高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.5 圆锥曲线的应用课后练习题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.5 圆锥曲线的应用课后练习题，共10页。

1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为( )
A．－eq \f(4,3)B．eq \f(4,3)
C．±eq \f(4,3)D．eq \f(16,9)
2．如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．eq \f(y2,3)－x2＝1B．y2－eq \f(x2,3)＝1
C．eq \f(y2,9)－eq \f(x2,3)＝1D．eq \f(y2,3)－eq \f(x2,9)＝1
3．我国的航天事业取得了辉煌的成就，归功于中国共产党的坚强领导，这归功于几代航天人的不懈奋斗．中国工程院院士、中国探月工程总设计师、巴中老乡吴伟仁先生就是其中最杰出的代表人物之一，同学们应当好好学习航天人和航天精神．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点(离地面最近的点)A距离地面m千米，远地点(离地面最远的点)B距离地面n千米，并且F2、A、B在同一条直线上，地球的半径为R千米，则卫星运行的轨道的短轴长为( )千米
A．2eq \r(（m＋R）（n＋R）)
B．eq \r(（m＋R）（n＋R）)
C．mn
D．2mn
4．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1的青花瓷花瓶的颈部(图2)外形上下对称，可近似看作是中心为原点，焦点在x轴上离心率为eq \f(\r(34),3)的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，则双曲线的渐近线方程可以为( )
A．5x±3y＝0B．x±15y＝0
C．eq \r(5)x±3y＝0D．3x±eq \r(5)y＝0
5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
A．eq \f(1,25)B．eq \f(3,40)
C．eq \f(1,8)D．eq \f(3,5)
6．(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点P(eq \f(41,4)，4)射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l2射出，经过点Q.下列说法正确的是( )
A．若p＝4，则|AB|＝8
B．若p＝2，则|AB|＝8
C．若p＝2，则PB平分∠ABQ
D．若p＝4，延长AO交直线x＝－2于点M，则M，B，Q三点共线
7．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m，高为0.7m．根据图中的坐标系，则这条抛物线的方程为________．
8．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1，点A，B是它的两个焦点．当静止的小球从点A开始出发，沿60°角直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为________．
9．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
[提能力]
10．双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为4eq \r(3)米，上口半径为eq \f(4\r(39),3)米，下口半径为eq \f(20\r(3),3)米，高为24米，则该双曲线的离心率为( )

A．2B．eq \r(3)
C．eq \r(2)D．2eq \r(2)
11．(多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则下列式子正确的是( )
A.a1＋c1＝a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2
C．e1>e2D．e112．[2022·湖南长沙高二期末]如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度AB＝10米，高度h＝5米(即桥拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座A处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为________米．
13．圆锥曲线的光学性质(如图1所示)在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有广泛的应用，如图2，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆C与双曲线C′构成，一光线从左焦点F1发出，依次经过C′与C的反射，又回到点F1，历时m秒；若将装置中的C′去掉，则该光线从点F1发出，经过C两次反射后又回到点F1历时n秒，若C与C′的离心率之比为eq \f(1,4)，则eq \f(n,m)＝________．
14．如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(x≤0)和eq \f(y2,b2)＋eq \f(x2,81)＝1(x≥0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点).
(1)求a，b；
(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水域面积的最大值．
[培优生]
15．小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子做小球放入实验，要求小球能与杯底接触，他能放入小球的最大半径是( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(2),2)D．1
课时作业(三十二) 圆锥曲线的应用
1．解析：将y＝1代入y2＝4x，得x＝eq \f(1,4)，即A(eq \f(1,4)，1)，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为eq \f(1－0,\f(1,4)－1)＝－eq \f(4,3).
答案：A
2．解析：双曲线的下焦点坐标为(0，－c)，
渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，即ax±by＝0，
则下焦点到渐近线的距离为eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,c)＝b＝3，
又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2，所以a2＝3，
所以该双曲线的标准方程为eq \f(y2,3)－eq \f(x2,9)＝1.
答案：D
3．解析：由题意可得a－c＝m＋R，a＋c＝n＋R，
故(a－c)(a＋c)＝(m＋R)(n＋R)，
即b2＝a2－c2＝(m＋R)(n＋R)，
所以b＝eq \r(（m＋R）（n＋R）)，
所以椭圆的短轴长为2eq \r(（m＋R）（n＋R）).
答案：A
4．解析：设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋（\f(b,a)）2)＝eq \f(\r(34),3)，则eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，
又双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即y＝±eq \f(5,3)x，也即
5x±3y＝0.
答案：A
5.
解析：如图，F为月球的球心，月球半径为：eq \f(1,2)×3476＝1738，
依题意，|AF|＝100＋1738＝1838，
|BF|＝400＋1738＝2138.
2a＝1838＋2138，
a＝1988，
a＋c＝2138，
c＝2138－1988＝150，
椭圆的离心率为：e＝eq \f(c,a)＝eq \f(150,1988)≈eq \f(3,40).
