【备战2024年中职高考】中职数学 二轮复习 专题训练 专题04 数列测试卷（教师版）

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1、本试卷分为第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本题与答题卡一并交回。
2、本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01。
第Ι卷（选择题）
一、单选题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上。）
1、下列各数列中，既是等差数列又是等比数列的是( )。
A．－3，－3，－3，… B．0，0，0，…
C．3，－3，3，－3，… D．2，4，8，16，…
〖解析〗A。一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是非零的常数列；故答案为A。
2．有下列一列数：1，2，4，（ ），16，32，……按照规律，括号中的数应为（ ）
A．6 B．8
C．4 D．10
【答案】B。
【分析】根据已知的数字发现规律，直接写出括号中的数字。
【详解】根据前三项和后两项的规律可知，从第二个数起，每个数与前一个数的比都是2，则括号中的数是8。
故选：B。
3．已知数列满足，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C。
【分析】利用递推关系即求。
【详解】依题意有，则，
由此得，，，；
故选：C。
4．在数列{an}中，2an－an＋1＝0，a1＝1，则数列{an}的前10项和等于( )。
A．511 B．512
C．1023 D．1024
〖解析〗C。；故答案为C。
5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升”，则在该问题中从第1天至第3天共需给修筑堤坝的人分发的大米为（ ）
A．234升 B．639升
C．1236升 D．1917升
【答案】C。
【分析】由题意知,每天派出人数构成等差数列，利用等差数列求和即可求解.
【详解】设第天派出的人数为，
则是以64为首项、7为公差的等差数列，
则第天修筑堤坝的人数为，
所以前3天共分发的大米数为；
故选：C。
6．在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B。
【分析】根据等差数列的性质，利用倒序相加法求得所求表达式的值。
【详解】令，倒过来写，两式相加得，故，所以，
故选B。
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，即，考查倒序相加法，属于基础题。
7．若三个连续正整数的和是27,则在它前面的三个连续正整数的积是（）。
A．120 B．720
C．72 D．210
【答案】B。设有所以三个连续正数为8，9，10；其积为8×9×10=720；
故选：B。
8．数列中，，且，则（）。
A．1024 B．1023
C．510 D．511
【答案】D。
【分析】由题意结合递推关系求解的值即可。
【详解】由题意可得：，则：
。
本题选择D选项。
【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项。
9．已知数列满足，若数列是等比数列，则k值等于（ ）
A．1 B．1
C．2 D．2
【答案】D。
【分析】将所给数列递推式变形，由数列{an﹣1}是等比数列求得k的值。
【详解】解：由an+1＝kan﹣1，得；
由于数列{an﹣1}是等比数列，
∴，得k＝2；
故选D。
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题。
10．已知等比数列满足，且，则当时，（）。
A． B．
C． D．
【答案】C。
【详解】因为为等比数列，所以；；
故C正确。
11．记等差数列的前项和为若则（）。
A．16 B．24
C．36 D．48
【答案】D。
【详解】本题考查数列求和公式的简单应用，直接代入即可
由得，故。
12．已知等差数列中，公差，，，则（）。
A．5或7 B．3或5
C．7或-1 D．3或-1
【答案】D。
【详解】在等差数列中，公差，，，得 ，
解得 或 ．
故选D。
13．等差数列的前n项和为，已知，，当时，则n=（ ）
A．13 B．12
C．24 D．25
【答案】D。
【分析】先由，转化为，再应用等差数列的性质，将等差数列求和问题转化为中间项求解即可。
【详解】，．；
则，；
故选：D。
【点睛】等差数列常用结论：
若等差数列的项数为偶数，则；
若等差数列的项数为奇数，则。
14．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，Sm=30，S2m=100，则S3m=（）。
A. 170 B. 210
C. 300 D. 500
〖解析〗B。在等差数列中，Sm，S2m - Sm，S3m - S2m仍然成等差数列，所以2（S2m - Sm）=Sm+S3m - S2m;解得S3m - S2m=140 - 30=110，即S3m =210；
