初中沪教版 (五四制)本册教案教学设计

这是一份初中沪教版 (五四制)本册教案教学设计，共1页。教案主要包含了学期）等内容，欢迎下载使用。


教 学 计 划
（20## 学年度第一 学期）
制定日期：20##-09
姓名

学科
数学
年级
七年级
班级
（3）（4）
班
级
情
况
分
析
通过对两个班级一年的接触和了解，（3）班多数学生在考试时发挥相对稳定，多数女生基础较好，学习积极性较高，能自觉学习。但男生不做作业和不订正的情况比较严重，上课缺乏自制力，容易开小差。（4）班学生多数比较活跃，学习热情较高，上课效率较好，不少学生思维活跃，但缺乏考试时的稳定性，所以发挥有欠正常。
教学质量目标
1、 使每个学生都能掌握教学大纲要求的基本知识和基本技能。
2、 使每个学生竟可能都形成好的学习习惯，渐渐学会自主学习，形成热爱学习，善于学习的好氛围，并养成好的作业态度以及及时订正的习惯。
3、 在统一考试中，争取达区平均水平，消灭极差率，提高合格率，提升优良率。
措施
1、注意平时多关注培养学生良好的学习习惯、作业规范以及积极动脑解决问题的能力。
2、上课提倡积极动脑，鼓励学生积极发言。
3、在学生中开展互帮互助的活动，带动起多数学生的学习积极性。在学习上既有竞争也有团结互助的友谊精神。
4、课后多对学习有困难的学生给予适当的补缺补差。
5、作为教师要在教学上不断自我学习，自我提高，认真备课，虚心学习他人的宝贵经验。形成有自己特色的教学风格。要有一切为了学生利益着想的奉献精神。
教学研究
课题研究

完成日期

公开课

开课日期

单元测验安排
周次
内容
周次
内容
4
第九章前三节
13
第九章练习
6
第九章前十节
16
第十章练习
8
第九章前十二节
18
期末练习
9
期中练习
19
期末练习



教 学 进 度 表
（20## 学年度第 一学期）
学科 数学 年级 七年级 执教者
时间
周次
教学内容
备注
9/1——9/3
一
第九章整式。第1节整式的概念9.1~9.2。

9/6——9/10
二
9.3~9.4，第2节整式的加减 9.5。

9/13——9/17
三
9.5~9.6，第3节整式的乘法 9.7。

9/20——9/21
四
9.8。
统一练习
9/25——9/30
五
9.9~9.10

10/8——10/9
六
阶段复习。
统一练习
10/1——10/15
七
第4节乘法公式9.11~9.12。

10/1——10/22
八
第5节因式分解9.13~

10/2——10/29
九
期中复习及其练习
模拟练习
11/1——11/5
十
期中考试

11/8——11/12
十一
9.14~9.15
统一练习
11/1——11/19
十二
9.16，第6节整式的除法9.17~9.19

11/2——11/26
十三
复习整章节并练习。第十章分式第1节分式10.1~10.2
统一练习
11/29——12/3
十四
第2节分式的运算10.3~10.5

12/6——12/10
十五
10.6复习整章节并练习。
统一练习
12/1——12/17
十六
第十一章图形的运动 第1节图形的运动11.1，第2节图形的旋转11.2~11.4

12/2——12/24
十七
第3节图形的翻折11.5~11.6

12/2——12/31
十八
整章复习并练习
统一练习
1/4——1/7
十九
期末复习
模拟练习
1/10——1/14
二十
期终考试

1/17——1/20
二十一
结束工作

对教材的分析与理解

一、教材内容：
本册内容是精选学生终生学习必备的基础知识和基本技能，基于这些，本学期学生学习的基础内容时整式、分式、图形的运动等。根据课程标准，在学生对数的通性、通法充分理解和掌握了解方程（组）的基础上再学习整式，使学生逐渐体会代数的思想。通过数到式的学习提高学生抽象表述和抽象思维的能力。在分式这章中，主要学习分式的概念、基本性质与运算，而在数学思想上主要学习类比的思想，通过类比分数的有关运算法则，得出分式的运算法则。图形的运动这一章的学习，定位在操作感知、试验几何的阶段，通过贴近学生生活实例、操作试验，理解图形和图形运动的有关概念，为进一步学习平行、全等等几何概念作好数学知识的准备。
二、教材目标：
1、理解用字母表示数的意义，理解代数式的意义。
2、通过列代数式，初步掌握文字语言与符号语言之间的转换，领悟字母“代”数的数学思想，提高数学语言的表达能力。
3、掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式及其简单的运用。
4、理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、分组分解法、公式法和二次项系数为1时的十字相乘法等因式分解的基本方法。
5、理解分式的有关概念及其基本性质，通过与分数运算法则的类比，掌握分式的加、减、乘、除的运算法则。
6、展现整数指数幂的扩展过程，理解正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，掌握有关整数指数幂的乘（除）、乘方等运算法则。
7、通过对具体事例的描述，理解图形平移的意义。
8、通过观察和操作，认识图形的旋转及其基本特征，知道旋转对称图形，知道中心对称图形是旋转对称图形的特征，理解中心对称的意义。
9、通过操作活动，认识平面图形的翻折过程，理解轴对称的意义。
10、在认识图形基本运动的过程中，感知几何变换思想，知道在经过平移、旋转、翻折等运动过程后，图形的形状和大小保持不变。



三、总体设想：
1、为全体学生学习数学构建共同基础；
2、提供现实、有趣、贴近学生生活实际的数学背景材料；
3、注意数学思想方法的渗透；
4、满足不同学生学习数学的需求；
5、加强现代信息技术的运用，促进信息技术与数学课程的整合。


9.1 字母表示数
教学目标
1． 理解字母表示数的意义。
2． 会用字母替代一些简单问题中的数。
3． 经历用字母表示一些常见的数或量的过程，领会字母表示数的数学思想。
4． 感知用字母表示数的数学思想方法，提高观察、探究能力。
教学重点及难点
1． 字母表示数的代数方法。
2． 对字母表示数的代数方法的理解。
3． 理解字母表示数的意义，并能把语言表述的数量关系用代数式表示。
教学过程
一、创设情境，探究新知
问题一：
1．请同学举几个满足加法交换律的例子。
2．设问1： 这样的例子有多少个？
设问2： 能否用规律性的式子表示？
引出式子：a+b=b+a (a、b表示有理数）
问题二：
1．如图，已知△ABC中，BC=7，高AH=4，求△ABC的面积。
A
B
C
H
2．求三角形面积的方法是什么？
3．注意：三角形面积公式要写成 S = ah
问题三：
有“亚洲第一”之称的长沙摩天轮于2004年9月30日建成，当年10月1日对外开放，是目前亚洲第一、世界第二的摩天轮。长沙摩天轮最令人称奇之处在于它立在巨型屋顶上。据专家介绍，将摩天轮建在屋顶上不仅在国内，就是在世界上也是独一无二的。如果长沙摩天轮垂直于地面时，最高点离地面120米，最低点离地面21米，那么这个巨型摩天轮的直径是多少？
提示：如果设大转盘的直径为r米，可如何列式？
问题四：
观察下列各组数的特点，用式子表示第n个数是什么？
（1），，，

（2）2， 4， 6， 8
问题五：
如图，用若干个大小相同的小正方形依次拼成大的正方形，问第5个和第10个大正方形需几个小正方形拼成？第 n 个呢？




二、应用新知，掌握方法
例：设某数为x，用x表示下列各数
1．某数的5倍减去3的差；
2．比某数的一半还多2的数；
3．某数的倍与2的差的5倍；
4．某数的60％除以m的相反数所得的商。
三、巩固新知，熟练方法
１．（1）已知长方形的长为a，宽为b，用a，b表示长方形的周长是 _______________。
（2）已知圆半径的r，用r表示圆的周长是_______________。
（3）已知梯形的上底为a，下底为b，高为h，用a,b,h表示梯形的面积是____________。
2．设某数是a，用a表示下列各数：
（1）某数的减去的差；
（2）某数的立方的相反数；
（3）8减去某数的一半的差；
（4）6减去某数的差除以x所得的商。
四、自我评价和小结
１．这节课你学会了什么？
２．注意：
1）在省略乘号时，字母与数字书写的位置一般要遵循数字写在前面，字母写在后面的要求；
2）当数字是带分数时，一般要把带分数写成假分数，然后与字母写在一起。
五、回家作业：
完成练习册：Ｐ１　习题9.１
教后记：
内容比较简单，学生容易掌握，但在书写上还是不符合代数式的书写要求，尤其是没有将除号用分数的形式来表示。




9.2代数式
教学目标
1． 理解代数式的意义.
2． 能根据所给数据求代数式的值。
3． 领悟字母“代”数的数学思想，提高数学语言表达能力。
教学重点及难点
重点：把实际问题中的数量关系列成代数式．
难点：1、正确理解题意，从中找出数量关系里的运算顺序并能准确地写成代数式。
2、理解字母表示数的意义，并能把语言表述的数量关系用代数式表示。

教学过程
一、从学生原有的认知结构提出问题
1．设某数为x，用x表示下列各数：
(1)比x大5.
(2)比x的2倍小3
(3)x与3的和除以x的商
(4)x与5的和3倍．
2.用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
合作练习
以小组为单位写出一些代数式，说明所写的代数式中包含了哪些运算，并说明代数式的运算顺序。
二、讲授新课.
例1 用代数式表示:
1. 比a的3倍还多2的数.
2. b的倍的相反数.
3. x的平方的倒数减去的差.
4. 9减去y的的差.
5. x的立方与2的和.
6. ｙ的5倍与7的和的一半。
7. x的3倍与y的商。
分析：（1）题目中的语句包含了哪些运算？运算顺序是怎样的？
（2）如何表示相反数和倒数？
（3）在什么情况下需要添括号？
（4）一半怎样表示？
解 （1）3a+2
（2）
（3）
（4）
（5）x3+3
（6）
（7）
讨论：书写代数式时要注意哪些问题？
归纳：
（1）弄清运算顺序和括号的使用。一般按“先读先写”的原则列代数式。
（2）数字与字母相乘时数字写在前面，乘号省略不写，字母与字母相乘时乘号省略不写。
（3）在代数式中出现除法时，用分数线表示。
例2．用代数式表示：
(1)甲乙两数和的5倍．
(2)甲减去乙数的差与甲数的相反数的积．
(3)甲乙两数的平方和．
(4)甲乙两数和的立方．
(5)乙甲两数之和与乙甲两数的差的积．
分析：本题应首先把甲乙两数具体设出来，然后依条件写出代数式．按照先读先写的原则，
解 （1）5（m+n）
（2）（m-n）（-m）
（3）m2+n2
（4）（m+n）3
（5）（n+m）（n-m）
练习 练习9.2 1
补充练习
设甲数为x，用代数式表示乙数：
(1)乙数比甲数大5．
(2)乙数比甲数的2倍小3．
(3)乙数比甲数的倒数小7．
(4)乙数比甲数大16%．
(5)乙数与甲数的积是16．
例３．如图，一个长方体的高为ｈ，底面是一个边长为ａ的正方形，用代数式表示这个长方体的体积．
A
B
C
D
E
F
G
H

分析：问题中数量关系是什么？
长方体的体积=底面积×高，正方形的面积=a2
解 这个长方体的体积是a2h。
例4 某商场在进行促销活动，全场商品8折销售，小明的妈妈买了一件b元的商品，实际需要付多少元？
解 实际需要付80%b元。
归纳：列代数式是列方程解应用题的基础．
练习 9.2 2—4
备用题
（1） 如果数学书的每张纸长为a，宽为b，则纸张的面积和周长分别是多少？（ab，2a+2b）
a
b
（2） 某校七年级有a名学生，八年级有b名学生，九年级的人数有c名学生，学校一共有多少学生？（a+b+c）
（3） 如图所示图形的周长和面积分别是多少？（a+2b+πa，ab+πa2）
三、课堂小结：
1．怎样列代数式？
2．列代数式的关键是什么？
对于较复杂的数量关系，应按下述规律列代数式：
(1)列代数式，要以不改变原题叙述的数量关系为准(代数式的形式不唯一)；
(2)要善于把较复杂的数量关系，分解成几个基本的数量关系；
五、布置作业：
完成练习册　　9．２
教后记：
能写出正确的代数式，但在书写格式上还有不少问题，比如出现除号，出现字母前面是带分数的情况。

9.3代数式的值(1)

教学目标
1、掌握代数式的值的概念；
2、能用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值；
3、领悟字母“代”数的数学思想，提高数学语言表达能力。
教学重点和难点
正确地求出代数式的值
教学过程
一、情景引入（从学生原有的认识结构提出问题）
1用代数式表示：
(1)a与b的和的平方；
(2)a，b两数的平方和；
(3)a与b的和的50%
2用语言叙述代数式2n+10的意义
二、学习新课
1、给出概念
 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。
2、概念辨析（结合上述例题，提出如下几个问题：）
(1)求代数式2n+10的值，必须给出什么条件?
(2)代数式的值是由什么值的确定而确定的?
代数式的值是由代数式里字母的取值的确定而确定的.只要代数式里的字母给定一个确定的值，代数式就有唯一确定的值与它对应
(3)求代数式的值可以分为几步呢?在“代入”这一步，应注意什么呢?
3、例题分析.(教师板书例题时，应注意格式规范化)
例1. 当a分别取下列值时,求代数式的值.
(1)a=2 (2)a=-3 (3)a=
例2.当x=-2,y=时,求下列各代数式的值.
(1) (2)
解(1)当x=-2，y= -时
3x2-6xy+4y2=3×（-2）2-6×（-2）×（-）+4×（-）2
= 12-6+1 =7
(2)当x=-2，y= -时，
|6y+x|=|6（-）-2|=|-5|=5
注意:
(1)如果代数式中省略乘号，代入后需添上乘号；
(2)如果字母取值是分数，作乘方运算时要加括号；
(3)注意书写格式，“当……时”的字样不要丢；
(4)代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义，如此例中在代数式2n+10中，n是实际问题中的一个数,它就必须是自然数.
总结:求代数值的步骤：①代入数值②计算结果
三、巩固练习：P9 1、2
四.课堂小结:
1.本节课学习了哪些内容?
2.求代数式的值应分哪几步?
3.在“代入”这一步应注意什么”
五.作业布置
完成练习册 9.3
教后记：
方法、书写格式都能掌握，但问题还是出在计算能力上，计算差错较多，需要不断练习。





9.3代数式的值(2)
教学目标
1、 巩固代数式的概念，并在这个基础上初步理解代数式的值的意义。
2、 确熟练掌握求代数式的值的方法。
3、 用代数式解决一些实际生活中的问题。
重点与难点
重点：理解代数式的值的意义并能准确求出代数式的值；
难点：利用代数式解决实际问题。
教学过程
一、情景引入
1、用PPT出示P6小正方形，规律让学生观察并填空。
2、给出定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。
二、学习新课
例题1 当a分别取下列值时，求代数式的值。
⑴ a=2; ⑵ a= -3; ⑶ a =
解 ⑴当a=2时，
= =9
⑵当a=-3时，
= =9
⑶当a = 时，
= ×（+1）,2) =
例题2 如图（图见教材P8），这是一个长、宽分别是a米、b米的长方形绿化地，中间圆形区域计划做成花坛，它的半径是r米，其余部分种植绿草。
⑴问需种植绿草的面积是多少平方米？
⑵当a=10，b=4，r=时，求需种植绿草的面积。（π取3.14，精确到0.01平方米）
解⑴ab-πr2(平方米)
答：需种植绿草的面积是ab-πr2(平方米)
⑵当a=10，b=4，r=时
ab-πr2=10×4-3.14×（）2 =40-3.14×≈38.60（平方米）
答：当a=10，b=4，r=时，需种植绿草的面积是38.60平方米。
三、巩固练习：P9 ①——③
四、课堂小结：
1.本节课学习了哪些内容?
2.求代数式的值应分哪几步?
3.在“代入”这一步应注意什么？
五、作业布置
完成练习册 习题9.3及补充习题。
教后记：
格式可以写正确，但计算还是有很大问题。





