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数学必修 第一册1.2 常用逻辑用语测试题
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这是一份数学必修 第一册1.2 常用逻辑用语测试题，共25页。试卷主要包含了下列说法中等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·上海市新场中学高一月考），，且若则是真命题，求实数的取值范围是__________________．
2．（2022·上海高三专题练习）命题“若，则”的否命题为_______命题．（填“真”或“假”）
3．（2023·上海高一专题练习）命题“面积不相等的两个三角形不全等”的逆否命题是_______________________.
4．（2023·上海）命题“若都是奇数，则是偶数”的否命题是_______
5．（2023·上海高一单元测试）给出下列四个命题：（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）
6．（2023·上海高一单元测试）已知函数在上是增函数，，那么命题“如果，则”的逆命题的真假性是________.（填：真或假）
7．（2023·上海市新场中学高一月考）写出“”的一个必要非充分条件是__________________．
8．（2023·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）“”的一个必要非充分条件是____________；
9．（2022·上海南汇中学）下列说法中：
①“若，则”的否命题是“若，则”；
②“”是“”的必要非充分条件；
③“”是“或”的充分非必要条件；
④“”是“且”的充要条件.
其中正确的序号为__________．
10．（2017·上海复旦附中高三月考）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________
11．（2023·上海高一专题练习）设是两个实数，给出下列条件：
①；②；③；④；⑤.
其中能推出：“中至少有一个大于”的条件是____________．
12．（2023·上海市进才中学高一期中）命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为__________．
13．（2023·上海市行知中学高一月考）用反证法证明命题“若，则且”时，应假设为__________．
14．（2023·上海高一专题练习）有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·上海高三）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一期末）已知是R上的偶函数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B组 能力提升
17．（2023·上海市新场中学高一月考）已知命题：，命题：
（1）若是必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）求证：是成立的充要条件．
18．（2023·上海南汇中学高一月考）已知全集为R，集合，或
（1）当时，求实数的取值范围；
（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.
19．（2023·上海高一单元测试）命题：关于的方程有实数解；
命题：，关于的不等式都成立；
若命题和命题都是真命题，则实数的取值范围．
20．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）已知命题：关于方程有两个不相等的负根，命题：关于的方程无实数根.
（1）若命题是真命题，求的取值范围；
（2）若命题，中有且仅有一个是真命题，求的取值范围.
21．（2023·上海高三专题练习）对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”
（1）若求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．
22．（2022·上海市建平中学高三月考）已知无穷数列，，满足：，，，．记（表示个实数，，中的最大值）．
（1）若，，，求，的可能值；
（2）若，，求满足的的所有值；
（3）设，，是非零整数，且，，互不相等，证明：存在正整数，使得数列，，中有且只有一个数列自第项起各项均为．
23．（2023·上海高一专题练习）（1）已知，，且，比较是与的大小；
（2）用反证法证明：若a、b、，且，，，则x、y、z中至少有一个不小于0；
（3）用分析法证明：．
24．（2023·上海高一专题练习）已知.
求证：，，中至少有一个不小于6.
25．（2023·上海高一单元测试）⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．
专题1.2 常用的逻辑用语
A组 基础巩固
1．（2023·上海市新场中学高一月考），，且若则是真命题，求实数的取值范围是__________________．
【答案】
【分析】
根据已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
，，且若则是真命题，则，
所以，，解得.
故答案为：.
2．（2022·上海高三专题练习）命题“若，则”的否命题为_______命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】
根据否命题的定义写出否命题，再判断真假．
【详解】
命题“若，则”的否命题为“若，则”，这是真命题，因此它等价的命题“若，则”是真命题．
故答案为：真．
3．（2023·上海高一专题练习）命题“面积不相等的两个三角形不全等”的逆否命题是_______________________.
【答案】两个全等的三角形的面积相等
【分析】
由逆否命题定义可直接得到结果.
【详解】
由逆否命题的定义可知原命题的逆否命题为：两个全等的三角形的面积相等.
故答案为：两个全等的三角形的面积相等.
4．（2023·上海）命题“若都是奇数，则是偶数”的否命题是_______
【答案】若不都是奇数，则不是偶数
【分析】
根据否命题的定义求解可得答案.