故答案为B。
15．下列数列不是等比数列的是（ ）
A．（为常数，）B．
C． D．
【答案】B。
【分析】根据等比数列的定义逐个判断即可求解。
【详解】对于A：选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列，故错误；
对于B：选项中，，所以该数列不是等比数列，故B正确；
对于C：选项中的数列是首项为1，公比为的等比数列，故C错误；
对于D：选项中的数列是首项为，公比为的等比数列，故D错误；
故选：B。
16．已知等比数列，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D。
【分析】设等比数列的公比为，求出的值，进而可求得。
【详解】设等比数列的公比为，则，因此，；
故选：D；
17．
A. 1 B. - 1
C. D.
〖解析〗A。；
故答案为A。
【点睛】本题考查三个数成等比数列的计算，难度较易.计算公比出现多解时，一定要验证是否都成立。
18．一个等比数列共有项，若前项之和为15，后项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（ ）
A．63 B．72
C．75 D．87
【答案】A。
【分析】根据等比数列前n项和的等片段和性质可求解。
【详解】由题意知，；
又，解得；
所以；
故选：A.。
19．以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ ）
①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A。
【分析】根据等比数列的定义逐项分析可得答案。
【详解】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；
②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
③中，当时，不是等比数列；
④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列；
故选：A.
【点睛】关键点点睛：理解等比数列的定义是解题关键。
20．已知等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则等于
A．6 B．4
C．3 D．
【答案】B。
【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程即可得到所求值。
【详解】等差数列的公差d为2，且是与的等比中项，
可得，即，
则；
故选B。
【点睛】考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题。
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
21、设数列满足，且，则数列的通项公式为______。
【答案】。
【分析】利用累加法可求得数列的通项公式。
【详解】由题意知，，，，
以上各式相加，得，
，则，
也满足，所以数列的通项公式为．
故答案为：。
22．_____。
【答案】。由等比数列性质得出：；
；；
综上所述，。
23．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________。
【答案】。
【分析】由，，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论。
【详解】设数列的公比为q，由，，
得，所以或，
又因为，所以，
从而，
所以.
令，
又因为，所以；
故答案为：6。
【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题。
24．已知等差数列中，，当这个数列的前项和最大时，的值为__________。
【答案】15。
【分析】设等差数列的公差为d，根据，结合，求得，设数列 的前n项和最大，由求解。
【详解】设等差数列的公差为d；
，
，
解得，
．
设数列的前n项和最大，
则即
解得；
又，
，
∴当时，最大。
故答案为：15。
【点睛】求等差数列前n项和的最大（小）值的常用方法：
1．通项法：若，则必有最大值，可用不等式组，来确定n的值；若，则必有最小值，可用不等式组，来确定n的值；
2．二次函数法：在等差数列中，由于，故可用求二次函数最值的方法来求前n项和．的最值，其中，可由及二次函数图象的对称性来确定n的值。
25．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=a3+a4，则公比为 。
【答案】。由题意得出：；
；
所以。
三、解答题（本大题5小题，共40分）
26、在等差数列中，公差，其前项和为，且，。
（1）求；
（2）若，求数列的前项和。
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用等差数列通项公式，即可得到；
（2）由（1）知，利用等差数列前和公式可得数列的前项和。
【详解】（1）由，得，
解得或；
∵等差数列中，公差，
∴，∴．
∴；
（2）由（1）知，
∴，
∴数列为等差数列，且，
∴。
27．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？
【答案】第二种方式获奖者收益更多。
【分析】从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求和，比较即可得结果。
【详解】从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，即，，；
所以共获奖金元，
由于，故第二种方式获奖者收益更多。
28．等比数列{an}中，an＞0（n∈N+），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3，a5的等比中
项为2。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=lg2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式。
〖解析〗（1）
；
；
；
。
（2）；
；
即数列{bn}为首项为4，公差为-1的等差数列，
所以其前n项和为。
29．已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
【答案】（1）an=2n−1；（2）。
【详解】分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解。
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d；
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10。
解得d=2。
所以an=2n−1。
（Ⅱ）设等比数列的公比为q。
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9。
解得q2=3。
所以。
从而。
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和。
30．已知等比数列的公比为,且,,成等差数列。
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)设的前项和为,且,求的值。
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 的值是。
【分析】（I）利用等差中项的性质列方程，并转成的形式，解方程求得的值，进而求得数列 的通项公式.
（II）根据等比数列前项和公式求得，令解方程，求得的值.
【详解】(Ⅰ)因为为公比为的等比数列,
所以,,,
依题意得 ,
即,
整理得, 解得.
所以数列的通项公式为.
(Ⅱ)依题意 .
所以,整理得,
解得
所以的值是。
【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的计算，考查等比数列前项和的求法，考查等差中项的性质，考查方程的思想，属于基础题。