9.4整式
教学目标
1、 理解单项式、多项式和整式中的有关概念。
2、 知道“指数”与“次数”的联系与区别，能写出单项式中的系数。
3、 会把多项式按某一字母进行升幂或降幂排列。
教学重点及难点
正确理解单项式、多项式及整式的概念，掌握单项式和多项式的特征，会正确区分单项式和多项式。
教学过程
一、复习引新
1．观察并思考：
⑴2x、 -2a2、ab2、这些代数式包含哪些运算？
⑵2x+3、a2+2a-1、3a2-b2+2a-3这些代数式包含哪些运算？
2．引出概念：单项式、多项式、整式
（1）由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
口答：请说出⑴中的几个单项式的系数和次数。
注意：单独一个非零数的次数是0。当单项式的系数为1或—1时，这个“1”应省略不写。
（2）由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
口答：请说出⑵中的几个多项式是由哪几个单项式组成的？其中有没有常数项？它们的次数分别是多少？为什么？
注意：确定多项式的次数时，应先确定每个单项式每个字母的指数；再计算这个单项式中所有字母的指数的和。
单项式与多项式的区别：

异
注意
单项式
没有加减运算
单项式注意系数（包括符号）和次数
多项式
有加减运算
多项式注意项数和次数

（3）单项式、多项式统称为整式。
练习：以小组为单位根据所给出的x、-2、y2组成一单项式和多项式，并指出单项式的次数和系数，多项式的次数。
二、巩固新知
例题1 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？
ab2、2a+3b、-4a2b4、
解 ab2、-4a2b4都是数与字母或字母与字母的积，所以它们是单项式。
2a+3b、都是由两个单项式的和组成，所以它们是多项式。
注意：=-
练习：P11 1、2、3
例题2 将多项式3+6x2y-2xy-5x3y2-4x4y先按字母x升幂排列，再按x降幂排列。
分析：为了计算需要，可以将多项式各项的位置根据加法交换律按照其中某一个字母的指数大小顺序来排列。把多项式x2+5x+4x4-3x3+2按字母x 的指数从大到小的顺序排列，写成4x4-3x3+x2+5x+2,这叫做把多项式按这个字母降幂排列。或按字母x 的指数从小到大的顺序排列，写成2+5x+ x2-3x3+4x4，,这叫做把多项式按这个字母升幂排列。
解 按字母x 升幂排列是3-2xy+6x2y-5x3y2-4x4y。
按字母x 降幂排列是-4x4y-5x3y2+6x2y-2xy+3
练习 P11 3
三、课堂小结
今天我学会了哪些知识？
四、布置作业
完成练习册9.4
五、拓展练习
1． 如果是关于的单项式，且系数为2，次数为3，则分别是多少？
2． 如果多项式的次数为4次，且有三项，则为多少？
教后记：
概念较多，指出多项式是几次几项式错误较多，而且按某一字母降幂或升幂排列错误也不少。




9.5 合并同类项(1)

教学目标
1、理解同类项的概念；
2、会利用加法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律合并同类项。
3、掌握先合并同类项，再求代数值的方法。
教学重点及难点
重点：熟练地进行合并同类项。
难点：如何判断同类项。
教学过程
一、情景引入
B
A
1.提问 如图,两个正方形A、B的边长分别是a、3a.那么两个正方形A、B的周长一共是多少？面积一共是多少？
2.分析 正方形A的周长是4a，正方形B的周长是12a，
正方形A、B的周长一共是4a+12a=（4+12）a=16a；
正方形A、B的面积一共是a2+9a2=（1+9）a2=10a2.
可以看到,4a、12a都是只含有相同字母a的一次单项式，a2、9a2都是只含有相同字母a的二次单项式.
二、学习新课
(一)同类项
1.概念辨析
所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也是同类项．
2.例题分析
想一想 下列各组单项式是不是同类项？
(1)3x2y与2y2x； (2)2a2b2与－3b2a2； (3)2xy与2x； (4)2.3a与－4.5a.
小明认为2a2b2与－3b2a2字母排列顺序不同,所以它们不是同类项；小丽认为2xy与2x这两项中都有字母x,所以他们是同类项,你赞同他们的想法吗?
3.问题拓展
试一试  指出下列多项式中的同类项(连同前面的符号一起指出)：
(1)5x2y-y2-x-1+x2y+2x-9；  (2)4ab-7a2b2-8ab2+5a2b2-9ab+a2b2
【说明】判断“同类项”的时候，应强调“几个单项式如果是同类项，必须同时满足定义中的两条，缺一不可”，进一步培养学生运用定义进行判断的方法，也可训练学生的口头表达能力.
(二)合并同类项
1.概念辨析
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项,这个多项式就叫做几项式.
2.法则归纳
把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
3.例题分析
例1  合并同类项：
（1）2x3+3x3－4x3 （2）ab2－2ab2+ab2；（3）2x2－xy+3y2+4xy－4y2－x2.
解：(1) 2x3+3x3－4x3=(2+3－4)x3=x3；
（2）ab2－2ab2+ab2=(－2+)ab2=－ab2;
（3）2x2－xy+3y2+4xy－4y2－x2=（2x2－x2）+（－xy+4xy）+(3y2－4y2)
=（2－1）x2+（－1+4）xy+(3－4)y2
=3x2+3xy－y2.
【说明】多项式的同类项可以运用交换律、结合律、分配律进行合并.
三、巩固练习
1.判断题:
(1)两个字母相同的单项式是同类项. ( )
(2)次数相同、字母也相同的单项式一定是同类项. ( )
(3)合并同类项后,同类项中字母和字母的指数永远不会改变.( )
2.下列各题合并同类项的结果对不对？不对的，指出错在哪里？
(1)3a+2b=5ab；          (2)5y2-2y2=3；            (3)4x2y-5y2x=-x2y；
(4)a+a=2a；             (5)7ab-7ba=0；           (6)3x2+2x3=5x5．
四、课堂小结
1.根据同类项定义，强调同类项的两条特征：
(1)所含字母相同；
(2)相同字母的指数也分别相同，两条缺一不可．
2. 在合并同类项时,应注意:
(1)如果多项式中项数较多、较复杂时，可在同类项上标注记号，便于认清同类项，做到不遗漏、不重复.
(2)所有常数项都是同类项,都可进行合并.
五、作业布置
完成(1)课本：P15 练习9.5 1-3
(2)练习册: P8 习题9.5 1-4
教后记：
部分同学找同类项有些困难，但又不愿意划线做记号，真是伤脑筋。



9.5 合并同类项（2）

教学目标
1.会运用定义进行判断，会运用法则进行运算；
2.知道在求多项式的值时,一般先合并同类项再代入数值进行计算。
教学重点及难点：
化简代数式。
教学过程
一、同类项与合并同类项
1．下列各题中的两项是不是同类项？
(1)3x2y与-3x2y；     (2)0.2a2b与0.2ab2；        (3)11abc与9bc；
(4)3m2n3与-n3m2；        (5)4xy2z与4x2yz；          (6)62与x2．
解:(1)√；(2) ×； (3) ×； (4) √； (5) ×； (6) ×.
2．合并下列各式中的同类项,并将结果按字母x的降幂排列：
(1)-10x2+13x3－2+3x3－4x2－3+4x2；
(2)－xy2+2x2y－x2y－xy2－x2y－xy2
解:(1)原式=(13+3) x3+(－10－4+4) x2+(－2－3)
=16x3－10x2－5.
(2)原式=(2－－)x2y+(－－1－1)xy2
=－3x2y－xy2
3. 把（a+b）当作一个因式，合并同类项：
（1）5(a+b）+4(a+b）－11(a+b）；
（2）3(a+b）2－(a+b）+2(a+b）2－(a+b）2+4(a+b）－2(a+b)
解:(1)原式=(5+4－11)(a+b)=－2(a+b）
(2)原式=(3+2－1)(a+b)2+(－1+4－2)(a+b)
=4(a+b)2+(a+b)
【说明】1.由于刚开始学合并同类项，所以做这类计算时过程要比较详细，可分为以下几步完成：(1)标出同类项；(2)将同类项写在一起；(3)合并同类项．
2.由于把（a+b）当作一个因式,因此所得化简的结果如－2(a+b）不必展开成－2a－2b.
二、求代数式的值
例题分析 求代数式的值:
(1)3x-2y-4x+6y+1；其中x=2,y=3；
(2)2x2－xy－3y2+4xy+5+2y2－6x－3，其中x=,y=2.
解: (1)原式=(3x-4x)+(-2y+6y)+1
=-x+4y+1.
当x=2,y=3时,原式=－2＋4×3＋1=11.
(2)原式=2x2+(－xy+4xy)+(－3y2+2y2)－6x+(5－3)
=2x2+3xy－y2－6x+2.
当x=,y=2时,原式=2×()2+3××2－22－6×＋2=－1.
三、课堂小结
1．这两节课，我们学习了“同类项”的概念，还学习了“合并同类项”．大家回忆一下，同类项的特征是什么？合并同类项的法则是什么？
2．我们曾学习了多项式的升幂和降幂排列，通过重新排列，多项式从外形上看更有秩序了,用起来也将更方便；如今，我们又学习了合并同类项，通过合并同类项，可将多项式化简。
四、作业布置
完成(1)课本：P15 练习9.5 4
(2)练习册: P9 习题9.5 5、6


9.6 整式的加减

教学目标
1.掌握去括号与添括号的方法,会应用去括号的方法化简代数式。
2.理解整式加减的实质就是合并同类项。
3.掌握整式的加减运算。
教学重点和难点
重点：熟练地进行整式的加减运算。
难点：能根据题目的要求,正确熟练地进行整式的加减运算。
教学过程
一、情景引入
1.提问 你会做以下的有理数计算吗?
－(+)、 +（－）
根据六年级学习的有理数混合运算去括号法则，可得
－(+)=－－=－；
+（－）= +－=.
2.观察 3a+(5a－a)=3a+4a=7a；①
3a+5a－a=8a－a=7a. ②
所以3a+(5a－a)=3a+5a－a.
3a－(5a－a)=3a－4a=－a；③
3a－5a+a=－2a+a=－a. ④
所以3a－(5a－a)= 3a－5a+a
二、学习新课
1. 法则归纳
括号前面是”+”号,去掉”+”号和括号,括号里的各项不变号;
括号前面是”－”号,去掉”－”号和括号,括号里的各项都变号.
2.例题分析
例1 先去括号，在合并同类项：
(1)2x－（3x－2y+3）－（5y－2）；
(2)－（3a+2b）+（4a－3b+1）－（2a－b－3）.
解:(1)原式=2x－3x+2y－3－5y+2
=(2x－3x)+(2y－5y)+(－3+2）
=－x－3y－1
(2)原式 =－3a－2b+4a－3b+1－2a+b+3
=(－3a+4a－2a)+(－2b－3b+b）+(1+3)
=－a－4b+4
【说明】整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法则和合并同类项来完成整式的加减运算.
例2 求整式2a+3b－1、3a－2b+2的和.
解: (2a+3b－1)+(3a－2b+2)
=2a+3b－1+3a－2b+2
=(2a+3a)+(3b－2b)+(－1+2)
=5a+b+1
例3 求3x2－2x+1减去－x2+X－3的差.
解: (3x2－2x+1)－(－x2+x－3)
= 3x2－2x+1+x2－x+3
=4x2－3x+4
三、巩固练习
1求出下列单项式的和：
(1)-3x，-2x，-5x2，5x2； (2)-n，n2，-n2
2说出下列第一式减去第二式的差：
(1)3ab，-2ab； (2)-4x2，x； (3)-5ax2，-4x2a
3计算：
(1)(-x+2x2+5)+(-3+4x2-6x)；(2)(3a2-ab+7)-(-4a2+6ab+7)；
4.化简，求值：
(1) (-x2+5+4x3)+(-x3+5x-4)，其中x=-2；
(2)x2－2－(x2－y2)－(－x2+y2),其中x=－2,y=－
四、课堂小结
1．整式加减的作用是把整式化简，化简方法就是去括号，合并同类项．
2．遇有多层括号时，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
3．如果遇到数与多项式相乘，要运用乘法分配律计算．
4．在做化简求值题时，要注意格式．
五、作业布置
完成(1)课本：P17 练习9.6
(2)练习册: P9 习题9.6
教后记：
列式再三强调多项式前是负号要将多项式打上括号，学生总是遗忘，造成列式就有错误，只好反复提醒。


9.7同底数幂的乘法（1）
教学目标
1、理解同底数幂相乘的概念。
2、掌握同底数幂相乘的法则，能熟练地进行同底数幂相乘的运算。
3、经历探究同底数幂相乘法则的过程，感知从特殊到一般的数学思想方法。
4、通过学生自己发现问题，形成解决问题的能力和积极的学习态度。
教学重点和难点
理解并掌握同底数幂乘法的性质。
教学过程
一、复习旧知，作好铺垫
1、思考：式子103，a5各表示什么意思？
根据乘方的意义
103=10×10×10, 3个10相乘
a5=a×a×a×a×a, 5个a相乘
2、口答：指出下列各式子的底数和指数，并计算其结果。

3、合并同类项

二、尝试探讨，学习新知
1、尝试计算

学生可能会出现的答案很多：1） ……
2） ……
由乘法交换律，结合律可知：


关键是，
老师不给出明确答案，进一步探索。
2、观察：下列四小题中的两个幂有什么共同之处？




今天我们要研究的就是这种“同底数幂的乘法”（板书）
3、试一试，计算上面四题。
学生板书计算过程，老师点评，注意提示每一步的依据。
4、观察上题从左到右的变化，猜想：(m,n都是正整数)
你能说明你的猜想的正确性吗？学生讨论。

m个 n个

m+n个

5、你能用自己的语言概括同底数幂相乘的运算法则吗？（同桌讨论）
同底数幂相乘的性质：
同底数幂相乘，_____不变，_____相加。
am • an • ap=am+n+p(m,n,p都是正整数)
6、计算下列各式，结果用幂的形式表示：


学生口答
7、计算：


注意运算符号和相应的运算性质
三、反馈小结、深化理解
1、你有什么收获？
2、在做同底数幂相乘时要注意些什么？
四、学习训练与学习评价建议：
1、口答：


2、判断题：
下面计算对不对？如果不对，应怎样改正？
a4 • a4 = 2a４
[通过判断题的练习，评析错误原因，并加以纠正，能起到提前预防错误发生的作用]
3、填空：
（1）若am=a3•a4，则m=____
（2）若x4•xm=x6，则m=____
（3）若x•x2•x3•x4•x5=xm，
则m=____
（4） a3•a2•( )=a11
[通过不同层次，不同形式的练习，不仅加深学生对同底数幂相乘性质的理解，同时使学生对这种类型的计算更熟练。]
五、回家作业：
完成练习册9.7。
教后记：
掌握较好。


9.7同底数幂的乘法（2）
教学目标
　1．熟练掌握同底数幂的乘法的运算性质并能运用它进行快速计算。
　2．能运用公式熟练地进行计算。
　3．初步形成分析问题和解决问题的能力，渗透数学公式的结构美、和谐美。
教学重点和难点
同底数幂运算性质的灵活运用。
教学过程：
一、复习旧知，作好铺垫
1、叙述同底数幂乘法法则并用字母表示。
2、（口答）计算：