【详解】
命题“若都是奇数，则是偶数”的否命题是：若不都是奇数，则不是偶数.
故答案为：若不都是奇数，则不是偶数
【点睛】
关键点点睛：掌握否命题的定义是解题关键.
5．（2023·上海高一单元测试）给出下列四个命题：（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）
【答案】（1）（2）（4）
【分析】
根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
（1）若，，则，因此，即（1）正确；
（2）若，根据不等式性质，可得；即（2）正确；
（3）若，，满足，但不满足；（3）错误；
（4）若，则，因此，即；故（4）正确；
故答案为：（1）（2）（4）
【点睛】
本题主要考查判定命题的真假，考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于基础题型.
6．（2023·上海高一单元测试）已知函数在上是增函数，，那么命题“如果，则”的逆命题的真假性是________.（填：真或假）
【答案】真
【分析】
写出原命题的逆命题，利用反证法，假设，根据函数单调性可推出，与题设矛盾，即可判断.
【详解】
逆命题为：已知函数是上的增函数，，若，则.
假设，则有，.
函数在上单调递增，
，，
，
这与矛盾，
逆命题为真命题．
故答案为：真.
【点睛】
本题主要考查了命题的逆命题，反证法，函数的单调性，属于中档题.
7．（2023·上海市新场中学高一月考）写出“”的一个必要非充分条件是__________________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
根据集合的包含关系可得出结果.
【详解】
因为，故“”的一个必要非充分条件是“”.
故答案为：（答案不唯一）.
8．（2023·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）“”的一个必要非充分条件是____________；
【答案】（答案不唯一）.
【分析】
利用必要非充分条件的定义进行求解.
【详解】
依题意，即，
要找“”的一个必要非充分条件，
就是找一个集合使集合为其真子集，
则集合可取，从而必要非充分条件可取.
故答案为：（答案不唯一）.
9．（2022·上海南汇中学）下列说法中：
①“若，则”的否命题是“若，则”；
②“”是“”的必要非充分条件；
③“”是“或”的充分非必要条件；
④“”是“且”的充要条件.
其中正确的序号为__________．
【答案】③
【分析】
根据否命题与原命题的关系可判断命题①的正误；解方程，根据充分必要性可判断出命题②的正误；由命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”得出“”是“或”的充分必要性与“且”是“”的充分必要性相同，从而判断命题③的正误；利用举反例和逻辑推理来判断命题④的正误.
【详解】
对于命题①，“若，则”的否命题是“若，则”，命题①错误；
对于命题②，解方程，得或，
所以，“”是“”的充分非必要条件，命题②错误；
对于命题③，由于命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，可知，“”是“或”的充分必要性与“且”是“”的充分必要性相同，
“且”“”，取，则，所以，“”“且”，则“且”是“”的充分非必要条件，
所以，“”是“或”的充分非必要条件，命题③正确；
对于命题④，取，，则满足，但“”“且”，
由不等式性质可知，当且，有，则“且”“”.
所以，“”“且”必要非充分条件，命题④错误.
故答案为③.
【点睛】
本题考查四种命题以及充分必要性的判断，常利用举反例和逻辑推理进行推导，考查推理论证能力，属于中等题.
10．（2017·上海复旦附中高三月考）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________
【答案】
【分析】
根据充分条件，必要条件和集合之间的关系等价法，即可求出.
【详解】
因为是的充分非必要条件，所以是的真子集．
当，即时，，解得，又因为，所以；
当时，，显然是
的真子集．
综上，实数的取值范围是．
故答案为：.
11．（2023·上海高一专题练习）设是两个实数，给出下列条件：
①；②；③；④；⑤.
其中能推出：“中至少有一个大于”的条件是____________．
【答案】③.
【分析】
对于①②④⑤分别用举例的方法进行判断，对③用反证法进行证明并判断.
【详解】
若，则，但，故①推不出；
若，则，故②推不出；
若，则，故④推不出；
若，则，故⑤推不出；
对于③，即，则中至少有一个大于1，
反证法：假设且，
则与矛盾，
因此假设不成立，中至少有一个大于1.
故答案为：③.
【点睛】
本题考查用反证法、举例判断的方法判断命题是否成立，难度一般.反证法的证明步骤：先假设结论不成立，然后利用假设的结论推导出与题意矛盾的条件，即可完成证明.
