2023-2024学年重庆市永川中学高一上学期期中数学模拟题（四）含答案

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一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若全集且，则集合的真子集共有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】先利用补集求得集合A，进而得到真子集的个数.
【详解】解：因为全集且，
所以,
所以集合的真子集共有，
故选：C
2. 如图，阴影部分所表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析出阴影部分所在范围，再根据集合的交、并、补的意义即可得答案.
【详解】解：由题意可得，阴影部分不在集合内，所以一定在内；
又因为阴影部分在集合内，
所以阴影部分所表示的集合为.
故选：B.
3. 已知是定义在上的函数，那么“在上单调递减”是“函数在上的最小值为”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的单调性与最值的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由函数在上单调递减，则函数在上的最小值为，
所以充分性成立；
反之：函数在上的最小值为，但函数在上不一定为单调递减函数，所以必要性不成立，
所以函数在上单调递减是在上单调递减的充分不必要条件.
故选：A.
4. 下列函数中，值域为[1， +∞)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】分别利用换元，分离常数，上下同除结合基本不等式，函数单调性求解各选项对应函数值域即可得答案.
【详解】A选项，令，则，
则函数在上单调递增，则，故A错误；
B选项，，则，故B错误；
C选项，因，则，又注意到，当且仅当时取等号，
则，故C错误.
D选项，注意到函数均在上单调递增，则，故D正确.
故选：D
5. 已知函数，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由换元法求出函数的解析式，令函数值为6，解出值即可．
【详解】令，则，
由，
可得，
则，
解得，
故选：．
【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
6. 函数在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A. a＝－3B. a＜3
C. a≤－3D. a≥－3
【答案】C
【解析】
【分析】分离参数可得，根据反比例函数的单调性可得，解不等式即可的结果.
【详解】，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，
有解得a≤－3，故选C．
【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
7. 已知，且，当取最小值时，的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值；
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以
，
当时，取得最大值，最大值为.
故选：D.
8. 已知定义在R上的奇函数，当时，，若对任意实数x有成立，则正数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于有绝对值，分情况考虑和，再由是奇函数画出图象，再根据考虑图象平移结合图形可得答案.
【详解】由题得， 当时，，故写成分段函数，化简得，
又为奇函数，故可画出图像：
又可看出往右平移个单位可得，若恒成立，则，即，又为正数，故解得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.
二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 集合，，，若则或
B. 设全集为，若，则
C. 集合
D. “和都是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：由，得出或等于2，分别求解，然后验证互异性即可判断为错；对于B：由集合间的包含关系和补集的概念判断正确；对于C：令集合中的，即可判定为正确；对于D，取特值即可判定为错误.
【详解】对于A：由，
若或1，
当时，不满足互异性，舍去，当时，，不满足互异性，舍去；
若或2，
当时，合题意，当时，，合题意，
故或2，A错误；
对于B：若，则，B正确；
对于C：令集合中的，得，故C正确；
对于D：不是无理数，若为无理数，可取，和不都是无理数，故“和都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件，故D错.
故选：BC.
10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为B. 的定义域为
C. ，D. 为偶函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数解析式结合函数定义域、值域和奇偶性逐一判断即可．
【详解】因为函数，所以函数的定义域为，值域为，故A错误，B正确；
因为或且0与1均为有理数，所以或，故C正确；
函数，故为偶函数，D正确．
故选：BCD
11. 函数，且，则（ ）
A. 的值域为B. 不等式的解集为
C D.
【答案】CD
【解析】
【分析】作出函数的图像，即可看出函数的值域；求出时的解，即可根据图像写出不等式的解集；令，根据函数的零点即可求出零点的关系和取值范围，从而判断各选项的正误.
【详解】解：作出函数的图像如下图所示：
可知函数的值域为，A选项错误；
当时，有或，解得，，，
所以，不等式的解集为，B选项错误；
令，由图可知a，b关于对称，
所以，即，C选项正确；
因为有三个零点，所以，而，
所以，D选项正确；
故选：CD.
12. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误.
【详解】由，，得：；
对于A，（当且仅当，即，时取等号），A正确；
对于B，（当且仅当，即，），B错误；
对于C，（当且仅当，即，时取等号），
，解得：（当且仅当，时取等号），C正确；
对于D，（当且仅当，即，时取等号），
由C知：（当且仅当，时取等号），
（当且仅当，时取等号），D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据的定义域求出的定义域，结合解析式的特征可得答案.