3、下面计算对不对?不对的原因是什么?应怎样改正?
(1)b5·b5＝2b5.
错，这是同底数幂的乘法，不是整式加法，结果为b10。
(2)b5+b5＝b10
错，这是整式的加法，应合并同类项，不是同底数幂乘法，结果为2b5。
(3)x5·x5＝2x10
错，同底数幂相乘时，系数不能相加。
(4)x5·x5＝x25
错，同底数幂相乘，指数相加，不是相乘.
(5)c·c3＝c3
错，c的指数为1，不能忽略
(6)m+m3＝m4
错，不是同底数幂的乘法，不以运用这个法则
4、计算：

5、指出下列各幂的底数各是几？并说出其结果是正的还是负的？
；；；；
；；；
6、在下列各小题的横线上，填上适当的正负号：
；；
；.
从上述练习中你能得到什么规律？
二、尝试探讨，学习新知
1、尝试计算：
； ；；
；；.
学生可先完成1-4小题，5-6教师边讲边做；
提示学生每做一题想一想它们是不是同底数幂相乘，若不是该怎么处理？


2、计算：
；
解：或
3、试一试，在下列各小题的横线上，填上适当的正负号：
；；
；.
学生口答并小结规律。
4、把下列各式化成的形式：
；；
；；
；。
先由学生观察、讨论解题的方法，然后由教师根据学生的回答板书，并强调指出；底数可以是数字、字母，也可以是一个代数式；用不相同的代数式做底数的幂相乘，如果底数通过适当整理，可以化为底数，我们仍能用同底数幂的乘法法则计算.
三、反馈小结、深化理解
1、你有什么收获？
2、在做同底数幂相乘时要注意些什么？
（1）解题时，是什么运算就应用什么法则.同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆.
（2）-a2的底数a不是-a计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4，而不是(-a)2+2=a4.
（3）若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算.
……
四、学习训练与学习评价建议：
1计算：
(1)-b3·b3； (2)-a·(-a)3； (3)(-a)3·(-a)3·(-a)；
(4)(-x)·x2·(-x)4； (5)(-y)·(-y)2·(-y)3·(-y)4
2计算：
(1)an·a； (2)xn·xn-1； (3)xn+1·xn-1； (4)ym·ym+1·y
3计算：
(1)(p+q)m·(p+q)n；(2)(a-b)3(b-a)2（3）(t-s)·(s-t)n·(s-t)m-1
五、回家作业：
继续完成练习册9.7。
教后记：
强调指出；底数可以是数字、字母，也可以是一个代数式；用不相同的代数式做底数的幂相乘，如果底数通过适当整理，可以化为底数，我们仍能用同底数幂的乘法法则计算。


9.8幂的乘方

教学目标
1、理解幂的乘方的意义。
2、掌握幂的乘方的法则，能熟练地进行幂的乘方的运算。
3、经历探究幂乘方法则的过程，体验从特殊到一般研究问题的方法。
教学重点及难点
幂的乘方运算性质的灵活运用；
幂的乘方、同底数幂、合并同类项的知识的综合应用。
教学过程
一、复习旧知，作好铺垫
1 计算：
（1）×（2）（－2）×2 （3）2×（－2）
（4）（－b）*（－b） ( 5 )a*（－a） (6) －a*（－a）
2 把下列各式写成（a+b）或（a-b）的形式：
（1） (2)
(3) (4)
二、尝试探索，学习新知
1 指出下列各幂的底数和指数：

在上列各式中我们若把2看成一个整体，那么
的底数是2，指数是4，它就是2的3次幂的4次方；
的底数是＿,指数是＿＿＿，它就是＿＿＿
的底数是＿，指数是＿＿＿，它就是＿＿＿
；；称之为幂的乘方。
第一次接触幂的乘方的形式，可由老师在学生回答的基础上对第一小题详细解释并板书，学生在回答后两题时可进行模仿。
试一试 请计算；；
提醒学生可以根据乘方的意义和同底数的幂的乘法性质。得
（1）=------------------------------
=
（2）=------------------------------
=
（3）=------------------------------
=
让学生观察（1）=；（2）=；（3）=三小题左右两边的变化规律回答下列各题的结果
；；；。
由特殊的几题进行猜想，如果m、n都是正整数，那么
=＿＿＿
你能说明你的猜想的正确性吗？
请学生用语言叙述幂的乘方的性质：
幂的乘方，＿＿＿不变，指数＿＿。
例1 计算：
（1）； （2）； （3）[]； （4）[]
解：（1）==。
（2）==。
（3）[]===729.
(4 ) []==
第一题由老师边叙述法则边板书，后三题可由学生尝试，分析学生发生的错误
例2 计算；
（1）+； （2）；
（3） （4）+
解：（1）+
=+
=
（2）
=
=
（3）
=
=
（4）+
= +
可以完成前两题，在计算过程中，提醒学生进行的运算类型，选用法则，千万不能混淆。
例3把下列各式写成或的形式：
（1） （2）[]
解：（1）=
（2）[]=[]=）[]=
三、小结反馈、深化理解
1 通过这节课的学习，你学会了什么
2 在计算中要注意什么
（1）在计算中要看清所进行的计算，不能用错法则
（2）要看清综合运算中包含的各种运算，遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先做括号”
……
四、学习训练与学习评价建议
1计算（口答）
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2 计算
(1) (2) (3)

(4) (5) (6) +
(7)() (8)
3 在下列各小题的横线上填上“＝”或“≠”号：
（1）_______ (2)________
(3) _________ (4)________
4填空;(其中m n表示正整数)
= (根据___________)

= (根据___________)
=
五、回家作业：
完成练习册9.8。
教后记：
所学内容混合运算，问题就有不少，学生混淆同底数幂的乘法法则，幂的乘方和合并同类项，所以需要多做多练，多强化。
9.9 积的乘方（1）
教学目标
1、 理解积的乘方的意义。
2、 会运用积的乘方法则进行有关计算。
3、 经历从特殊到一般的研究问题的过程。
教学重点和难点
学生掌握积的乘方法则；当运算中有积的乘方、幂的乘方和同底数幂相乘等多种运算时容易发生错误。
教学过程
一、 情景引入：
1、问题：你能心算出吗？

[板书课题] §9.9 积的乘方
二、 概念分析
1、实例1 已知一个立方体的棱长是2a，求这个立方体的体积。（出示投影）——请一位学生口述回答。
解：体积===（根据乘方的意义）=（单项式的乘法法则）
答：立方体的体积是。
由实例1得到等式=。
阐明：何为积的乘方？——从底数的运算关系入手——底数2a中，2与a的运算关系是乘法。
提问：由等式=，你能发现积的乘方的结果有什么特别之处？
生：2与a都进行了3次方。
师：对。2与a的积进行3次方就等于2的3次方与a的3次方的积。

实例2 计算——推广到积里的因式是抽象的字母的情况。
解：==。
指明：字母可表示数、单项式或多项式。

2、继续推广到指数为n（n为正整数）时的情况，即推导积的乘方法则：=。
如果n是正整数，那么
===。
师：这个公式表明的就是积的乘方法则。
请一位学生用数学语言口述此公式：
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

3、研讨：
师：当3个或3个以上因式乘方时，是否也具有这一性质，即=。
生：有。
师：对。而且推导过程是一样的。（推导省略）
师：这说明积里有3个因式时，积的乘方法则仍然成立。那么，积里有3个以上因式时法则也成立吗？
生：也成立。
师：积的乘方法则对积里的因式的个数没有限制。
给出一反例来强调积的乘方法则中把积的每一个因式分别乘方：对吗？
生：不对，因为3也进行3次方。
三、 例题讲解
【例１】
计算：①；②；③；④；⑤
解：①=；
②=；
③==；
④==；
⑤===
对⑤题，说明对第一个因式进行符号变换，还是对第二个因式进行符号变换都是可行的。

强调：①对于底数是负数、分数或单项式或多项式时，应给它添上括号。
②
【例２】
计算：①；
②
分析：混合运算时，运算顺序如何？
生：先乘方，再乘除，最后算加减。
四、 课堂小结
1、运用积的乘方法则时，先要弄清积是由哪些因式构成，然后每个因式再乘方，并注意公式可逆用；
2、一个式子中包含多种运算时，应区别对待，运算顺序是先乘方再相乘；
3、要注意积的乘方只适用于底数是积的形式，防止出现的错误，当底数的积的形式中含有“-”号时，可将“-”号看成“- 1”作为一个因式，避免漏乘。
五、 回家作业
练习册§9.9 积的乘方


9.9积的乘方（2）
教学目标
1、 理解积的乘方的运算性质；
2、 准确掌握积的乘方的运算性质，熟练应用这一性质进行有关计算；
3、 通过推导积的乘方的法则提高学生的抽象思维能力。
教学重点及难点
重点：准确掌握积的乘方的运算法则。
难点：用数学语言概括运算法则。
教学过程
一、创设情境，复习导入
　　前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个幂的运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：
　填空：
　　（1） 　 （2）
　　（3） 　（4）
　　学生活动：4个学生说出答案，同桌同学给予判断．
　　【说明】通过完成本练习，进一步巩固、理解同底数幂的乘法，幂的乘方，同时也为顺利完成本节例1与例2做个铺垫．
二、探索新知，讲授新课
请同学们观察以下算式：
……幂的意义
……乘法的交换律、结合律

下面请同学们按照以上方法，完成下列填空：


我们知道表示n个a相乘，那么表示什么呢？
学生回答时，教师板书．



这又根据什么呢？（学生回答乘法交换律、结合律）
也就是
请同学们回答、的结果怎样？那么（n是正整数）如何计算呢？
　　 ；____________个
　　 　运用了________律和________律
　　________个________个
　　
　　学生活动：学生完成填空．
　　 （n 是正整数）
　　刚才我们计算的、 是什么运算？（答：乘方运算）什么的乘方？（积的乘方）
　　通过刚才的推导，我们已经得到了积的乘方的运算性质．
　　请同学们用文字叙述的形式把它概括出来．
　　学生活动：学生总结，并要求同桌相互交流，互相纠正补充．达成一致后，举手回答，其他学生思考，准备更正或补充．
　　【说明】通过学生自己概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们归纳及口头表达能力．
　　教师根据学生的概括给予肯定或否定，纠正后板书．
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：
　　 （n 是正整数）
　　提出问题：这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方适用吗？如
　　学生活动：在运算的基础上给出答案．
     （ 是正整数）
三、尝试反馈，巩固知识
　　例1计算：
　　（1） 　　　 （2）
　　（3） 　　　 （4）
　　学生活动：每一题目均由学生说出完整的解题过程．
　　解:（1）
　　 （2）
　　 （3）
　　 （4）
　练习一
　 （1）计算：（口答）
　　① 　　② 　　③ 　　④
　 （2）判断下列计算是否正确：
　　① 　　 ②
　　③ 　　④
　　学生活动：第（1）题由4个学生口答，同桌或其他学生给予判断．第（2）题由学生回答。
四、综合尝试，巩固知识
　　例2 计算：
　 （1）
（2）
（3）
解： （1）
（2）
（3）
教师板演（1）学生板演（2）（3）
　　学生已具备综合运用性质的能力，让学生尝试解题，目的是训练学生分析问题的能力．分组练习，能激发学生的兴趣，同时也使学生对知识的印象会更深刻．
五、反复练习，加深印象
　　练习二
　　计算：
　　（1） （2）
　　（3） （4）
　　学生活动：学生在练习本上完成，找两个学生板演．
六、简便计算，培养能力
　　练习三
　　用简便方法计算下列各题：
（1） 　　（2） 　　（3）
学生活动：小组研究，讨论得出结果，然后由小组代表说出答案．
七、总结、扩展
　　这节课我们学习了积的乘方的运算性质，请同学们谈一下你对本节课学习的体会．
　　学生活动：谈这节课的主要内容或注意问题等等．
八、回家作业
完成练习册习题9.9。

9.10单项式与单项式相乘(1)
教学目标
1．使学生理解并掌握单项式与单项式相乘法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算；
2．注意培养学生归纳、概括能力，以及运算能力；
3．渗透 “将未知转化为已知”的数学思想和 “从特殊到一般”的认识规律。
教学重点、难点
　　重点：掌握单项式与单项式相乘的法则。
　　难点：分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则。
教学过程：
一、复习旧知，作好铺垫
回忆：什么是单项式？什么叫单项式的系数？什么叫单项式的次数？
同底数幂乘法法则
二、设计情境，问题导入
我们已经学习了单项式和幂的运算性质，在这个基础上我们学习整式的乘法运算．先来学最简单的整式乘法，即单项式与单项式相乘 (给出课题)
5a
2a
想一想：
如何求图中长方形的面积。学生尝试回答。
S=2a·5a

你能求出答案吗？
三、合作探究、归纳法则
在上述算式中　①每个单项式是由几个因式构成的，这些因式都是什么？
　　2a·5a =(2·a)·(5·a)
　　②根据乘法交换律　
　　2a·5a =2·5·a·a
　　③根据乘法结合律
　　2a·5a =（2·5）·（a·a）
　　④根据有理数乘法和同底数幂的乘法法则得出结论
2a·5a =10a2
　按以上的分析，写出2x2y·3xy2的计算步骤
　2x2y·3xy2
=2·3·x2·x·y·y2
　=(2·3)·(x2·x)·(y·y2)
　=6x3y3
通过以上两题，让学生总结回答，归纳出单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。
运算步骤是：
　　①系数相乘为积的系数；
　　②同底数幂相乘，作为积的因式；
　　③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；
单项式与单项式相乘的法则，对于三个以上的单项式相乘也适用。
四、尝试练习，逐步掌握
例1 计算以下各题：
　　(1)4n2·5n3；　(2) 4a2x2·(-3a3bx)；(3) (-5a2b3)·(-3a)；　(4)(4×105)·(5×106)·(3×104)．
(1) 4n2·5n3
　　　=(4·5)·(n2·n3)
　　　=20n5；
（教师规范板书）
(2)4a2x2·(-3a3bx)
　　　=4a2x2·(-3)a3bx
　　　=[4·(-3)]·(a2·a3)·(x2·x)·b
　　　=(-12)·a5·x3·b
　　　=-12a5bx3．
　(3) (-5a2b3)·(-3a)
　　　=[(-5)·(-3)]·(a2·a)·b3
　　　=15a3b3；
(4) (4·105)·(5·106)·(3·104)
　　　=(4·5·3)·(105·106·104)
　　　=60·1015（问这样的答案行吗？
　　　=6·1016．
（学生板书，并请同学讲解）
例2 计算以下各题：
　 (3)(-5amb)·(-2b2)；(4)(-3ab)(-a2c)·6ab2．
(学生独立完成，教师面批，及时反馈，关注学困生)
例3计算以下各题：
（1） （2）
五、反馈小结、深化理解
师生共同小结：
单项式与单项式相乘的法则；
单项式与单项式相乘的实质是乘法的交换律与结合律以及幂的运算性质。
六、巩固提高 、熟练掌握
课本P27练习9.10(1)
七、回家作业：
完成练习册
教后感：
采用讲练结合法．对于例题的学习，围绕问题进行，教师引导学生通过观察、思考，寻求解决问题的方法，在解题的过程中展开思维．进行多次有较强针对性的练习，分散难点．对学生分层进行训练，化解难点．并注意及时矫正，使学生在前面出现的错误，不影响后面的学习，为而后学习扫清障碍．通过例题的讲解，教师给出解题规范，并注意对学生良好学习习惯的培养。