12．（2023·上海市进才中学高一期中）命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为__________．
【答案】.
【详解】
分析： 利用的否定为不都等于，从而可得结果.
详解：考虑的否定，由于都等于，故否定为不都等于，故答案为或.
点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．
13．（2023·上海市行知中学高一月考）用反证法证明命题“若，则且”时，应假设为__________．
【答案】或
【详解】
分析：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果.
详解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“或”，故答案为或.
14．（2023·上海高一专题练习）有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用逆命题的定义判断①和④，利用否命题的定义判断②，由原命题和逆否命题的关系判断③．
【详解】
①的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题；
②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；
③为真命题，∵时，一元二次方程的判别式，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题；
④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”
故选：C
15．（2022·上海高三）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
由，结合充分条件、必要条件的定义，即可判断
【详解】
由题意，
故“”推不出“”，即充分性不成立；
“”也推不出“”，即必要性不成立
故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一期末）已知是R上的偶函数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，函数是R上的偶函数，
若，则，则成立，即充分性成立；
若，则或，即必要性不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
B组 能力提升
17．（2023·上海市新场中学高一月考）已知命题：，命题：
（1）若是必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）求证：是成立的充要条件．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）设，，由题意可知是的真子集，分和两种情况讨论，列出满足条件的不等式组即可求解；
（2）分别证明充分性和必要性即可.
【详解】
设，，
若是必要非充分条件，则是的真子集，
当时，，此时满足是的真子集，符合题意；
当时，若是的真子集，则，所以，
综上所述：实数的取值范围为：；
（2）充分性：若，则
若，则，
所以命题：可得出命题：；故充分性成立；
必要性：若，则，
若命题：可得出命题：，则，
所以，故必要性成立；
综上所述：是成立的充要条件.
18．（2023·上海南汇中学高一月考）已知全集为R，集合，或
（1）当时，求实数的取值范围；
（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）由可得或，从而可求得答案，
（2）由是的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集，从而可得，从而可求出实数的取值范围
【详解】
（1）因为集合，或，且，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围为，
（2）因为，所以或，
因为是的必要非充分条件，
所以集合是集合的真子集，
所以，得，
所以实数的取值范围为
19．（2023·上海高一单元测试）命题：关于的方程有实数解；
命题：，关于的不等式都成立；
若命题和命题都是真命题，则实数的取值范围．
【答案】
【分析】
对于命题，讨论和时，结合判别式求出范围；对于命题，根据的单调性求出最值即可得出范围，联立两个命题即可得出答案.
【详解】
命题：关于的方程有实数解，
讨论如下：①显然成立；
②时，，整理的
解得：，且；
∴命题为真命题时，；
命题：，关于的不等式都成立
令，
函数在单调递减，
不等式恒成立，∴；
因为命题和命题都是真命题，所以的范围．
【点睛】
方法点睛：解决此类问题一般先求出命题为真时对应的参数范围，再结合命题的真假或复合命题的真假列出对应的不等式求解.
20．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）已知命题：关于方程有两个不相等的负根，命题：关于的方程无实数根.
（1）若命题是真命题，求的取值范围；
（2）若命题，中有且仅有一个是真命题，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据命题为真，得到方程有两不等负根，由此列出不等式求解，即可得出结果；
（2）先求出为真命题时，的范围，再由题中条件，得到，一真一假，由此可求出结果.
【详解】
（1）若命题是真命题，则关于方程有两个不相等的负根，
所以只需，解得，
即的取值范围为；
（2）若为真命题，即关于的方程无实数根，
则，即，解得：或；
若为假命题，则；
由（1）知，是真命题时，；所以为假命题时，或；
因为命题，中有且仅有一个是真命题，
当为真命题，为假命题时，由，可得；
当为真命题，为假命题时，只需求与的交集，即；
综上，的取值范围为.
21．（2023·上海高三专题练习）对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”
（1）若求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）所有满足该条件的数列的通项公式为，，．
【分析】
（1）根据为递增数列以及收缩数列的定义可得结果；
（2）根据，以及不等式的性质可得，再根据收缩数列的定义可得结果；
（3）在中，令可得，猜测，，，再证明证明其它数列都不满足（3）的题设条件，可得解.
