重庆市永川区北山中学2024届高三上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市永川区北山中学2024届高三上学期期中数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，共40．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解出集合A，B的具体区间，再按照交集的定义求解即可.
【详解】对于集合A， ；
对于集合B， ；
由于 ，
， ；
故选：D.
2. 在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先将原式化简，再看实部和虚部的正负判断所在复平面的象限即可.
【详解】，在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A.
3. 如图，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，设，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取BC中点F，先征得四边形为平行四边形，再结合平面向量基本运算求解即可.
【详解】取BC中点F，连接AF，如图所示，

又因为，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以
.
故选：D.
4. 若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由，结合题意在上恒成立求范围，即可判断所能取的值.
【详解】由题设在区间上单调递增，所以恒成立，
所以上恒成立，即恒成立，
而在上递增，故.
所以A符合要求.
故选：A
5. 已知中，“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形大边对大角可知，由在上的单调性可得，由此可确定结果.
【详解】由正弦定理以及三角形大边对大角可得：
，
又，在上单调递减，
，即，
“”是“”成立充分必要条件.
故选：C.
6. 北山中学在学校“236”发展目标引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展．现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为（ ）
A. 72B. 108C. 180D. 216
【答案】C
【解析】
【分析】根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，由分步和分类计数原理可得．
【详解】根据题意分析可得，必有2人参加同一社团.
首先分析甲，甲不参加“生物研启社”， 则有3种情况，
再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有（种）情况；
若甲是单独1个人参加一个社团，则有（种）情况．
则除甲外的4人有（种）参加方法．
故不同的参加方法的种数为
故选：C
7. 已知函数的部分图象如图所示，其中，将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】，得，所以，，
又，得，所以，
所以，
所以，故选A．
点睛：三角函数的解析式求解，由周期决定，由特殊点确定，结合图象特点，解得，左右移动的关键是的变化，要提取系数，移动之后得到．
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件化简求得，将所求式子利用三角恒等变换化简再根据同角三角函数关系式转化为正切求得结果.
【详解】由，即，
又，解得，
.
故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，共20．在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量，，则（ ）
A. B. 向量在向量上的投影向量是
C. D. 与向量方向相同的单位向量是
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A：直接判断不成立；对于B：直接求出向量在向量上投影向量，即可判断；对于C：直接求出，即可判断；对于D：直接求出向量的同向单位向量.
【详解】，.
对于A：因为，所以不成立.故A错误；
对于B：向量在向量上的投影向量为，故B错误；
对于C：∵，∴，故C正确；
对于D：向量的同向单位向量是，故D正确.
故选：CD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加个单位
C. 数据的方差为，则数据的方差为
D. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100
【答案】ACD
【解析】
【分析】由百分位数的定义，即可判断A，由回归方程的性质即可判断B，由方差的性质即可判断CD.
【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数是第8个数，即为16，A正确；
由回归方程可知，当解释变量每增加1个单位时，相应变量减少个单位，B错误；
选项C，由，可得，C正确；
由，得，所以这组样本数据的总和等于，故D正确；
故选：ACD
11. 已知对任意，且，恒成立，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题中条件，化，展开后利用基本不等式求出最小值，即可求出结果.
【详解】因为，，则
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
因此为使恒成立，只需，
故ABC都可以取得，D选项不能取得.
故选：ABC.
【点睛】易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ）
A. 若，则函数为奇函数
B. 若，则
C. 函数的图象必有对称中心
D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可.
【详解】对于选项A，记．
因为，所以为奇函数，故选项A正确；
对于选项B，由选项A可知，从而，
所以，故选项B错误；
对于选项C，记．若为奇函数，则，
，即，
所以，即．
上式化简得，．
则必有，解得，
因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确；
对于选项D，由选项C可知，．
当时，是减函数，，所以
，
故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本大题共4小题，共20）
13. 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
14. 在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题，利用导数及韦达定理可得，后利用等比中项性质可得答案.
【详解】，
由题是方程的两个不等实根，
则由韦达定理，所以
又是等比中项且与同号，则.
故答案为：.
15. 设等差数列的前项和分别是，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列前项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的性质可知，
则.
故答案为：
16. 在中，已知为边上一动点，过点作一条直线交边于点.
（1）若为中点，且，则___________.；
（2）设，则最大值是___________.
【答案】 ①. ． ②. ．
【解析】
【分析】（1）利用，将展开代入数量积运算；
（2）先把化简转化为齐次式，分子分母同除以，构造转化为二次式比二次式，分离常数再转化为一次式比二次式，分子分母同除以一次式，再利用基本不等式求出最值．
【详解】(1)若为中点，且，则为中位线，
（2）
令，则，
令，则
当时，，当且仅当时取等号，
，
，
的最大值是，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查向量运算和分式函数最值得求解，运算量比较大，属于填空压轴题．
四、解答题（本大题共6小题，共70．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知，求：
（1）的最小正周期及单调递增区间；
（2）时，恒成立，求实数的范围．
【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为，
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简的解析式，再根据最小正周期及单调递增区间的公式求解出结果；
（2）先求出在上的最小值，从而可知的最小值，再将问题转化为“”，由此求解出的取值范围.
【小问1详解】
，
的最小正周期，
由，，
可得，，
函数的单调递增区间为，．
【小问2详解】
，，
在上单调递增，在上单调递减，且，
，，
当即，，
要使恒成立，则，即，可得，
故实数的范围是．
18. 在①成等比数列，②是和的等差中项，③的前项和是这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
已知数列为公差大于的等差数列，，且前项和为，若_______，数列为等比数列，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）分别选条件①，选条件②，选条件③根据等差数列和等比数列基本量的运算，直接求解即可；
（2）等差等比数列乘积的数列可以利用错位相减法求数列和.
【详解】（1）设的公差为
选条件①：
，
或，，所以
，
选条件②：，
，即解得：，
，
选条件③：的前项和是，即
解得：．
，
设的公比为，，，，