9.10单项式与多项式相乘(2)
教学目标：
1、理解单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则。　　
2、会运用以上法则熟练地进行整式的乘法运算。
3、通过与有理数乘法的分配律进行类比，加深对这些法则的理解。
4、培养灵活运用知识的能力，通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力,渗透公式恒等变形的数学美。
教学重点、难点
重点：单项式与多项式乘法法则及其应用。
难点：单项式与多项式相乘时结果的符号的确定。
教学过程：
一、复习旧知，作好铺垫
1． 复习乘法分配律：m（a+b+c）=ma+mb+mc
2． 什么叫多项式、多项式 的项和各项系数
3． 单项式与单项式相乘的法则
二、设计情境，问题导入
我们已经学习了单项式与单项式相乘，在这个基础上我们学习整式的乘法中的单项式与多项式相乘，即单项式与多项式相乘 (给出课题)
5a
3b
5a
想一想：
如何求图中长方形的面积。学生尝试回答。
S=5a·（5a+3 b）
你能求出答案吗？
三、合作探究、归纳法则
在上述算式中　①可以运用乘法分配律吗？
　5a·（5a+3b） =5a·5a+5a·3b
　　②单项式与单项式相乘法则　
5a·（5a+3b） =25a2+15ab
按以上的分析，写出-3x·（ax2-2x）的计算步骤
　-3x·（ax2-2x）
=（-3·x）·（ax2）+（-3·x）·（-2x）
　=-3ax3+6x2
通过以上两题，让学生总结回答，归纳出单项式与多项式相乘的法则：
单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
看教材，让学生仔细阅读单项式与多项式相乘的法则，边读边体会边记忆
四、尝试练习，逐步掌握
例1 计算以下各题：
　(1)2ab·（3a2b-2ab2）
(2)
(1) 2ab·（3a2b-2ab2）
　　　=2ab·3a2b-2ab·2ab2（乘法分配律）
　　　=6a3b2-4a2b3（单项式与单项式相乘）；
（教师规范板书）
(2)
　　　=
=
（学生板书，并请同学讲解）
例2 计算以下各题：
（1） 　　（2）
(学生独立完成，教师面批，及时反馈，关注学困生)
例3化简：
　　（化简时直接写成省略加号的代数和，注意正确表达，做完乘法后，要合并同类项）．
(1) 2ab·（3a2b-2ab2）
　　　=2ab·3a2b-2ab·2ab2）
　　　=6a3b2-4a2b3；
（教师规范板书）
(2)
　　　=
=
（学生板书，并请同学讲解）
例2 计算以下各题：
（1） 　　（2）
(学生独立完成，教师面批，及时反馈，关注学困生)
例3化简：
　　化简时直接写成省略加号的代数和，注意正确表达，做完乘法后，要合并同类项．
五、反馈小结、深化理解
师生共同小结：
1、单项式与多项式相乘法则；
2、①用单项式遍乘多项式的各项，不要漏乘，②要注意符号；
3、单项式乘以多项式的实质是乘法的分配律与单项式乘以单项式的和．
六、巩固提高 、熟练掌握
课本P28练习9.10(2)
七、回家作业：
完成练习册
教后感：
单项式乘以多项式的乘法运算主要是将它转化为单项式与单项式的乘法运算，首先应适当复习并掌握单项式与单项式的乘法运算方法，再在计算过程中注意单项式与多项式相乘后的符号问题。



9.10(3)多项式与多项式相乘
教学目标：
1．在掌握单项式与多项式相乘法则的基础上，理解掌握多项式与多项式相乘法则及推导。
2．熟练运用法则进行多项式与多项式的相乘的计算。
3．培养知识迁移的能力和综合运用知识的能力，通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力，渗透公式恒等变形的数学美。
教学重点和难点
重点：多项式与多项式相乘法则的推导． 难点：多项式与多项式相乘的应用

教学过程：
一、复习旧知，作好铺垫
1、单项式与多项式相乘的法则
二、设计情境，问题导入
我们已经学习了单项式与多项式相乘，在这个基础上我们学习整式的乘法中的多项式乘以多项式，即多项式与多项式相乘 (给出课题)
想一想：
如何求图中长方形的面积。学生尝试回答。
4d
2c
3b
5a
20ad
10ac
12bd
6cb







S=(2c+4d)·（5a+3b）
三、合作探究、归纳法则
如何计算S=(2c+4d)·（5a+3b）？（学生讨论回答）
根据图形可知：　S=10ac +6cb+20ad+12bd
所以(2c+4d)·（5a+3b）=10ac +6cb+20ad+12bd
因为(2c+4d)与（5a+3b）是多项式，所以(2c+4d)·（5a+3b）是多项式与多项式相乘。
按以上的分析，写出（a+b）·(m+n)的计算步骤
（a+b）·(m+n)=am+an+bm+bn
通过以上两题，让学生总结回答，归纳出多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
看教材，让学生仔细阅读多项式与多项式相乘的法则，边读边体会边记忆
（如果a、b、m、n看成单项式，所处位置分别是1、2、1、2，则（a+b）与(m+n)相乘时顺序是11、12、21、22，再把所得的积相加。）
四、尝试练习，逐步掌握
例1 计算以下各题：
　(1)（a+3）·（b+5）；（2）（3x-y）(2x+3y)； (3)(a-b)(a+b)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)
(1) （a+3）·（b+5）
　　　=ab+5a+3b+15；
（学生口答，教师板书）
(2) （3x-y）(2x+3y)
　　　=6x2+9xy-2xy-3y2(多项式与多项式相乘的法则)
=6x2+7xy-3y2(合并同类项)
（教师规范板书）
(3)(a-b)(a+b)
=a2+ab-ab-b2
= a2-b2
(4)(a-b)(a2+ab+b2)
=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
= a3 -b3
（学生板书，并请同学讲解）
例2 计算以下各题：
（1）(3x-2)(2x-3)(x+2)；（2）(a-b)(a+b)(a2+b2)
(学生独立完成，教师面批，及时反馈，关注学困生)
例3计算：(1) ；（2）；　（3）
（让学生进一步理解法则，熟练运用法则进行计算，同时对乘法公式先有一个模糊印象，为以后的学习打下基础）．
五、反馈小结、深化理解
这节课我们学习了多项式与多项式相乘的法则，请同学们回答问题：
1．叙述多项式与多项式相乘的法则；
2．学生谈这节课的学习体会。
六、巩固提高 、熟练掌握
课本P32练习9.10(3)
七、回家作业：
完成练习册



9.11 平方差公式

教学目标
1、经历平方差公式的探求过程，理解平方差公式意义，知道平方差公式与多项式乘法法则的关系。
2、熟悉平方差公式的特征，掌握平方差公式及其简单运用。
3、合作、交流和讨论中发掘知识，体会学习的乐趣．
教学重点及难点
对两数和与两数差形状的理解，会运用公式进行简便计算和化简计算．
教学过程
一、复习
练习1 应用平方差公式计算
（1）
（2）
（3）
提问：请同学们先观察以上题目，说出公式中的a、b现在各是什么．
请三位同学板演，其余同学在练习本上完成．
【教法说明】通过练习，巩固对平方差公式形状的掌握．
二、巩固
练习2 辨别下列两个多项式相乘，那些可以使用平方差公式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
教师：请同学们计算（4）、（5）两小题．请同学板演过程．
（4）
（5）








三、简便运算
例2计算：
（1）
（2）
（3）
板书演示：（1）
教师：（2）、（3）与平方差公式有什么练习
学生：

学生活动：计算（2）（3）


通过练习，使学生意识到如何运用平方差公式进行简便运算．让学生思考何时可以采用平方差公式进行简便运算，然后放手让学生自己尝试，通过相互之间的交流合作体会公式的应用，克服难点，培养学生的交流意识。
四．综合尝试，巩固知识
练习3 化简
（1）




（2）





（学生活动：每一题目均由学生说出完整的解题过程）
五、总结、扩展
　　这节课我们进一步学习了平方差公式及应用，请同学们谈一下你对本节课学习的体会。
六、回家作业：完成练习册


9.12完全平方公式（1）

教学目标
1．知道完成平方公式与多项式乘法的关系，理解完全平方公式意义。
2．会推导完全平方公式，并且能运用公式进行简单计算。
3．经历完全平方公式的探究过程，熟悉完全平方公式的特征，会运用完全平方公式解决一些简单的问题。
4．在合作、交流和讨论中发掘知识，体会学习的乐趣．
教学重点及难点
重点：会运用公式进行简单的计算。
难点：1、体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质。
2、从广泛意义上理解公式中的字母含义。
教学过程
一、观察与思考
思考1
计算下列各题，并观察下列乘式与结果的特征：
（1）
（2）
（3）
（4）
通过计算你发现了什么规律？
学生活动：同学先相互观察，然后以四人一小组相互交流，统一意见后举手回答．
（比较等号左边的代数式的特点，等号右边的代数式的特点，等号左右两边的联系）
教师：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．
教师：请同学把语言归纳的规律用数学的符号来表示．
学生：

教师板书课题与公式
二、完全平方的几何背景
思考2 你能根据下图中图形的面积关系来说明平方差公式吗？
学生活动：同桌间相互交流意见，互相纠正补充．达成一致后，举手回答，其他学生思考，准备更正或补充．
三、运用新知，体会成功
例1 学一学：利用完全平方公式进行计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：(1)

(2)

教师板演前两题，指出公式中的字母和题中每一项的对应关系．
学生活动：同桌之间相互交流后两题中各项与公式中字母的对应关系，然后单独求解，互相检查结果．确认无误后举手回答．
（3）
另解
（4）
另解
四、综合尝试，巩固知识
练习1 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
学生活动：每一题目均由学生说出完整的解题过程．
五、总结、扩展
　　这节课我们学习了完全平方公式及应用，请同学们谈一下你对本节课学习的体会。
　　学生活动：谈这节课的主要内容或注意问题等等。
六、回家作业
完成练习册
教后感：
单项式乘以多项式的乘法运算主要是将它转化为单项式与单项式的乘法运算，首先应适当复习并掌握单项式与单项式的乘法运算方法，再在计算过程中注意单项式与多项式相乘后的符号问题。




9.12（2）完全平方公式

教学目标
1．通过辨析，进一步掌握完全平方公式。
2．会灵活应用完全平方公式进行计算。
3．会应用完全平方公式解决实际问题．
4．在合作、交流和讨论中发掘知识，体会学习的乐趣。
教学重点及难点
会灵活应用完全平方公式进行计算，会应用完全平方公式解决实际问题。
教学过程
一、复习
练习1 判断下列各式计算是否正确，错误的请加以改正。
（1）
（2）
（3）
（4）
练习2 填空使下列等式成立．
（1）
（2）
（3）
学生活动：先自己思考，然后以四人为一组，相互交流．统一意见后，举手发言。
对于完全平方公式形式有了更深刻的体会，相互间的讨论既有交流又充满合作。
三、综合尝试，巩固知识
例2 计算：
（1）
（2）
教师：请同学们先完成（1）
学生口答，教师书写．
（1）
学生活动：同桌间讨论（2），有思路举手回答
学生：
四、实践应用
例题3 甲、乙两家商店在9月份的销售额均为a万元，在10月和11月这两个月中，甲商店的销售额平均每月增长x%，乙商店的销售额平均每月减少x%，问11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？
学生活动：同学间共同思考，列式求解，完成后举手回答.
解：
答：11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多万元？
五、总结、扩展
　　这节课我们进一步学习了完全平方公式及应用，请同学们谈一下你对本节课学习的体会。
　　学生活动：谈这节课的主要内容或注意问题等等。
六、回家作业
完成练习册
教后感：
课堂归纳总结由学生来说，可以使学生上课听讲精神集中，还可以训练学生归纳总结的能力。





9.13(1)提取公因式法

教学目标
1．理解多项式各项的公因式的概念，会运用提取公因式法分解形如ma+mb+mc(m为单项式)的多项式。
2．初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方式。
教学重点和难点
重点：理解提取公因式法的依据，掌握运用提取公因式法把多项式因式分解．
难点：确定多项式中各项的公因式和理解因式分解的意义。

教学过程：
一、新课引入：
用类比的方法引入课题．
　　在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．
　　在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．
二、学习新课：
1、观察思考：
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．
如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc
　　(a+b)(a-b)＝a2-b2
　　(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10等等．
　　再请学生观察它们有什么共同的特点？
　　特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．
　　可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．
　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
　　如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
　　　　整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．
　　让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．
观察多项式：ma+mb+mc，请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．根据乘法的分配律，可得ma+mb+mc＝m(a+b+c)．这种分解因式的方法叫做提公因式法。
定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的方法：公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
2、例题分析：
例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？
　　　　(1)x2-x＝x(x-1) ( )
　　 (2)a(a-b)＝a2-ab ( )
　　　　(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 ( )
　　　　(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 ( )
　　　　(5)x2-4x+4＝(x-2)2 ( )
例2 指出下列各多项式中各项的公因式：
　　　　(1)ax+ay+a (a)
　　　　(2)3mx-6mx2 (3mx)
　　　　(3)4a2+10ah (2a)
　　　　(4)x2y+xy2 (xy)
　　　　(5)12xyz-9x2y2 (3xy)
例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．
例4 把3x2-6xy+x 分解因式．
三、课堂小结：
　　1．因式分解的意义及其概念．
　　2．因式分解与整式乘法的联系与区别．
　　3．公因式及提公因式法．
　　4．提公因式法因式分解中应注意的问题．
四、作业布置：
练习册习题9.13(1)
教后感
1．提取公因式法是把多项式因式分解的最基本的，也是最重要的方法。在讲授例题时，要引导学生观察多项式的结构特点，找出多项式各项的公因式。
2．讨论、分析、归纳，运用提公因式法把多项式因式分解，通过课堂练习让学生在课堂上达到巩固所学知识的目的。
3．通过向学生说明提公因式的依据，培养学生不仅要掌握顺向思维的方式，还应运用逆向思维去考虑问题．由于多项式的因式分解和整式乘法是目标不同，方向相反的恒等变形，可以借此机会训练学生双向思维，特别是逆向思维方式。
4．本节课由分数约分类比引出因式分解概念，并通过与整式乘法的互逆运算让学生明确因式分解与整式乘法的区别与联系，取得了良好的教学效果。
9.13(2)提取公因式法

教学目标
1．理解公式am+bm+cm=m(a+b+c)中的m不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，并能较熟练的找出公因式；
2．通过把形如a(x+m)+b(x+m)的多项式分解因式，介绍设辅助元的方法，化归为公因式是单项式的问题，渗透化归的思想方法。
教学重点和难点
重点：公因式为多项式的提取公因式法。
难点：在确定公因式时符号的变换。
教学过程：
一、新课引入：通过复习引入课题．
1．把下列各式分解因式：
(1)2am-3m； (2)100a2b-25ab2；
二、学习新课：
1、观察思考：
思考：如何把a(m+n)+b(m+n)因式分解。
对于多项式a(m+n)+b(m+n)，如果设c=m+n，那么这个式子就变为ac+bc，我们就可以提取公式法因式分解了。这样，就把问题归结为公因式是单项式的因式，可以用提取公因式法进行因式分解了．如果不写出辅助元，只需把(b+c)看作一个整体，作为公因式提出即可。
2、例题分析：
例1：分解因式．
1)2a(b+c)-3(b+c)
2)(3m-2)x+3(3m-2)y
3)4n(a+b)-5(a+b)2
4)18b(a-b)2-12(a-b)3
5)a(x-2)-b(x-2)+x-2
例2：分解因式．
1) m(a-b)-5(b-a)
2)6(x+2)+x(-x-2)
3)3m(x-y)2-9m2(y-x)2
4)12a3(m-n)3+10a2(n-m)3
5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)
三、课堂小结：
1．在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．
2．在提取多项式各项的公因式时，对数字系数和因式要分别进行考虑．对于数字系数，提取它们的最大公约数，对于相同的因式应提取次数最低的．
四、作业布置：
练习册习题9.13(2)
教后感：
1．本节课的内容对学生来说是有一定难度的．当公因式是多项式时，采用设辅助元的方法，把问题化归为公因式是单项式的提取公因式法，达到化难为易，把不甚熟悉的问题化归为已熟悉的问题的目的，化归思想是数学中解决问题的重要思想方法。在解题时常作为把未知化为已知， 把繁难化为简易问题的手段，以寻求解题途径，教学中教师应结合具体问题有意识的向学生渗透化归的思想方法。
2．当多项式的公因式是隐含的时候，要引导学生认真观察和分析多项式中各项的特点，寻求把多项式进行适当的变形或改变多项式中某些项的符号的思路和方法，通过课堂练习达到这一目的。
3．本节课由提取一个单项式类比引出提取多项式的方法，切合学生实际情况，取得了良好的教学效果，但在提取公因式后的合并同类项往往容易忽略，在教学中应强调。