【详解】
（1）由可得为递增数列，
所以，
所以.
（2）因为，
，所以
所以，
所以，又因为，
所以，
所以数列的“收缩数列”仍是.
（3）由，
可知当时，，
当时，，则，因为，所以，
当时，，即（*），
若，则，所以由（*）可得，与矛盾；
若，则，所以由（*）可得，即与同号，这与相矛盾；
若，则，所以由（*）可得，符合，
猜想，满足的数列为
，，，
经验证左边，
右边，
下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件，
由上述的情况可知，时是成立的，
假设是首次不符合，的项，则，
由题设条件可得，
即（&），
若，则，所以由（&）式化简可得与矛盾，
若，则，所以由（&）式化简可得，所以与同号，这与矛盾，
若，则，所以由（&）化简可得，这与矛盾，
所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件，
所以所有满足条件的数列的通项公式为，，.
【点睛】
本题考查了数列中的新定义，考查了分类讨论思想，考查了等差数列的求和公式，考查了归纳推理能力，考查了反证法，考查了数列的单调性，解题关键是对新定义的理解和运用，属于难题.
22．（2022·上海市建平中学高三月考）已知无穷数列，，满足：，，，．记（表示个实数，，中的最大值）．
（1）若，，，求，的可能值；
（2）若，，求满足的的所有值；
（3）设，，是非零整数，且，，互不相等，证明：存在正整数，使得数列，，中有且只有一个数列自第项起各项均为．
【答案】（1），； ，； ，； ，；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用已知关系代入特殊值求出可能情况即可；
（2）先设，计算，再结合的定义得，，最后利用分类讨论计算出，满足得值即可；
（3）利用反证法证明即可.
【详解】
（1）由，得，所以；
由，得，所以，
又，故，，．
所以，的所有可能值为
，；
，；
，；
，．
（2）若，，记，则，，又，故
，，，
当时，，，由，得，不符合；
当时，，
由，得，符合；
当时，，
由，得，符合；
综上，的所有取值是；
（3）先证明“存在正整数，使中至少有一个为0”．
假设对任意正整数，都不为0，
由是非零整数，且互不相等，得，．
若对任意，都不为0，则，
即对任意，．
当时，
，
所以，．
所以，严格单调递减，
由为有限正整数，
所以，必存在正整数，使得，矛盾．
所以，存在正整数，使中至少有一个为0．
不妨设，且，，，，
则，且，
否则，若，
因为，则必有，矛盾．
于是，，且，
所以，，，
依次递推，即有：对，且，
此时有且仅有一个数列自第项起各项均为0．
综上，结论成立．
【点睛】
本题考查了数列的综合应用，考查了分类讨论思想和反证法，属于难题.
23．（2023·上海高一专题练习）（1）已知，，且，比较是与的大小；
（2）用反证法证明：若a、b、，且，，，则x、y、z中至少有一个不小于0；
（3）用分析法证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
(1)利用作差法比较即可；
(2)利用反证法，假设x、y、z均小于0，结合题设条件以及假设得到，与矛盾，从而假设错误，则x、y、z中至少有一个不小于0正确；
(3)利用分析法以及不等式的性质求解即可.
【详解】
（1）∵
，
又，，，
∴，，，
∴，∴．
（2）证明：假设x、y、z均小于0，即：
…①；
…②；
…③；
①+②+③得，
这与矛盾，
则假设不成立，
∴x、y、z中至少有一个不小于0．
（3）因为，从而
因为成立，所以原不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了利用作差法比较大小、反证法以及分析法证明不等式，属于中等题.
24．（2023·上海高一专题练习）已知.
求证：，，中至少有一个不小于6.
【答案】见解析
【详解】
分析：一般利用反证法分析解答.
详解：假设，，都小于6，
即，，
.
.
这与假设相矛盾,故假设不成立,从而原结论成立.
点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.
如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法.
