数学湘教版（2019）3.2 双曲线测试题

3.2　双曲线

3.2.1　双曲线的标准方程

A级 必备知识基础练

1.双曲线=1的两个焦点为F1,F2,双曲线上一点P到F1的距离为8,则点P到F2的距离为(　　)

A.2或12 B.2或18 

C.18 D.2

2.若椭圆=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同,则m的值为(　　)

A.3 B.4 

C.6 D.9

3.以F1(-,0),F2(,0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)

A.-y2=1 

B.-y2=1

C.-y2=1 

D.x2-=1

4.设m是常数,若F(0,5)是双曲线=1的一个焦点,则m=　　　　　. 

5.已知点F1,F2分别是双曲线=1(a>0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则△PF1F2的周长是　　　　　. 

6.已知点P在双曲线C:=1(m>-1)上,且点P的横坐标为m-1,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2.若|F1F2|=6,则m的值为　　　　　,△PF1F2的面积为　　　　　. 

7.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为　　　　　. 

8.在①m>0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+,②C的焦距为6,③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.

已知双曲线C:=1,　　　　　,求C的标准方程. 

B级 关键能力提升练

9.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是(　　)

A.焦点在x轴上的椭圆

B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆

D.焦点在y轴上的双曲线

10.已知动点P(x,y)满足=2,则动点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 

B.双曲线

C.双曲线的左支 

D.双曲线的右支

11.已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为(0,2),则此双曲线的标准方程是(　　)

A.-y2=1 B.x2-=1

C.=1 D.=1

12.若椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是(　　)

A. B.(a2-m)

C.a2-m D.a2-m2

13.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.双曲线 

C.抛物线 D.圆

14.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,△F1PF2的内切圆圆心为M,若+8,则=(　　)

A.2 B.6 C.8 D.10

15.过原点的直线l与双曲线x2-y2=6交于A,B两点,点P为双曲线上一点,若直线PA的斜率为2,则直线PB的斜率为(　　)

A.4 B.1 C. D.

16.已知双曲线2x2-y2=k的焦距为6,则k的值为　　　　　. 

17.若双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,|F1F2|=10,P为双曲线上一点,|PF1|=2|PF2|,PF1⊥PF2,求此双曲线的标准方程.

C级 学科素养创新练

18.已知F是双曲线=1的下焦点,A(4,1)是双曲线外一点,P是双曲线上支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为(　　)

A.9 B.8 C.7 D.6

3.2.1　双曲线的标准方程

1.C　由双曲线定义可知||PF2|-8|=2a=10,解得|PF2|=18或-2(舍),故点P到F2的距离为18,故选C.

2.D　将双曲线方程化为标准方程得-y2=1,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),

由于椭圆与双曲线有相同的焦点,所以由椭圆的方程得m=25-16=9.故选D.

3.A　由题意得双曲线的焦点在x轴上且c2=3,设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.故选A.

4.16　由题意可知c2=25,则m+9=25,解得m=16.

5.34　∵|PF1|=2|PF2|=16,

∴|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,∴a=4.

又b2=9,∴c2=25,∴2c=10.

∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.

6.4　　由题意可知|F1F2|=2=6,解得m=4,此时双曲线的方程为=1,点P的横坐标为xP=3,所以点P的纵坐标为yP=±,所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|yP|=×6×.

7.16　(方法1)由题意得a2=36,b2=16,c2=a2+b2=52.

在Rt△PF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,即4c2=4a2+2|PF1|·|PF2|,即4×52=4×36+2|PF1|·|PF2|,得|PF1|·|PF2|=32,

故△PF1F2面积为|PF1|·|PF2|=16.

(方法2)本题中b2=16,∠F1PF2=90°,因此△PF1F2的面积为S==16.

8.解若选①,因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以a=,c=.

因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c,所以=3+,

解得m=3,故C的标准方程为=1.

若选②,则c=3.

若m>0,则a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,

所以c==3,

解得m=3,则C的标准方程为=1;

若m<0,则a2=-2m,b2=-m,c2=a2+b2=-3m,

所以c==3,

解得m=-3,则C的标准方程为=1.

综上,C的标准方程为=1或=1.

若选③,因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4,所以2a=4,即a=2.

若m>0,则a2=m,所以a==2,解得m=4,则C的标准方程为=1;

若m<0,则a2=-2m,所以a==2,解得m=-2,则C的标准方程为=1.

综上,C的标准方程为=1或=1.

9.D　方程mx2-my2=n可化为=1.

因为mn<0,所以<0,->0.

方程又可化为=1,所以方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.

10.D　=2表示动点P(x,y)到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差等于2,而2<|F1F2|=4,由双曲线的定义,知动点P的轨迹是双曲线的右支.故选D.

11.B　根据已知条件得双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则a2+b2=5. ①

∵线段PF1的中点的坐标为(0,2),

∴点P的坐标为(,4),将其代入双曲线的方程,

得=1. ②

由①②解得a2=1,b2=4,∴双曲线的标准方程为x2-=1.

12.D　由题意可得|PF1|+|PF2|=2a,||PF1|-|PF2||=2m,

两式平方相减得4|PF1|·|PF2|=4a2-4m2,

∴|PF1|·|PF2|=a2-m2.故选D.

13. B　如图所示,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,

∴|MF2|=2.

∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P.由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|.

∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.

14.D　由双曲线=1得a=4,b=3,可得c==5.设△F1PF2的内切圆的半径为r,由+8,可得r|PF1|=r|PF2|+8,即r(|PF1|-|PF2|)=8.易得|PF1|-|PF2|>0,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,则有4r=8,解得r=2,则r|F1F2|=10.

15.C　由题意可设A(m,n),B(-m,-n),P(x,y),x≠±m,y≠±n,

则m2-n2=6,x2-y2=6,即y2-n2=x2-m2,所以=1,

由直线PA的斜率为kPA=,直线PB的斜率为kPB=,可得kPA·kPB==1,而kPA=2,所以kPB=.

故选C.

16.±6　易知k≠0,则由2x2-y2=k,可得=1,当k>0时,a2=,b2=k,由题意知+k=9,即k=6;当k<0时,a2=-k,b2=-,由题意知-k-=9,即k=-6.综上,k=±6.

17.解∵|F1F2|=10,∴2c=10,c=5.

又|PF1|-|PF2|=2a,且|PF1|=2|PF2|,

∴|PF2|=2a,|PF1|=4a.

在Rt△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,

∴4a2+16a2=100,得a2=5.

则b2=c2-a2=20.

故所求的双曲线的标准方程为=1.

18.A　∵F是双曲线=1的下焦点,

∴a=2,b=2,c=4,F(0,-4).

上焦点为F1(0,4),由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF1|=4+=9,

当A,P,F1三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值9.故选A.