9.14(1)公式法
教学目标
1.了解运用公式法的含义。
2.理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特点，并运用对比的方法弄清两种“平方差公式”的区别与联系。
3.会初步运用平方差公式分解因式。
教学重点和难点
正确运用平方差公式分解因式。
教学过程
一、复习提问：
1.什么叫因式分解？我们已学过什么因式分解的方法？
2.因式分解与整式乘法有什么区别和联系？
3.我们学过哪些乘法公式？
二、学习新课：
1、观察思考：
提问：整式乘法与因式分解是互逆关系，那么乘法公式除了可以进行整式乘法外，还有其它什么用途？
教师总结：如果把乘法公式从右向左用，就可以用来把某些符合条件的多项式分解因式．我们把这种多项式的分解方法叫做运用公式法．
从而引出因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，并总结该公式的特征：公式左边是两个数的平方差，右边是两个因式积的形式，这两个因式分别为这两个数的积及这两个数的差，利用这个公式，可以把具有平方差特征的多项式分解因式．
2、例题分析：
利用平方差公式因式分解：1）x2-16；2）9m2-4n2
练习
1.填空：
4x2=( )2 25m2=( )2
36a4=( )2 0.49b2=( )2
81n6=( )2 64x2y2=( )2
100p4q2=( )2
2.下列多项式可不可以可不可以用平方差公式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，说明为什么？
x2+y2 -x2+y2 x2+y2 -x2-y2 a4-b2
并总结出能用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件：



例3：用简便方法计算：
1）9992-10012
2）(99.5)2-(100.5)2
三、课堂小结：
（1）能写成( )2-( )2的式子，可以用平方差公式分解因式。
（2）公式中的a,b可以是单独的数字、字母，也可以是单项式、多项式。
（3）分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、作业布置：
练习册习题9.14(1)
教后感：
1．通过因式分解与整式乘法的互逆关系顺利引出因式分解的第2种方法：公式法，渗透类比思想，使学生学会举一反三。
2．本节课的教学设计，力求体现出在教师引导下，师生共同讨论、分析、归纳，运用公式法把多项式因式分解．通过课堂练习让学生在课堂上达到巩固所学知识的目的。
3．通过例题的讲解，让学生掌握平方差公式的运用范围及标准形式，并通过一些简便运算使学生感悟数学的实用性，提高他们对数学的兴趣。
4．最终结果没有分解完全是初学者很容易犯的错误，因此在讲解例题时应特别强调因式分解要分解到最后不可分为止。



9.14(2)公式法

教学目标
1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；
2.理解完全平方式的意义和特点，形成判断能力。
3．形成全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．
4．通过运用公式法分解因式的教学，进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。
教学重点和难点
能辨认完全平方公式，并正确运用完全平方公式分解因式。
教学过程
一、复习提问：
1.上节课学习了公式法进行因式分解，用的是哪个公式？
练习：把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2(2)16m4－n4.
2. 除了平方差公式之外，还有哪些公式?
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a－b)2=a2－2ab+b2
二、学习新课：
1、观察思考：
从而引出因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2－2ab+b2=(a－b)2，并分析该公式的特征：公式左边是两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，右边是这两个数的和(或者差)的平方的形式，利用这个公式，可以把具有平方差特征的多项式分解因式．
一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是同号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.要用完全平方公式进行因式分解，关键是判断一个式子是否为完全平方式。
2、例题分析：
例1：下列多项式是否为完全平方式?为什么?
(1)x2+6x+9；
(2)x2+xy+y2；
(3)25x4－10x2+1；
(4)16a2+1.
例2：分解因式：
1）25x4+10x2+1
2）1－m+
3）-4a2b2-1+4ab
4)-m2n2-16+8mn
例3：分解因式：
1）2ax2-12axy+18ay2
2)(x+y)2+8(x+y)+16
3)-(2x-y)2-10(2x-y)-25
三、课堂小结：
1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.
2.题目中往往会出现不象完全平方式的形式，需要通过一定的恒等变形才能化成标准形式，关键是抓住完全平方式的本质。
四、作业布置：
练习册习题9.14(2)
教后感：
1、利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质。
2、本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法.在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点.例2和例3的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法。
3、对于完全平方式的辨认是本堂课的重点及难点，所以总结要透彻，而不应拘泥于形式，否则往往会判断失误；另外，因式分解时，应首先考虑能否提取公因式，再用公式法分解。












9.15十字相乘法

教学目标
能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式；通过课堂交流思考，形成从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质。
教学重点、难点
能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式；把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p。

教学过程：
一、复习导入
1．口答计算结果：
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x－4)
(3) (x－3)(x+4) (4) (x－3)(x－4)
2．问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗?
[在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ]
二、探索新知
1、观察与发现:
等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算.
反过来可得 x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解.
2、体会与尝试：
①试一试 因式分解: x2 + 4x + 3 ； x2 － 2x －3
将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:
x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
x +3
x +1
3x + x = 4x
②定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
③拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：
6、 12、24、 -6、 -12、 -24 .
④练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解：
(1) x2 －7x + 12； (2) x2－4x－12； (3) x2 + 8x + 12；
(4) x2 －11x－12； (5) x2 + 13x + 12； (6) x2 －x－12；
⑤探索符号规律,完成填空.
3、思考与归纳：
要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
用十字交叉线表示: x +a
x +b
ax + bx = (a + b)x




由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.
三、课堂小结
对二次三项式x2 + px + q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：
1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.
2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
3．书写格式:竖分横积
四、巩固新知
1、比一比 抢答练习
2、拓展练习 先填空,再分解（尽可能多的）： x2 + ( )x + 60 = ；
五、布置作业
练习册§9.15十字相乘法
教后感：
在做题时学生总忘记先提取公因式，再选择方法，最后思考有无分解到最后不能再分，所以做错在所难免。总之，还是需要多练。
9.16 分组分解法

教学目标
理解分组分解法的意义；进一步理解因式分解的意义；初步掌握分组后能直接提公因式分解因式的方法。尝试中获得合作的成功，感受一下成功的喜悦。
教学重点、难点
掌握分组分解法的分组原则；如何分组才能达到因式分解的目的；选择分组方法。

教学过程
（一）复习
把下列多项式因式分解
(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n)
(3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y)
（二）新课讲解
1．引入
提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？
分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有：
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
说明：
如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
练习：
把下列各式分解因式
(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)
(三)．应用举例
例1．把a2-ab+ac-bc分解因式
分析
把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。
解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)
例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式
分析：
把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可以继续提公因式。
解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）
=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)
提问：
这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？
(四)、练习：
把下列各式分解因式
(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz
(5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n
(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2
(五)、小结
这节课学习了分组后能直接提公因式来因式分解的知识，注意分组时要选择分组方法，要保证分组后各组有公因式。
(六)、作业
练习册§9.15。
教后感：
选择恰当的方法进行分组是解题的关键，五项六项的分组是学生的弱项，更难理解的就是需要拆项分解，只有个别学生可以掌握。


9．17同底数幂的除法
教学目标
掌握同底数幂的除法运算法则，运用同底数幂的除法运算法则，熟练、准确地进行计算.通过总结除法的运算法则，形成抽象概括能力。
教学重点及难点
准确、熟练地运用法则进行计算．根据乘、除互逆的运算关系得出法则。
教学过程
1．创设情境，复习导入
（1）叙述同底数幂的乘法性质
（2）计算：①   ②   ③
　　  ．（m，n都是正整数）
2．提出问题，引出新知
你会计算吗？
这个问题就是让我们去求一个式子，使它与相乘，积为，这个过程能列出一个算式吗？
由一个学生回答，教师板书．

这就是我们这节课要学习的同底数幂的除法运算．
3．导向深入，揭示规律
我们通过同底数幂相乘的运算法则可知，
　
　那么，根据除法是乘法的逆运算可得
　也就是
同样：，即
，即
那么 ，当m，n都是正整数时，如何计算呢？
　（板书）
　学生活动：同桌研究讨论，并试着推导得出结论．
　师生共同总结：
　教师把结论写在黑板上．
　请同学们试着用文字概括这个性质：
　
　【说明】提出问题：在运算过程当中，除数能否为0？
　学生回答：不能．（并说明理由）
　由此得出：同底数幂相除，底数 ．教师指出在我们所学知识范围内，公式中的m、n为正整数，且m＞n，最后综合得出：
　一般地：
　这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减.
特别地，当m=n时，，而，所以规定。
4．尝试反馈，理解新知
例1  计算
（1） （2）
（3） （4）
解:（1）
（2）
（3）
（4）
5．反馈练习，巩固知识
　练习
（1）计算：
①　　　　②
　③　　 ④
（2）计算：
　①　　② 　　③　
　学生活动：第（l）题由学生口答；第（2）（3）题在练习本上完成，然后同桌互阅，教师抽查．
6、总结、扩展
我们共同总结这节课的学习内容．
学生活动：①同底数幂相除，底数__________，指数________。
　　 ②由学生谈本书内容体会．
【说明】  强调“不变”、“相减”．学生谈体会，不仅是对本节知识的再现，同时也培养了学生的口头表达能力和概括总结能力．
7、布置作业
练习册习题9.17
教后感：
两个班级的课都是因为配合新进教师开课作为试讲，内容比较简单，学生都容易掌握，作业反馈情况也较好。

9．18单项式除以单项式
教学目标
理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用单项式除以单项式的运算法则，熟练、准确地进行计算，通过总结法则，形成抽象概括能力．
教学重点及难点
准确、熟练地运用法则进行计算．
根据乘、除的运算关系得出法则
教学过程
1．创设情境，复习导入
前面我们学习了同底数幂的除法，请同学们回答如下问题，看哪位同学回答很快而且准确．
（l）叙述同底数幂的除法性质．
（2）计算： （1）   （2）  
（3）   （4）
学生活动：学生回答上述问题．
（ ，m，n都是正整数，且m＞n）
【说明】通过复习引起学生回忆，且巩固同底数幂的除法性质．同时为本节的学习打下基础，注意要指出零指数幂的意义．
2．指出问题，引出新知
思考问题：地球与太阳的距离约是千米，光的速度约是每秒千米，太阳光射到地球大约需要多少秒？
这个问题就是已知路程和速度让我们去求时间，这个过程能列出一个算式吗？
由一个学生回答，教师板书．
（学生回答结果）
我们可以先算，接着算，然后将商相乘，得到计算结果

如果我们用字母x代替底数10，那么这时就是单项式除以单项式的问题，用以上方法计算，即：

这就是我们这节课要学习的单项式除以单项式运算．
师生活动：思考：
由单项式的乘法，

所以（在上述板书过程中填上所缺的项）
那么由得到是怎样计算的呢？
两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
如何运用呢？我们来看例题：

学生活动：在教师引导下，根据法则回答问题．（教师板书）
3．尝试计算，熟悉法则
②
③
④
4．强化学习，掌握法则
练习一
计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
学生活动：4个学生板演，其他学生在练习本上完成，然后讲评。
练习二
填空：
（1）　　
（2）
（3）
（4）　　
5、课堂小结
由学生完成本节课的归纳与总结，教师给予引导或补充．
6、布置作业
练习册习题9.18
教后记：
在学习了同底数幂的除法和单项式乘以单项式的基础上学习单项式除以单项式相对比较容易理解，练习速度也较快，正确率尚可。

9.19多项式除以单项式
教学目标
理解和掌握多项式除以单项式的运算法则，运用多项式除以单项式的法则，熟练、准确地进行计算，通过总结法则，形成抽象概括能力。
教学重点及难点
多项式除以单项式的法则及其应用．
理解法则导出的根据。
教学过程
1．复习导入
（l）用式子表示乘法分配律．
（2）单项式除以单项式法则是什么？
（3）计算：
　 ①
　　 ②
　　 ③
2．引入新课
怎么样计算和呢？
这是一个多项式除以单项式的问题。下面让我们来看下面这道题目：
图中两个长方形的面积和是：______________，这两个长方形的宽是_______________，
组合后的长方形的面积是：______________，组合后长方形的宽是_______________，则组合后的长方形的长为：_________________，由图中直接可知长为：_________________。
我们可以得到
即
下面我们来看另外一道题目：

由图中我们可以得到

【说明】教师引导学生总结得出多项式除以单项式的运算法则，教师给出，紧扣计算法则，在师生互动活动中，要充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，调动学生的思维．
请同学们试着说说看多项式除以单项式该如何计算？
学生回答，教师引导纠正。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．
3．讲授新课
例题  计算：
（1）
（2）
解：（1）


（2）


【说明】：（l）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，
不可丢项，如（2）中容易丢掉最后一项．
　　 （2）要求学生说出式子每步变形的依据．
　　 （3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检
验除的对不对．
练习1计算：
（1）
（2）
（3）
练习2计算：
（1）
（2）
4．课堂小结
1．多项式除以单项式的法则是什么？
2．运用该法则应注意什么？
正确地把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题。计算不可丢项，分清“约掉”与“消掉”的区别：“约掉”对乘除法则言，不减项；“消掉”对加减法而言，减项。
5．回家作业
练习册习题9.19
教后记：
方法学生很易掌握，但综合起来运用就发现计算问题不少，还需多做多练。