答案：B
6．解析：如图，若p＝4，则C：y2＝8x，A(2，4)，C的焦点为F(2，0)，
则B(2，－4)，|AB|＝8，选项A正确；
延长AO交直线x＝－2于点M，则M(－2，－4)，M，B，Q三点共线，选项D正确；
若p＝2，则C：y2＝4x，A(4，4)，C的焦点为F(1，0)，直线AF：4x－3y－4＝0，可得B(eq \f(1,4)，－1)，|AB|＝eq \f(25,4)，选项B不正确；
若p＝2时，因为|AP|＝eq \f(41,4)－4＝eq \f(25,4)＝|AB|，所以∠APB＝∠ABP.又∠APB＝∠PBQ，所以PB平分∠ABQ，选项C正确．
答案：ACD
7．解析：由题知：设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，
因为B(eq \f(7,2)，eq \f(7,10))，所以eq \f(49,4)＝2×eq \f(7,10)p，解得p＝eq \f(35,4)，
所以抛物线方程为x2＝eq \f(35,2)y.
答案：x2＝eq \f(35,2)y
8．解析：如图，由题可知，光线经过B点后，会到达N点，然后再回到A点，
根据椭圆的定义eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PB))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NA))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NB))＝2a，
又椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1，所以a＝2eq \r(2)，
小球经过的路程为：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PB))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NA))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NB))＝4a＝8eq \r(2).
答案：8eq \r(2)
9．解析：(1)根据题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
由图可知点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝10p，即p＝eq \f(5,2)，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y(－5≤x≤5).
(2)设车辆高为h米，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DB))＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
10．解析：以AA1的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OA))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OA1))＝4eq \r(3)，
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a＝4eq \r(3)，
可设C1(eq \f(4\r(39),3)，m)，B1(eq \f(20\r(3),3)，m－24)(0又由B1，C1在双曲线上，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(（\f(4\r(39),3)）2,48)－\f(m2,b2)＝1,\f(（\f(20\r(3),3)）2,48)－\f(（m－24）2,b2)＝1))，解得m＝8，b＝12，
即eq \f(b,a)＝eq \r(3)，所以该双曲线的离心率为eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.
答案：A
11．解析：由图象可知a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
因为a1－c1＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))，a2－c2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
由a1－c1＝a2－c2，可得a1＋c2＝a2＋c1，可得(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，
整理得a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －c eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋2a1c2＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －c eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋2a2c1，即b eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋2a1c2＝b eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋2a2c1，
因为b1>b2，所以a2c1>a1c2，所以eq \f(c1,a1)>eq \f(c2,a2)，则e1>e2，所以C正确，D不正确．
答案：BC
12．解析：以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立如图直角坐标系，
则抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点A(－5，－5)在抛物线上，
所以(－5)2＝－2p×(－5)，即2p＝5，
故抛物线的方程为x2＝－5y，
设河水上涨1米后，水面与桥的交点坐标为(x0，－4)，则x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝20，得x0＝±2eq \r(5)，
所以此时桥洞中水面的宽度为4eq \r(5)米．
答案：4eq \r(5)
13．解析：设椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2，焦距为2c，
由eq \f(\f(c,a1),\f(c,a2))＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,4)，
依次经过C′与C的反射，又回到点F1，则有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝2a2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＝2a1，
两式相减得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF2))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝2a1－2a2，
将装置中的C′去掉，则有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(EF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(EP))＝4a1，
所以eq \f(n,m)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(EF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(EP)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF1)))＝eq \f(4a1,2a1－2a2)＝eq \f(2,1－\f(a2,a1))＝eq \f(2,1－\f(1,4))＝eq \f(8,3).
答案：eq \f(8,3)
14．解析：(1)由题设，a>b>9及椭圆方程可知：b＝15，
由图知：a＝34－9＝25，
∴a＝25，b＝15.
(2)由(1)知：两个半椭圆eq \f(x2,625)＋eq \f(y2,225)＝1(x≤0)和eq \f(y2,225)＋eq \f(x2,81)＝1(x≥0)，
令A(x1，t)，B(x2，t)分别是矩形水箱在第一、二象限的顶点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,625)＋\f(t2,225)＝1,\f(t2,225)＋\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,81)＝1))，可得x1＝－eq \f(9,25)x2，
∴网箱所占水域面积S＝2t(x1－x2)＝2t×eq \f(34,9)x1＝510×2×eq \f(x1,9)×eq \f(t,15)≤510×(eq \f(t2,225)＋eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,81))＝510，当且仅当eq \f(x1,9)＝eq \f(t,15)时等号成立．
∴网箱所占水域面积的最大值为510平方米．
15．解析：
作杯子的截面得一抛物线，如图，建立平面直角坐标系，则点(1，1)在抛物线上，
设抛物线方程为x2＝2py，则1＝2p，p＝eq \f(1,2)，抛物线方程为x2＝y，
设球心为A(0，a)(a>0)，球半径为r，P(x，y)是抛物线上任一点，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AP))＝eq \r(x2＋（y－a）2)＝eq \r(y2＋（1－2a）y＋a2)，
则r＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AP))eq \s\d7(min)，小球与杯底接触，则上式在y＝0时取得最小值，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AP))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2a－1,2)))2＋\f(4a－1,4))，
当eq \f(2a－1,2)≤0，即0所以rmax＝eq \f(\r(4×\f(1,2)－1),2)＝eq \f(1,2).
答案：B