高一期中）关于的一元二次不等式的解集是，则的值为______.
4．（2023·上海复旦附中青浦分校高一月考）不等式的解集是________．
5．（2023·上海市第三女子中学）不等式的解集为____________.
6．（2022·全国高三专题练习）对，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
7．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一月考）下列各组不等式，同解的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
8．（2023·上海高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
9．（2023·上海市行知中学高一期中）解关于的不等式.
10．（2023·上海高一单元测试）设关于的不等式和的解集分别为和.
（1）求集合；
（2）是否存在实数，使得？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；
（3）若，求实数的取值范围.
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ<0))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ<0))
设二次函数
y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有
实数根
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
不等式解集
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
专题2.2 不等式的求解
一、考情分析
二、考点梳理
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5写解集.根据图象写出不等式的解集.
2. 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3．已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
1根据解集来判断二次项系数的符号；
2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
4.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
5．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
6.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
三、题型突破
(一) 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.三个“二次”的关系
例1．（1）、（2023·上海）不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a>4或a<－4}B．{a|－4C．{a|a≥4或a≤－4}D．{a|－4≤a≤4}
【答案】A
【分析】
由已知可得只需不等式x2＋ax＋4<0有解，即，计算即可得解.
【详解】
不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，
所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
故选:A.
（2）．.
【解析】原不等式可化为，因为恒成立，
所以原不等式无解，即原不等式的解集为.
（3）．（2023·江苏省震泽中学高二月考）已知函数．则不等式的解集为________．
【答案】
【分析】
根据解一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】
，
故答案为：
【变式训练1-1】．（2023·江苏）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】
，
故选：A.
【变式训练1-2】、（2023·上海市嘉定区中光高级中学）若不等式的解集是（2，3），则的解集为（ ）
A．B．（2，3）C．D．
【答案】D
【分析】
由已知可得方程的两个根为2和3，从而可求出，则不等式可化为，进而可求出不等式的解集
【详解】
因为不等式的解集是（2，3），
所以方程的两个根为2和3，
所以，得，
不等式可化为，即，
解得或，
所以不等式的解集为，
故选：D
【变式训练1-3】．（2023·上海南汇中学）是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】
先求出两个不等式的解集，再利用集合的包含关系即可得解.
【详解】
解不等式得：或，则的解集是或，
解不等式得：，则的解集是，
显然BA，所以是的必要非充分条件.
故选：B
(二) 含有参数的一元二次不等式的解法
1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。
例2．（1）（2023·江苏省震泽中学高二月考）已知不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
由题意可知，不等式的解集为，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由题意可知，不等式的解集为，则，解得.
故选：C.
（2）．（2023·全国高一单元测试）二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A．B．5C．D．6
【答案】D
【分析】
根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可.
【详解】
不等式的解集为，
，
原不等式等价于，
由韦达定理知，，
，，
．
故选：D．
（3）．（2023·上海高一开学考试）关于x的不等式x2+ax﹣3＜0，解集为（﹣3，1），则不等式ax2+x﹣3＜0的解集为
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．D．
【答案】D
【分析】
由题意知﹣3和1是方程x2+ax﹣3＝0的两根，可求得a的值；再代入不等式ax2+x﹣3＜0中求不等式的解集．
【详解】
由题意知，x＝﹣3，x＝1是方程x2+ax﹣3＝0的两根，可得﹣3+1＝﹣a，解得a＝2；
所以不等式为2x2+x﹣3＜0，即（2x+3）（x﹣1）＜0，
解得，
所以不等式的解集为（﹣，1）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
【变式训练2-1】．25．（2023·上海市金山中学高一月考）若不等式的解集为，则___________.
【答案】28
【分析】
根据根与系数的关系即可求得.
【详解】
由题意，方程的两根为，则
故答案为：28.
【变式训练2-2】．（2023·重庆）已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
试题分析：因为函数的定义域是一切实数，所以当时，函数对定义域上的一切实数恒成立；当时，则，解得，综上所述，可知实数的取值范围是，故选D.
考点：函数的定义域.
【变式训练2-3】．（2023·江苏省南京市第十二中学高一月考）设为实数，若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
依题意可得，再解一元二次不等式即可；
【详解】
解：因为关于的一元二次方程没有实数根，
所以，即，解得，即
故答案为：
(三) 分式不等式的解法
1.分式不等式：形如eq \f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
例3．（1）．（2023·上海高一专题练习）若不等式的解集是{x|-1≤x<5}，则a的值为____.