10.1分式的意义

教学目标
1、理解和掌握分式的概念；
2、通过类比分数探究分式有意义的条件和分式值为零的条件，初步形成运用类比转化的思想方法解决问题的能力。
3、通过类比方法的教学，知道事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点。
教学重点及难点
1、能准确地辨别分式与整式。
2、明确分式有意义和值为零的条件。
教学过程
一、 情景引入
1．观察
一名运动员在上海金茂大厦跳伞，从350米的高度跳下，
（1） 若到落地时用了15秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？
（2） 若到落地时用了20秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？
（3） 到落地时用了x秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？
[说明] 问题设置与教材略有不同，增加了由具体的数过度到字母的过程，使学生易于理解问题，并且再次体会字母代表数的意义，也从中渗透了函数思想。
2．思考
师：问题（1）与（2）的答案分别是350/15，350/20，它们是分数，而（3）中的答案350/x是一个代数式，那么它是整式吗？如果不是，它与整式有什么区别呢？
3．讨论
师：象350/x, 2b/a, (a+2b+3c)/x这些代数式有什么共同点？
板书课题：分式的意义
二、学习新课
1． 概念讲解与辨析
（1）分式的定义：两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为A/B.如果B中含有字母，那么A/B叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。（板书）
思考：分式与分数的联系与区别？（学生分组讨论）
师：分式的定义与分数的定义类似，都由除法转化而来，有所区别的是分数的定义中是“两整数a,b相除”，而分式的定义中“整数”变为了“整式”，因此原来的整数a,b变为了整式A，B,通过字母大小写的变换以示区别。
定义强化训练：
（1）P70练习10.1（1）
（2）辨析：（P68例1）下列式子中哪些是整式？哪些是分式？
4/x, (x+y)/3 , xy/(x-y), x/(a+2b+3c)
设计说明：将这两题直接放在分式的定义讲解后，能使学生加深对分式的直观印象，加深对分式定义的理解,深刻认识整式与分式的区别。
（2）分式有意义和值为零的条件：
师：我们知道分数的分母不能为零，反过来，分数的分母为零时，分数是无意义的。其根本原因是：分数是有除法转变而来的，因为除法中除数不能为零，因此由分数与除法的关系，分母也不能为零。那么，定义与分数类似的分式，它的分母是不是也有这个要求呢？由于分式同样是由除法转变而来，因此要使分式有意义，分式的分母也不能为零。这就是分式有意义的条件。
（板书）分式有意义的条件：分式的分母不能为零。（反过来，如果分式的分母为零，那么这个分式无意义。）
师：分式的分母不能为零，那么分式的分子可以为零吗？
生：（讨论）分式的分子可以为零，因为零除以任何一个不为零的数，商都是零；因此得出结论：当分式的分子为零且分母不为零时，分式的值也为零。
（板书）分式值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零。
师：千万不能漏了“分母不为零”这个条件，分式值为零的前提条件是分式有意义。
2． 例题分析
例题1：x取何值时，下列分式无意义？
（1）（x2+1）/2x , (2) (x+5)/(x+2),
(3) (x+5)/(x2+2) (4) x(x-1)/x。
说明：（1）（2）是比较容易得出答案的。（3）中分母x2+2无论x取何值时，x2+2都不可能为零，所以这个分式总是有意义的。（4）中分子与分母有相同的因式x,有学生说“可以将这个因式约去，这个式子就变成了x-1, 也就是变成了一个整式，所以也总是有意义的。”这种想法是错误的，看一个代数式是不是分式，要看原来的式子，将分式约分是可以的，但必须有这个前提：被约去的因式不能为零。这个我们会在下一节中学习。因此（4）的答案应该是x≠0。
例题2：x取何值时，分式（x2+5x-1）/(3x+1)有意义？
分析：当分母不为零时，分式有意义。（解答略）
例题3：x取何值时，分式（2x+1）/(3x-1)的值有意义？
分析：当分式的分子为零且分母不为零时，分式的值也为零。因此解题中得到x取某值时分子为零之后，还要确定x取这个数值时分母不为零，才能最后下结论。（解答略）
3． 拓展问题
拓展1：x取何值时，分式（x2-3x+2）/(x2-4)有意义？值为零？
拓展2：P69例题6
[说明] 拓展1是对例题1，2，3的拓展，不仅要用到今天所学的知识，还需要运用因式分解等来综合解决这个问题，培养学生综合解决问题的能力。拓展2是对分式的意义的实际应用，让学生通过解题体会学习分式的实际意义。
三、巩固练习
练习10.1的2、3、4、5。
四、课堂小结
学生自主小结，教师加以补充。注重学生的学习体验和主体意识的培养：
1、知识点归纳；
（1）分式与分数的联系与区别
（2）分式有意义的条件
（3）分式值为零的条件
2、学生学习的感受和体会以及存在问题质疑。
五、作业布置
练习册10.1
教后感：
1、关于问题情景设置
七年级学生的心理年龄还比较小，要抓住他们感兴趣的所在，可以从实际生活出发引入课题，把他们的注意力自然过度到数学课堂教学的主题。激发了他们的兴趣，也培养了他们用数学知识解决实际问题的意识。因此选择了金茂大厦跳伞这个问题引入，同时我也将这个问题进行了修改，增加了由具体的数过度到字母的过程，使学生易于理解问题，并且再次体会字母代表数的意义，也从中渗透了函数思想。

2、关于分式与分数的类比教学
在引入分式这个概念以后就引导学生将分数与分式作类比，通过类比来自主探究分式的定义，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力。





10.2分式的基本性质

教学目标
1、认知目标：通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质；掌握约分的方法和最简分式的化简方法。
2、能力目标：使学生学习类比的思想方法，培养类比转化的思维能力；使学生掌握分式的基本性质，培养正确进行分式变形的运算能力。
3、情感目标：通过与分数的类比，导出分式的基本性质，渗透事物是联系及变化发展的辨证关系。即类比— —联系— —归纳— —发展。
教学重点及难点
重点：理解并掌握分式的基本性质。
难点：灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分式的化简方法。
教学过程
一、 情景引入
1．观察
在括号内填写每一步骤的依据
计算：

解：




（ ）



（ ）


2．思考
问题（1）：还记得分数的基本性质吗？

问题（2）：分式是否也有这样的性质？
[通过提问的方式先使学生回忆复习分数的基本性质，继而引导学生与分数的基本性质相类比，导出分式的基本性质，并让学生了解分式的基本性质是今后学习与研究分式变形的依据。]
3．讨论
  （1）对照分数的基本性质，改写成分式的基本性质：

分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分式的值不变，即：
　　，
其中M、N为整式，且

（2）两者有何区别和联系？
[通过讨论使学生理解从分数到分式是把“数”引伸到“式”.分数是分式的特殊情形。]
二、学习新课
1．概念辨析
分式中的A，B，M，N四个字母都表示整式，其中B必须含有字母，除A可等于零外，B，M，N都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0或N=0，那么不论乘以或除以分式的分母，都将使分式无意义.
2．例题分析
例1：

例2

[通过简单例题（书上例1）的练习，使学生能正确找出分子分母的相同因式，然后将分式化简。并归纳出将分式化简到最简分式的方法。]

[通过例三的练习，向学生强调化简分式的最后结果应是最简分式。练习中涉及到分式的变号法则，是一个教学难点，可适当举例让学生体会，但不必特别强调和给出分式的变号法则这一名称。]
3．巩固练习
课后练习10.2
[第一题可在导出分式的基本性质后练习，第二、三、四题可在相应例题1、2、3讲解后练习。也可集中练习，教师可根据实际情况选择。]
三、问题拓展
（1） 对于分式的基本性质的应用学生较容易出错的情况辨析：
（2） 对于利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式的习题，如不改变分式的值，把分式中分子、分母的多项式各项系数化成整数，并使最高次项的系数为正．
（3） 对于可将分式先化简再求值的题目的练习。

[以上这些问题可在学生学有余力的前提下，加深对分式的基本性质的理解和掌握。]
四、课堂小结
1、 分式的基本性质？分式的基本性质是分式变形和运算的理论依据。
2、 约分的方法？约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件。
五、作业布置
练习册10.2
教后感：
1、这一章的内容与前面的分数有点类似，所以本章的有些内容都是类比分数的知识来讲的，类比是发现新问题的一种有效的思维方法。这一节也不例外，运用启发式的教学原则，类比分数的基本性质来讲解分式的基本性质，在教学设计中强调让学生比较分式的基本性质和分数的基本性质的区别与联系，目的是使学生进一步明确分式的基本性质的特点，培养学生独立获取知识的能力。
2、关于例题与练习的安排是按照由易到难、由简单到复杂的认知规律和心理特征设计的。以使学生通过一道简单的分数加法计算回忆起通分和约分的依据是分数的基本性质，然后类比引出分数的基本性质。在初步熟悉分式的基本性质之后，通过例题和习题训练学生正确运用分式的基本性质的能力，接着可选择问题拓展的一些题目使学生能够根据问题特征，灵活运用分式的基本性质，同时，培养学生分析问题与解决问题的能力。
3、要加强对学生的训练。老师讲完例题后，要让学生自己做题，在做题过程中体会分式的基本性质和分式的变号法则，以加深理解，到后面的分式变形和分式运算才会运用自如。

10．3分式的乘除
教学目标
1、通过以前学过的分数的乘除法法则探索分式的乘除法运算法则。
2、运用分数的乘除法法则进行运算，并会计算分式的乘方。
3、培养学生的观察、类比、归纳的能力和与同伴合作交流的情感，进一步体会数学知识的实际价值。
教学重点及难点
1、分式的乘除法法则的推导。
2、利用分式的乘除法法则进行运算。
教学过程
一、复习旧知，引入新课
1、大家还记得分数的乘法和除法的法则吗？
2、？

你们做的很好，那么下面这两道题目如何计算呢？


你会计算和吗？
通过复习分数的乘除法法则，让学生计算分数的乘除法题目。在学生回答猜想后，引导学生运用“数式相通”的类比思想，归纳分式乘除法法则。学生探究，教师引导。让学生全面参与、独立思考，由自己总结出分式的乘除法法则，培养学生的归纳、创造能力。
注意强调先要将除法转化成乘法再进行计算，结果最后要化成最简分数。并注意提醒学生在进行分数和分式的乘除时，先约分再乘除比较简便。为后面分式的乘除法计算打下基础。
二、新课讲授
请同学们说说看，分式的乘除法法则是什么？
两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与除式相乘。
用式子表示为：


例1 计算
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
例2计算：
（1）
（2）
（3）
解：（1）

（2）

（3）

思考：
利用分式的乘法与的数学意义，得出分式平方的计算方法。并由此推导出分式乘方的计算方法。
三、巩固练习
练习10.3 ——1、2、3、4
根据课堂的实际情况，灵活掌握习题的数量，重点看学生能否正确运用分式乘除法法则，能否利用分式的基本性质约分化简分式。
四、课堂小结
（1）内容总结
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？要注意什么问题？（2）方法归纳
在本节课的学习过程中，你有什么体会？
五、回家作业
布置作业，练习册10.3
教后感：
在教学过程中感觉良好，因为学生对分式的基本性质掌握的较好。运算法则也能熟记。但实际在课后的练习和回家作业的反馈中发现问题很多：
1、正负符号的确定。
2、因式分解部分学生有些遗忘，不能熟练运用各种方法进行因式分解，或因式分解不能分解到最后。
3、计算的错误率一直较高的现象还是比较普遍，所以有必要停下来加强巩固，以便学习分式的加减和混合运算。


10.4分式的加减(1)
教学目标
1. 通过同分母分式的加减与同分母分数的加减的类比，理解同分母分式加减法则的形成过程。
2. 会利用同分母分式的加减法则进行同分母分式的加减运算。
教学重点及难点
同分母分式的加减法法则的推导。
同分母分式加减法法则的灵活运用。
教学过程
引 入
小丽和小明都用了13秒的时间进行短跑,小丽跑了60米，小明跑了70米;
(1) 谁的速度快,快多少?
(2) 若小丽和小明均用去了x秒，则小明比小丽速度快多少?
(3) 若小丽和小明均用去了x2秒，小明比小丽快多少?
使学生在复习同分母分数的运算的基础上，对同分母分式的知识有大概的了解和认识，引起他们的思考和兴趣。
计 算
O

•
C′
B′
C
B
A
A′




观 察
你发现了什么规律吗？同分母分数的运算法则和同分母分式的运算有什么相同的地方？
总 结
同分母分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
例题1 计算
（1）

（2）
（3）
（4）
解：（1）

（2）

（3）
计算的结果一般化简成最简的分式
（4）

分母为符号相反的代数式，一般统一分母，提出负号。
判断正误
（1）
注意加括号
（2）
正确提取负号
练习
（1）
（2）
（3）
（4）
教后感：
本节学习的同分母分式的加减运算，可以通过类比同分母分数的加减运算法则来归纳总结，学生较易理解和掌握。在新知识的教授过程中，教师应更好地引导学生从同分母分数的运算过渡到同分母分式的运算，从而水到渠成的得出结论；
在课堂上，教师应给出一些错误的解题情况让学生辨析和讨论，加深印象；避免学生对知识点理解的错误和运算的错误；
在例题的设置方面，应坚持从易到难的原则，首先给出一些基本的运算来巩固新知，然后再适当得加以扩展和延伸，给学生充分的思考时间，使学生能够比较自然地联想到下节课要学到的异分母分式的运算，为开展异分母分式的运算学习奠定基础。







10.4分式的加减(2)
教学目标
1. 在教学过程中渗透类比思想，能用类比分数的加减运算，得出异分母分式加减运算法则；
2. 使学生理解异分母分式加减法则的形成过程；利用异分母分式的加减法则进行异分母分式的加减运算；
3. 在课堂活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯；渗透类比、化归数学思想方法，提高运算能力。
教学重点及难点
异分母分式的加减法法则及其简单运用；确定异分母分式的最简公分母。
教学过程
情境引入：
通信员从营地前往相距1000米的哨所去送信，如果去时跑步前进速度为2a米/分，返回时因疲劳速度降低为a米/分，那么他送信共花去了多少时间？
让学生经过充分的思考和讨论后列式。
想一想：列式
（1）思考是如何计算的？
通过转化成同分母分数通分后再进行计算的；
根据以上几个例题，总结归纳异分母分式加减法法则，并与异分母分数加减法法则相比较，体会类比的思想。
（2）那么可以如何计算呢？
通过转化成同分母分式进行计算；需要通分，寻找公分母。
思 考：
异分母分数的加减法是否可以推广到异分母分式的加减呢？
练 习：

为什么要把6x和x2作为公分母，其它的可以吗？有什么不同之处？
总 结：
异分母分式的加减运算法则：
异分母分式相加减，先将它们转化成相同分母的分式，然后再进行加减；
将几个异分母的分式转化成与原来分式的值相同的同分母分式的过程叫做通分。
思 考：
通分中的公分母是如何确定的呢？
如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数，字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
例题1将分式化成分母分别为下列整式的分式；
（1）2x （2）xy
（3）x2y2 （4）x（x+2）
例题2计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（当式中有整式出现的时候，可把这个整式的分母看作1）
练 习：
计 算
（1） （2）

（3） （4）

（5）; （6）

（7） （8）
填 空：
若 ,则M=___________.
教学设计说明
本节课类比异分母分数的加减运算，得出异分母分式加减运算法则，发展有条理的思考及语言表达能力，会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，结合已有的数学经验，通过自主探究，类比猜想，培养学生发展、解决新问题的能力，训练思维的严谨性，使他们在逐步的探索中获得成就感，培养学习积极性和参与性。











10．5可以化成一元一次方程的分式方程
教学目标
1.进一步了解数学思想中的“转化”思想,认识到能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的途径。
2. 在教师的引导下,探索分式方程是如何转化为整式方程,并发现解分式方程验根的必要性。
3．在讨论可以化为一元一次方程的分式方程时，提高学生综合分析和解决实际问题的能力。
教学重点与难点
1.探索如何将分式方程转化为整式方程。
2.探索分式方程产生增根的原因。
教学过程
一、情景引入
小明和小丽比赛打字的速度，小丽每分钟比小明少打30个字，在相同的时间里，小丽打了2400个字，小明打了3000个字。
请问：小丽和小明每分钟分别可打多少个字？
解：设小明每分钟可打x个字，则小丽每分钟可打(x-30)个字。
根据题意可列出以下等量关系：

这个方程的分母中含有未知数，与以前学过的方程不同，这就是我们要学习的分式方程。
分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含有未知数的方程叫整式方程
二、引发思考
如何解这个方程呢？
先由学生讨论如何解这个方程，教师可适当引导，可以设法去掉方程中分式的分母，转化为以前学过的方程来求解。
方程两边同时乘以x（x-30），得
2400x=3000（x-30）
这就转化成我们以前学过的整式方程，得
x=150
得，x-30=120
如果我们想检验一下这种方法的正确性，就需要检验一下求出的数是否是方程的解。
检验：把x=150代入原方程，
因为 左边==20 右边==20
所以 左边=右边
所以x=150是原方程的解。
答：小明每分钟可打150个字，小丽每分钟可打120个字。
三、学习新课
练习：判断下列哪些方程是分式方程？
1． x+3y= 2. =5
3. 4.
5. 6.
学生讨论回答,得出结论 (1) (6)是整式方程, (2) (3) (4) 是分式方程, (5)是代数式.
例1. 解方程.
先由学生讨论如何解这个方程
在学生讨论的基础上分析,解分式方程的关键是去分母,如何去掉分母呢? 可以两边同时乘以分母的最简公分母,将分式方程转化为我们比较熟悉的整式方程
解 方程两边同时乘以2(3x+1)
2(2x-1)=3x+1
去括号,得 4x-2=3x+1
移项,化简得 x=3
检验,将x=3代入原方程,得
左边==右边
所以x=3是原方程的解
一元方程的解也叫做方程的根
如x=3也可以说是方程的根
例2. 解方程
由学生独立完成,看是否能发现问题,并发现问题产生的原因
解 方程两边同时乘以x-1,得
x+x-1=1,
移项,化简得 x=1,
检验,将x=1代入原方程,结果发现方程中分式的分母为零,此时分式无意义.
所以x=1不是原方程的解,原方程无解.
引出增根的概念, 使分式方程中分母为零的根叫做增根
x=1就是分式方程的增根
讨论: 1,2两题都是方程两边同时乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程,为什么第2题求出的x=1不是原方程的解呢?解分式方程时为什么有时会产生增根呢?
分式方程转化为整式方程的过程必须两边同时乘以一个适当的整式.由于这个整式可能为零,使本不相等的两边也相等了,这时就产生了增根.所以解分式方程必须检验,而检验的方法只需看所得的解是否使所乘的式子为零.
由此可以想到,只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母),若该式的值不等于零,则是原方程的根; 若该式的值为零,则是原方程的增根,这种验根方法比较便捷.
练习: 解方程
(1). (2)
注意学生书写的格式规范
学生讨论归纳出解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘以最简公分母,化为整式方程.
2.解方程.
3.检验.
教学设计说明：
本章讨论可以化为一元一次方程的分式方程，解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须验根的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。
借助对分式的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，解分式方程用的是化归思想，分式方程一般要先化为整式方程再求解，注意验根是必不可少的步骤。
本节课的引入安排了实际生活中的例子，更贴近学生的实际，在学生讨论时，注意结合分析、解决实际问题的逐步深入。在讨论分式方程的解法时，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。这里解分式方程的基本思路是很自然、很合理地产生的，这种处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了整式方程与分式方程在解法上的内在联系。
在讨论增根问题时，通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出验根的方法。



