2023-2024学年山西省朔州市怀仁市第九中学高一上学期期中数学试题含答案

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注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号和班级填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题（每题4分，共48分）
1. 命题“有实数解”的否定是（ ）
A. 无实数解B. 有实数解
C. 有实数解D. 无实数解
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“有实数解”的否定是“无实数解”．
故选:D．
2. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.
【详解】因为或，
又时，不能得出；
时，不能得出；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选: D.
3. 已知集合A={x∈N|0≤xA. {m|2C. {m|2≤m≤3}D. {m|2【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A的元素个数，再求m的取值范围.
【详解】因为A有8个子集，所以集合A中含有3个元素，则2故选: A.
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.
【详解】由特称命题的否定的概念知，
“，”的否定为：，．
故选：B．
5. 下列语句不是存在量词命题的是（ ）
A. 至少有一个x，使成立B. 有的无理数的平方不是有理数
C. 存在，是偶数D. 梯形有两边平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的定义与性质,判断即可.
【详解】对于A，至少有一个x，使成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；
对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题；
对于C，存在，是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题；
对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题．
故选：D.
6. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得，分情况讨论即可得解.
【详解】由，可得，
当时，，此时，不成立；
当时，，此时，成立；
当时，（舍）或，此时，不成立，
综上所述，，
故选：C.
7. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由“，”为假命题，可得“”， ，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案.
【详解】若“，”为假命题，所以“”， ，为真命题，
所以A，B，D不正确 ，排除A，B，D．
故选：C．
8. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案.
【详解】对于A，因为，故，即，故A错误；
对于B，，无法判断，故B错误；
对于C，因为，，故C正确；
对于D，因为，故，即，故D错误．
故选：C．
9. 下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 存在一条直线与已知直线不平行
C. 对任意实数，若，则
D. 存在两个全等的三角形的面积不相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断.
【详解】A､C项是全称量词命题，；B项是存在量词命题，是真命题；
因为全等的三角形的面积一定相等，
所以存在两个全等三角形的面积不相等是存在量词命题，且为假命题，
故选：D.
10. 若正数满足，则的最小值是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求最小值．
【详解】，
当且仅当，即时等号成立，所以最小值是8.
故选：C．
11. 对于集合，定义：且，若，则（ ）
A. B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据给的定义分别求解,进而可求解.
【详解】，则，或.
故选：D
12. 下列命题是全称量词命题的是（ ）
A. 存在一个实数的平方是负数B. 每个四边形的内角和都是360°
C. 至少有一个整数，使得是质数D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的定义分析判断.
【详解】对于ACD，均为存在量词命题，
对于B中的命题是全称量词命题.
故选：B
二、填空题（共22分）
13. 深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学
活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________.
【答案】10
【解析】
【分析】先分别求出只参加数学活动和只参加物理活动的人数，然后画出韦恩图，利用韦恩图的性质求解即可.
【详解】由题意得只参加数学活动的学生数为人，
只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图，
则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为
人，
故答案为：10
14. 已知，则“”是“”________条件．
【答案】充分
【解析】
【分析】利用充分条件的定义和子集的定义求解.
【详解】解：因为，
所以当时，则，
所以“”是“”的充分条件．
故答案为：充分
15. 已知正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】##1.8
【解析】
【分析】由得，然后由“1”的代换，利用基本不等式求得最小值．
【详解】正实数满足，所以，
则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：．
16. 已知集合，则的子集的个数为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出两集合的交集，再利用公式可求出的子集的个数.
【详解】因为，
所以，
所以的子集的个数为.
故答案为：4
17. 某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中______；______；______.
【答案】 ①. 9 ②. 8 ③. 10
【解析】
【分析】根据题意结合图形列方程组求解即可.
【详解】由题意得
，则，解得，
故答案为：9，8，10
三、解答题（本题共5小题，每题16分，共80分）
18. 已知集合，，R.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【小问1详解】
若，则，解得，即实数取值范围
【小问2详解】
由题知，，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集，
即，解得.
即实数a的取值范围是.
19. 写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由．
（1），；
（2）p：不论m取何实数，关于x的方程必有实数根；
（3）p：有的平行四边形的对角线相等；
（4）p：等腰梯形的对角线互相平分．
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析； （3）答案见解析；
（4）答案见解析；
【解析】
【分析】对（1）（3）由存在性命题的否定求解，并判断真假；对（2）（4）根据全称命题的否定求解，并判断真假即可.
【小问1详解】
（1）因为，，所以命题p的否定：，．
显然当时，，，命题p的否定为真命题；
【小问2详解】
因为p：不论m取何实数值，关于x的方程必有实数根；
所以命题p的否定：存在实数m，关于x的方程没有实数根．
当时，方程有实根，当时，方程的判别式，故命题p为真命题，命题p的否定为假命题；
【小问3详解】
p：有的平行四边形的对角线相等，命题p的否定：所有的平行四边形的对角线都不相等，
则命题p是真命题，命题p的否定是假命题；
【小问4详解】
p：等腰梯形的对角线互相平分，命题p的否定：存在一个等腰梯形，它的对角线不互相平分，命题p为假命题，命题p的否定是真命题．
20. 已知集合，且.
（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据即可根据集合的包含关系求解，
（2）将问题转化成，进而求解的情况，即可求解不为空集的情况.
【小问1详解】
由于“”是真命题，
所以，而，所以，
解得，故的取值范围为.
【小问2详解】
因为，所以，得.
由为真，得，当时，或，得，因为，所以当时，
当时，，故的取值范围为.
21. 已知函数.
（1）证明在区间上单调递减；
（2）已知，在上的值域是，求，的值.
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（2）由（1）可得函数在上为减函数，即可得到方程组，解得即可.
【小问1详解】
证明：，，且，
则
.
因为，所以，则，即，
所以在区间上单调递减.
【小问2详解】
解：由（1）可知，在上为减函数且，
所以，，
解得或（舍去），
所以，.
22. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】（1）900cm
（2）选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【解析】
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【小问1详解】
设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
【小问2详解】
由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.