【答案】5
【分析】
将分式不等式转化为整式不等式，然后利用不等式的解集求得参数的结果.
【详解】
原不等式等价于(x+1)(x-a)≤0且.
因为不等式的解集为{x|-1≤x<5}，
所以( x-5) (x+1)≤0，且x≠5，
故a=5.
故答案为：5.
(2)．（2023·江苏省高邮中学高二月考）不等式的解集为________．
【答案】
【分析】
首先写出分式不等式的等价不等式，再解一元二次不等式即可；
【详解】
解：因为，所以，等价于解得或，故原不等式的解集为
故答案为：
【变式训练3-1】．（2023·全国高一课时练习）求不等式的解集.
【答案】
【分析】
直接将分式不等式移项通分化成二次不等式求解
【详解】
，
所以原不等式的解集为.
【变式训练3-2】．（2023·上海高三）不等式的解集为______.
【答案】
【分析】
移项通分后转化为一元二次不等式求解．
【详解】
．
故答案为：．
(四) 绝对值不等式的解法
例4．(1)、（2023·上海高三）不等式的解集是_________
【答案】
【分析】
通过分类讨论法去掉不等式中的绝对值即可求解.
【详解】
①当时，即时，，故，
②当时，即时，由，
又因为恒成立，故，
综上所述，的解集为或.
故答案为：.
(2)、（2023·上海高一单元测试）不等式的解集是________．
【答案】
【分析】
根据零点分段法讨论的范围，解各个区间上的不等式，最后取并集即可求出结果.
【详解】
当时，原不等式可化为，无解；
当时，原不等式可化为，即，所以；
当时，原不等式可化为，即，所以．
综上，原不等式的解集为.
故答案为：.
(3)、（2023·上海外国语大学附属大境中学高三月考）不等式的解集是_____________
【答案】
【分析】
分别考虑，由此求解出不等式解集.
【详解】
当时，，所以且，故无解；
当时，，即，显然无解；
当时，，所以且，故无解；
由上可知，不等式解集为，
故答案为：.
例5．（2023·上海高一专题练习）已知关于的不等式.
（1）当时，求此不等式的解集；
（2）当时，求此不等式的解集.
【答案】（1）；（2）当，解集为；当，解集为空集；当，解集为.
【分析】
（1）当时，不等式即，变形可得，解得的取值范围即可得答案；
（2）原不等式变形可以转化为，对的值分3种情况进行讨论，求出不等式的解集，即可得答案．
【详解】
（1）根据题意，当时，不等式即，
变形可得，解可得，
即该不等式的解集为；
（2）根据题意，不等式：即，
则有，
又，不等式可以变形为
分3种情况讨论：
①，时，不等式的解集为，；
②，当时，不等式为，解集为空集；
③，当时，不等式的解集为．
【点睛】
本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式转化为整式不等式求解，考查了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想的应用，属于基础题．
(五)二次不等式综合问题
例6．(1)、（2023·上海高一专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
由题意得，利用韦达定理找到之间的关系，代入所求不等式即可求得.
【详解】
不等式的解集为，则与是方程的两根，且，
由韦达定理知，，
即，，
则不等式可化简为，
整理得： ，即，由得或，
故选：C.
【点睛】
本题主要考一元二次不等式，属于较易题.
(2)．（2023·江苏省南京市第十二中学高一月考）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据不等式的解集求出a、b和c的关系，代入不等式中化简，即可求出该不等式的解集．
【详解】
不等式的解集是，所以方程的解是和，且，
则，解得，，
所以不等式化为，即，解得，
所以，所求不等式的解集是．
故选：A．
【变式训练6-1】．（2023·宁阳县第四中学高二期末）不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，不等式对恒成立，即恒成立，
设，由可得，
所以，只需，即的取值范围为.故选：B.
【变式训练6-2】．（2023·调兵山市第一高级中学高二月考）已知函数，（），若任意，且都有，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，因为对任意的，且都有，
故可得，可得函数在上单调递增，
的对称轴为，
，解之得.故a的取值范围是.故选：A.
例7．（2023·上海市张堰中学）已知不等式的解集为.
（1）求m、n的值；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据一元二次不等式的端点为对应方程的解，代入即可得解；
（2）由的值解分式不等式，即可得解.
