重庆市永川中学校2023-2024学年高一下学期期中考试复习（二）数学试卷(含答案)

这是一份重庆市永川中学校2023-2024学年高一下学期期中考试复习（二）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A.若，都是单位向量，则
B.向量与是两平行向量
C.若，则A，B，C，D四点构成平行四边形
D.两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同
2．设，不共线，，，，若A，B，D三点共线，则实数的值为( )
A.B.C.1D.2
3．已知向量，，，若，则( )
A.B.C.5D.6
4．如图正方体或四面体，P，Q，R，S分别是棱的中点，这四个点不共面的图是( )
5．如图，在中，，，P为上一点，
且满足，若的面积为，则的最小值为( )
A．B.C.3D.
6．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，且满足.若点O是外一点，()，，，则平面四边形面积的最大值( )
A.B.C.D.
7．三棱柱的体积为1，P为侧棱上的点，则四棱锥的体积为( )
A.B.C.2D.1
8．中，，，且，则的取值范围是
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量，，则下列命题正确的是( )
A.的最大值为
B.若，则
C.是与共线单位向量，则
D.取得最大值时
10．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点O，点E是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是( )
A.直三棱柱的体积是1
B.直三棱柱的外接球表面积是
C.三棱锥的体积与点E的位置有关
D.的最小值为
11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是( )
A.若，则的外接圆的面积为
B.若，且有两解，则b的取值范围为
C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D.若，且，O为的内心，则的面积为
三、填空题
12．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，若圆M经过A，B，C三点，则圆M的半径为________.
13．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，，则的最大值近似等于________.（保留3位小数）（参考数据：，.）
14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，是边长为2的等边三角形，点P，Q分别为侧棱，上的动点，记，则s的最小值的取值范围是________.
四、解答题
15．已知z是复数，与均为实数.
(1)求复数z；
(2)复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
16．已知中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，D为边上一点，，，求的面积.
17．如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点.
(1)若，求实数的值；
(2)求的最小值；
18．在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，，，，）
19．设A是有序实数对构成的非空集，B是实数集，如果对于集合A中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个二元函数，记作，，其中A称为二元函数f的定义域.
(1)已知，，，若，，，求；
(2)非零向量，若对任意的，，，记，都有，则称f在D上沿u方向单调递增.已知，，.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数f的定义域为D，如果存在实数M满足：
①，都有，②，使得.
那么，我们称M是二元函数f的最小值.求，的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：A错误，向量包括长度和方向，单位向量的长度相等，但是方向不一定相同；
B正确，所表示的两个向量方向相反.
C错误，A，B，C，D四个点在同一直线的时候，也可以满足题目条件.
D错误，两个向量相等的充要条件是它们可以平移之后重合.
选B.
2．答案：A
解析：
3．答案：C
解析：由题意得,,所以即,解得.
故选C
4．答案：D
解析：对于选项A,分别连接,,如图所示.
易证
P，Q，R，S四点共面.
对于选项B，过P，Q，R，S可作一正六边形，如图所示.
P，Q，R，S四点共面
对于选项C，分别连接,，如图所示
易证，P，Q，R，S四点共面.
对于选项D,与$为异面直线,
P，Q，R，S四点共面.
故选D.
5．答案：D
解析：
，得到，，所以，结合
的面积为，得到，得到，所以
，故选D.
6．答案：D
解析：因为，可得，所以又，所以为等边三角形.在中，
，
.，
所以，因为，所以当时，平面四边形面积的最大，最大值为.故选：D.
7．答案：A
解析：，平面，
∴无论P在上何处，四棱锥的体积不变，故取P为，
.
8．答案：D
解析：，
以，为邻边作平行四边形，如下图：
所以，因此，所以平行四边形是菱形，设，，所以，在中，
，
设，，，所以当时，，是增函数，故，因此本题选D.
9．答案：AD
解析：，是单位向量，设，，则，当，方向相反，即时取等号，的最大值为，故A正确；
等价于即，即，，故B错误；
与共线的单位向量为，故C错误；
最大，当且仅当向量在向量上的投影最大，即向量与同向，亦即，此时，故D正确.
故选：AD
10．答案：ABD
解析：直三棱柱中，，，
，如图所示，
直三棱柱的体积为，故A选项正确；
直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，外接球的半径为，外接球表面积是，故B选项正确；
O是与的交点，则的面积为定值，由平面，E到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C选项错误；
把侧面和侧面展开在一个平面上，当E为的中点时，的最小值等于，故D正确.故选：ABD
11．答案：ACD
解析：因为，所以由正弦定理，得，
即，因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，所以的外接圆的直径，
所以，所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，
将此式看作关于c的二次方程，由题意得此方程有两个正解，
故，解得b，所以选项B错误；
选项C：由正弦定理，得，即，因为，所以，
因为为锐角三角形，所以，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，
即，所以，所以，
又因为，所以，故，，解得，
因为，所以，，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.故选：ACD.
12．答案：
解析：因为向量所对应的复数为,所以.
又向量所对应的复数为,所以.因为点C所对应的复数为,所以.
设在复平面内,点B所对应的复数为,则,故A,B,C三点在以为圆心,为半径的圆上,故圆M的半径为.
13．答案：0.104
解析：设，由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，，，，
即点N在正方形的边上运动，因为，，由图可知：
当取到最小值，即最大，
点N有如下两种可能：
①点N为点A，则，可得；
②点N在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则；因为，
所以的最大值为.故答案为：0.104.
14．答案：
解析：底面为矩形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
同理可得：，又，，，
.将侧面，，展开后，展开图如下图所示：
则s的最小值的取值范围即为的取值范围.令，
，即，，.
在中，
在中，，，，，
，，，，，即s的最小值的取值范围为.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设，，所以，
由条件得，且，所以，，所以，
（2），由条件得，
解得，所以所求实数a的取值范围是.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由正弦定理得，
因为故，
即，即.
而，故，又因为所以.而，故.
（2）解由知，
两边同时平方得，
即，化简得.①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，由于，得，代入②得.
所以的面积为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）
，
所以A，Q，P三点共线，所以，解得；
（2）设，，
则
，
，
故
，
当时，取得最小值，所以的最小值为.
18．答案：我军舰大约需要10小时到达C岛
解析：设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则，
由题意知，，，，
在中，又
，
在中，由正弦定理可得，
即，解得，所以我军舰大约需要10小时到达C岛.
19．答案：（1）；
（2）f在上沿向量方向单调递增，理由见解析；
（3）当或2时，函数取最大值为
解析：（1）由已知有，，，；
（2），，，，
，，又，
，
故f在上沿向量方向单调递增；
（3）由题意可类似的知道的最大值的含义，
，其中，（或者直接使用柯西不等式，，当且仅当时取等号.）
故，当时取等号，（或当时取等号），
又，根据对勾函数单调性易知当或2时，函数取最大值为.