25．（2023·上海高一单元测试）⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：
⑴由，
当时，可得，即可证明结论；
⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，
进而，即可得到矛盾，即可作出证明．
试题解析：
⑴
∵ ∴
∴
⑵假设都小于，即
则有 ①
而 ②
①与②矛盾
故至少有一个不小于．
1．（2023·上海市新场中学高一月考），，且若则是真命题，求实数的取值范围是__________________．
2．（2022·上海高三专题练习）命题“若，则”的否命题为_______命题．（填“真”或“假”）
3．（2023·上海高一专题练习）命题“面积不相等的两个三角形不全等”的逆否命题是_______________________.
4．（2023·上海）命题“若都是奇数，则是偶数”的否命题是_______
5．（2023·上海高一单元测试）给出下列四个命题：（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）
6．（2023·上海高一单元测试）已知函数在上是增函数，，那么命题“如果，则”的逆命题的真假性是________.（填：真或假）
7．（2023·上海市新场中学高一月考）写出“”的一个必要非充分条件是__________________．
8．（2023·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）“”的一个必要非充分条件是____________；
9．（2022·上海南汇中学）下列说法中：
①“若，则”的否命题是“若，则”；
②“”是“”的必要非充分条件；
③“”是“或”的充分非必要条件；
④“”是“且”的充要条件.
其中正确的序号为__________．
10．（2017·上海复旦附中高三月考）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________
11．（2023·上海高一专题练习）设是两个实数，给出下列条件：
①；②；③；④；⑤.
其中能推出：“中至少有一个大于”的条件是____________．
12．（2023·上海市进才中学高一期中）命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为__________．
13．（2023·上海市行知中学高一月考）用反证法证明命题“若，则且”时，应假设为__________．
14．（2023·上海高一专题练习）有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·上海高三）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一期末）已知是R上的偶函数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B组 能力提升
17．（2023·上海市新场中学高一月考）已知命题：，命题：
（1）若是必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）求证：是成立的充要条件．
18．（2023·上海南汇中学高一月考）已知全集为R，集合，或
（1）当时，求实数的取值范围；
（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.
19．（2023·上海高一单元测试）命题：关于的方程有实数解；
命题：，关于的不等式都成立；
若命题和命题都是真命题，则实数的取值范围．
20．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）已知命题：关于方程有两个不相等的负根，命题：关于的方程无实数根.
（1）若命题是真命题，求的取值范围；
（2）若命题，中有且仅有一个是真命题，求的取值范围.
21．（2023·上海高三专题练习）对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”
（1）若求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．
22．（2022·上海市建平中学高三月考）已知无穷数列，，满足：，，，．记（表示个实数，，中的最大值）．
（1）若，，，求，的可能值；
（2）若，，求满足的的所有值；
（3）设，，是非零整数，且，，互不相等，证明：存在正整数，使得数列，，中有且只有一个数列自第项起各项均为．
23．（2023·上海高一专题练习）（1）已知，，且，比较是与的大小；
（2）用反证法证明：若a、b、，且，，，则x、y、z中至少有一个不小于0；
（3）用分析法证明：．
24．（2023·上海高一专题练习）已知.
求证：，，中至少有一个不小于6.
25．（2023·上海高一单元测试）⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．
专题1.2 常用的逻辑用语
A组 基础巩固
1．（2023·上海市新场中学高一月考），，且若则是真命题，求实数的取值范围是__________________．
【答案】
【分析】
根据已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
，，且若则是真命题，则，
所以，，解得.
故答案为：.
2．（2022·上海高三专题练习）命题“若，则”的否命题为_______命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】
根据否命题的定义写出否命题，再判断真假．
【详解】
命题“若，则”的否命题为“若，则”，这是真命题，因此它等价的命题“若，则”是真命题．
故答案为：真．
3．（2023·上海高一专题练习）命题“面积不相等的两个三角形不全等”的逆否命题是_______________________.
【答案】两个全等的三角形的面积相等
【分析】
由逆否命题定义可直接得到结果.
【详解】
由逆否命题的定义可知原命题的逆否命题为：两个全等的三角形的面积相等.
故答案为：两个全等的三角形的面积相等.
4．（2023·上海）命题“若都是奇数，则是偶数”的否命题是_______
【答案】若不都是奇数，则不是偶数
【分析】
根据否命题的定义求解可得答案.
【详解】
命题“若都是奇数，则是偶数”的否命题是：若不都是奇数，则不是偶数.