【详解】
（1）由题意可得，所以，
不等式为，
解得，所以，
综上可得：；
（2）由可得，
即 ，可得，
即解集为：.
【变式训练7-1】．（2023·鸡泽县第一中学高一月考）设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）由得，然后分、、三种情况来解不等式；
（2）由恒成立，由参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1），，.
当时，不等式的解集为；
当时，原不等式为，该不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）由题意，当时，恒成立，
即时，恒成立.
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·上海市建平中学）不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】
原不等式化为，分解因式后直接求解.
【详解】
∵，
∴，
即，
∴，
即不等式的解集为.
故答案为：.
2．（2023·上海市杨思高级中学）不等式的解集是_____________；
【答案】
【分析】
分解因式从而得到解集.
【详解】
不等式，即，
所以或，即解集为：.
故答案为：.
3．（2023·上海市洋泾中学高一期中）关于的一元二次不等式的解集是，则的值为______.
【答案】
【分析】
转化为且和是一元二次方程的两个实根，再根据韦达定理可求得结果.
【详解】
因为关于的一元二次不等式的解集是，
所以且和是一元二次方程的两个实根，
所以，，解得，，
所以.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：转化为且和是一元二次方程的两个实根求解是解题关键.
4．（2023·上海复旦附中青浦分校高一月考）不等式的解集是________．
【答案】
【分析】
原不等式等价于 或，然后分别求解，即可得到答案.
【详解】
由
则 或
由，有，即
由得或
满足的范围是或
故答案为：
5．（2023·上海市第三女子中学）不等式的解集为____________.
【答案】
【分析】
分和讨论去绝对值后，解出不等式即可.
【详解】
解：当时，，解得，
当时，，解得，
综合得不等式的解集为.
故答案为：.
6．（2022·全国高三专题练习）对，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】
对讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到的取值范围.
【详解】
不等式对一切恒成立，
当，即时，恒成立，满足题意；
当时，要使不等式恒成立，
需，即有，
解得.
综上可得，的取值范围为.
故选：A.
7．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一月考）下列各组不等式，同解的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】
分别求出每个选项中的两个不等式的解集，比较解集即可得正确选项.
【详解】
对于A：由可得，解得：，所以的解集为：，由可得，即，
所以，解得：或，所以不等式的解集为，所以解集不同，故选项A不正确；
对于B：由可得：，即，解集为：，不等式的解集为，所以解集不同，故选项B不正确；
对于C：由可得，解得：且，所以不等式的解集为且，而不等式的解集为，所以解集不同，故选项C不正确；
对于D：由解得：或，所以不等式的解集为或，由可得，所以，因为，所以，所以，解集为或，所以解集相同，故选项D正确；
故选：D.
8．（2023·上海高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】
由等价于，进而可求出不等式的解集.
【详解】
由题意，等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】
本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.
9．（2023·上海市行知中学高一期中）解关于的不等式.
【答案】答案见解析.
【分析】
先讨论与的大小，当时，再讨论与的大小可求得结果
【详解】
不等式等价于，
当时，不等式化为，其解集为，
当时，不等式化为，其解集为，
当时，不等式化为，
当，即时，其解集为，
当，即时，其解集为，
当，即时，其解集为.
【点睛】
关键点点睛：对进行分类讨论求解是解题关键.
10．（2023·上海高一单元测试）设关于的不等式和的解集分别为和.
（1）求集合；
（2）是否存在实数，使得？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）不存在；理由见解析；（3）.
【分析】
（1）解一元二次不等式能求出集合．
（2）由，根据和分类讨论，得到不存在实数，使得．
（3）由，根据和分类讨论，能求出实数的取值范围．
【详解】
解：（1）不等式可化为，
解得或，所以不等式的解集为或；
（2）当时，不等式化为，此时不等式无解，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式化为，此时不等式无解，
当时，，不等式的解集为，
综上所述：当或时，，
当或时，，
当时，，
要使，
当时，，， 或，无解，
当时，，，，，无解，
故不存在实数，使得．
（3），当时，，或，即，
解得 或，
此时实数的取值范围是，，，
当时，或，即，
解得，
此时，实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查含参一元二次不等式的解法，解含参一元二次不等式需分类讨论，首先判断二次项系数是否为零，再对所对应的一元二次方程的根进行分类讨论；
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ<0))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ<0))
设二次函数
y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有
实数根
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
不等式解集
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