【详解】因为的定义域为，所以，即的定义域；
因为，所以，所以的定义域为.
故答案为：.
14. 已知函数，满足的的值为________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，由分段函数解析式可得，则，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数，
当时，，
当时，，
若，必有，则，解得，
若，必有，则，解得或.
故答案为：或
15. 已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与单调性得的值，从而可得不等式为，设函数，结合幂函数的性质列不等式即可得实数的取值范围.
【详解】由函数为幂函数得，解得或，又
函数在上是减函数，则，即，
所以，所以；
所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列命题成立的是___________
（1）
（2）若，则
（3）若，则
（4），，使得
【答案】(1)(3)(4)
【解析】
【分析】根据函数的单调性、奇偶性对命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，
所以，故(1)对，
若，则，得，故(2)错，
若，则或，
因为，所以或，故(3)正确.
因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，
所以，所以对，只需即可，故(4)正确.
故答案为：(1)(3)(4)
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 分别计算下面两题
（1）化简：
（2）化简求值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】利用根式转化为分数指数幂，以及分数指数幂的运算方法，即可化简；
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式
.
18. 已知
（1）求函数的解析式；
（2）若是定义在上的奇函数，且时，，求函数的解析式；
（3）求关于的不等式.
【答案】（1）
（2），
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用凑配法，求函数的解析式；
（2）设，则，再利用函数的奇函数，求函数的解析式；
（3）首先不等式变形为，再利用函数单调递减，解不等式.
【小问1详解】
，令，，
∴，即函数的解析式为：.
【小问2详解】
当时，，且为上的奇函数.
∴当时，，
∴函数的解析式为：，
【小问3详解】
由，且上单调递减
∴，∴
∴且
∴不等式的解集为或.
19. 某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数.当关税税率时，若市场价格为千元，则市场供应量约为万件；若市场价格为千元，则市场供应量约为万件.
（1）试确定的值.
（2）市场需求量(单位：万件)与市场价格(单位：千元)近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过千元时，试确定关税税率的最大值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）将关税税率，市场价格代入中，列出关于与的方程组求解；
（2）利用，将表示成关于的函数，然后确定的最大值.
【详解】(1)由已知得：
，得
解得，.
(2)当时，，
所以，则.
设，则在上单调递减，
所以当时，有最小值，
故当时，关税税率的最大值为.
【点睛】本题考查函数实际应用问题，考查学生分析问题、处理问题的能力，数学建模的能力，难度一般.解答时，要灵活运用题目所给条件，建立函数模型然后求解.
20. 已知函数满足，当时，成立，且．
（1）求，并证明函数的奇偶性；
（2）当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）令，可得，令，，从而即可证明；
（2）由已知条件，可得为增函数，又原不等式等价于恒成立，则在上恒成立，令，分离参数即可求解.
【小问1详解】
解：令，可得，
令，则，所以，
所以，
所以为奇函数；
【小问2详解】
解：，即，
所以，
又当时，成立，所以为增函数，
所以在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
又，，所以当时，，
所以，即.
21. 已知函数的定义域是，值域是，，，的定义域和值域分别为，，的定义域为.
（1）求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）通过函数的定义域即可直接得到的定义域，通过求的单调性即可求出其值域；
（2）先求出的范围，推出的定义域为所包含的区间，通过对的分类讨论，求出各种情况下的定义域，看是否包含，即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意在函数中，定义域是，值域是
∴，
在中，
定义域为，
设，，
设且
∴函数单调递增
∴，
∴的值域为
【小问2详解】
由题意及（1）得，，
∴
在中，的定义域为
∵“”是“”的充分不必要条件
∴“”是“”的充分不必要条件
∴的定义域包括
当时，，，解得：，不符题意，舍去
当时，，
当时，解得：或1
当时，，
，解得：，不符题意，舍去
当且，即时，，解得：或，符合题意
当且，即时，
，解得：或，不符题意，舍去
综上，实数的取值范围为
22. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论的取值范围确定不等式的解集；
（2）将问题转化为两个函数值域的包含关系问题求解.
【小问1详解】
，所以，令，
若，解得，
当时，，不等式的解集为，
当或时，，此时方程有两根，，且，
此时不等式的解集为，
综上：当时，不等式的解集为；
当或时，
【小问2详解】
记函数，的值域为集合A，
，的值域为集合B；
则对任意的，总存在，使得成立；
因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，
，得；
当时，的值域为，显然不满足题意；
当时，的值域为，因为，
所以，解得；
当时，的值域为，因为，
所以，解得；