高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.3 抛物线课时练习

3.3　抛物线

3.3.1　抛物线的标准方程

A级 必备知识基础练

1.准线与x轴垂直,且经过点(1,-)的抛物线的标准方程是(　　)

A.y2=-2x B.y2=2x

C.x2=2y D.x2=-2y

2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为(　　)

A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)

3.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)

A.4 B.6 C.8 D.12

4.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,4)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

5.若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为(　　)

A.y2=4x B.x2=4y C.y2=8x D.x2=8y

6.(2023全国乙,理13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　　. 

7.已知抛物线C:x2=2py(p>0),点A(x0,)在C上,点B的坐标为(0,-),若|AB|=5,则C的焦点坐标为　　　　　. 

8.已知抛物线的准线过双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点(),求抛物线和双曲线的标准方程.

B级 关键能力提升练

9.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和2,则p=(　　)

A.4或1 B.2或4 C.1或2 D.1

10.M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,FM⊥x轴,且|OM|=,则抛物线的准线方程为(　　)

A.x=-1 B.x=-2 

C.y=-1 D.y=-2

11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的两点P,Q均在第一象限,且|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,则直线PQ的斜率为(　　)

A.1 B. C. D.

12.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为　　　　　. 

13.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的标准方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求实数λ的值.

C级 学科素养创新练

14.抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,2),P为抛物线上一点且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为　　　　　. 

3.3.1　抛物线的标准方程

1.B　由题意可设抛物线的标准方程为y2=ax(a>0),则=a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,故选B.

2.B　抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-且过点(-1,1),故-=-1,解得p=2.

所以抛物线的焦点坐标为(1,0).

3.B　抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离为6,即点P到抛物线焦点的距离是6.

4.D　由题意可得3x0=x0+,即x0=,则(4)2=2p·,解得p=8(负值舍去).故选D.

5.D　∵点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,∴点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离.

由抛物线的定义可知,点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,

∴p=4,∴点P的轨迹方程为x2=8y.故选D.

6.　因为点A(1,)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=,所以抛物线C的准线方程为x=-=-,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+.

7.(0,)　∵点A(x0,)在C上,

∴=2p·,解得x0=±p.

又点B的坐标为(0,-),

∴=5,解得p=5.

故抛物线C的焦点坐标为(0,).

8.解由题意可知,抛物线的焦点在x轴正半轴上,故可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),根据点在抛物线上可得=2p·,解得p=2.

故所求抛物线的标准方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.

∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点,

∴c=1,即a2+b2=1.

故双曲线的标准方程为=1.

∵点在双曲线上,

∴=1,解得a2=或a2=9(舍去).

故所求双曲线的标准方程为=1.

9.B　设点M的坐标为(xM,yM),因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和2,所以代入抛物线方程可得8=2p(3-),整理得p2-6p+8=0,解得p=2或p=4.故选B.

10.A　抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),

∵M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,

∴M(,p)或M.

又|OM|=,∴()2+p2=5,

解得p=2或p=-2(舍),则=1,

∴抛物线的准线方程为x=-1,故选A.

11.C　如图所示,作QM垂直准线于点M,PN垂直准线于点N,作PE⊥QM于点E,因为|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,所以由抛物线的定义可知|MQ|=4,|PN|=3,所以|QE|=1,所以|EP|=,直线PQ的斜率为.故选C.

12.(,0)　(方法1)将x=2代入抛物线y2=2px(p>0),可得y=±2.

设直线OD的斜率为kOD,直线OE的斜率为kOE,

由OD⊥OE,可得kOD·kOE=-1,

即=-1,解得p=1.

所以抛物线的标准方程为y2=2x,它的焦点坐标为(,0).

(方法2)记直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限内的交点为D,易知∠ODE=45°,可得D(2,2),代入抛物线方程y2=2px(p>0),

可得4=4p,解得p=1.

所以抛物线的标准方程为y2=2x,它的焦点坐标为(,0).

13.解(1)直线AB的方程是y=2(x-),与y2=2px(p>0)联立,可得4x2-5px+p2=0,Δ=9p2>0,故x1+x2=.

由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.

故抛物线的标准方程为y2=8x.

(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,

则y1=-2,y2=4.

故A(1,-2),B(4,4).

设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(1+4λ,-2+4λ),

又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),

可得(2λ-1)2=4λ+1,

解得λ=0或λ=2.

14.5+　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),|AF|=.

过点P向准线作垂线,垂足为D,根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|,因此,|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值.

过点A向准线作垂线,垂足为D0,交抛物线于点P0,

根据平面几何知识,可得当D,P,A三点共线时,

|PA|+|PD|取最小值,为|AD0|=5.

故△PAF周长的最小值为5+.