故答案为：若不都是奇数，则不是偶数
【点睛】
关键点点睛：掌握否命题的定义是解题关键.
5．（2023·上海高一单元测试）给出下列四个命题：（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）
【答案】（1）（2）（4）
【分析】
根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
（1）若，，则，因此，即（1）正确；
（2）若，根据不等式性质，可得；即（2）正确；
（3）若，，满足，但不满足；（3）错误；
（4）若，则，因此，即；故（4）正确；
故答案为：（1）（2）（4）
【点睛】
本题主要考查判定命题的真假，考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于基础题型.
6．（2023·上海高一单元测试）已知函数在上是增函数，，那么命题“如果，则”的逆命题的真假性是________.（填：真或假）
【答案】真
【分析】
写出原命题的逆命题，利用反证法，假设，根据函数单调性可推出，与题设矛盾，即可判断.
【详解】
逆命题为：已知函数是上的增函数，，若，则.
假设，则有，.
函数在上单调递增，
，，
，
这与矛盾，
逆命题为真命题．
故答案为：真.
【点睛】
本题主要考查了命题的逆命题，反证法，函数的单调性，属于中档题.
7．（2023·上海市新场中学高一月考）写出“”的一个必要非充分条件是__________________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
根据集合的包含关系可得出结果.
【详解】
因为，故“”的一个必要非充分条件是“”.
故答案为：（答案不唯一）.
8．（2023·嘉定区·上海大学附属南翔高级中学高一月考）“”的一个必要非充分条件是____________；
【答案】（答案不唯一）.
【分析】
利用必要非充分条件的定义进行求解.
【详解】
依题意，即，
要找“”的一个必要非充分条件，
就是找一个集合使集合为其真子集，
则集合可取，从而必要非充分条件可取.
故答案为：（答案不唯一）.
9．（2022·上海南汇中学）下列说法中：
①“若，则”的否命题是“若，则”；
②“”是“”的必要非充分条件；
③“”是“或”的充分非必要条件；
④“”是“且”的充要条件.
其中正确的序号为__________．
【答案】③
【分析】
根据否命题与原命题的关系可判断命题①的正误；解方程，根据充分必要性可判断出命题②的正误；由命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”得出“”是“或”的充分必要性与“且”是“”的充分必要性相同，从而判断命题③的正误；利用举反例和逻辑推理来判断命题④的正误.
【详解】
对于命题①，“若，则”的否命题是“若，则”，命题①错误；
对于命题②，解方程，得或，
所以，“”是“”的充分非必要条件，命题②错误；
对于命题③，由于命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，可知，“”是“或”的充分必要性与“且”是“”的充分必要性相同，
“且”“”，取，则，所以，“”“且”，则“且”是“”的充分非必要条件，
所以，“”是“或”的充分非必要条件，命题③正确；
对于命题④，取，，则满足，但“”“且”，
由不等式性质可知，当且，有，则“且”“”.
所以，“”“且”必要非充分条件，命题④错误.
故答案为③.
【点睛】
本题考查四种命题以及充分必要性的判断，常利用举反例和逻辑推理进行推导，考查推理论证能力，属于中等题.
10．（2017·上海复旦附中高三月考）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________
【答案】
【分析】
根据充分条件，必要条件和集合之间的关系等价法，即可求出.
【详解】
因为是的充分非必要条件，所以是的真子集．
当，即时，，解得，又因为，所以；
当时，，显然是
的真子集．
综上，实数的取值范围是．
故答案为：.
11．（2023·上海高一专题练习）设是两个实数，给出下列条件：
①；②；③；④；⑤.
其中能推出：“中至少有一个大于”的条件是____________．
【答案】③.
【分析】
对于①②④⑤分别用举例的方法进行判断，对③用反证法进行证明并判断.
【详解】
若，则，但，故①推不出；
若，则，故②推不出；
若，则，故④推不出；
若，则，故⑤推不出；
对于③，即，则中至少有一个大于1，
反证法：假设且，
则与矛盾，
因此假设不成立，中至少有一个大于1.
故答案为：③.
【点睛】
本题考查用反证法、举例判断的方法判断命题是否成立，难度一般.反证法的证明步骤：先假设结论不成立，然后利用假设的结论推导出与题意矛盾的条件，即可完成证明.