10.6 整数指数幂及其运算(1)
教学目标
1.体验整数指数幂的扩充过程，体验数学研究的一般方法；
2.理解负整数指数幂的概念，了解整式和分式在形式上的统一；
3.掌握整数指数幂运算的性质，会用性质进行简单的整数指数幂的相关计算；
4.提高数学语言的概括能力。
教学重点与难点
1.负整数指数幂的概念；
2.理解整数指数幂的运算性质；会运用性质进行相关的计算。

教学过程
一．复习引入：
1.计算：28÷23=_____，510÷56=_____；
（由学生用数学式子表示上述同底数幂的除法法则，并指出其中字母的规定，强调指数是正整数，底数不等于零）
2.计算：25÷25=______；32006÷32006=_____；
（由学生用数学式子表示零指数幂的性质，并指出底数的规定）
3．思考：如何计算24÷26、35÷38
[说明]在学生独立思考的基础上，组织学生进行相互之间的讨论，并请学生代表讲解计算的过程及依据，体验分数与除法的关系；然后进一步提出“如何用幂的形式表示计算结果”的问题。
4.如果用前面学过的同底数幂的除法性质来计算，我们可以得到什么结果？这两种计算结果应该是相等的，那么我们今天又可以得到什么结论？如何用数学式子表示？
5.、、
[说明]以复习同底数幂的除法为基础，引领学生进行探究更为一般的同底数幂的运算，让学生能够充分体验数学知识的发生过程，理解新旧知识之间存在的内在联系，初步体会研究数学的一般方法。
二．学习新课：整数指数幂及其运算。
1．负整数指数幂的概念：（a≠0，p是自然数）
举例说明负整数指数幂的意义，如、、
、（其中x≠0，y≠1）
2．同底数幂的除法法则：
3．整数指数幂：当a≠0时，就是整数指数幂，n可以是正整数、负整数和零。
例题讲解：
例题1 计算：
（1）26÷28；
（2）102003÷102006；
（3）715÷715。
例题2 将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式：
(1) x-3；
(2) a-3b4；
(3) (x+2y)-2；
(4) 。
[说明]两个例题均由学生思考后进行解答，教师讲评，明确解题的依据、步骤及表达上的规范；例题2的第(4)小题，还可以让学生体验，即当底数是分数形式时，还可以用这个方法把负整数指数幂化成正整数指数幂的形式，在具体的化简计算时显得简单。
4．整数指数幂的运算性质：
举例复习正整数指数幂的其它性质，同时思考、验证整数指数幂的相关运算法则：
23×25，(-3)4×(-3)6，25×2-3，(-3)-2×(-3)3;
(2×3)2，(2×3)-2;
(23)2，(22)-2，(2-3)-4;
归纳整数指数幂的运算性质：
（1）同底数幂的乘法性质：aman=am+n;
（2）同底数幂的除法性质：am÷an=am-n;
（3）积的乘方性质：(ab)m=ambm;
（4）幂的乘方性质：(am)n=amn;
（上述性质中a、b都不为0，m、n都为整数）
例题3计算：
（1）a2÷a·a3；
（2）(-a)3÷a5；
（3）x-5·x2；
（4）(2-2)3；
（5）100÷3-3；
（6）。
四．练习与巩固：
学生独立完成练习10.6中的1、2、3、4、5、7，并相互交流，其中（3）、（4）口答，其它写出过程，体验整数指数幂的性质的具体内容。
五．课堂小结：今天我们学习了哪些数学知识？
六．布置作业：练习册：习题10.6






10.6 整数指数幂及其运算(2)
教学目标
1.理解科学记数法的意义，理解绝对值小于1的有理数的科学记数法，会用科学记数法表示一个有理数；
2. 通过类比绝对值大于10的有理数的科学记数法，进一步体验类比思想，体验数学研究的一般方法；理解科学记数法在形式上的统一；
3.熟练掌握整数指数幂运算的性质，会用性质进行相关的整数指数幂的计算。
教学重点与难点
1.会用科学记数法表示绝对值小于1的有理数；
2.熟练运用整数指数幂的运算性质进行相关的计算。
教学过程
一．情景引入
1. 已知一个冠状病毒的直径约为0.00000008米，那么100个这种病毒连接起来，最长是多少厘米？如何把这两个小于1的数用另一种方法表示出来？
[说明]数学知识的产生都是与解决一定的实际问题有密切的关系.引入本例子,很自然地提出了实际问题，让学生自己探究解决的方法,体验数学研究的基本过程.教学时可以先让学生独立思考,然后再进行讨论交流,初步体验科学记数法的基本方法，让学生认识到，有了负整数指数幂，科学记数法不仅可以表示绝对值较大的数，也可以表示绝对值较小的数.
二．学习新课：绝对值小于1的有理数的科学记数法。
1．复习绝对值大于10的有理数的科学记数法的意义：把一个有理数表示成 的形式。
例如，用科学记数法表示下列各数：1000000； 120##00000； -32500。
2．用小数表示下列各数：10-1、10-2、10-3、---、10-8、---、10-n.
3．思考：怎样把小数0.00001表示成以10为底数的整数指数幂的形式？
4．思考：类似绝对值大于10的有理数的科学记数法，如何把数0.000024用2.4与10的几次幂的乘积的形式来表示？又如何表示-0.00025？
例题讲解：
例题1 把下列各数表示为的形式：
（1）0.0012；
（2）6100000；
（3）-0.00001032；
（4）-0.00000000321.
[说明]例题讲解在学生思考、讨论、交流的基础上共同完成，并让学生经过独立思考后进行归纳总结，得到一般的解题思路及方法。
例题2 杆状细菌的长、宽分别约为2微米和1微米（1微米=10-4厘米）。如果一只手上有1千个杆状细菌，它们连成一线，那么这些连成一线的细菌最长是多少厘米？（结果用科学记数法表示）
例题3计算下列式子：
(1) (x-1+y-1)(x-1-y-1)；
(2) (x-1+y-1)÷(x-1-y-1)；
(3) (x-2+y-2)÷(x-1-y-1)；
(4) (a-1+b-1)2-(a-1-b-1)2。
[说明]学生独立完成后，把具有代表性的方法在黑板上演示出来，让学生体验新旧知识之间、不同方法之间的联系与区别，体验负整数指数幂的计算一般可以转化为分式的计算，而整式计算中的乘法公式在整数指数幂的计算中同样可以运用，让学生体验到化归的数学思想。
四．练习与巩固
学生独立完成练习10.6中的6、8，并相互交流。
五．课堂小结 今天我们学习了哪些数学知识？
六．布置作业 练习册：习题10.6














11.1平移
教学目标
1、理解平移的概念；掌握图形的平移所具有的对应点的连线的特征,理解平移前后对应边角的关系
2、能按要求作出简单的平面图形平移后的图形；
3、认识到数学是来源于生活的自然科学,感受到数学是解决实际问题进行交流的
教学重点：平移的概念和平移的性质.
教学难点：识别平移方向和平移距离,作出平移后的图形.
教学过程
一、观察思考，引入新课
1、 请同学们欣赏图片：有滑雪、火车的行驶、缆车的运行等，
问这些物体的运动给人什么感觉？
2、我们都有乘坐电动扶梯的经历，那么在乘坐扶梯前后，乘坐
扶梯的人的大小、形状和位置这些几何因素哪些发生了改变？
[说明]学生在回答这个问题时都说大小和位置都变了，因为乘上去人“变小了”。所以我这里又加问了一句：是不是你乘电梯从一楼到二楼时，你从1.5米变成了1米？学生笑，理解了这个变小是视觉引起的。师再问：那么人的大小改变了吗？为了加强平移是图形上的所有点的相同运动，我又加了一句：你的脚从一楼乘到了二楼，那你的头呢，脖子呢？为第三题做铺垫。

3、如图：（1）移动移门时，门的大小会改变吗？（2）如果移
门的把手向右平移0.5米，那么移门的其他部分向什么方向移动，
移动多少距离？

[说明]这是书上的一个引例，当时时间关系只放了一张图片，如
果做成 flash动画，可能更直观，学生更受吸引。
4、引入课题：将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动称为平移.

二、新课讲授
1、深入思考，探索性质
如图，平移三角形ABC就可以得到三角形A′B′C′,介绍对应点、
对应线段、对应角。观察图中线段的长度变化，你发现了什么？
归纳平移的性质：
图形平移后，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大
小相等。
图形平移后，图形的大小、形状都不变。
6cm
A
B
C
A'
B'
C'
[说明]书上是用刻度尺和量角器度量得到平移的性质，我觉得不是很方便，还有总归是有学生不带好学习工具的，他们就无法参与到知识发生的过程中来，所以这里我插入了几何画板（点击平移两字），直接移动三角形ABC演示，并利用它的度量工具将长度、角度的变化显示在上面，这样学生探索起来有了直接依据。
平移的两个要素：（课件演示）
平移的方向和平移的距离


[说明]平移的方向和距离其实是本节课的难点,但学生当堂课上反应都很好,接受不困难,教师很容易忽视。回家作业上这一点错误率较高，说明对概念的教学决不可含混。


2、巩固练习，明晰概念
练一练：
1、平移改变的是图形的（　　　　　）
A、形状　　B、位置　　C、大小　　D、形状、大小及位置
2、 如图,∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC=33°,则∠DEF
的度数为 .
3、在下面的六幅图案中，②③④⑤⑥中的哪个图案可以通过平
移图案①得到…………………………………………（ ）
4、如图，小船平移得到的图形是………………（ ）
[说明]第2、3、4题图略，详见课件。这几题是针对平移的性质。
学生回答无困难，兴致都很高。
3、动手操作，画图理解
1、 回忆如何使用直尺与三角尺画平行线？
[说明]教学中我先让学生想一想，自己动动手，
然后再请一位同学上台演示，大部分学生都记得的。
设计在这里一是让学生发现平时习惯的一些做法
也蕴含了数学知识，数学就在身边；二是强调第2小题，特别是
如何计算平移的距离，大部分学生要经过教师提示才能发现计算
BB′，不如计算CC′方便，而CC′的长度也是平移的距离。
（1） 图中有几对对应点、对应线段和对应角？分别是什么?
（2）三角形△ABC平移的方向是什么？平移的距离呢？
（3）如果将三角形换成其他的图形，结果又如何呢？能试试吗？
2、试一试：
①在下图中，你知道线段CA的中点M以及线段BC上的点N平移
到什么地方去了吗？请在图上标出它们的对应点M′和N′的位
置。

②如图，小船经过平移到了新的位置，你发现缺少什么了吗？请补上。

2、 书本P96页，练习10 .1
三、课堂小结
1、图形的平移是由移动的方向和距离决定的。
2、图形上各点沿同一方向移动相同的距离。
3、平移不改变图形的大小与形状，它只改变图形在平面中的位置。
四、课外探究
1.一块白色正方形,边长都是18cm,上面横竖各有两道红条,如图所示的阴影部分，且红条宽都是2cm,你能利用平移的方法,求出图中白色部分的面积吗?
2.桌面上有一排围棋子,共8颗,左边4颗是白的,右边4颗是黑的,如果只允许将相邻两颗棋子移来移去,那么你能经过几次移动后,使它们黑白相间?


五、图案欣赏
六、作业布置
1、练习册11.1平移
2、能够仿照刚才欣赏的图案自己设计一幅吗？
教后感：
平移是现实生活中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简捷形式之一．它们不仅是探索图形的一些性质的必要手段，而且也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具．探索平移的基本性质，认识和欣赏平移在现实生活中的广泛应用，是今天学习的重要目标．


11.2 旋转
教学目标
1、掌握图形旋转的概念。
2、理解旋转中心、旋转角、对应点、对应线段、对应角的含义。
3、掌握图形旋转的性质。
4、会画图形绕旋转中心旋转某一角度的图形。
教学重点及难点
图形旋转的性质；会画图形绕旋转中心旋转某一角度的图形。
教学过程
一、情景引入
1、观察（课件展示：、水车车盘转动、钟摆摆动）
2、思考：这些图形运动的特征？
3、讨论：
二、新知学习与探索
图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某一方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心。
（学生思考、讨论）得：
1、旋转中心在旋转过程中保持不动
2、图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定
（操作课件，点击ppt.5第二文本框，超级链接到几何画板，内容是书本的问题1，解决书本上2个问题）
如图△A′B′C′是△ABC绕点O旋转所得。
则点A和A′，点B和B′，点C和C′是对应点，
线段AB和A′B′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，
∠AOA′,∠BOB′,∠COC′是旋转角。
操作课件，引导学生探索图形旋转的性质：
（1）图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；
（2）对应点到旋转中心的距离相等；
（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变，对应线段的长度、对应角的大小相等.
三、巩固练习
想一想：请同学们判断哪一组图形间存在旋转变换
（1）
（2）
（3）








做一做：（点击ppt.10上的按钮“做一做”超级链接到几何画板，内容为书本第100页的思考），通过操作让学生探索出结果：
（1）点A绕点O按逆时针旋转900后，它所经过的路线是以O为圆心，OA为半径，圆心角为900的一段弧。
(2)线段AB 绕点A按顺时针旋转方向旋转450后，它扫过的平面是以A为圆心，AB为半径，圆心角为450的扇形。
画一画：
画出直角三角形ABC绕点C逆时针旋转900得到的三角形A'B'C'.