（2）


．
19. 某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，，DE＝8，且.
（1）求BE的长度；
（2）景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．
【答案】（1）10 （2）当步行观光旅游路线时，种植区域面积最大，且最大值为
【解析】
【分析】（1）在中，根据正弦定理，可得BD的长，在中，根据余弦定理，即可得答案.
（2）在中，由余弦定理及基本不等式，可得，代入面积公式，即可得答案.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得或（舍）
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
此时面积最大值
所以当步行观光旅游路线时，种植区域面积最大，且最大值为
20. 某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.
（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.
附：
【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关；
（2）；
（3）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可；
（2）根据条件概率公式计算即可；
（3）分层抽样后运用超几何分布求解.
【小问1详解】
零假设：数学成绩与语文成绩无关.
据表中数据计算得：
根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；
【小问2详解】
∵，
∴估计的值为；
【小问3详解】
按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.
，，
，，
∴的概率分布列为：
∴数学期望.
21. 已知正项数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列满足，求证：．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用和与项的关系可求得，从而利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）知，从而利用裂项相消法求得，从而可证.
【小问1详解】
∵，当时，，
两式相减得：，整理得，
∵，∴，当时，，
∴（舍）或，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则；
【小问2详解】
由（1）知，，
∴，
∵，∴，即．
22. 已知函数．
（1）当时，求在曲线上的点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有两个极值点，，证明：．
【答案】22. ；
23. 详见解析； 24. 详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求出；
（2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出；
（3）由题意得，，，而，只需证明，即证：，即证：对任意的恒成立即可．
【小问1详解】
由题可知，当时，，
，，切点为，切线的斜率为，
切线方程为：，即；
【小问2详解】
对函数求导可得，．
当时，．则在上单调递增．
当时，．则，．
令，则，或．，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
【小问3详解】
有两个极值，，
，是方程的两个不等实根，
则，，，
．
要证：．即证：．
不妨设，即证：．
即证：对任意的恒成立．
令，．则．
从而在上单调递减，故．
所以．语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学
成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
0
1
2
3