12．（2023·上海市进才中学高一期中）命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为__________．
【答案】.
【详解】
分析： 利用的否定为不都等于，从而可得结果.
详解：考虑的否定，由于都等于，故否定为不都等于，故答案为或.
点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．
13．（2023·上海市行知中学高一月考）用反证法证明命题“若，则且”时，应假设为__________．
【答案】或
【详解】
分析：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果.
详解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“或”，故答案为或.
14．（2023·上海高一专题练习）有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用逆命题的定义判断①和④，利用否命题的定义判断②，由原命题和逆否命题的关系判断③．
【详解】
①的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题；
②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；
③为真命题，∵时，一元二次方程的判别式，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题；
④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”
故选：C
15．（2022·上海高三）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
由，结合充分条件、必要条件的定义，即可判断
【详解】
由题意，
故“”推不出“”，即充分性不成立；
“”也推不出“”，即必要性不成立
故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一期末）已知是R上的偶函数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，函数是R上的偶函数，
若，则，则成立，即充分性成立；
若，则或，即必要性不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
B组 能力提升
17．（2023·上海市新场中学高一月考）已知命题：，命题：
（1）若是必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）求证：是成立的充要条件．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）设，，由题意可知是的真子集，分和两种情况讨论，列出满足条件的不等式组即可求解；
（2）分别证明充分性和必要性即可.
【详解】
设，，
若是必要非充分条件，则是的真子集，
当时，，此时满足是的真子集，符合题意；
当时，若是的真子集，则，所以，
综上所述：实数的取值范围为：；
（2）充分性：若，则
若，则，
所以命题：可得出命题：；故充分性成立；
必要性：若，则，
若命题：可得出命题：，则，
所以，故必要性成立；
综上所述：是成立的充要条件.
18．（2023·上海南汇中学高一月考）已知全集为R，集合，或
（1）当时，求实数的取值范围；
（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）由可得或，从而可求得答案，
（2）由是的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集，从而可得，从而可求出实数的取值范围
【详解】
（1）因为集合，或，且，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围为，
（2）因为，所以或，
因为是的必要非充分条件，
所以集合是集合的真子集，
所以，得，
所以实数的取值范围为
19．（2023·上海高一单元测试）命题：关于的方程有实数解；
命题：，关于的不等式都成立；
若命题和命题都是真命题，则实数的取值范围．
【答案】
【分析】
对于命题，讨论和时，结合判别式求出范围；对于命题，根据的单调性求出最值即可得出范围，联立两个命题即可得出答案.
【详解】
命题：关于的方程有实数解，
讨论如下：①显然成立；
②时，，整理的
解得：，且；
∴命题为真命题时，；
命题：，关于的不等式都成立
令，
函数在单调递减，
不等式恒成立，∴；
因为命题和命题都是真命题，所以的范围．
【点睛】
方法点睛：解决此类问题一般先求出命题为真时对应的参数范围，再结合命题的真假或复合命题的真假列出对应的不等式求解.
20．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）已知命题：关于方程有两个不相等的负根，命题：关于的方程无实数根.
（1）若命题是真命题，求的取值范围；
（2）若命题，中有且仅有一个是真命题，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据命题为真，得到方程有两不等负根，由此列出不等式求解，即可得出结果；
（2）先求出为真命题时，的范围，再由题中条件，得到，一真一假，由此可求出结果.
【详解】
（1）若命题是真命题，则关于方程有两个不相等的负根，
所以只需，解得，
即的取值范围为；
（2）若为真命题，即关于的方程无实数根，
则，即，解得：或；
若为假命题，则；
由（1）知，是真命题时，；所以为假命题时，或；
因为命题，中有且仅有一个是真命题，
当为真命题，为假命题时，由，可得；
当为真命题，为假命题时，只需求与的交集，即；
综上，的取值范围为.
21．（2023·上海高三专题练习）对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”
（1）若求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）所有满足该条件的数列的通项公式为，，．
【分析】
（1）根据为递增数列以及收缩数列的定义可得结果；
（2）根据，以及不等式的性质可得，再根据收缩数列的定义可得结果；
（3）在中，令可得，猜测，，，再证明证明其它数列都不满足（3）的题设条件，可得解.