B
A
C










四、自主小结
五、作业布置
六、课后探索
C
B
A
对等腰直角三角形ABC进行如下的图形变换,请同学们想象每一个点的对应点落在什么位置？
（1）以点B为旋转中心,顺时针旋转90度.
（2）以点B为旋转中心,逆时针旋转45度.
（3）以点A为旋转中心,逆时针旋转45度.
（4）以点AC中点为旋转中心,逆时针旋转180度。



教后感：
本节内容作为图形的三种运动中的一种—旋转，具有直观性和可操作性.通过引入实际生活中的有关旋转的事例，得出图形旋转的概念以及旋转中心、旋转角、对应点、对应边、对应角等相关概念，在对知识巩固的处理中，设置了“想一想”、“做一做”、“画一画”3个环节，“想一想”通过判别，加深对图形旋转的理解；“做一做”通过在几何画板中的操作，形象、直观地解决书本第100页上的思考；“画一画”是让学生利用图形旋转的性质，自己动手操作，画出图形绕特殊点旋转特殊角度后的图形。
实际通过作业的反馈错误率还是很大的，不少学生学生旋转的方向是错误饿，或者是度数找错，有些错的都比较离谱，而个别学生是还没搞懂，需要不断多练多画。

11.3 旋转对称图形和中心对称图形
教学目标
1、掌握旋转对称图形和中心对称图形的概念。
2、理解旋转对称图形和中心对称图形的区别和联系。
3、会判别给出图形是否是旋转对称图形或中心对称图形。
4、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形。
教学重点及难点
旋转对称图形和中心对称图形的概念及其应用。
教学过程
一、情景引入
1、观察（老师出示1、五角星2、六瓣花）
2、思考、讨论：这种图形的特征？
二、新知学习与探索
旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.（旋转角 00<<3600）.
老师提问：对于旋转角有什么要求？为什么？
学生思考、讨论得：（旋转角 00<<3600）
定义：中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转1800后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
辩一辩：
判断下列哪些图形是旋转对称图形，哪些是中心对称图形？
判断：下面的几何图形中哪些图形是旋转对称图形，哪些是中心对称图形？（学生讨论得：中心对称的多边形很多，边数为偶数的正多边形都是中
心对称图形
思考：旋转对称图形和中心对称图形的区别和联系？
三、巩固练习
议一议：
在一次游戏当中,小明将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180O后,得到右图，小亮看完很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？

看一看：在26个英文大写正写字母中，哪些字母是中心对称图形？
说一说：
说出下列各组图形中的旋转中心和旋转角（阴影部分为旋转后的图形）
E
D
B
A
C
（1）
F
E
D
C
B
A
（3）
C
A
B
D
（2）


做一做：（上节课的课后探索题）
对等腰直角三角形ABC进行如下的图形变换,请同学们想象每一个点的对应点落在什么位置.
C
B
A
（1） 以点B为旋转中心,顺时针旋转90度.
（2）
（3） 以点B为旋转中心,逆时针旋转45度.
（4）
（3）以点A为旋转中心,逆时针旋转45度.

（4）以点AC中点为旋转中心,逆时针旋转180度.
（学生逐一讨论回答，老师在几何画板上操作）

四、自主小结
五、作业布置

教后感：
本节内容是对旋转对称图形和中心对称图形的认识，知道这两种图形的特征、区别和联系。在引入概念时利用几何画板，学生能直观、形象地描述出这两种对称图形的特征，在此基础上得出旋转对称图形和中心对称图形的概念，学生有直观的印象。
对两种图形的理解比想象中掌握的好些。

11.4中心对称
教学目标
1、知道中心对称的意义及与中心对称图形的区别；
2．知道成中心对称的两个图形的性质，会判断两个图形是否成中心对称；
3．会画已知图形关于已知点成中心对称的图形。
教学重点及难点
1、画出已知图形的中心对称的图形。
2、中心对称与中心对称图形的区别与联系。
教学过程
一、复习引入
1、什么是旋转对称图形，什么是中心对称图形？
2、如图，哪些是中心对称图形？指出最小旋转角。







3、三角形是不是中心对称图形？
A
C
B
C′
B′
A′
O
[说明]这里教师强调任何三角形都不是中心对称图形，既旋转180°后都不可能与本身重合，然后话锋一转，看这个三角形绕O旋转180°后发生了什么？（动画演示）引出课题
二、新课讲授
1、中心对称的意义
1、中心对称的概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，中心对称是旋转角为180°的旋转对称。
[说明]强调中心对称图形只是一个图形本身的性质，而中心对称是指两个图形之间的关系。
2、指出上图中的对应点、对应线段、对应角。
2、探寻特征
（定义得出后点击幻灯片三的空白处，不要点练习或超链接）左图是一幅中心对称图形，O是对称中心，你还可以怎么看？
[说明]问这个问题再次说明中心对称图形与中心对称这两者之间的联系。
请你找出点A绕点O旋转180°后的对应点B；
点C的对应点D在哪里？怎么找得？
你能很快的找到点E的对应点F吗？
[说明]通过这三问，学生可以逐步从直接本能的观察到有一个理性的思考，并在教师的引导下总结出规律，但这张图虽然学生易于理解，却难以表达，如B在哪里学生说不清楚，最后上台来点，建议使用者可以更改一下。
3、总结概括
中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
中心对称的识别：如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被平分，那么这两个图形一定关于这点成中心对称.
（点击超链接回到幻灯片三，点击作图）
4、应用作图
1、已知点A和点O，画出点B，使点A和点B关于点O成中心对称。

B
A
●
O
2、已知线段AB和点O，画出线段CD，使线段AB和线段CD关于点O成中心对称。
●
●
A
O

●

O
A
B
C
D
3、画出四边形ABCD关于点O的中心对称的图形。




4、如图所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗？





三、动手操作
1、请找出下列图中的对称中心


2、如图，有O、P、Q、S、T五点
（1） 画出点PQST关于点O的对称点；
（2） 画出线段PS关于点O的对称图形；

（3） 画出四边形PQTS关于点O对称的图形。
3、画出如图所示的旗子关于点O对称的图形。

。
C
A
B
O
4、把△ABC绕着AB边的中点O旋转180°，画出旋转后的图形，这个组合图形是以前学过的哪一种几何图形？


四、课堂小结
[说明]先点击幻灯片三中左边的超链接回到幻灯片六中（既如何画四边形的对称图形），点击空白处即可。小结比较匆忙，事先设计好的表格来不及仔细研究。
一、规律总结：
1、画一个点关于某点（对称中心）的对称点的画法是先连结这个点与对称中心并延长一倍即可。
2、画一个图形关于某点的对称图形的画法是先画出图形中的几个特殊点（如多边形的顶点、圆的圆心等）关于某点的对称点，然后再顺次连结有关对称点即可。
3、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心。
二、中心对称与中心对称图形的区别与联系
若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形。
联系
1 具有某种性质的一个图形
②对称点在一个图形上
①两个图形的关系
②对称点在两个图形上
区别





————-
①两个图形完全重合；
②对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
性质
如果一个图形绕着一个点旋转180°后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称，这个点叫做对称中心,两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点
定义
中心对称图形
中心对称
名称




















五、布置作业
六、教后感：
学生普遍反映画图比前面简单，通过课堂练习的检查，发现实际效果也还好。有个别学生忘记写结论。

11.5翻折与轴对称图形
教学目标
1、经历观察、动手操作，认识图形翻折运动的过程，知道经过翻折运动的图形保持形状、大小不变的性质。
2、通过欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称图形在现实生活中的广泛应用和它丰富的文化价值，提高数学审美能力。
3、理解轴对称图形的意义，并会画出轴对称图形的对称轴。
教学重点：轴对称的概念。
教学难点：理解轴对称图形是针对一个图形的概念。
教学过程
一、复习：
1、画三角形ABC向右平移4个单位再向下平移2个单位后的图形。
2、画三角形ABC关于O点中心对称的图形。
二、引入
1、观察：（民间剪纸“喜”字课件演示）
下列图形有什么共同特征？（课件演示）
2、引出课题：11.5翻折与轴对称图形
如果一个图形沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
l
三、新课讲授
1、线段、等边三角形和角是不是轴对称图形？对称轴在哪里？
各有几条对称轴？
2、联系实际，体味数学
你还能举出生活中轴对称图形的例子吗？
[说明]学生的举例可能会比较苍白，诸如都是黑板、门窗、脸等，对身边事务缺少观察和热爱，借此可以教育学生学会生活、学会学习。
欣赏现实生活中的轴对称图形：
故宫、牌坊、脸谱艺术、剪纸艺术、车标、国旗、交通标志
3 概念巩固：
练一练：

下面的图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
正三角形、正方形、正五边形和正六边形。
观察：有何发现？
规律：任何正多边形都是轴对称图形，正N边形就有N条对称轴。
4、层层探究，加深体会
[说明]这里设置了一个层层递进的探索过程，从数字到英文字母，到中文汉字，最后到几何图形，从学生熟悉的具体实例到抽象的数学模型，使学生充满了兴趣和探索欲望。
1）书上P106 思考
2）想一想：1、0-9十个数字中，哪些是轴对称图形？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3）、下列英文字母中，哪些是轴对称图形？
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
4）、中国的汉字有没有轴对称图形？
中 目 王 申 木 呈 土 十
5）、下列几何图形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴．
正方形
等腰三角形
等边三角形

矩形


平行四边形

圆
等腰梯形

四、能力拓展
思考：你能以“ △ △ 、 、 — —— ”（两个三角形、两个圆、两条线段）为条件，
画出一个有意义的轴对称图形吗？
[说明]让学生充分发挥自己的想象力和创造力，真正做到学以致用。

五、课堂小结
六、布置作业：
完成练习册
教后感：


11.6轴 对 称（1）
教学目标：
1、理解关于一条直线对称的两个图形中对称点的两条性质。
2、掌握关于直线对称图形的画法。
3、应用画对称图形的方法，学生尝试设计图案。
教学重点：掌握关于直线对称图形的画法
教学难点：轴对称的性质
教学过程：
一、复习
1、请问这枚印章是谁的？
2、下图是一辆汽车的牌照在水中的倒影
请选择正确的牌照号码（ ）


（A） 沪AT02964 （B） 沪AT05694
（C） 沪AT02694 （D） 沪AT02694
3、如图是在白天某一时刻从平面镜所看出的台钟
钟面上指针的情况，请问它的实际时刻？

二、引入新课
1、 创设情境：
生活中，轴对称随处可见，设计师也应用它设计出很多美丽的图案。（展示）
老师也设计了一个图案。（展示）
议一议：老师画的图案有什么特点？
2、 请学生尝试设计轴对称的图案
发现问题

怎样画一个图形关于某直线对称的图形？
解决问题的关键

学会画一个点关于某直线对称的点
理论依据

成轴对称的两个图形上的对称点的性质。
3、实验、观察、归纳成轴对称的两个图形上的对称点的性质
实验：请通过翻折，确定一个图形关于某直线对称的图形的位置并检验
（1）对称点到对称轴的距离有什么关系?
（2）连结对称点的线段与对称轴的位置关系?
观察：两点关于连结它们的线段的垂直平分线对称的动态演示。
归纳：成轴对称的两个图形上的对称点的性质。
三、画关于直线对称的图形
例1：已知：点A和直线l
画：点A关于直线l的对称点A’
例2：在直角坐标平面内，有点A（2，2）和点B（4，-3），
（1）画出点A、B关于y轴的对称点A’、B’ ，并写出A’、B’的坐标。
（2）连结AB和A’ B’，它们关于y轴对称吗?为什么？
（3）在X轴取点C，使它到Y轴的距离为1个单位长度,说出这样的点的坐标。（满足条件的点有两个，分别设为C、C’）
（4）画出ΔABC和ΔA’B’C’，他们是否关于y轴对称。
（5）画出ΔABC关于x轴对称的ΔA1B1C1。
四、学生尝试设计图案
老师设计图案的画法演示。
请学生设计。
五、小结
六、作业：
1.练习册P52 12 . 1（2）
2.完成你的设计图案,参加展示。
3.选做题：





教学反思

本节课充分利用生活中具有轴对称性质的现象和轴对称的美丽图案作为问题研究的背景，学生学习中能保持强烈的兴趣，始终积极参与学习、讨论、实践。
教师在教学中注重与学生互动学习，教师“下水”设计图案与学生分享，让学生品头论足，课堂的学习气氛和效果更好。
整节课探究一个问题，围绕这个问题，学生经历了知识的内化到建构过程，在图案设计的整个过程中探索了轴对称的性质，学会了画轴对称的方法，感受了创作的辛苦与快乐。
由于一堂课时间有限，学生讨论、体验的过程有些仓促，教师教学上还是比较急促，这是今后要调整的。




11.6轴对称（2）
教学目标
1、使学生理解轴对称的概念；知道轴对称图形与轴对称的区别；
2、探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质；
3、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。
教学重点及难点
1、画出已知图形关于某直线成轴对称的图形
2、轴对称性质的认识
教学过程
一、复习引入
1、什么是轴对称图形？
2、下列图形是否轴对称图形？若是，指出它的对称轴



3、如果把下图中的房子看成两个图形，那么这两个图形有什么特征？
点击右边的房子，打开几何画板，演示两个三角形翻折过程，引出课题。
T




二、新课讲授
1、轴对称图形与轴对称的区别与联系
1.轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
2.轴对称：
如果两个图形沿着一条直线翻折后，它们能完全重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。
M
A
B
C
M
N
A
B
C
M
N

a

我们是轴对称的，直线c是我们的对称轴。
c
2、实例欣赏







b

这两张图片是关于直线a轴对称的,直线a是它们的对称轴.




这两张图片是关于直线b_____ ；直线b是它们的_______
A´
C ´
B ´
B
A
C
N


MN是对称轴，这两个图形关于直线MN轴对称
这两个图形的对应点叫做关于这条直线的对称点

3、尝试发现
试一试：
把下图（实线部分）补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．



发现问题：怎样画一个图形关于某直线对称的图形？
解决问题的关键：学会画一个点关于某直线对称的点
点击蝴蝶，打开几何画板
观察：两点关于连结它们的线段的垂直平分线对称的动态演示。
（1）对称点到对称轴的距离有什么关系?
（2）连结对称点的线段与对称轴的位置关系?
结论：
轴对称性质：
对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
对应线段相等，对应角相等。
[说明]这是练习册上的一道习题，原本的设计是传授新知后作为巩固练习的一道题目，后来觉得与其让学生接受知识，不如让学生发现知识，所以让学生动手自己设计图案，在这一过程中发现问题，解决问题，这里我放得还不够开，怕学生脱离轨道，还给出了一部分图，老师还可以不给学生限制，让他们自由发挥设计。
4、作图
1、如图，在正方形网络上有一个△ABC.
作△ABC关于直线MN的轴对称的图形
A
B
C
l


作图依据：联结对称点的线段被对称轴垂直平分
2、如图，画出一个四边形ABCD关于直线MN的轴对称的图形。

A
B
M
CC
D
N


三、巩固练习
1、练一练：
画出下图关于直线l的轴对称图形。


2、思考：
下图中的两个图形是轴对称图形，如何画出它们的对称轴呢？


[说明]作图部分先利用网格作图，再变式训练，让学生有一个由易到难的过程，也认识到垂直的应该是对称轴，而不是画水平线。巩固练习的第一题也是练习册上的一道习题，有很多学生画错了，因为点A在直线上，所以都把AB、AC延长了，画成了中心对称，这里以后老师要特别提醒学生注意。第二题是书上的思考，学生没有困难。
四、课堂小结
1、轴对称的概念及与轴对称图形的区别
2、轴对称的性质
3、如何画已知图形关于某直线的轴对称图形
五、能力拓展
1、下图是一辆汽车的牌照在水中的倒影请选择正确的牌照号码（ ）
（A） 沪AT02964 （B） 沪AT05694
（C） 沪AT02694 （D） 沪AT02694
2、请问这枚印章是谁的？

3、如图是在白天某一时刻从平面镜所看出的台钟钟面上指针的情况，请问它的实际时刻？

[说明]这几题是针对课外练习中出现的类型加以补充，如果时间宽裕的话，可以让学生讨论解决，效果将会好得多。
五、布置作业

教后感：
本节课充分利用生活中具有轴对称性质的现象和轴对称的美丽图案作为问题研究的背景，学生学习中能保持强烈的兴趣，始终积极参与学习、讨论、实践。课堂的学习气氛和效果更好。
整节课探究一个问题，围绕这个问题，学生经历了知识的内化到建构过程，在图案设计的整个过程中探索了轴对称的性质，学会了画轴对称的方法，感受了创作的辛苦与快乐。由于一堂课时间有限，学生讨论、体验的过程有些仓促，教师教学上还是比较急促，这是今后要调整的。