【详解】
（1）由可得为递增数列，
所以，
所以.
（2）因为，
，所以
所以，
所以，又因为，
所以，
所以数列的“收缩数列”仍是.
（3）由，
可知当时，，
当时，，则，因为，所以，
当时，，即（*），
若，则，所以由（*）可得，与矛盾；
若，则，所以由（*）可得，即与同号，这与相矛盾；
若，则，所以由（*）可得，符合，
猜想，满足的数列为
，，，
经验证左边，
右边，
下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件，
由上述的情况可知，时是成立的，
假设是首次不符合，的项，则，
由题设条件可得，
即（&），
若，则，所以由（&）式化简可得与矛盾，
若，则，所以由（&）式化简可得，所以与同号，这与矛盾，
若，则，所以由（&）化简可得，这与矛盾，
所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件，
所以所有满足条件的数列的通项公式为，，.
【点睛】
本题考查了数列中的新定义，考查了分类讨论思想，考查了等差数列的求和公式，考查了归纳推理能力，考查了反证法，考查了数列的单调性，解题关键是对新定义的理解和运用，属于难题.
22．（2022·上海市建平中学高三月考）已知无穷数列，，满足：，，，．记（表示个实数，，中的最大值）．
（1）若，，，求，的可能值；
（2）若，，求满足的的所有值；
（3）设，，是非零整数，且，，互不相等，证明：存在正整数，使得数列，，中有且只有一个数列自第项起各项均为．
【答案】（1），； ，； ，； ，；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用已知关系代入特殊值求出可能情况即可；
（2）先设，计算，再结合的定义得，，最后利用分类讨论计算出，满足得值即可；
（3）利用反证法证明即可.
【详解】
（1）由，得，所以；
由，得，所以，
又，故，，．
所以，的所有可能值为
，；
，；
，；
，．
（2）若，，记，则，，又，故
，，，
当时，，，由，得，不符合；
当时，，
由，得，符合；
当时，，
由，得，符合；
综上，的所有取值是；
（3）先证明“存在正整数，使中至少有一个为0”．
假设对任意正整数，都不为0，
由是非零整数，且互不相等，得，．
若对任意，都不为0，则，
即对任意，．
当时，
，
所以，．
所以，严格单调递减，
由为有限正整数，
所以，必存在正整数，使得，矛盾．
所以，存在正整数，使中至少有一个为0．
不妨设，且，，，，
则，且，
否则，若，
因为，则必有，矛盾．
于是，，且，
所以，，，
依次递推，即有：对，且，
此时有且仅有一个数列自第项起各项均为0．
综上，结论成立．
【点睛】
本题考查了数列的综合应用，考查了分类讨论思想和反证法，属于难题.
23．（2023·上海高一专题练习）（1）已知，，且，比较是与的大小；
（2）用反证法证明：若a、b、，且，，，则x、y、z中至少有一个不小于0；
（3）用分析法证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
(1)利用作差法比较即可；
(2)利用反证法，假设x、y、z均小于0，结合题设条件以及假设得到，与矛盾，从而假设错误，则x、y、z中至少有一个不小于0正确；
(3)利用分析法以及不等式的性质求解即可.
【详解】
（1）∵
，
又，，，
∴，，，
∴，∴．
（2）证明：假设x、y、z均小于0，即：
…①；
…②；
…③；
①+②+③得，
这与矛盾，
则假设不成立，
∴x、y、z中至少有一个不小于0．
（3）因为，从而
因为成立，所以原不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了利用作差法比较大小、反证法以及分析法证明不等式，属于中等题.
24．（2023·上海高一专题练习）已知.
求证：，，中至少有一个不小于6.
【答案】见解析
【详解】
分析：一般利用反证法分析解答.
详解：假设，，都小于6，
即，，
.
.
这与假设相矛盾,故假设不成立,从而原结论成立.
点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.
如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法.
25．（2023·上海高一单元测试）⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：
⑴由，
当时，可得，即可证明结论；
⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，
进而，即可得到矛盾，即可作出证明．
试题解析：
⑴
∵ ∴
∴
⑵假设都小于，即
则有 ①
而 ②
①与②矛盾
故至少有一个不小于．
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